精品解析：安徽省亳州市2023—2024学年九年级上学期期中学业水平监测数学试题

2023—2024学年九年级上学期期中学业水平监测 数学 （试题卷） 注意事项： 1．你拿到的试卷满分为150分，考试时间为120分钟； 2．试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分，请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题是无效的； 3．考试结束后，请将“试题卷”和“答题卷”一并交回． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）每小题都给出A、B、C、D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的． 1. 已知⊙O的半径是3cm，则⊙O中最长的弦长是（　 　） A. 3cm B. 6cm C. 1.5cm D. cm 【答案】B 【解析】 【分析】根据圆中最长的弦是直径，且直径的长是半径长的2倍可得答案． 【详解】解：∵⊙O的半径是3cm， ∴⊙O中最长的弦，即直径的长为6cm， 故选：B 【点睛】本题主要考查圆的认识，解题的关键是掌握连接圆上任意两点的线段叫弦，经过圆心的弦叫直径，直径是圆内最长的弦． 2. 下列图形中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形，把一个图形绕着一个点旋转后可以与自身重合，这个图形就是中心对称图形，解决本题的关键是根据中心对称图形的定义进行判断． 【详解】解：A选项：把这个图形绕任何一点旋转都不能与自身重合， 这个图形不是中心对称图形， 故A选项不符合题意； B选项：把这个图形绕任何一点旋转都不能与自身重合， 这个图形不是中心对称图形， 故B选项不符合题意； C选项：把这个图形绕着圆心旋转后，可以与自身重合， 这个图形是中心对称图形， 故C选项符合题意； D选项：把这个图形绕任何一点旋转都不能与自身重合， 这个图形不是中心对称图形， 故D选项不符合题意． 故选：C． 3. 若关于的一元二次方程没有实数根，则的取值范围是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根的判别式，解题的关键在于熟练掌握一元二次方程的根的判别式进行求解． 先根据一元二次方程的根的判别式列出关于的不等式，求出的取值范围即可． 【详解】解：关于的一元二次方程没有实数根， ，即， 解得：， 的取值范围是， 故选：C． 4. 将抛物线先向左平移个单位，再向下平移个单位，得到的抛物线的函数表达式为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图像的平移，根据二次函数图像平移规律“左加右减，上加下减”进行计算即可求解．根据抛物线的函数表达式可知：抛物线的顶点坐标是，根据抛物线平移的方向和距离，可知平移后的抛物线的顶点是，利用顶点坐标式写出平移后的抛物线的函数表达式即可． 【详解】解：抛物线的顶点坐标是， 抛物线先向左平移个单位，再向下平移个单位， 得到的新抛物线的顶点坐标是， 平移后的抛物线的函数表达式是， 整理可得：． 故选：B． 5. 某种药品原价为289元，在连续进行两次降价后价格调整为256元，设平均每次降价的百分率为，则下面所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程应用，根据原价现价，列出方程即可．找准等量关系，是解题的关键． 【详解】解：设平均每次降价的百分率为，由题意，得：； 故选C． 6. 若直线经过第一、三、四象限，则抛物线的顶点必在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一次函数与二次函数的性质，解题的关键是掌握直线性质和抛物线顶点式的运用；由直线经过第一、三、四象限，可判断的符号，再由抛物线得到顶点坐标为，由的符号即可判断顶点所在的象限． 【详解】解：∵直线经过第一、三、四象限， ∴， ∴， ∴抛物线的顶点必在第四象限， 故选：D． 7. 如图，将矩形绕点顺时针旋转到矩形的位置，旋转角为若，则的大小是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先利用旋转的性质得到，，再利用四边形内角和计算出，然后利用互余计算出，从而得到的值． 【详解】解：矩形绕点顺时针旋转到矩形的位置， ，， ， ， 而， ， ， 即． 故选：C． 【点睛】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等． 8. 已知函数，并且，是方程的两个根，则实数，，，的大小关系可能是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了抛物线与轴的交点，理解抛物线与轴的交点情况和方程的解的关系是解题的关键．根据抛物线与轴的交点情况和方程的解的关系求解． 【详解】解：由题意得：、是函数与轴的两个交点的横坐标， 而、是函数与轴的两个交点的横坐标， 与的形状相同，开口向下， 且的图象向下平移2个单位得到， ， 故选：D． 9. 如图，、为的两条弦，的半径为r，，，连接、，与交于点H，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设圆心为O，连接、、、、，证明是等边三角形，则，得到，证明是直角三角形，，得到，根据三角形内角和定理得到的度数． 【详解】解：设圆心为O，连接、、、、， ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴是直角三角形，， ∴， ∴， 故选：B 【点睛】此题考查了圆周角定理、勾股定理的逆定理、等边三角形的判定和性质等知识，熟练掌握圆周角定理是解题的关键． 10. 如图，等边的边长为，直线l经过点A且直线，直线l从点A出发沿以的速度向点C移动，直到经过点C即停止，直线l分别与或交于点M，与交于点N，若的面积为，直线l的移动时间为，则下面最能反映y与x之间函数关系的大致图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的性质、相似三角形的判定与性质、二次函数的应用等知识，根据直线的位置分两种情况讨论是解题关键．过点作于点，先求出，，，再分两种情况：①和②，利用相似三角形的判定与性质可求出与之间的函数关系式，然后根据二次函数的图象特点即可得． 【详解】解：过点作于点， ∵等边的边长为， ∴，， ∴， ， 直线， ， 由题意得：， ， 如图1，当时， ， ，即， 解得，此函数图象是开口向上的抛物线的一部分； 如图2，当时， ， ，即， 解得， ，此函数图象是开口向下的抛物线的一部分； 观察四个选项可知，只有选项C符合题意， 故选：C． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 若关于的一元二次方程的两个根分别为与，则的值为_________． 【答案】2 【解析】 【分析】根据题意可得，然后进行计算即可解答． 【详解】解：由题意得： ， ， ， 故答案为：2． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解，熟练掌握解一元二次方程的解是解题的关键． 12. 若点与点关于原点中心对称，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据“关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数”列方程求出的值，然后代入计算即可得解． 【详解】解：∵点与点关于原点中心对称， ∴，， 解得，， ∴， 故答案为：． 【点睛】此题考查了关于原点对称的点的坐标，利用关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数得出的值是解题的关键． 13. 如图1是某地公园的一座抛物线型拱桥，按如图2所示建立坐标系，得到函数，在正常水位时水面宽米，当水位上升5米时，则水面宽______米． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次函数的应用，根据正常水位时水面宽米，求出当时，再根据水位上升5米时，代入解析式求出x即可． 【详解】解：∵米， ∴当时，， 当水位上升5米时，， 把代入得，， 解得， 此时水面宽米， 故答案为：． 14. 如图，在中，，，点为上一点，作交于点，点关于的对称点为点，以为半径作恰好经过点，并交直线于点，． （1）点到的距离为________； （2）的值为________． 【答案】 ①. 4 ②. 【解析】 【分析】本题考查垂径定理，解直角三角形，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． （1）如图，连接并延长交于点，先得出，求出，根据勾股定理即可得出答案； （2）连接．记与的交点为，设，根据勾股定理得出，得出，再求出，再根据勾股定理得出答案即可． 【详解】（1）如图，连接并延长交于点， ∵，两点关于对称， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， ∴点到的距离为4； 故答案为：4； （2）如图，连接．记与的交点为， 设， 在中，， 解得， ∴， ∵，两点关于对称， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 按要求解方程： （1）（因式分解法）； （2）（配方法）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查了解用因式分解法和配方法解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握相关解题方法． （1）根据因式分解法把原方程转化为，再化为两个一次方程，进而解方程即可； （2）根据配方法把原方程转化为，再化为两个一次方程，进而解方程即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴，． 【小问2详解】 解∶ ∵， ∴，即， ∴， ∴，． 16. 已知二次函数的图象经过，，求该二次函数的解析式． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，解题的关键是熟练掌握待定系数法．根据点在抛物线上，将，代入得方程组，求解即可． 【详解】解：将，分别代入 得， 解得， ∴该二次函数的解析式为． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 如图，在边长为1的正方形组成的网格中建立直角坐标系，的顶点均在格点上，点，，的坐标分别是，，． （1）将向下平移4个单位长度，则点的对应点的坐标为________； （2）将绕点逆时针旋转后得到，请在图中作出． 【答案】（1） （2） 如图： 【解析】 【分析】本题考查作图——旋转变换，平移的性质，熟练掌握平移和旋转的性质是解答本题的关键． （1）由平移的性质可得答案； （2）根据旋转的性质作图即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴点的对应点的坐标为． 故答案为：． 【小问2详解】 解：∵，，，绕点逆时针旋转， ∴． 18. 如图，线段上有一点，以为圆心，为半径作圆，A是上一点，连接交于点，连接，若，且，求的度数． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰三角形性质，圆周角定理推论，三角形内角和定理，圆的内接四边形性质等，作出合适的辅助线是解决本题的关键。 设与相交于点，连接，利用条件求出的度数，再利用圆周角定理求出的度数，用圆内接四边形性质计算的度数，最后用三角形外角性质求即可。 【详解】解：如图，设与相交于点，连接． ， ， ． 是的直径， ， ， 四边形是的内接四边形， ， ． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 我们定义两个不相交的函数图象在竖直方向上的最短距离为这两个函数的“和谐值”． (1)求抛物线y＝x2﹣2x+2与x轴的“和谐值”； (2)求抛物线y＝x2﹣2x+2与直线y＝x﹣1的“和谐值”． 【答案】(1)抛物线y＝x2﹣2x+2与x轴的“和谐值”为1；(2)抛物线y＝x2﹣2x+3与直线y＝x﹣1的“和谐值”为． 【解析】 【分析】（1）根据题意将抛物线化成顶点式，找到函数最值即可求解；（2）取P点为抛物线y＝x2﹣2x+2任意一点，作PQ∥y轴交直线y＝x﹣1于Q，分析PQ的长度，得到二次函数解析式，求其顶点坐标即可. 【详解】(1)∵y＝(x﹣1)2+1， ∴抛物线上的点到x轴的最短距离为1， ∴抛物线y＝x2﹣2x+2与x轴的“和谐值”为1； (2)如图，P点为抛物线y＝x2﹣2x+2任意一点，作PQ∥y轴交直线y＝x﹣1于Q， 设P(t，t2﹣2t+2)，则Q(t，t﹣1)， ∴PQ＝t2﹣2t+2﹣(t﹣1)＝t2﹣3t+3＝(t﹣)2+， 当t＝时，PQ有最小值，最小值为， ∴抛物线y＝x2﹣2x+3与直线y＝x﹣1的“和谐值”为． 【点睛】充分理解题意“和谐值”的含义即函数最值的绝对值是本题的解题关键. 20. 如图，中两条互相垂直的弦交于点． （1），的半径为10，求弦的长； （2）过点作交于点，求证：． 【答案】（1）16 （2） 证明：如图，连接， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 【解析】 【分析】本题考查的是等腰三角形的性质、垂径定理及勾股定理，垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧． （1）连接，由垂径定理和勾股定理可得答案； （2）连接，由垂直的定义及等腰三角形的性质可得结论． 【小问1详解】 解：如图，连接， ， 过圆心， ， 由勾股定理得，， ， 即：； 【小问2详解】 略 六、（本题满分12分） 21. 如图，一个边长为的正方形花坛由4块全等的小正方形组成．在小正方形中，点分别在上，且，在，五边形三个区域上种植不同的花卉，每平方米的种植成本分别是20元、20元、10元． （1）五边形的面积为_________．（结果用含有x的代数式表示） （2）当为何值时，大正方形花坛种植花卉所需的总费用是715元？ 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查列代数式，一元二次方程的实际应用．正确的识图，准确的列出代数式和方程，是解题的关键． （1）利用分割法求面积，列出代数式即可； （2）根据题意，列出一元二次方程进行求解即可． 【小问1详解】 解：由题意和图可知：小正方形的边长为， ∵， ∴， ∴五边形的面积为； 故答案为：； 【小问2详解】 由题意，得：， 整理，得：， 解得：； ∴当时，大正方形花坛种植花卉所需的总费用是715元 七、（本题满分12分） 22. 已知抛物线． （1）若该抛物线与x轴有交点，求实数m的取值范围； （2）当时，若该抛物线与x轴交于点A和点B（点A在点B的左侧）． ①求A，B两点的坐标； ②若该抛物线的顶点为D，且与y轴的交点为C，试判断是否是直角三角形，并说明理由． 【答案】（1） （2）①点A的坐标为，点B的坐标为； ②不是直角三角形．理由： 当时，， ∴点C的坐标为， 又， ∴点D的坐标为． ∵，， ， ∴， ∴不是直角三角形． 【解析】 【分析】（1）先得到关于x的一元二次方程有实数根，得到，求解即可． （2）当时，， ①令，得，求出，，即可解答； ②先求出点C的坐标为，抛物线的顶点D的坐标为，再分别求出，，，根据勾股定理的逆定理进行判断即可． 【小问1详解】 解：∵该抛物线与x轴有交点， ∴有实数根， ∴， 解得． 【小问2详解】 解：当时，， ①令，得， 解得，， ∵点A在点B的左侧， ∴点B的坐标为，点A的坐标为； ②略 【点睛】本题考查了二次函数图象与x轴的交点问题，一元二次方程，勾股定理的逆定理，直角三角形的判定，掌握二次函数图象的性质是解题的关键． 八、（本题满分14分） 23. 如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，点F 是CD延长线上的一点，且AD平分∠BDF，AE⊥CD于点E. ⑴ 求证：AB＝AC. ⑵ 若BD＝11，DE＝2，求CD的长. 【答案】⑴ 证明见解析⑵ 7 【解析】 【详解】试题分析：（1）同弧所对圆周角相等∠BCA=∠ADB,四边形的外接圆性质，可以得∠ADF=∠ABC,利用AD平分∠BDF,可以得到AB=AC. (2)试题解析：过A作BD的垂线于G，构造两个全等三角形， GD＝ED,BG＝CE ,可得CD长. 试题解析： ⑴ ∵ AD平分∠BDF ， ∴ ∠ADF＝∠ADB， ∵ ∠ABC＋∠ADC＝180°，∠ADC＋∠ADF＝180°， ∴ ∠ADF＝∠ABC, ∵ ∠ACB＝∠ADB, ∴ ∠ABC＝∠ACB, ∴ AB＝AC . ⑵ 过点A作AG⊥BD，垂足为点G. ∵ AD平分∠BDF，AE⊥CF，AG⊥BD. ∴ AG＝AE，∠AGB＝∠AEC＝90°， 在Rt△AED和Rt△AGD中, , ∴ Rt△AED≌Rt△AGD（HL）, ∴ GD＝ED＝2, 在Rt△AEC和Rt△AGB中, , ∴ Rt△AEC≌Rt△AGB（HL）, ∴ BG＝CE , ∵ BD＝11, ∴ BG＝BD－GD＝11－2＝9 . ∴ CE＝BG＝9. ∴ CD＝CD－DE＝9－2＝7. 点睛：（1）题目中遇到角平分线，可以做边的垂线，构造全等三角形. 如图已知平分，过点作，，则. （2）圆中涉及等腰三角形，内接四边形，同弧所对角，（弦切角），经常要倒角，都是做此类题型需要熟练掌握的知识点. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023—2024学年九年级上学期期中学业水平监测 数学 （试题卷） 注意事项： 1．你拿到的试卷满分为150分，考试时间为120分钟； 2．试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分，请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题是无效的； 3．考试结束后，请将“试题卷”和“答题卷”一并交回． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）每小题都给出A、B、C、D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的． 1. 已知⊙O的半径是3cm，则⊙O中最长的弦长是（　 　） A. 3cm B. 6cm C. 1.5cm D. cm 2. 下列图形中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 若关于的一元二次方程没有实数根，则的取值范围是（　　） A. B. C. D. 4. 将抛物线先向左平移个单位，再向下平移个单位，得到的抛物线的函数表达式为（ ） A. B. C. D. 5. 某种药品原价为289元，在连续进行两次降价后价格调整为256元，设平均每次降价的百分率为，则下面所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 若直线经过第一、三、四象限，则抛物线的顶点必在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 7. 如图，将矩形绕点顺时针旋转到矩形的位置，旋转角为若，则的大小是（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，并且，是方程的两个根，则实数，，，的大小关系可能是（　　） A. B. C. D. 9. 如图，、为的两条弦，的半径为r，，，连接、，与交于点H，则的度数为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，等边的边长为，直线l经过点A且直线，直线l从点A出发沿以的速度向点C移动，直到经过点C即停止，直线l分别与或交于点M，与交于点N，若的面积为，直线l的移动时间为，则下面最能反映y与x之间函数关系的大致图象是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 若关于的一元二次方程的两个根分别为与，则的值为_________． 12. 若点与点关于原点中心对称，则_____． 13. 如图1是某地公园的一座抛物线型拱桥，按如图2所示建立坐标系，得到函数，在正常水位时水面宽米，当水位上升5米时，则水面宽______米． 14. 如图，在中，，，点为上一点，作交于点，点关于的对称点为点，以为半径作恰好经过点，并交直线于点，． （1）点到的距离为________； （2）的值为________． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 按要求解方程： （1）（因式分解法）； （2）（配方法）． 16. 已知二次函数的图象经过，，求该二次函数的解析式． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 如图，在边长为1的正方形组成的网格中建立直角坐标系，的顶点均在格点上，点，，的坐标分别是，，． （1）将向下平移4个单位长度，则点的对应点的坐标为________； （2）将绕点逆时针旋转后得到，请在图中作出． 18. 如图，线段上有一点，以为圆心，为半径作圆，A是上一点，连接交于点，连接，若，且，求的度数． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 我们定义两个不相交的函数图象在竖直方向上的最短距离为这两个函数的“和谐值”． (1)求抛物线y＝x2﹣2x+2与x轴的“和谐值”； (2)求抛物线y＝x2﹣2x+2与直线y＝x﹣1的“和谐值”． 20. 如图，中两条互相垂直的弦交于点． （1），的半径为10，求弦的长； （2）过点作交于点，求证：． 六、（本题满分12分） 21. 如图，一个边长为的正方形花坛由4块全等的小正方形组成．在小正方形中，点分别在上，且，在，五边形三个区域上种植不同的花卉，每平方米的种植成本分别是20元、20元、10元． （1）五边形的面积为_________．（结果用含有x的代数式表示） （2）当为何值时，大正方形花坛种植花卉所需的总费用是715元？ 七、（本题满分12分） 22. 已知抛物线． （1）若该抛物线与x轴有交点，求实数m的取值范围； （2）当时，若该抛物线与x轴交于点A和点B（点A在点B的左侧）． ①求A，B两点的坐标； ②若该抛物线的顶点为D，且与y轴的交点为C，试判断是否是直角三角形，并说明理由． 八、（本题满分14分） 23. 如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，点F 是CD延长线上的一点，且AD平分∠BDF，AE⊥CD于点E. ⑴ 求证：AB＝AC. ⑵ 若BD＝11，DE＝2，求CD的长. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $