第22章二次函数同步训练2025-2026学年人教版数学九年级上册

第22章二次函数同步训练2025-2026学年 人教版九年级上册 一、选择题 1．下列函数中①；②；③；④，是二次函数的有（） A．①② B．②④ C．②③ D．①④ 2．若二次函数的图象经过点，则必在该图象上的点还有（　　） A． B． C． D． 3．下列函数关系中，可以看作二次函数（）模型的是（　　） A．在一定的距离内汽车的行驶速度与行驶时间的关系 B．我国人口年自然增长率为1%，这样我国人口总数随年份的变化关系 C．竖直向上发射的信号弹，从发射到落回地面，信号弹的高度与时间的关系（不计空气阻力） D．圆的周长与圆的半径之间的关系 4．将二次函数化为的形式，结果为（     ） A． B． C． D． 5.已知，点，，在二次函数图象上，则，，的大小关系是（       ） A． B． C． D． 6．若关于的二次函数的图象与轴有两个公共点，则的取值范围是（　　） A． B． C．且 D． 7．平移二次函数的图象，使其顶点落在第二象限，且顶点到轴的距离为2，到轴的距离为3，则平移后二次函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 8.一次函数与二次函数在同一坐标系中的图象大致为（ ） A． B． C． D． 9．一个容器内盛满纯酒精，第一次倒出若干千克纯酒精后加入同千克的水；第二次又倒出相同千克的酒精溶液，这时容器内酒精溶液含纯酒精，设每次倒出的，则与之间的函数关系式为（ ） A． B． C． D． 10．如图，抛物线（）的对称轴为直线，与x轴的一个交点坐标为（，0），其部分图象如图所示，下列结论；①；②方程的两个根是，；③；④当时，x的取值范围是；⑤当时，y随x增大而增大，其中结论正确的个数是（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 二、填空题 11．抛物线y＝﹣x2+2x﹣1的图象与x轴交点的个数是　 　． 12.若抛物线y=x2+bx+经过点A（0，5），B（4，5），则其对称轴是直线______ 13．已知二次函数 ，当x＞0时，y随x的增大而　 　（填“增大”或“减小”） 14.已知二次函数（为常数）的图象与轴的一个交点为，则关于的一元二次方程的两实数根是________． 15．如图所示，在同一坐标系中，作出①y＝a1x2，②y＝a2x2，③y＝a3x2的图象，比较a1，a2，a3的大小是 ． 16．如图，某广场有一喷水池，水从地面喷出，以水平地面为x轴，出水点为原点，建立平面直角坐标系，水在空中划出的曲线是抛物线y＝﹣2x2+8x（单位：米）的一部分，则水喷出的最大高度是　 　米． 三、解答题 17.如图，二次函数图象经过点、、． （1）求此二次函数的解析式； （2）观察函数图象，试直接写出时，的取值范围． 18.如图，人工喷泉有一个竖直的喷水枪AB，喷水口A距地面2.25m，喷泉水流的运动路线是抛物线，水流的最高点P到喷水枪AB所在直线的距离为1m，且到地面的距离为3m，以B点为原点，地面水平线和AB所在的直线为x，y轴建立平面直角坐标系，求水流的落地点C到水枪底部B的距离． 19.为加强学生的素质教育，让学生看到自己的劳动成果，某中学围建了一个如图所示的矩形苗圃园让学生种菜，苗圃园其中一边靠墙，可利用的墙长不超过16，另外三边由36长的栅栏围成，设矩形空地中，垂直于墙的边，面积为（如图）． (1)求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围； (2)当为何值时，有最大值？最大值是多少？ 20.广东省全力实施“百县千镇万村高质量发展工程”，2024年农产品进出口总额居全国首位，其中荔枝鲜果远销欧美．某果商以每吨2万元的价格收购早熟荔枝，销往国外．若按每吨5万元出售，平均每天可售出100吨．市场调查反映：如果每吨降价1万元，每天销售量相应增加50吨．该果商如何定价才能使每天的“利润”或“销售收入”最大？并求出其最大值．（题中“元”为人民币） 21.如图，关于x的二次函数y＝x2＋bx＋c的图象与x轴交于点A（1，0）和点B，与y轴交于点C（0，3），抛物线的对称轴与x轴交于点D． (1)求二次函数的解析式． (2)有一个点M从点A出发，以每秒1个单位的速度在AB上向点B运动，另一个点N从点D与点M同时出发，以每秒2个单位的速度在抛物线的对称轴上运动，当点M到达点B时，点M、N同时停止运动，问点M、N运动到何处时，△MNB面积最大，试求出最大面积． (3)在y轴上是否存在一点P，使△PBC为等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标，若不存在请说明理由． 【答案】 一、选择题 1．下列函数中①；②；③；④，是二次函数的有（） A．①② B．②④ C．②③ D．①④ 【答案】B 2．若二次函数的图象经过点，则必在该图象上的点还有（　　） A． B． C． D． 【答案】A 3．下列函数关系中，可以看作二次函数（）模型的是（　　） A．在一定的距离内汽车的行驶速度与行驶时间的关系 B．我国人口年自然增长率为1%，这样我国人口总数随年份的变化关系 C．竖直向上发射的信号弹，从发射到落回地面，信号弹的高度与时间的关系（不计空气阻力） D．圆的周长与圆的半径之间的关系 【答案】C 4．将二次函数化为的形式，结果为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 5.已知，点，，在二次函数图象上，则，，的大小关系是（       ） A． B． C． D． 【答案】B 6．若关于的二次函数的图象与轴有两个公共点，则的取值范围是（　　） A． B． C．且 D． 【答案】C 7．平移二次函数的图象，使其顶点落在第二象限，且顶点到轴的距离为2，到轴的距离为3，则平移后二次函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 8.一次函数与二次函数在同一坐标系中的图象大致为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 9．一个容器内盛满纯酒精，第一次倒出若干千克纯酒精后加入同千克的水；第二次又倒出相同千克的酒精溶液，这时容器内酒精溶液含纯酒精，设每次倒出的，则与之间的函数关系式为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 10．如图，抛物线（）的对称轴为直线，与x轴的一个交点坐标为（，0），其部分图象如图所示，下列结论；①；②方程的两个根是，；③；④当时，x的取值范围是；⑤当时，y随x增大而增大，其中结论正确的个数是（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】A 二、填空题 11．抛物线y＝﹣x2+2x﹣1的图象与x轴交点的个数是　 　． 【答案】1 12.若抛物线y=x2+bx+经过点A（0，5），B（4，5），则其对称轴是直线______ 【答案】 13．已知二次函数 ，当x＞0时，y随x的增大而　 　（填“增大”或“减小”） 【答案】增大 14.已知二次函数（为常数）的图象与轴的一个交点为，则关于的一元二次方程的两实数根是________． 【答案】， 15．如图所示，在同一坐标系中，作出①y＝a1x2，②y＝a2x2，③y＝a3x2的图象，比较a1，a2，a3的大小是 ． 【答案】a1＞a2＞a3 16．如图，某广场有一喷水池，水从地面喷出，以水平地面为x轴，出水点为原点，建立平面直角坐标系，水在空中划出的曲线是抛物线y＝﹣2x2+8x（单位：米）的一部分，则水喷出的最大高度是　 　米． 【答案】8 三、解答题 17.如图，二次函数图象经过点、、． （1）求此二次函数的解析式； （2）观察函数图象，试直接写出时，的取值范围． 【答案】 [小问1详解] 解：二次函数图象经过点、、， ， 解得：， 二次函数的解析式为：； 【小问2详解】 解：由图象可得：当时，的取值范围为：或． 18.如图，人工喷泉有一个竖直的喷水枪AB，喷水口A距地面2.25m，喷泉水流的运动路线是抛物线，水流的最高点P到喷水枪AB所在直线的距离为1m，且到地面的距离为3m，以B点为原点，地面水平线和AB所在的直线为x，y轴建立平面直角坐标系，求水流的落地点C到水枪底部B的距离． 设抛物线的解析式为y=a(x−1) 2+3. 把A(0 , 2.25)代入解得a=−0.75； 所以y=−0.75 (x−1) 2+3 当y=0时，−0.75 (x−1) 2+3=0 解得x1=−1（舍），x2=3 所以水流的落地点C到水枪底部B的距离为3m. 19.为加强学生的素质教育，让学生看到自己的劳动成果，某中学围建了一个如图所示的矩形苗圃园让学生种菜，苗圃园其中一边靠墙，可利用的墙长不超过16，另外三边由36长的栅栏围成，设矩形空地中，垂直于墙的边，面积为（如图）． (1)求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围； (2)当为何值时，有最大值？最大值是多少？ 【答案】（1）解：根据题意，垂直于墙的边，则， ∴矩形的面积， 又∵， ∴， ∴与之间的函数关系式为； （2）∵， ∴当时，有最大值，且符合题意， 答：当时，y有最大值，最大值是160． 20.广东省全力实施“百县千镇万村高质量发展工程”，2024年农产品进出口总额居全国首位，其中荔枝鲜果远销欧美．某果商以每吨2万元的价格收购早熟荔枝，销往国外．若按每吨5万元出售，平均每天可售出100吨．市场调查反映：如果每吨降价1万元，每天销售量相应增加50吨．该果商如何定价才能使每天的“利润”或“销售收入”最大？并求出其最大值．（题中“元”为人民币） 【答案】解：设每吨降价x万元，每天的利润为w万元， 由题意得， ， ∵， ∴当时，w有最大值，最大值为， ∴， 答：当定价为万元每吨时，利润最大，最大值为万元． 21.如图，关于x的二次函数y＝x2＋bx＋c的图象与x轴交于点A（1，0）和点B，与y轴交于点C（0，3），抛物线的对称轴与x轴交于点D． (1)求二次函数的解析式． (2)有一个点M从点A出发，以每秒1个单位的速度在AB上向点B运动，另一个点N从点D与点M同时出发，以每秒2个单位的速度在抛物线的对称轴上运动，当点M到达点B时，点M、N同时停止运动，问点M、N运动到何处时，△MNB面积最大，试求出最大面积． (3)在y轴上是否存在一点P，使△PBC为等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标，若不存在请说明理由． (1) 解：把A（1，0）和C（0，3）代入y＝x2+bx+c，得， 解得：， ∴二次函数的表达式为：y＝x2﹣4x+3； (2) 解：如图1，设A运动时间为t，由AB＝2，得BM＝2﹣t，则DN＝2t， ∴S△MNB（2﹣t）×2t＝﹣t2+2t＝﹣（t﹣1）2+1， ∴时S△MNB值最大 ∴当M点坐标为（2，0），N点坐标为（2，2）或（2，﹣2）时△MNB面积最大，最大面积是1； (3) 解：令y＝0，则x2﹣4x+3＝0， 解得：x＝1或x＝3， ∴B（3，0）， ∴BC＝3， 点P在y轴上，当△PBC为等腰三角形时分三种情况进行讨论：如图2， ①当CP＝CB时，PC＝3， ∴OP＝OC+PC＝3+3或OP＝PC﹣OC＝33 ∴P1（0，3+3），P2（0，3﹣3）； ②当BP＝BC时，OP＝OB＝3， ∴P3（0，﹣3）； ③当PB＝PC时， ∵OC＝OB＝3， ∴此时P与O重合， ∴P4（0，0）； 综上所述，点P的坐标为：（0，3+3）或（0，3﹣3）或（0，﹣3）或（0，0）． 学科网（北京）股份有限公司 $$