2.7.2 探索勾股定理 课件 2025-2026学年浙教版数学八年级上册

该初中数学课件聚焦勾股定理逆定理，通过古埃及人用13个结绳画直角的历史情境导入，衔接“有一个角是直角”等已知判定方法，引导学生从实验操作（画3、4、5三角形测量）到合作探究，构建“具体实例→猜想→证明→应用”的学习支架。 其亮点在于以情境激发兴趣，通过动手实验培养几何直观（数学眼光），严谨证明过程发展推理意识（数学思维），分层练习（必做勾股数辨析、选做方程应用、综合拓展四边形面积）提升应用能力（数学语言）。学生能主动探究定理形成，教师可依托分层设计高效落实教学目标。

第二章 特殊三角形 2.7.2探索勾股定理 01 教学目标 02 新知导入 03 新知讲解 04 课堂练习 05 课堂小结 06 作业布置 01 教学目标 01 02 1. 探索并掌握定理：如果三角形中两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形. 2. 会用上述定理判定一个三角形是不是直角三角形. 02 新知导入 古埃及人曾经用下面的方法画直角： (1)将一根长绳打上等距离的13个结; (2)如右图那样用桩钉钉成一个三角形， 他们认为其中一个角便是直角. 你知道这是什么道理吗？ 03 新知探究 一个三角形满足什么条件才能是直角三角形呢？ (1)有一个角是直角的三角形是直角三角形； (2)有两个角的和为90°的三角形是直角三角形； 如果一个三角形的三边a，b，c满足a2+b2=c2， 那么这个三角形是直角三角形吗？ 03 新知探究 合作学习 像三边为3、4、5这样的三角形，两条边的平方和等于第三条边的平方，那么这个三角形就是直角三角形。 这是一个真命题吗？ 03 新知讲解 实验一： 请同学们动手借助圆规、直尺画一个边长为3，4，5的三角形，然后用量角器测 量最大角的度数，验证边长为3， 4，5的三角形是否是直角三角形 实验二： 请大家再验证下列数据为边的三角形是不是一个直角三角形？①2.5，6，6.5；②4，7.5，8.5 根据上述结果，你能得到什么猜想呢？ 03 新知讲解 猜想： 如果一个三角形两条边的平方和等于第三条边的平方，那么这个三角形是直角三角形 已知：在△ABC中，三边长分别为a，b，c，且a2+b2=c2. 求证： △ABC是直角三角形. a c b A C B b a N B1 A1 C1 M 03 新知讲解 提炼概念 数 形 ∵ △ABC 是直角三角形 a b c 如果三角形中 有两边的平方和 等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形. 直角三角形的判定 03 新知讲解 辨析：下列三边组成的三角形是直角三角形吗? 解： ∵ ∴此三角形是直角三角形. 一定 最长边 二算“平方式” 03 新知讲解 例3 根据下列条件,分别判断以a,b,c为边的三角形是不是直角三角形. (1) a=7, b=24, c=25； (2) ,b=1, 解 (1)∵ 72+242=252，∴以7,24,25 为边的三角形是直角三角形. (2) 也就是较小两边的平方和不等于较大边的平方，∴a，b，c中任何两边的平方和都不等于第三边的平方， ∴以 为边的三角形不是直角三角形. 03 新知讲解 利用边的关系判定直角三角形的步骤： (1)比较三边长a，b，c的大小，找出最长边． (2)计算两短边的平方和，看它是否与最长边的平方相等；若相等，则是直角三角形，且最长边所对的角是直角；若不相等，则此三角形不是直角三角形． 【拓展提高】 03 新知讲解 例4 已知△ABC的三条边长分别为a,b,c,且 a=m2-n2,b=2mn, c=m2+n2（m＞n,m，n 是正整数).△ABC是直角三角形吗?请证明你的判断. 解 △ABC是直角三角形.证明如下: ∵a=m2-n2,b=2mn,c=m2+n2（m＞n,m，n 是正整数) ∴a2+b2=(m2-n2)2+(2mn)2=m4-2m2n2+n4+4m2n2 =m4+2m2n2+n4=(m2+n2)2=c2. ∴△ABC是直角三角形(勾股定理的逆定理). 03 新知讲解 满足 a2+b2=c2 的三个整数,称为勾股数。 常见的勾股数有：3，4，5；5，12，13；8，15，17； 7，24，25；9，40，41；…. 【勾股数】 03 新知讲解 提炼概念 判断勾股数的方法： (1)确定是不是三个正整数； (2)确定最大数； (3)计算：看较小两数的平方和是否等于最大数的平方． 易错警示：勾股数必须同时满足两个条件： (1)三个数都是正整数； (2)两个较小数的平方和等于最大数的平方． 04 课堂练习 【知识技能类作业】必做题： D 1.在下列四组数中，不是勾股数的一组数是(　　) A．a＝15，b＝8，c＝17 B．a＝9，b＝12，c＝15 C．a＝7，b＝24，c＝25 D．a＝3，b＝5，c＝7 04 课堂练习 【知识技能类作业】选做题： 2.　根据下列条件，分别判断以a，b，c为边的三角形能否构成直角三角形． (1)a＝4，b＝5，c＝6； (3)a＝7，b＝24，c＝25. 04 课堂练习 【知识技能类作业】选做题： 04 课堂练习 【综合拓展类作业】 3.如图，在四边形ABCD中，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，∠B=90°，求四边形ABCD的面积S. 解：连结AC 在Rt△ABC中 ∵ AB=3，BC=4 ∴ ∵CD=12，AD=13 ∴ ∴ △ACD为直角三角形 且 ∠ACD=Rt∠ ∴ 19 05 课堂小结 判定 边 角 勾股定理逆定理 两锐角互余 ？ 性质 边 角 勾股定理 斜边上的中线 等于斜边的一半 两锐角互余 小结归纳 06 作业布置 【知识技能类作业】必做题： 1.一个三角形的三边长分别为a2+b2，a2-b2，2ab，则这个三角形的形状为（　　） A．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．形状不能确定 B 06 作业布置 【知识技能类作业】选做题： 06 作业布置 【知识技能类作业】选做题： 解：设这个三角形中中间长度的边长为x m，那么另外两边长分别为(x＋1)m，(x－7)m，则x＋x＋1＋x－7＝30，解得x＝12. 所以这个三角形的三边长分别为5 m，12 m，13 m. 又因为52＋122＝169＝132，所以这个三角形是直角三角形． 2.将一根长30 m的细绳折成3段，围成一个三角形，其中的一条边比最短边长7 m，比最长边短1 m，请你判断这个三角形的形状． 06 作业布置 【综合拓展类作业】 3.已知a、b、c分别为△ABC的三边长，且满足 |a-12|+(c-13)2+(b-5)2=0 ，试判断△ABC的形状. 解：∵ |a-12|+(c-13)2+(b-5)2=0， ∴ |a-12|=0，(c-13)2 =0，(b-5)2=0， ∴ a-12=0，c-13=0，b-5=0. 即a=12，c=13，b=5. 又∵ a2+b2=122+52=169，且c2=169， ∴ a2+b2=c2， ∴ △ABC是直角三角形. (2)a∶b∶c＝∶2∶； 解：∵CD是边AB上的高， 在Rt△CDB中，BD＝＝1， 在Rt△ACD中，AD＝＝3， ∴AB＝BD＋AD＝4， ∵AC2＝(2)2＝12， BC2＝22＝4，AB2＝42＝16， 又∵12＋4＝16，即AC2＋BC2＝AB2 ∴△ABC是直角三角形．　 2.在△ABC中，CD是边AB上的高线，BC＝2，CD＝，AC＝2，请判断△ABC的形状． $$