专题 13.5 三角形（ 全章考点梳理 +题型分层精析 ） 基础知识专项突破讲练2025-2026学年八年级数学上册（人教版 2024）

专题 13.5 三角形 目录 考点（一）三角形及相关概念 2 【题型1】三角形的概念（基础夯实） 2 考点（二）三角形个数 2 【题型2】三角形的个数（基础夯实） 2 【题型3】三角形的个数（综合提升） 3 考点（三）三角形的分类 4 【题型4】三角形的分类（基础夯实） 4 【题型5】三角形的分类（综合提升） 4 考点（四）三角形的稳定性 5 【题型6】三角形的稳定性 5 考点（五）三角形三边关系 5 【题型7】三角形三边关系（基础夯实） 5 【题型8】三角形三边关系（综合提升） 6 考点（六）三角形的中线 6 【题型9】三角形的中线（基础夯实） 6 【题型10】三角形的中线（综合提升） 7 考点（七）三角形的高 7 【题型11】三角形的高（基础夯实） 7 【题型12】三角形的高（综合提升） 8 考点（八）三角形的角平分线 9 【题型13】三角形的角平分线（基础夯实） 9 【题型14】三角形的角平分线（综合提升） 10 考点（九）三角形的内角和定理的证明 11 【题型15】三角形内角和定理证明 11 考点（十）三角形的内角和定理+平行线 12 【题型16】三角形内角和与平行线综合（基础夯实） 12 【题型17】三角形内角和与平行线综合（综合提升） 13 考点（十一）三角形的内角和定理+角平分线 14 【题型18】三角形内角和与角平分线综合（基础夯实） 14 【题型19】三角形内角和与角平分线综合（综合提升） 14 考点（十二）直角三角形两锐角互余 15 【题型20】利用直角三角形两锐角互余求值证明（基础夯实） 15 【题型21】】利用直角三角形两锐角互余求值证明（综合提升） 16 考点（十三）三角形的外角性质 17 【题型22】三角形外角性质求值证明（基础夯实） 17 【题型23】三角形外角性质求值证明（综合提升） 17 考点（一）三角形及相关概念 【题型1】三角形的概念（基础夯实） 【例题1】（25-26八年级上·全国·课后作业）如图所示． （1）图中共有________个三角形，用符号表示为________________；其中以为边的三角形是________________；以为一个内角的三角形是________； （2）在中，的对边是________，的对角是________，与的公共边是________，公共角是________． 【变式1】（25-26八年级上·全国·课后作业）下面是小航用三根火柴组成的图形，其中符合三角形的概念的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24七年级下·全国·课后作业）如图，图中三角形的个数为 ；以为边的三角形是 ，以为一个内角的三角形是 ；在中，的对边是 ． 考点（二）三角形个数 【题型2】三角形的个数（基础夯实） 【例题2】（2023八年级·全国·专题练习）如图，回答下列问题： （1）写出以为顶点的三角形； （2）写出为内角的三角形； （3）写出以为边的三角形． 【变式1】（24-25八年级上·云南曲靖·期中）如图，以点A为顶点的三角形有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【变式2】（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，直角三角形共有 个． 【题型3】三角形的个数（综合提升） 【例题3】（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，图中共有多少个三角形？请写出这些三角形，并指出所有以E为顶点的三角形． 【变式1】（24-25六年级上·山东泰安·期中）如图所示的是一个由几个小三角形拼成的大三角形，则该图中三角形的个数为（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【变式2】．（24-25七年级上·江苏苏州·期中）如图，图①中有个三角形，在图①中的三角形内部（不含边界）取一点，连接该点与三角形的个顶点得到图②，图②中共有4个三角形．若在图②中的一个小三角形内部（不含边界）取一点，连接该点与该小三角形的个顶点得到图③．在虚线框中画出图③，图③中共有 个三角形．（写出所有可能的值） 考点（三）三角形的分类 【题型4】三角形的分类（基础夯实） 【例题4】（23-24八年级下·湖南益阳·期末）在中，下列条件能说明是直角三角形的是（    ） A．， B． C． D． 【变式1】（25-26八年级上·全国·课后作业）用A表示等边三角形，B表示等腰三角形，C表示三边都不相等的三角形．下列四个分类图中，能正确表示它们之间关系的是（   ） A．   B．   C．   D．   【变式2】（25-26七年级上·山东青岛·开学考试）如图，，， ，三角形按角分是 三角形，按边分是 三角形． 【题型5】三角形的分类（综合提升） 【例题5】（24-25八年级上·四川达州·期中）已知的三边长分别为，，，且，，，满足，试判断的形状． 【变式1】（23-24八年级上·河北唐山·阶段练习）适合条件的是（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．任意三角形 【变式2】（2024七年级下·上海·专题练习）已知的三个内角的比是，其中是大于1的正整数，那么按角分类应是 三角形． 考点（四）三角形的稳定性 【题型6】三角形的稳定性 【例题6】（24-25八年级下·湖北宜昌·期末）四边形具有不稳定性，从数学角度看不稳定性主要体现在（    ） A．内角可发生变化 B．边长发生变化 C．周长发生变化 D．内角和发生变化 【变式1】（25-26八年级上·全国·单元测试）空调外机安装在墙上时，一般都会采用如图所示的方法固定，这利用了三角形具有 的特性． 【变式2】（24-25九年级下·吉林白城·阶段练习）如图，这是某大桥桥身的一部分，桥身采用三角形钢筋构架，这其中蕴含的数学道理是（    ） A．两点确定一条直线 B．垂线段最短 C．三角形具有稳定性 D．三角形两边之和大于第三边 考点（五）三角形三边关系 【题型7】三角形三边关系（基础夯实） 【例题7】（2025八年级上·全国·专题练习）已知某三角形的三条边长分别为，，关于的不等式有且只有个正整数解，则a的取值范围为 ． 【变式1】（24-25七年级下·重庆江北·期末）以下列各组线段长为边，能构成三角形的是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【变式2】（24-25七年级下·内蒙古包头·期中）已知a，b，c是三角形的三边，化简 ． 【题型8】三角形三边关系（综合提升） 【例题8】（24-25七年级下·辽宁盘锦·期末）设的三边分别为a，b，c，其中a，b满足，则最长边c的取值范围是 ． 【变式1】（2025·湖北武汉·模拟预测）现有长为的铁丝，要截成小段（），每段的长度不小于，如果其中任意三小段都不能拼成三角形，则的最大值为（    ） A．9 B．10 C．11 D．12 【变式2】（24-25七年级下·北京海淀·期末）定义：一个三角形的一边长是另一边长的2倍，这样的三角形叫作“倍长三角形”．若是“倍长三角形”，有两条边的长分别为4和6，则第三条边的长为 ． 考点（六）三角形的中线 【题型9】三角形的中线（基础夯实） 【例题9】（24-25七年级下·四川成都·期中）如图，，，分别为，，的中点，点为的重心．已知的面积为1，则的面积为 ． 【变式1】（25-26八年级上·全国·单元测试）如图，在中，是边上的中点，，与的周长之差为2，则的长为（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 【变式2】（24-25七年级下·海南省直辖县级单位·期末）如图是一块面积为的三角形纸板，其中点分别是线段的中点，则阴影部分的面积是 ． 【题型10】三角形的中线（综合提升） 【例题10】（23-24八年级下·贵州毕节·阶段练习）已知等腰三角形底边为，一腰上的中线分此三角形的周长成两部分，其差为，则腰长为 ． 【变式1】（24-25七年级下·重庆·期末）如图，已知D、E分别为的边的中点，为的中线，连接，若，则四边形的面积为（    ） A．5 B．10 C．15 D．20 【变式2】（24-25七年级下·江西吉安·期末）如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为，点A，B，C都是格点（小正方形的顶点），完成下列画图． （1）画出的重心P． （2）在已知网格中找出一个格点D，使与的面积相等． 考点（七）三角形的高 【题型11】三角形的高（基础夯实） 【例题11】（24-25八年级上·广东肇庆·阶段练习）如图，，分别是的高，，，，求的长． 【变式1】（24-25八年级上·福建莆田·阶段练习）中，如图选项正确画出边上的高的图形是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25七年级上·河南郑州·开学考试）【三角形的面积】如图，三角形的周长为40cm，P点为其内部一点，且点 P 到三边的距离均为3cm，则三角形的面积为 ． 【题型12】三角形的高（综合提升） 【例题12】（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，在中，于点为边上的中线．为中边上的高线．已知的面积为． （1）求与的周长之差；（2）求的长． 【变式1】（25-26八年级上·全国·周测）如图，在中，是边上的高．在中，是边上的中线．若，且，则的值为（   ） A．16 B．24 C．28 D．32 【变式2】（24-25七年级下·四川泸州·阶段练习）如图，已知，，，，，则下列说法：点到直线的距离是；点到直线的距离是；点到直线的距离是；点到直线的距离是其中正确的序号有 ． 考点（八）三角形的角平分线 【题型13】三角形的角平分线（基础夯实） 【例题13】（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，在中，于点D，平分，交于点F，，求证：． 【变式1】（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，折扇扇骨的A，B两点与扇钉C构成了，交扇骨和于D，E两点，，分别是，的角平分线，已知，则的度数为 ． 【变式2】（24-25七年级下·河南驻马店·期末）如图，，，分别是的中线、角平分线、高线，下列结论中错误的是（    ） A． B． C． D． 【题型14】三角形的角平分线（综合提升） 【例题14】（24-25七年级下·陕西西安·阶段练习）把下列的推理过程补充完整，并在括号里填上推理的依据： 如图，，，是的角平分线．试说明：． 解：∵是的角平分线， ∴（___________）， 又∵（已知）， ∴（___________）， ∴___________（___________）， ∴（___________）， 又∵（已知）， ∴（___________）． ∴（___________）． 【变式1】（23-24七年级下·湖北武汉·阶段练习）如图，，将一副直角三角板作如下摆放，，下列结论：①；②；③；④平分．其中结论正确的序号是 ．    【变式2】（24-25七年级下·全国·期末）如图，在中，，平分，，，下列四个结论中错误的是（     ）    A． B． C． D． 考点（九）三角形的内角和定理的证明 【题型15】三角形内角和定理证明 【例题15】（24-25七年级下·上海·阶段练习）古希腊七贤之一，著名哲学家泰勒斯（，公元前世纪）最早从拼图实践中发现了“三角形内角和等于”，但这种发现完全是经验性的，泰勒斯并没有给出严格的证明．之后古希腊数学家毕达哥拉斯、欧几里得、普罗科拉斯等相继给出了基于平行线性质的不同的证明．其中欧几里得利用辅助平行线和延长线，通过一组同位角和内错角证明了该定理．请同学们帮助欧几里得将证明过程补充完整． 已知：如图，在中，求证：． 证明：延长线段至点，并过点作． ， __________________ __________________ ． ____________． 【变式1】（24-25八年级上·河北邢台·期末）下列证明“三角形的内角和等于180°”所作的辅助线不正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式2】（24-25七年级下·陕西西安·期末）小刚同学想探究三角形内角和的度数，下面是他的探究过程：在的边上任取一点，过点作交于点，作交于点以下是他的推理过程，请你在横线上补充其推理过程或理由． 因为 所以 ______（理由：两直线平行同位角相等） （理由：______） 因为 所以 ______（理由：______） ______（理由：______） 因为 ______ 所以． 考点（十）三角形的内角和定理+平行线 【题型16】三角形内角和与平行线综合（基础夯实） 【例题16】（24-25七年级下·黑龙江佳木斯·阶段练习）如图，直线，若，则等于（   ） A． B． C． D． 【变式1】（23-24八年级上·天津宁河·期中）已知：如图所示， ， 交于点C， 垂足为E，   求 的大小． 【变式2】（2025·安徽滁州·三模）两个直角三角板如图摆放，其中，，，若是上一点且，则的大小为（    ） A． B． C． D． 【题型17】三角形内角和与平行线综合（综合提升） 【例题17】（24-25七年级下·重庆秀山·期末）如图，在三角形中，平分交于点，过点D作交于点E，平分交于点，点F为线段上一点．若，则 ；若，，则 ． 【变式1】（24-25七年级下·河南焦作·期末）如图所示的格线彼此平行．小航在格线中作已知角，探究角的两边与格线形成的锐角所满足的数量关系．他先作出，记与图中一条格线形成的锐角为，与图中另一条格线形成的锐角为． （1）如图1，点O在一条格线上，当时，_________；如图2，点O在两条格线之间，用等式表示与之间的数量关系，并说明理由； （2）在图3中，小航作射线，使得．记与图中的格线形成的锐角为，与图中格线形成的锐角为，请直接用等式表示与之间的数量关系． 【变式2】（24-25七年级下·四川绵阳·期末）一块木块静止在斜面上，其受力分析如图所示，重力的方向竖直向下，支持力的方向与斜面垂直，摩擦力的方向与斜面平行．若斜面的坡角，则摩擦力与重力方向的夹角大小是 ． 考点（十一）三角形的内角和定理+角平分线 【题型18】三角形内角和与角平分线综合（基础夯实） 【例题18】（25-26八年级上·全国·课后作业）如下图，，与的平分线相交于点P．求证：为直角三角形． 【变式1】（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，的三条角平分线的交点为点D，则（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级上·山东济宁·阶段练习）如图，中，平分平分，则 ． 【题型19】三角形内角和与角平分线综合（综合提升） 【例题19】（24-25八年级上·全国·期末）如图，在中，三个内角的平分线交于点，过点作，交边于点，的外角平分线与的延长线交于点． （1）求证：； （2）若，求的度数． 【变式1】（24-25七年级下·吉林长春·期中）如图，在中，、的角平分线交于点，将沿折叠使得点与点重合，若，则的度数是（    ） A．100° B．110° C．120° D．130° 【变式2】（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）如图，在中，是边上的高线，是一条角平分线，它们相交于点P已知，， 则的度数是 ． 考点（十二）直角三角形两锐角互余 【题型20】利用直角三角形两锐角互余求值证明（基础夯实） 【例题20】（24-25八年级上·全国·期末）如图，是的高，点E、F在、上，，，． （1）求的度数； （2）若，求证：． 【变式1】（24-25七年级下·全国·阶段练习）如图，，于，，则（    ）   A． B． C． D． 【变式2】（2025·广东韶关·三模）如图，已知在中，，，直线经过直角顶点，直线与边相交于点，且．若，则 ． 【题型21】】利用直角三角形两锐角互余求值证明（综合提升） 【例题21】（23-24七年级下·陕西榆林·阶段练习）已知：在中，平分交于点E，为边上的高，点F在的延长线上，过点F作于点G，且，求出的度数． 【变式1】（24-25八年级上·全国·期末）如图，在中，，于点D，平分，交于点E．若，则的度数为（　　）    A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级上·全国·课后作业）在中，，，点D在边上，连接．若为直角三角形，则的度数为 ． 考点（十三）三角形的外角性质 【题型22】三角形外角性质求值证明（基础夯实） 【例题22】（24-25七年级下·福建泉州·期末）如图，在中，，点D、E分别在边、上． （1）若，求证：； （2）若，求证：． 【变式1】（20-21八年级上·福建莆田·阶段练习）如图，是中的平分线，是的外角的平分线，如果，，则（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25七年级下·辽宁大连·阶段练习）如图，直线，在中，点在直线上，若，，则的度数为 ． 【题型23】三角形外角性质求值证明（综合提升） 【例题23】（24-25八年级上·全国·期末）已知：如图，与点O不重合的两点A、B分别在、上，平分，所在的直线与的平分线所在的直线相交于点C． （1）当点A、B分别在射线、上，且时，求的度数； （2）当点A、B分别在射线、上运动时，的大小是否发生变化？若不变，请给出证明；若发生变化，请求出的范围． 【变式1】（24-25八年级上·四川德阳·阶段练习）如图，中，，延长到D，与的平分线相交于点，与的平分线相交于点，依此类推，与的平分线相交于点，则的度数为（　　）． A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级上·全国·期末）如图，平分，交于点，若，，，则的度数为 ． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题 13.5 三角形 目录 考点（一）三角形及相关概念 2 【题型1】三角形的概念（基础夯实） 2 考点（二）三角形个数 3 【题型2】三角形的个数（基础夯实） 4 【题型3】三角形的个数（综合提升） 5 考点（三）三角形的分类 6 【题型4】三角形的分类（基础夯实） 6 【题型5】三角形的分类（综合提升） 8 考点（四）三角形的稳定性 9 【题型6】三角形的稳定性 10 考点（五）三角形三边关系 11 【题型7】三角形三边关系（基础夯实） 11 【题型8】三角形三边关系（综合提升） 12 考点（六）三角形的中线 14 【题型9】三角形的中线（基础夯实） 14 【题型10】三角形的中线（综合提升） 16 考点（七）三角形的高 18 【题型11】三角形的高（基础夯实） 18 【题型12】三角形的高（综合提升） 20 考点（八）三角形的角平分线 23 【题型13】三角形的角平分线（基础夯实） 23 【题型14】三角形的角平分线（综合提升） 25 考点（九）三角形的内角和定理的证明 28 【题型15】三角形内角和定理证明 28 考点（十）三角形的内角和定理+平行线 31 【题型16】三角形内角和与平行线综合（基础夯实） 31 【题型17】三角形内角和与平行线综合（综合提升） 33 考点（十一）三角形的内角和定理+角平分线 37 【题型18】三角形内角和与角平分线综合（基础夯实） 37 【题型19】三角形内角和与角平分线综合（综合提升） 39 考点（十二）直角三角形两锐角互余 41 【题型20】利用直角三角形两锐角互余求值证明（基础夯实） 41 【题型21】】利用直角三角形两锐角互余求值证明（综合提升） 43 考点（十三）三角形的外角性质 46 【题型22】三角形外角性质求值证明（基础夯实） 46 【题型23】三角形外角性质求值证明（综合提升） 48 考点（一）三角形及相关概念 【题型1】三角形的概念（基础夯实） 【例题1】（25-26八年级上·全国·课后作业）如图所示． （1）图中共有________个三角形，用符号表示为________________；其中以为边的三角形是________________；以为一个内角的三角形是________； （2）在中，的对边是________，的对角是________，与的公共边是________，公共角是________． 【答案】（1）5；，，，，；，，；，；（2）；；；（） 【分析】本题考查了三角形的基本概念，包括三角形的计数、表示方法、边与角的对应关系以及三角形间的公共边和公共角，解题的关键是熟练掌握三角形的相关定义并准确识别图形中的元素． （1）按一定顺序逐一识别图中的三角形，避免重复或遗漏；根据三角形的表示方法用符号写出所有三角形；依据“以为边”即边中包含的要求筛选三角形；根据“以为内角”即内角包含的要求筛选三角形． （2）在中，根据“角的对边是指该角不相邻的边”确定的对边；根据“边的对角是指该边不相邻的角”确定的对角；通过观察图形找出与共有的边和角． 解：（1）解：图中通过逐一识别可得共有5个三角形，用符号表示为，； 其中以为边的三角形是包含边的； 以为一个内角的三角形是内角有的． 故答案为：5． （2）在中的对边是不与相邻的边； 的对角是不与相邻的角； 通过观察图形可知与的公共边是，公共角是（或． 故答案为：． 【变式1】（25-26八年级上·全国·课后作业）下面是小航用三根火柴组成的图形，其中符合三角形的概念的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的定义，解题的关键是熟练记住定义. 根据三角形的定义进行判断即可. 解：因为三角形是由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所成的图形， 所以选项C符合题意. 故选： C． 【变式2】（23-24七年级下·全国·课后作业）如图，图中三角形的个数为 ；以为边的三角形是 ，以为一个内角的三角形是 ；在中，的对边是 ． 【答案】 ，， ，， 【分析】此题主要考查了三角形，关键是掌握三角形的相关概念． 根据三角形的概念：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形可得图中三角形的个数；根据组成三角形的线段叫做三角形的边；根据相邻两边组成的角叫做三角形的内角进行分析． 解：图中的三角形有、、、、、，共个；以为边的三角形有、、，以为一个内角的三角形是、、；中的对边是 故答案为：；；；． 考点（二）三角形个数 【题型2】三角形的个数（基础夯实） 【例题2】（2023八年级·全国·专题练习）如图，回答下列问题： （1）写出以为顶点的三角形； （2）写出为内角的三角形； （3）写出以为边的三角形． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）直接写出以为顶点的三角形即可； （2）直接写出以为内角的三角形即可； （3）直接写出以为边的三角形即可． 解：（1）解：以为顶点的三角形有：． （2）解：以为内角的三角形有：． （3）解：以为边的三角形有：． 【点拨】本题主要考查了三角形的定义、三角形的顶点、内角、边等知识点，理解三角形的定义是解答本题的关键． 【变式1】（24-25八年级上·云南曲靖·期中）如图，以点A为顶点的三角形有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】A 【分析】本题考查三角形的定义：由不共线的三条线段首尾相连围成的封闭图形是三角形．根据三角形的定义即可解答． 解：以点A为顶点的三角形有，，，，共4个． 故选：A 【变式2】（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，直角三角形共有 个． 【答案】3 【分析】根据直角三角形的定义，可知图中有一个大的直角三角形和两个小的直角三角形．本题考查直角三角形的定义，找到三角形并判断其有直角是解题关键． 解：如图， 直角三角形有：，共3个． 故答案为：3． 【题型3】三角形的个数（综合提升） 【例题3】（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，图中共有多少个三角形？请写出这些三角形，并指出所有以E为顶点的三角形． 【答案】图中共有7个三角形，分别为；以E为顶点的三角形有． 【分析】本题考查三角形的定义，掌握知识点是解题的关键． 根据三角形的定义，即可解答． 解：由图，可知 图中共有7个三角形，分别为；以E为顶点的三角形有． 【变式1】（24-25六年级上·山东泰安·期中）如图所示的是一个由几个小三角形拼成的大三角形，则该图中三角形的个数为（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】本题考查三角形的特征，熟练掌握三角形的特征是解题的关键； 根据三角形的特征即可求解； 解：根据图形观察，可以得到：一个小三角形有个，三个小三角形组成一个三角形有个，加上整个大三角形，共个； 故选：C 【变式2】．（24-25七年级上·江苏苏州·期中）如图，图①中有个三角形，在图①中的三角形内部（不含边界）取一点，连接该点与三角形的个顶点得到图②，图②中共有4个三角形．若在图②中的一个小三角形内部（不含边界）取一点，连接该点与该小三角形的个顶点得到图③．在虚线框中画出图③，图③中共有 个三角形．（写出所有可能的值） 【答案】或 【分析】本题考查了画三角形，根据题意画出图形即可求解，理解题意是解题的关键． 解：如图所示，共有两种情况： 由图可知，图③中共有或个三角形， 故答案为：或． 考点（三）三角形的分类 【题型4】三角形的分类（基础夯实） 【例题4】（23-24八年级下·湖南益阳·期末）在中，下列条件能说明是直角三角形的是（    ） A．， B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查三角形内角和定理，三角形按角分类，解题的关键是求出三角形中最大内角的度数． 利用三角形内角和定理，结合已知条件求出三角形的最大内角，即可判断． 解：A、∵，， ∴， 是锐角三角形，故此选项不符合题意． B、∵，， ∴， 是等边三角形，故此选项不符合题意． C、，， ， 是直角三角形，故此选项符合题意． D、∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， 是钝解三角形，故此选项不符合题意． 故选：C． 【变式1】（25-26八年级上·全国·课后作业）用A表示等边三角形，B表示等腰三角形，C表示三边都不相等的三角形．下列四个分类图中，能正确表示它们之间关系的是（   ） A．   B．   C．   D．   【答案】B 【分析】本题考查了三角形中各类三角形的概念，根据定义就能够找到它们彼此之间的包含关系. 三条边均不相等的三角形是不等边三角形；有两条边相等的三角形是等腰三角形；有三条边相等的三角形是等边三角形；根据概念就可找到它们之间的关系. 解：根据各类三角形的概念可知，B可以表示它们彼此之间的包含关系. 故选：B ． 【变式2】（25-26七年级上·山东青岛·开学考试）如图，，， ，三角形按角分是 三角形，按边分是 三角形． 【答案】 锐角 等边 【分析】本题考查了等边三角形的性质，三角形的分类，根据等边三角形的定义和三角形的分类解答即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 解：①∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ②三角形按角分是锐角三角形， ③按边分是等边三角形， 故答案为：，锐角，等边． 【题型5】三角形的分类（综合提升） 【例题5】（24-25八年级上·四川达州·期中）已知的三边长分别为，，，且，，，满足，试判断的形状． 【答案】为等腰三角形 【分析】本题考查非负性和三角形的分类，根据非负性求出的值，进而判断出的形状即可． 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰三角形． 【变式1】（23-24八年级上·河北唐山·阶段练习）适合条件的是（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．任意三角形 【答案】B 【分析】本题考查三角形内角和定理：三角形的内角和为．此题隐含的条件是三角形的内角和为，列方程，根据题中角的关系求解，再判断三角形的形状． 解：∵， ∴， ∵，即， ∴， ∴， ∴为直角三角形. 故选：B. 【变式2】（2024七年级下·上海·专题练习）已知的三个内角的比是，其中是大于1的正整数，那么按角分类应是 三角形． 【答案】锐角三角形 【分析】本题主要考查了三角形的内角和定理，注意结合方程思想解题，难度适中．设一个角为，则两外两个角为，，，根据三角形的内角和定理可列出方程，从而可得出各角的度数，继而可得出答案． 解：设一个的度数为，则两外两个角为，， 则：， 解得：，即可得三角分别为，，， 故答案为：锐角三角形． 考点（四）三角形的稳定性 【题型6】三角形的稳定性 【例题6】（24-25八年级下·湖北宜昌·期末）四边形具有不稳定性，从数学角度看不稳定性主要体现在（    ） A．内角可发生变化 B．边长发生变化 C．周长发生变化 D．内角和发生变化 【答案】A 【分析】四边形的不稳定性是指在边长固定的情况下，其形状可以发生改变，导致内角发生变化，而周长和内角和保持不变． 根据稳定性的变化逐一判断即可． 解：A：四边形边长固定时，通过调整形状，内角会改变，体现不稳定性，故A正确； B：不稳定性指边长固定时形状改变，边长本身不变，故B错误； C：周长是边长的总和，边长固定则周长不变，故C错误； D：四边形的内角和恒为，与形状无关，故D错误； 故选：A． 【变式1】（25-26八年级上·全国·单元测试）空调外机安装在墙上时，一般都会采用如图所示的方法固定，这利用了三角形具有 的特性． 【答案】稳定性 【分析】本题考查了三角形的稳定性，正确掌握三角形的这一性质是解题的关键．固定在墙上的方法是构造三角形支架，因而应用了三角形的稳定性． 解：空调外机安装在墙上时，一般都会采用如图所示的方法固定，这利用了三角形具有稳定性的特性． 故答案为：稳定性 ． 【变式2】（24-25九年级下·吉林白城·阶段练习）如图，这是某大桥桥身的一部分，桥身采用三角形钢筋构架，这其中蕴含的数学道理是（    ） A．两点确定一条直线 B．垂线段最短 C．三角形具有稳定性 D．三角形两边之和大于第三边 【答案】C 【分析】本题主要考查三角形的稳定性，理解图示，掌握三角形的性质是解题的关键．根据三角形具有稳定性求解即可． 解：根据题意可得，这其中蕴含的数学道理是三角形具有稳定性， 故选：C． 考点（五）三角形三边关系 【题型7】三角形三边关系（基础夯实） 【例题7】（2025八年级上·全国·专题练习）已知某三角形的三条边长分别为，，关于的不等式有且只有个正整数解，则a的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形三边关系，一元一次不等式的正整数解，掌握三角形两边之和大于第三边，结合不等式正整数解的个数确定参数范围是解题的关键． 根据三角形的三边关系得到，求得，由不等式有且只有3个正整数解，得到，于是得到结论． 解：三角形的三边长为，， ， ， 有且只有个正整数解，即有且只有 个正整数解， ， ， 的取值范围为 故答案为： ． 【变式1】（24-25七年级下·重庆江北·期末）以下列各组线段长为边，能构成三角形的是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】B 【分析】本题考查三角形三边关系，在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形，由此即可判断． 解：A、，不能构成三角形，故A不符合题意； B、，能构成三角形，故B符合题意； C、，不能构成三角形，故C不符合题意； D、，不能构成三角形，故D不符合题意． 故选：B． 【变式2】（24-25七年级下·内蒙古包头·期中）已知a，b，c是三角形的三边，化简 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的三边关系、化简绝对值和整式的加减，正确化简绝对值是解题的关键． 根据三角形三边关系得到，再化简绝对值，合并同类项即可求解． 解：∵，是一个三角形的三条边长， 故答案为：． 【题型8】三角形三边关系（综合提升） 【例题8】（24-25七年级下·辽宁盘锦·期末）设的三边分别为a，b，c，其中a，b满足，则最长边c的取值范围是 ． 【答案】 【分析】先根据非负数的性质求出a、b的值，再根据三角形三边的关系进行求解即可． 本题主要考查了非负数的性质，三角形三边的关系，解二元一次方程组，熟知三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边是解题的关键． 解：∵，且，， ∴， 解得， ∴，即， ∴， 故答案为：． 【变式1】（2025·湖北武汉·模拟预测）现有长为的铁丝，要截成小段（），每段的长度不小于，如果其中任意三小段都不能拼成三角形，则的最大值为（    ） A．9 B．10 C．11 D．12 【答案】B 【分析】本题主要考查了三角形的三边关系，即三角形的两边之和大于第三边，理解题意、列出每段铁丝的长度是解题关键． 根据三角形的三边关系，设最小的长度为，又因任意三小段都不能拼成三角形，得每段长度是，，，，，，，，，，，依此类推，总和不大于即可求解． 解：段之和为， 若要尽可能的大，则每段的长度尽可能的小， 每段的长度不小于，且其中任意三小段都不能拼成三角形， 这些小段的长度只可能分别是，，，，，，，，，，， ， ， 小段的长度分别为，，，，，，，，，， 的最大值为． 故选：B． 【变式2】（24-25七年级下·北京海淀·期末）定义：一个三角形的一边长是另一边长的2倍，这样的三角形叫作“倍长三角形”．若是“倍长三角形”，有两条边的长分别为4和6，则第三条边的长为 ． 【答案】3或8 【分析】本题考查三角形三边关系． 分四种情况，由三角形三边关系定理来判断，即可得到答案． 解：设三角形第三边的长是x， 由三角形三边关系定理得到， ∴， 若，则； 若，则； 若，则； 若，则； ∵， ∴三角形第三边的长是3或8． 故答案为：3或8． 考点（六）三角形的中线 【题型9】三角形的中线（基础夯实） 【例题9】（24-25七年级下·四川成都·期中）如图，，，分别为，，的中点，点为的重心．已知的面积为1，则的面积为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查三角形重心的定义，三角形中线的性质，熟练掌握三角形中线是解题关键．根据三角形中线的性质求解即可． 解：∵的面积为1，D，E，F分别为的中点， ∴，，， ∴， ∴， 同理 ∴的面积为， 故答案为：． 【变式1】（25-26八年级上·全国·单元测试）如图，在中，是边上的中点，，与的周长之差为2，则的长为（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【分析】本题考查了中点的定义及线段的和差，根据图中信息找到线段的关系是解题的关键． 根据中点的定义得出，再根据线段的和差即可得出，从而得出答案． 解：是边上的中点， ， 与的周长之差为2， ， 即， ， ， ， 故选C． 【变式2】（24-25七年级下·海南省直辖县级单位·期末）如图是一块面积为的三角形纸板，其中点分别是线段的中点，则阴影部分的面积是 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形面积，熟练掌握三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分． 根据每条中线将三角形分为面积相等的两部分，计算即可得到答案． 解：连接， ∵点D、E、F分别是线段的中点 ∴，，， ∴，，，，，， ∴被分为7个面积相同的三角形，中间阴影部分的三角形的面积是的，所以阴影部分的面积是． 故答案为：． 【题型10】三角形的中线（综合提升） 【例题10】（23-24八年级下·贵州毕节·阶段练习）已知等腰三角形底边为，一腰上的中线分此三角形的周长成两部分，其差为，则腰长为 ． 【答案】6或10/10或6 【分析】本题主要考查了等腰三角形的计算，正确理解分两种情况讨论是解题的关键． 由题意可知两部分之差可以是底边与腰之差，也可能是腰与底边之差，解答时应注意．设等腰三角形的腰长是，根据其中一部分比另一部分长2，列方程求解． 解：如图，设等腰三角形的腰长是． 当与的差是2时，即， 解得：， 10，10，8能够组成三角形，符合题意； 当与的差是2时，即， 解得：， 6，6，8能够组成三角形，符合题意． 综上所述，腰长是6或10． 故答案为：6或10． 【变式1】（24-25七年级下·重庆·期末）如图，已知D、E分别为的边的中点，为的中线，连接，若，则四边形的面积为（    ） A．5 B．10 C．15 D．20 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的中线等分面积问题，熟练掌握知识点是解题的关键． 根据三角形的中线等分面积得到，，再由四边形的面积求解即可． 解：连接， ∵为的中线， ∴为中点， ∴， ∴， ∵D为的边的中点， ∴， ∴四边形的面积为：， 故选：C． 【变式2】（24-25七年级下·江西吉安·期末）如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为，点A，B，C都是格点（小正方形的顶点），完成下列画图． （1）画出的重心P． （2）在已知网格中找出一个格点D，使与的面积相等． 【答案】（1）见分析；（2）见分析 【分析】本题考查了作图—应用与设计，三角形的面积，三角形的重心等知识，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）重心是三角形中线的交点，作的中线，交于点，点即为所求； （2）根据等高模型解决问题即可． 解：（1）解：如图，点即为所求， （2）解：如图，点或（）即为所求， ． 考点（七）三角形的高 【题型11】三角形的高（基础夯实） 【例题11】（24-25八年级上·广东肇庆·阶段练习）如图，，分别是的高，，，，求的长． 【答案】 【分析】本题考查的是等面积法的应用，由等面积法可得，再进一步计算即可. 解：，分别是的高， ∴， ∴， ，，， ∴， ∴． 【变式1】（24-25八年级上·福建莆田·阶段练习）中，如图选项正确画出边上的高的图形是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查画三角形的高，由三角形的高的定义可知，过点B作边上的垂线段即可． 解：A．不是边上的高，不合题意； B．不是边上的高，不合题意； C．不是边上的高，不合题意； D．是边上的高，符合题意； 故选D． 【变式2】（24-25七年级上·河南郑州·开学考试）【三角形的面积】如图，三角形的周长为40cm，P点为其内部一点，且点 P 到三边的距离均为3cm，则三角形的面积为 ． 【答案】60 【分析】此题考查求三角形的面积，过点P作，连接，得到，根据三角形的面积为计算即可． 解：过点P作，连接， ∵点 P 到三边的距离均为3cm， ∴， ∴三角形的面积为 故答案为：60． 【题型12】三角形的高（综合提升） 【例题12】（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，在中，于点为边上的中线．为中边上的高线．已知的面积为． （1）求与的周长之差； （2）求的长． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查三角形的中线，熟练掌握三角形的中线的定义，三角形的中线平分面积，是解题的关键； （1）根据三角形的中线的定义，推出与的周长之差为的长即可； （2）根据三角形的中线平分面积结合三角形的面积公式进行计算即可． 解：（1）解：∵为边上的中线， ∴， ∵， ∴与的周长之差为：； （2）∵为边上的中线，的面积为， ∴的面积为， ∵为中边上的高线， ∴， ∵， ∴． 【变式1】（25-26八年级上·全国·周测）如图，在中，是边上的高．在中，是边上的中线．若，且，则的值为（   ） A．16 B．24 C．28 D．32 【答案】D 【分析】本题考查了三角形中线和高的性质以及三角形的面积公式，根据三角形的中线平分三角形的面积求解是解题的关键. 先根据中线性质求出的面积，再根据求出的面积，再根据面积公式求出的值. 解：是边上的中线， ， 是边上的高线， 故选：D ． 【变式2】（24-25七年级下·四川泸州·阶段练习）如图，已知，，，，，则下列说法：点到直线的距离是；点到直线的距离是；点到直线的距离是；点到直线的距离是其中正确的序号有 ． 【答案】①②④ 【分析】根据面积法可得，然后再根据点到直线的距离的意义，逐一判断即可解答． 本题考查了三角形的面积，点到直线的距离，准确熟练地进行计算是解题的关键． 解：，， 的面积， ， ， 解得：， 点到直线的距离是， 故正确； 点到直线的距离是，故正确； 点到直线的距离是，故正确； 点到直线的距离是的长度，不是6，故不正确； 所以，上列说法，其中正确的序号有， 故答案为：． 考点（八）三角形的角平分线 【题型13】三角形的角平分线（基础夯实） 【例题13】（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，在中，于点D，平分，交于点F，，求证：． 【答案】见分析 【分析】本题考查了角平分线的定义，与高有关的计算题，对顶角相等，正确掌握相关性质内容是解题的关键．根据角平分线的定义，得，结合，，故，最后根据对顶角相等，则． 解：证明：∵平分， ∴． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． ∵， ∴． 【变式1】（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，折扇扇骨的A，B两点与扇钉C构成了，交扇骨和于D，E两点，，分别是，的角平分线，已知，则的度数为 ． 【答案】/度 【分析】本题考查的是三角形的角平分线的含义，根据三角形的角平分线的含义可得，再进一步求解即可． 解：∵，分别是，的角平分线， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为： 【变式2】（24-25七年级下·河南驻马店·期末）如图，，，分别是的中线、角平分线、高线，下列结论中错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三角形的高、角平分线和中线的定义，从三角形的一个顶点向对边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高．三角形一个内角的平分线与这个内角的对边交于一点，则这个内角的顶点与所交的点间的线段叫做三角形的角平分线．三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线，掌握定义是解题的关键．根据三角形的中线，角平分线，高的定义进而判断即可． 解：，，分别是的中线、角平分线、高线， ∴，，，故选项A、B正确，不合题意； ，故选项C正确，不合题意； 由与不一定相等，故选项D错误，符合题意． 故选：D． 【题型14】三角形的角平分线（综合提升） 【例题14】（24-25七年级下·陕西西安·阶段练习）把下列的推理过程补充完整，并在括号里填上推理的依据： 如图，，，是的角平分线．试说明：． 解：∵是的角平分线， ∴（___________）， 又∵（已知）， ∴（___________）， ∴___________（___________）， ∴（___________）， 又∵（已知）， ∴（___________）． ∴（___________）． 【答案】角平分线的定义；等量代换；；内错角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补；同角的补角相等；同位角相等，两直线平行 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，角平分线的定义，等角或同角的补角相等，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键．根据角平分线的定义得出，根据平行线的判定和性质得出，根据角的补角相等，得出，根据平行线的判定定理即可得出，即可得到答案． 解：∵是的角平分线， ∴（角平分线的定义）， 又∵（已知）， ∴（等量代换）， ∴（内错角相等，两直线平行）， ∴（两直线平行，同旁内角互补）， 又∵（已知）， ∴（同角的补角相等）． ∴（同位角相等，两直线平行）． 【变式1】（23-24七年级下·湖北武汉·阶段练习）如图，，将一副直角三角板作如下摆放，，下列结论：①；②；③；④平分．其中结论正确的序号是 ．    【答案】①②③ 【分析】本题主要考查三角形中的角度计算，邻补角的相关计算，平行线判定与性质，角平分线的定义，根据内错角相等两直线平行可对①进行判断；根据邻补角的相关计算可对②④进行判断；根据平行线的判定与性质对③进行判断 解：依题意，， ，故①对； 依题意，， ，故②对； 依题意，， 如图，过点G作，    ， ， ，， ， ， ， ，故③对； ， ， ，故④错， 故答案为：①②③． 【变式2】（24-25七年级下·全国·期末）如图，在中，，平分，，，下列四个结论中错误的是（     ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平行线的性质，角平分线的定义，直角三角形的两个锐角互余，等角的余角相等，解题的关键是熟练掌握相关知识． 由平行线的性质，结合角平分线的定义，可以判断选项，，根据直角三角形的两个锐角互余，等角的余角相等，可以判断选项，即可得符合题意的选项． 解：∵，， ∴， ∴选项不符合题意， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴选项不符合题意， 由已知无法得出， ∴选项符合题意， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴选项不符合题意， 故选：． 考点（九）三角形的内角和定理的证明 【题型15】三角形内角和定理证明 【例题15】（24-25七年级下·上海·阶段练习）古希腊七贤之一，著名哲学家泰勒斯（，公元前世纪）最早从拼图实践中发现了“三角形内角和等于”，但这种发现完全是经验性的，泰勒斯并没有给出严格的证明．之后古希腊数学家毕达哥拉斯、欧几里得、普罗科拉斯等相继给出了基于平行线性质的不同的证明．其中欧几里得利用辅助平行线和延长线，通过一组同位角和内错角证明了该定理．请同学们帮助欧几里得将证明过程补充完整． 已知：如图，在中，求证：． 证明：延长线段至点，并过点作． ， __________________ __________________ ． ____________． 【答案】； ；两直线平行，同位角相等 ； ； ；两直线平行，内错角相等 ；；； 【分析】本题考查了三角形内角和定理以及平行线的性质，牢记“两直线平行，同位角相等”及“两直线平行，内错角相等”是解题的关键． 由，利用平行线的性质，可得出，，结合，即可证出． 解：证明：延长线段至点，并过点作． ， （两直线平行，同位角相等）． （两直线平行，内错角相等）． ． ． 故答案为：；；两直线平行，同位角相等；；；两直线平行，内错角相等；；． 【变式1】（24-25八年级上·河北邢台·期末）下列证明“三角形的内角和等于180°”所作的辅助线不正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是平行线的判定和性质，三角形内角和，根据平行线性质对各选项进行逐一分析即可．熟知平行线的性质是解题的关键． 解：A、作，则可得， ，故该选项不符合题意； B、作，则可得， ，故该选项不符合题意； C、如图，过点作， ， 则可得，，， ， 故该选项不符合题意， D、添加图中辅助线不能说明“三角形的内角和等于180°”，故该选项符合题意， 故选：D． 【变式2】（24-25七年级下·陕西西安·期末）小刚同学想探究三角形内角和的度数，下面是他的探究过程：在的边上任取一点，过点作交于点，作交于点以下是他的推理过程，请你在横线上补充其推理过程或理由． 因为 所以 ______（理由：两直线平行同位角相等） （理由：______） 因为 所以 ______（理由：______） ______（理由：______） 因为 ______ 所以． 【答案】；两直线平行，内错角相等 ；；两直线平行，同位角相等；；两直线平行，同位角相等； 【分析】本题考查了平行线的性质，牢记各平行线的性质定理是解题的关键．由，利用平行线的性质，可得出，，由，利用平行线的性质，可得出，，结合，即可得出． 解：因为 所以理由：两直线平行，同位角相等 理由：两直线平行，内错角相等 因为 所以理由：两直线平行，同位角相等 理由：两直线平行，同位角相等 因为 所以． 故答案为：，两直线平行，内错角相等，，两直线平行，同位角相等，，两直线平行，同位角相等，． 考点（十）三角形的内角和定理+平行线 【题型16】三角形内角和与平行线综合（基础夯实） 【例题16】（24-25七年级下·黑龙江佳木斯·阶段练习）如图，直线，若，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是平行线的性质及三角形内角和定理，先求出，再根据三角形内角和求出结论即可． 解：如下图： ，， ， ， ， ， 故选：D． 【变式1】（23-24八年级上·天津宁河·期中）已知：如图所示， ， 交于点C， 垂足为E，   求 的大小． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质、对顶角、垂直定义、三角形内角和定理等知识点，根据平行线的性质得出，求出，即可求出，根据垂直求出，即可求出答案． 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式2】（2025·安徽滁州·三模）两个直角三角板如图摆放，其中，，，若是上一点且，则的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的性质，三角板的有关计算，由，，，则，，又，则，然后通过角度和差即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键 解：∵，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：． 【题型17】三角形内角和与平行线综合（综合提升） 【例题17】（24-25七年级下·重庆秀山·期末）如图，在三角形中，平分交于点，过点D作交于点E，平分交于点，点F为线段上一点．若，则 ；若，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，三角形内角和定理． 根据题意得，得到，得出，继而得到，得到，即可得到答案． 解：平分， ， ∵， ，， 平分， ， ， ， 即， ，， ， ， ， ， 故答案为：，． 【变式1】（24-25七年级下·河南焦作·期末）如图所示的格线彼此平行．小航在格线中作已知角，探究角的两边与格线形成的锐角所满足的数量关系．他先作出，记与图中一条格线形成的锐角为，与图中另一条格线形成的锐角为． （1）如图1，点O在一条格线上，当时，_________；如图2，点O在两条格线之间，用等式表示与之间的数量关系，并说明理由； （2）在图3中，小航作射线，使得．记与图中的格线形成的锐角为，与图中格线形成的锐角为，请直接用等式表示与之间的数量关系． 【答案】（1）；，理由见分析；（2）或． 【分析】（1）根据“两直线平行，同位角相等”，即可得答案；过O点作平行于格线，同理可得； （2）分两种情况讨论：射线在的内部射线在的外部． 解：（1）解：如图： 如图1：格线都互相平行，， ， ， ， ， 故答案为：； ， 证明：如图2：过O点作平行于格线， 格线都互相平行, ， ， ; （2）或， 理由： 当射线在的内部，如图： ， ， 格线都互相平行， , ， ， ； 当射线在的外部，如图： ， ， 格线都互相平行， , ， ． 综上所述：或． 【点拨】本题主要考查平行线的性质，三角形内角和定理，平角的定义，对顶角相等等知识点，灵活运用这些知识是解决本题的关键． 【变式2】（24-25七年级下·四川绵阳·期末）一块木块静止在斜面上，其受力分析如图所示，重力的方向竖直向下，支持力的方向与斜面垂直，摩擦力的方向与斜面平行．若斜面的坡角，则摩擦力与重力方向的夹角大小是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是平行线的性质，三角形的内角和，对顶角相等，直角三角形两锐角互余的应用； 根据，得，再，即可求解； 解：∵，如图； ∴ ∵， ∴ ∴ 故答案为： . 考点（十一）三角形的内角和定理+角平分线 【题型18】三角形内角和与角平分线综合（基础夯实） 【例题18】（25-26八年级上·全国·课后作业）如下图，，与的平分线相交于点P．求证：为直角三角形． 【答案】见分析 【分析】本题考查了平行线的性质、角平分线的定义，三角形内角和定理，熟练掌握这些定理是解题的关键.由,可知和互补，由角平分线定义可知，由三角形的内角和定理可得,从而证得结论. 解：证明：， ， 与的平分线相交于点P， ， ， 即为直角三角形． 【变式1】（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，的三条角平分线的交点为点D，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是三角形的内角和定理的应用，三角形的角平分线的含义，先证明，，，进一步利用三角形的内角和定理即可求解. 解：∵的三条角平分线的交点为点D， ∴，，， ∵， ∴； 故选：B 【变式2】（24-25八年级上·山东济宁·阶段练习）如图，中，平分平分，则 ． 【答案】 【分析】本题考查三角形中求角度，熟记三角形内角和定理及角平分线定义是解决问题的关键．先由角平分线定义得到，，在和中，由三角形内角和定理，数形结合求解即可得到答案． 解：平分平分， ，， 在中，，则， ， 在中，由三角形内角和定理可得， 故答案为：． 【题型19】三角形内角和与角平分线综合（综合提升） 【例题19】（24-25八年级上·全国·期末）如图，在中，三个内角的平分线交于点，过点作，交边于点，的外角平分线与的延长线交于点． （1）求证：； （2）若，求的度数． 【答案】（1）见分析；（2） 【分析】本题考查平行线的判定和性质，三角形内角和定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）已知，平分，平分，根据角平分线的定义得到的度数，根据内错角相等，两直线平行，即可判断本问结论； （2）根据两直线平行，内错角相等，可得，即可得到的度数，从而求出的度数；已知、分别为、的角平分线，根据角平分线的定义可得的度数，结合三角形内角和即可得到的度数． 解：（1）证明：∵，平分，平分， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴． ∵、分别为、的角平分线， ∴， ∴． 【变式1】（24-25七年级下·吉林长春·期中）如图，在中，、的角平分线交于点，将沿折叠使得点与点重合，若，则的度数是（    ） A．100° B．110° C．120° D．130° 【答案】B 【分析】本题考查三角形内角和定理及角平分线的定义，熟练掌握三角形的内角和是是解题关键．根据折叠得出，，再由三角形内角和和平角定义求出．根据三角形内角和定理可得，根据角平分线的定义可得由此即可得答案． 解：由折叠可知：，， ∴，． ∴， 又∵， ∴，即， ∵，，， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 【变式2】（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）如图，在中，是边上的高线，是一条角平分线，它们相交于点P已知，， 则的度数是 ． 【答案】 【分析】根据三角形内角和定理，得，根据对顶角相等，高线的定义，得，继而得到，得到，解答即可． 本题考查了三角形内角和定理，对顶角相等，高线的意义，角的平分线的定义，熟练掌握定理，角的平分线是解题的关键． 解：由，， 根据三角形内角和定理，得， 根据对顶角相等，高线的定义，得， 继而得到， 故， 故． 故答案为：． 考点（十二）直角三角形两锐角互余 【题型20】利用直角三角形两锐角互余求值证明（基础夯实） 【例题20】（24-25八年级上·全国·期末）如图，是的高，点E、F在、上，，，． （1）求的度数； （2）若，求证：． 【答案】（1）；（2）见分析． 【分析】本题考查平行线性质及判定，三角形内角和定理等知识，解题的关键是掌握以上知识点． （1）先利用三角形内角和定理求出，继而利用平行线性质得出本题结论； （2）证明出，然后得到，即可得到本题结论． 解：（1）解：∵在中，，， ∴， ∵， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∵是的高， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式1】（24-25七年级下·全国·阶段练习）如图，，于，，则（    ）   A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平行线的性质，垂直的定义，直角三角形的性质．先由平行线的性质得到，再由垂直的定义得到，最后由直角三角形两锐角互余即可求解． 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：B 【变式2】（2025·广东韶关·三模）如图，已知在中，，，直线经过直角顶点，直线与边相交于点，且．若，则 ． 【答案】/度 【分析】本题考查了直角三角形中两个锐角互余，平行线的性质，过点作，根据平行线的性质得出，结合，即可求解． 解：如图，过点作 ∴， ∵， ∴ ∴ 又∵，， ∴ ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【题型21】】利用直角三角形两锐角互余求值证明（综合提升） 【例题21】（23-24七年级下·陕西榆林·阶段练习）已知：在中，平分交于点E，为边上的高，点F在的延长线上，过点F作于点G，且，求出的度数． 【答案】 【分析】本题考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，直角三角形的两个锐角互余，平行线的性质．利用三角形内角和定理求出，利用角平分线的定义求出，再求出，得出，利用平行线的性质和判定即可求解． 解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵为边上的高， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 【变式1】（24-25八年级上·全国·期末）如图，在中，，于点D，平分，交于点E．若，则的度数为（　　）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是直角三角形的性质，先根据直角三角形的性质求出，再根据角平分线的定义求出，根据直角三角形的性质计算即可． 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， 在中，，， ∴， 故选：C． 【变式2】（25-26八年级上·全国·课后作业）在中，，，点D在边上，连接．若为直角三角形，则的度数为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了三角形的内角和定理．当为直角三角形时，存在两种情况：或，根据三角形的内角和定理或直角三角形的两锐角的关系可得结论． 解：分两种情况： 如图①，当时，． ， ． 如图②，当时， ， ， ． 综上所述，的度数为或． 考点（十三）三角形的外角性质 【题型22】三角形外角性质求值证明（基础夯实） 【例题22】（24-25七年级下·福建泉州·期末）如图，在中，，点D、E分别在边、上． （1）若，求证：； （2）若，求证：． 【答案】（1）见分析；（2）见详解 【分析】本题考查了三角形的外角性质；熟练掌握三角形的外角性质是解决问题． （1）先整理得，根据三角形外角的性质得出，整理得，即可得出结论； （2）先根据三角形外角的性质得出，，再根据，即可得出结论． 解：（1）证明：∵， ∴ 是的外角， ， 即：， ∴ 即 （2）解：，， ． ， ， 又∵， ， 【变式1】（20-21八年级上·福建莆田·阶段练习）如图，是中的平分线，是的外角的平分线，如果，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查三角形外角性质以及角平分线的定义，解题的关键是掌握一个三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和． 根据角平分线的定义得到，，然后根据三角形外角的性质求解即可． 解：∵是中的平分线，是的外角的平分线， ∴，， ∴． 故选：A． 【变式2】（24-25七年级下·辽宁大连·阶段练习）如图，直线，在中，点在直线上，若，，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形外角的定义及性质，由平行线的性质可得，再根据三角形外角的定义及性质计算即可得解． 解：如图： ∵， ∴， ∵，， ∴， 故答案为：． 【题型23】三角形外角性质求值证明（综合提升） 【例题23】（24-25八年级上·全国·期末）已知：如图，与点O不重合的两点A、B分别在、上，平分，所在的直线与的平分线所在的直线相交于点C． （1）当点A、B分别在射线、上，且时，求的度数； （2）当点A、B分别在射线、上运动时，的大小是否发生变化？若不变，请给出证明；若发生变化，请求出的范围． 【答案】（1）；（2）不变， 【分析】本题考查了角平分线的定义，三角形的外角性质，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确地得到角的关系． （1）由题意，先求出，由角平分线的定义，求出，，由三角形外角的性质，即可求出答案； （2）由三角形的外角性质，得，再根据角平分线的定义即可求出答案． 解：（1）解：∵，即，， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴． （2）解：的大小不会发生变化，理由如下： ∵平分，平分， ∴，， ∴， ． 【变式1】（24-25八年级上·四川德阳·阶段练习）如图，中，，延长到D，与的平分线相交于点，与的平分线相交于点，依此类推，与的平分线相交于点，则的度数为（　　）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查角平分线的定义、三角形内角与外角的性质等知识点，弄清角之间的关系成为解题的关键． 利用角平分线的定义和三角形内角与外角的性质计算即可． 解：∵与的平分线相交于点， ∴，， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴，即； 同理：， ， …… ． 故选A． 【变式2】（24-25八年级上·全国·期末）如图，平分，交于点，若，，，则的度数为 ． 【答案】/60度 【分析】本题考查三角形外角的性质和角平分线的定义，解题的关键是掌握三角形外角的性质和角平分线的定义． 作射线，根据三角形外角的性质和角平分线的定义，再结合题意，即可得到答案． 解：作射线，如图， 由三角形外角的性质得到：， 又，，， 则， 平分， ， ， 即． 故答案为：． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$