第二十一章 一元二次方程 精选易错题-2025-2026学年人教版九年级数学上册

2025-2026学年人教版九年级上册数学 第二十一章 一元二次方程 精选易错题 一、选择题 1．一元二次方程的根是（　　） A．-1 B．1和3 C．-1和3 D．3 【答案】C 【解析】【解答】解：x(x-3)=3-x x(x-3)-(3-x)=0 (x-3)(x+1)=0 ∴x-3=0或x+1=0 x1=3，x2=-1 故答案为：C. 【分析】利用因式分解法求解一元二次方程即可。 2．关于x的一元二次方程没有实数根，则m的值可能是（　　） A．－2 B．0 C．3 D．5 【答案】D 【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程没有实数根， ∴△=， 解得， 故答案为：D． 【分析】利用一元二次方程根的判别式列出不等式求解即可。 3．若关于x的一元二次方程4x2-4x+c=0有两个相等的实数根，则c的值是（　　） A．4 B．-4 C．1 D．-1 【答案】C 【解析】【解答】解：由题意得：△=16-4×4×c=0, ∴c=1. 故答案为：C. 【分析】因为一元二次方程有两个相等的实数根的条件是△=b2-4ac=0, 据此列式即可求出c值. 4．下列选项中，能使关于x的一元二次方程ax2﹣4x+c=0一定有实数根的是（　　） A．a＞0 B．a=0 C．c＜0 D．c=0 【答案】D 【解析】【解答】解：∵一元二次方程有实数根， ∴△=（﹣4）2﹣4ac=16﹣4ac≥0，且a≠0， ∴ac≤4，且a≠0； A、若a＞0，当a=1、c=5时，ac=5＞4，此选项不符合题意； B、a=0不符合一元二次方程的定义，此选项不符合题意； C、若c＜0，当a=﹣1、c=﹣5时，ac=5＞4，此选项不符合题意； D、若c=0，则ac=0≤4，此选项符合题意； 故答案为：D． 【分析】根据△=b2-4ac＞0方程有两个不相等的两个实数根，△=0，方程有两个相等的实数根，△＜0，方程没有实数根；由一元二次方程有实数根，得到△≥0，再由a≠0，求出ac≤4，得到正确结果. 5．关于 的一元二次方程 的一个根为 ，则另一根为（　　）. A．-6 B．2 C．4 D．1 【答案】C 【解析】【解答】解：将1代入 ，得 ∴ ∴原方程为 ∴ 或1 故答案为：C. 【分析】将1代入 计算可得p的值，再通过求解方程，即可得到答案. 6．有x支球队参加篮球比赛，每两队之间都比赛一场，共比赛了21场，则下列方程中正确的是（　　） A．x（x﹣1）＝21 B．x（x﹣1）＝42 C．x（x+1）＝21 D．x（x+1）＝42 【答案】B 【解析】【解答】设这次有x队参加比赛，则此次比赛的总场数为 x（x−1）场， 根据题意列出方程得： x（x−1）=21， 整理，得：x（x−1）=42， 故答案为x（x−1）=42. 故答案为：B. 【分析】设这次有x队参加比赛，则此次比赛的总场数为 x（x−1）场，根据题意可知：此次比赛的总场数=21场，依此等量关系列方程即可。 7．如果关于x的一元二次方程2x2﹣x+k=0有两个实数根，那么k的取值范围是（　　） A．k≥ B．k≤ C．k≥﹣ D．k≤﹣ 【答案】B 【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程2x2﹣x+k=0有两个实数根， ∴△=b2﹣4ac=1﹣4×2k=1﹣8k≥0， ∴k≤ ． 故选B． 【分析】由于方程有实数根，则根的判别式△≥0，由此建立关于k的不等式，解不等式即可求得k的取值范围． 8．关于的一元二次方程的根的情况是（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 【答案】A 【解析】【解答】解：， ∵， ∴，即， ∴方程有两个不相等的实数根， 故答案为：． 【分析】利用“一元二次方程根的判别式，当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根”解题． 二、填空题 9．已知一元二次方程3x2+4x﹣k=0有两个实数根，则k的取值范围是　 　． 【答案】k﹣ 【解析】【解答】解：根据题意得△=42﹣4×3×（﹣k）0， 解得：k． 故答案为：k. 【分析】对于一元二次方程“ax2+bx+c=0（a、b、c是常数，且a≠0）”中，当b2-4ac＞0时方程有两个不相等的实数根，当b2-4ac=0时方程有两个相等的实数根，当b2-4ac＜0时方程没有实数根，据此列出不等式，求解即可. 10．已知 和 是方程 的两个实数根，则 　 　． 【答案】11 【解析】【解答】解：∵x1，x2是方程 的两个实数根， ∴x1+x2=-3，x1x2=-1， ∴x12+x22=（x1+x2）2-2x1x2=（-3）2-2×（-1）=11． 故答案为：11． 【分析】根据根与系数的关系可得出x1+x2=-3、x1x2=-1，将其代入x12+x22=（x1+x2）2-2x1x2中即可求出结论． 11．若m是方程 的一个根，则代数式 =　 　. 【答案】一2017 【解析】【解答】解：∵m是方程 的一个根，∴ ，∴ ，∴ =1-2018=－2017．故答案为：－2017． 【分析】利用根的定义，把m代入，然后整体代换m 2 + m = 1 ，可求出值. 12．某校举办篮球友谊赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，共要比赛36场，则参加此次比赛的球队有 　 　个． 【答案】9 【解析】【解答】解：设参加此次比赛的球队数为x队，根据题意得： ， 化简得： ， 解得： ， （舍去）， 答：参加此次比赛的球队数是9队． 故答案为：9． 【分析】设参加此次比赛的球队数为x队，根据题意得列出方程求解即可。 13．已知等腰三角形的三边长分别为a、b、4，且a、b是关于x的一元二次方程x2﹣12x+m+2＝0的两根，则m的值是　 　． 【答案】34 【解析】【解答】解：当a=4时，b＜8， ∵a、b是关于x的一元二次方程x2-12x+m+2=0的两根， ∴4+b=12， ∴b=8不符合； 当b=4时，a＜8， ∵a、b是关于x的一元二次方程x2-12x+m+2=0的两根， ∴4+a=12， ∴a=8不符合； 当a=b时， ∵a、b是关于x的一元二次方程x2-12x+m+2=0的两根， ∴12=2a=2b， ∴a=b=6， ∴m+2=36， ∴m=34； 故答案为：34． 【分析】利用等腰三角形的性质可分两种情况：①a=b=4；②a=b，再利用一元二次方程根的判别式和一元二次方程的根分别求解即可。 14．一件商品的原价是300元，连续两次降价后，现售价是243元，若每次降价的百分率相同，那么这个百分率为　 　． 【答案】10% 【解析】【解答】解：设这个百分率为x%，由题意得：300（1-x%）2=243，解得x=10或x=190（舍）． 故答案为：10% 【分析】设这个百分率为x%，根据“一件商品的原价是300元，连续两次降价后，现售价是243元”即可列出一元二次方程，进而即可求解。 15．如图，给一幅长 ，宽 的矩形风景画（图中阴影部分）镶一个画框，若设画框的宽均为xm，装好画框后总面积为 ，则根据题意可列方程为　 　. 【答案】(8+2x)(5+2x)=70 【解析】【解答】∵风景画的长为8+2x，宽为5+2x， ∴可列方程为(8+2x)(5+2x)=70. 故答案为(8+2x)(5+2x)=70. 【分析】先求出镶一个画框后矩形的长为8+2x，宽为5+2x，然后根据据此的面积公式列出方程即可. 16．现要在一个长为35m，宽为22m的矩形花园中修建等宽的小道，剩余的地方种植花草，如图，要使种植花草的面积为625m²，设小道的宽为xm，则根据题意，可列方程为　 　． 【答案】（35-2x）（22-x）=625 【解析】【解答】解：设小道的宽为x m，则种植花草的部分可合成长（35-2x）m，宽（22-x）m的矩形， 依题意得：（35-2x）（22-x）=625， 故答案为（35-2x）（22-x）=625． 【分析】由于种植花草的部分可合成长（35-2x）m，宽（22-x）m的矩形，利用矩形的面积列出方程即可. 三、解答题 17．解下列一元二次方程： （1） x2+2x-1=0； （2） 2x2-x-3=0． 【答案】（1）解：∵a=1，b=2，c=-1， ∴b2-4ac=22-4×1×(-1)=8， ∴x=， ∴x1=-1+，x2=-1-； （2）解：∵（2x-3）（x+1）=0， ∴2x-3=0，x+1=0， 解得：x1=，x2=-1. 【解析】【分析】（1）由题意根据一元二次方程的求根公式可求解； （2）由题意将二次三项式分解因式后，原方程可化为两个一元一次方程，解这两个方程即可求解. 18．若关于x的方程 是一元二次方程，求m的值． 【答案】解：∵关于x的方程 是一元二次方程， ∴m+1≠0，且|m|+1=2， 解得m+1≠0，且m=1或m=-1， ∴m=1， 故答案为：m=1． 【解析】【分析】根据一元二次方程二次项系数不为0，x的最高次数为2列关系式即可求解。 19．已知关于的一元二次方程x2﹣6x+2m﹣1=0有两个相等的实数根，求m的值及方程的根． 【答案】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣6x+2m﹣1=0有两个相等的实数根， ∴△=b2﹣4ac=（﹣6）2﹣4×1×（2m﹣1）=36﹣8m+4=40﹣8m=0， ∴m=5， ∴关于x的一元二次方程是x2﹣6x+9=0， ∴（x﹣3）2=0， 解得x1=x2=3 【解析】【分析】首先根据原方程根的情况，利用根的判别式求出m的值，即可确定原一元二次方程，进而可求出方程的根． 20．某租赁公司拥有汽车100辆.据统计，当每辆车的月租金为3000元时，可全部租出.每辆车的月租金每增加50元，未租出的车将增加1辆.租出的车每辆每月的维护费为150元，未租出的车每辆每月只需维护费50元. （1）当每辆车的月租金定为3600元时，能租出多少辆？ （2）当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益（租金收入扣除维护费）可达到306600元？ 【答案】（1）解：100-(3600-3000)÷50=100-12=88（辆） ∴当每辆车的月租金定为3600元时，能租出88辆. （2）解：设每辆车月租金为 元， 化简得： ， 所以 ，. 【解析】【分析】(1)根据题意列出算式，计算即可得到结果； (2)设每辆车的月租金为(3000+x)元，根据题意列出方程，求出方程的解即可得到结果. 21． 近几年，“浙东唐诗之路”山水挑战赛“贵门”轻越野跑的关注度越来越高．据某平台统计，赛事的参赛跑友逐年增多，从2023年的1000人增加到2025年的1210人． （1）求2024，2025这两年参加“贵门”轻越野跑友人数的年均增长率． （2）某网店以每组30元的进价购进一批护膝肌贴组．当每组售价为50元时，3月份售出了1600组，随着市民健跑热情的增加，该网店的护膝肌贴组十分畅销．为了回馈顾客，该网店决定采用降价促销的方式．经调查发现，该护膝肌贴组每组每降价1元，每月销售量就增加200组，该网店计划4月份售卖护膝肌贴组获利36000元，为了尽可能多的让利于顾客，该护膝肌贴组每组应降价多少元？ 【答案】（1）解：设2024，2025这两年参加“贵门”轻越野跑友人数的年均增长率为x， 由题意得：1000(1+x)2=1210， 解得：x1=0.1=10%，x2=-2.1(不符合题意，舍去)， 答：2024，2025这两年参加“贵门”轻越野跑友人数的年均增长率为10% （2）解：设该护膝肌贴组每组应降价m元，则4月份销售量为(1600+200m)组， 由题意得：(50-m-30)(1600+200m)=36000， 整理得：m2-12m+20=0， 解得：m1=2(不符合题意，舍去)，m2=10， 答：该护膝肌贴组每组应降价10元 【解析】【分析】(1)设2024，2025这两年参加“贵门”轻越野跑友人数的年均增长率为x，根据复利公式：初始值×(1+增长率)^年数=最终值，进而即可求解； (2)设该护膝肌贴组每组应降价m元，则4月份销售量为(1600+200m)组，根据总利润=单件利润×销量，进而即可求解. 22．某服装店在销售A，B两款服装时，销售员记录了从4月到6月的销售情况，请根据以下素材完成“问题解决”中的三个问题. 素材1 A款服装每销售一件可盈利100元，已知4月份销售量为64件，且销售量逐 月递增，6月份销售量达到100件. B款服装每销售一件可盈利150元，每月的销售量均为80件. 素材2 7月开始换季，服装店仅对A款服装进行降价销售，根据往年数据测算：以6 月份的月销售量为基准，A款服装每降5元，其月销售量增加25件，同时会 使B款服装月销售量减少10件. 问题解决 ⑴问题1：求6月份销售A，B两款服装的利润之和. ⑵问题2：求A款服装从4月到6月销售量的平均月增长率. ⑶问题3：为了使7月份销售A，B两款服装的利润之和达到22500元，那么A 款服装应降价多少元? 【答案】解： ⑴ 元. 答：6月份销售A，B两款服装的利润之和为22000元； ⑵解：设A款服装从4月到6月销售量的平均月增长率为x， 由题意可以列出方程. 解得，(不合题意，舍去). 答：A款服装从4月到6月销售量的平均月增长率为25%. ⑶解：设A款服装应降价y元， 由题意可以列出方程. 解得. 答：A款服装应降价10元 【解析】【分析】(1)根据素材1，A款6月销售量为100件，每件利润100元；B款每月销售量80件，每件利润150元，分别计算两者的利润并相加； (2)设月增长率为x，4月销售量64件，6月为100件，根据题意列出方程64(1+x)2=100，解方程求x； (3)设A款服装应降价y元，根据题意列出方程即可得出结论. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025-2026学年人教版九年级上册数学 第二十一章 一元二次方程 精选易错题 一、选择题 1．一元二次方程的根是（　　） A．-1 B．1和3 C．-1和3 D．3 2．关于x的一元二次方程没有实数根，则m的值可能是（　　） A．－2 B．0 C．3 D．5 3．若关于x的一元二次方程4x2-4x+c=0有两个相等的实数根，则c的值是（　　） A．4 B．-4 C．1 D．-1 4．下列选项中，能使关于x的一元二次方程ax2﹣4x+c=0一定有实数根的是（　　） A．a＞0 B．a=0 C．c＜0 D．c=0 5．关于 的一元二次方程 的一个根为 ，则另一根为（　　）. A．-6 B．2 C．4 D．1 6．有x支球队参加篮球比赛，每两队之间都比赛一场，共比赛了21场，则下列方程中正确的是（　　） A．x（x﹣1）＝21 B．x（x﹣1）＝42 C．x（x+1）＝21 D．x（x+1）＝42 7．如果关于x的一元二次方程2x2﹣x+k=0有两个实数根，那么k的取值范围是（　　） A．k≥ B．k≤ C．k≥﹣ D．k≤﹣ 8．关于的一元二次方程的根的情况是（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 二、填空题 9．已知一元二次方程3x2+4x﹣k=0有两个实数根，则k的取值范围是　 　． 10．已知 和 是方程 的两个实数根，则 　 　． 11．若m是方程 的一个根，则代数式 =　 　. 12．某校举办篮球友谊赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，共要比赛36场，则参加此次比赛的球队有 　 　个． 13．已知等腰三角形的三边长分别为a、b、4，且a、b是关于x的一元二次方程x2﹣12x+m+2＝0的两根，则m的值是　 　． 14．一件商品的原价是300元，连续两次降价后，现售价是243元，若每次降价的百分率相同，那么这个百分率为　 　． 15．如图，给一幅长 ，宽 的矩形风景画（图中阴影部分）镶一个画框，若设画框的宽均为xm，装好画框后总面积为 ，则根据题意可列方程为　 　. 16．现要在一个长为35m，宽为22m的矩形花园中修建等宽的小道，剩余的地方种植花草，如图，要使种植花草的面积为625m²，设小道的宽为xm，则根据题意，可列方程为　 　． 三、解答题 17．解下列一元二次方程： （1） x2+2x-1=0； （2） 2x2-x-3=0． 18．若关于x的方程 是一元二次方程，求m的值． 19．已知关于的一元二次方程x2﹣6x+2m﹣1=0有两个相等的实数根，求m的值及方程的根． 20．某租赁公司拥有汽车100辆.据统计，当每辆车的月租金为3000元时，可全部租出.每辆车的月租金每增加50元，未租出的车将增加1辆.租出的车每辆每月的维护费为150元，未租出的车每辆每月只需维护费50元. （1）当每辆车的月租金定为3600元时，能租出多少辆？ （2）当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益（租金收入扣除维护费）可达到306600元？ 21． 近几年，“浙东唐诗之路”山水挑战赛“贵门”轻越野跑的关注度越来越高．据某平台统计，赛事的参赛跑友逐年增多，从2023年的1000人增加到2025年的1210人． （1）求2024，2025这两年参加“贵门”轻越野跑友人数的年均增长率． （2）某网店以每组30元的进价购进一批护膝肌贴组．当每组售价为50元时，3月份售出了1600组，随着市民健跑热情的增加，该网店的护膝肌贴组十分畅销．为了回馈顾客，该网店决定采用降价促销的方式．经调查发现，该护膝肌贴组每组每降价1元，每月销售量就增加200组，该网店计划4月份售卖护膝肌贴组获利36000元，为了尽可能多的让利于顾客，该护膝肌贴组每组应降价多少元？ 22．某服装店在销售A，B两款服装时，销售员记录了从4月到6月的销售情况，请根据以下素材完成“问题解决”中的三个问题. 素材1 A款服装每销售一件可盈利100元，已知4月份销售量为64件，且销售量逐 月递增，6月份销售量达到100件. B款服装每销售一件可盈利150元，每月的销售量均为80件. 素材2 7月开始换季，服装店仅对A款服装进行降价销售，根据往年数据测算：以6 月份的月销售量为基准，A款服装每降5元，其月销售量增加25件，同时会 使B款服装月销售量减少10件. 问题解决 ⑴问题1：求6月份销售A，B两款服装的利润之和. ⑵问题2：求A款服装从4月到6月销售量的平均月增长率. ⑶问题3：为了使7月份销售A，B两款服装的利润之和达到22500元，那么A 款服装应降价多少元? 1 学科网（北京）股份有限公司 $$