精品解析：广东省阳江市阳东区凤凰中学2024-2025学年九年级上学期月考数学试卷（10月）(1)

2024-2025学年广东省阳江市阳东区凤凰中学九年级（上）月考数学试卷 （10月） 试卷满分 120 分，考试时间 0 分钟 注意事项 （1）答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 （2）将答案正确填写在答题卡上 一、选择题（共 10 题，每题 3 分，共 30 分） 1. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 不解方程，判别方程2x2﹣2x+1＝0根的情况是（　　） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 3. 下列二次函数图象经过原点的是（ ） A. B. C. D. 4. 将抛物线向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，所得到的抛物线为（ ） A. B. C. D. 5. 在平面直角坐标系中，函数与的图象大致是（ ） A. B. C. D. 6. 如果关于x的一元二次方程，有一个解是0，那么m的值是（ ） A. 3 B. C. D. 0或 7. 对于抛物线，下列结论正确的是（ ） A. 开口向上 B. 对称轴为直线 C. 顶点坐标为 D. 当时，随的增大而增大 8. 我国古代数学名著《九章算术》中有这样一道题目：“今有立木，系索其末，委地三尺．引索却行，去本八尺而索尽．问索长几何？”大意是：如图，木柱，绳索比木柱长3尺，长为8尺，求绳索长为多少？设绳索长为x尺，根据题意，可列方程为（ ） A. B. C. D. 9. 若是抛物线上的三点，则为的大小关系为（ ） A. B. C. D. 10. 若关于x的一元二次方程有一根为，则一元二次方程必有一根为（ ） A. 2024 B. 2025 C. 2026 D. 2027 二、填空题（共 5 题，每题 3 分，共 15 分） 11. 已知方程有一根为，则__________． 12. 请写出一个二次函数的解析式，使其图象的开口向下，且对称轴为直线．这个函数解析式可以是___________． 13. 若一元二次方程经过配方，变形为的形式，则n的值为_______． 14. 某校九年级举行班级篮球赛，若采取双循环赛制（即每两个班之间都进行两场比赛），则要赛30场，设九年级共有个班，列方程得__________． 15. 如图，抛物线与轴交于点，过点且与轴平行的直线交抛物线于两点，则线段的长为______． 三、解答题（一）（共 3 题，每题 8 分，共 24 分） 16. 解方程： （1）； （2）． 17. 已知抛物线经过点． （1）求b的值； （2）判断点是否在此抛物线上？ 18. 已知关于x的一元二次方程． （1）若方程有实数根，求实数m的取值范围； （2）若方程两实数根分别为，，且满足，求实数m的值． 四、解答题（二）（共 3 题，每题 9 分，共 27 分） 19. 如图，由5个形状大小完全相同的小矩形构造成一个大矩形（各小矩形之间不重叠且不留空隙），图中阴影部分的面积为16，且每个小矩形的宽为1，求每个小矩形的长． 20. 如图，已知一次函数的图象与二次函数的图象交于点和． （1）求两个函数的解析式； （2）求的面积． 21. 冬季来临，某超市以每件35元的价格购进某款棉帽，并以每件58元的价格出售．经统计，10月份的销售量为256只，12月份的销售量为400只． （1）求该款棉帽10月份到12月份销售量的月平均增长率； （2）经市场预测，下个月份的销售量将与12月份持平，现超市为了减少库存，采用降价促销方式，调查发现，该棉帽每降价1元，月销售量就会增加20只．当该棉帽售价为多少元时，月销售利润达8400元？ 五、解答题（三）（共 2 题，每题 12 分，共 24 分） 22. 已知的两边，的长是关于x的方程的两个根，第三边的长是10． （1）求证：无论n取何值，此方程总有两个不相等的实数根． （2）当n为何值时；为等腰三角形？并求的周长． （3）当n为何值时，是以为斜边的直角三角形？ 23. 学科实践 任务驱动：2024年世界泳联跳水世界杯第三站暨超级总决赛于4月19日至21日在中国陕西省西安市成功举办，中国国家跳水队以8金1银总奖牌9枚完美收官，进一步激发各地跳水运动员训练的热情．数学小组对跳水运动员跳水训练进行实践调查． 研究步骤：如图，某跳水运动员在10米跳台上进行跳水训练，水面与y轴交于点，运动员（将运动员看成一点）在空中运动的路线是经过原点О的抛物线，在跳某个规定动作时，运动员在空中最高处点A的坐标为．正常情况下，运动员在距水面高度5米之前，必须完成规定的翻腾、打开动作，并调整好入水姿势，否则就会失误，运动员人水后，运动路线为另一条抛物线． 问题解决：请根据上述研究步骤与相关数据，完成下列任务． （1）求运动员在空中运动时对应抛物线的解析式及入水处点B的坐标． （2）若运动员在空中调整好入水姿势时，恰好与y轴的水平距离为3米，问该运动员此次跳水会不会失误？说明理由． （3）在该运动员人水处点B的正前方有M，N两点，且，该运动员人水后运动路线对应的抛物线的解析式为．若该运动员出水处点D在之间（包括M，N两点），请求出k的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年广东省阳江市阳东区凤凰中学九年级（上）月考数学试卷 （10月） 试卷满分 120 分，考试时间 0 分钟 注意事项 （1）答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 （2）将答案正确填写在答题卡上 一、选择题（共 10 题，每题 3 分，共 30 分） 1. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义逐项判断即可． 【详解】解：A、该方程中含有2个未知数且未知数的最高次数为1，是二元一次方程，故本选项错误； B、该方程符合一元二次方程的定义，故本选项正确； C、该方程不是整式方程，故本选项错误； D、由原方程整理，得x＝-1，属于一元一次方程，故本选项错误； 故选：B． 【点睛】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2． 2. 不解方程，判别方程2x2﹣2x+1＝0根的情况是（　　） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 【答案】B 【解析】 【分析】找出方程a，b及c的值a=2，b=，c=1，计算出根的判别式的值△=b2﹣4ac=0，即可判断． 【详解】解：∵， ∴a=2，b=，c=1， ∴， ∴方程有两个相等的实数根， 故选B． 【点睛】本题主要考查了根的判别式，熟练掌握当△=0时方程有两个相等的实数根是解题的关键． 3. 下列二次函数图象经过原点的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，将分别代入二次函数解析式，然后看所得出的函数值是否为零即可得出正确答案，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 【详解】、将代入可得，故不经过原点，不符合题意； 、将代入可得，故经过原点，符合题意； 、将代入可得，故不经过原点，不符合题意； 、将代入可得，故不经过原点，不符合题意； 故选：． 4. 将抛物线向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，所得到的抛物线为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查的是二次函数图象与几何变换．根据二次函数图象“左加右减，上加下减”的平移规律进行求解． 【详解】解：根据题意， ∵将抛物线向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度， ∴所得抛物线解析式为：； 故选：B． 5. 在平面直角坐标系中，函数与的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一次函数与二次函数的图象，熟练掌握一次函数的图象和二次函数的图象是解题的关键．分别判断一次函数和二次函数的图象分布位置即可． 【详解】解：由可得直线的图象过第一、二、四象限， 则选项C、D符合； 由可得抛物线的图象开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为， 则选项A、D符合； 综上，只有选项D两个图象都符合， 故选：D． 6. 如果关于x的一元二次方程，有一个解是0，那么m的值是（ ） A. 3 B. C. D. 0或 【答案】B 【解析】 【分析】把x=0代入方程（m-3）x2+3x+m2-9=0中，解关于m的一元二次方程，注意m的取值不能使原方程对二次项系数为0． 【详解】解：把x=0代入方程（m-3）x2+3x+m2-9=0中，得 m2-9=0， 解得m=-3或3， 当m=3时，原方程二次项系数m-3=0，舍去， ∴m=-3 故选：B． 【点睛】本题考查的是一元二次方程解的定义，一元二次方程的概念，掌握方程的解的含义是解题的关键. 7. 对于抛物线，下列结论正确的是（ ） A. 开口向上 B. 对称轴为直线 C. 顶点坐标为 D. 当时，随的增大而增大 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查抛物线的图像和性质，熟练掌握抛物线的图像是解题的关键．根据抛物线的图像和性质依次进行判断即可． 【详解】解：， 故开口向下，选项A错误； 对称轴为直线，选项B错误； 顶点坐标为，选项C正确； 当时，随的增大而减小，选项D错误． 故选C． 8. 我国古代数学名著《九章算术》中有这样一道题目：“今有立木，系索其末，委地三尺．引索却行，去本八尺而索尽．问索长几何？”大意是：如图，木柱，绳索比木柱长3尺，长为8尺，求绳索长为多少？设绳索长为x尺，根据题意，可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用．设绳索长为尺，根据勾股定理列出方程解答即可． 【详解】解：设绳索长为尺，则， 根据题意得：， 故选：D． 9. 若是抛物线上的三点，则为的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，掌握当抛物线开口方向向上时，离对称轴越远，函数值越大成为解题的关键． 先确定抛物线的对称轴，再确定抛物线开口向上，此时离对称轴越远，函数值越大，据此即可解答． 【详解】解：∵, ∴抛物线的对称轴为直线，开口向上， ∴离对称轴越远，函数值越大， ∵点离对称轴最远，点在对称轴上， ∴． 故选：B． 10. 若关于x的一元二次方程有一根为，则一元二次方程必有一根为（ ） A. 2024 B. 2025 C. 2026 D. 2027 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了换元法解一元二次方程，利用整体思想解一元二次方程是解题的关键．利用整体思想设得到方程，再根据关于x的一元二次方程有一根为，即可得到t的值，从而可求解． 【详解】解：∵， ∴，即．　 设，则． ∵关于x的一元二次方程有一根为， ∴在中，， ∴， 解得：， ∴一元二次方程必有一根为2026． 故选C． 二、填空题（共 5 题，每题 3 分，共 15 分） 11. 已知方程有一根为，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据方程根的定义，可得出，再把代入，计算求值即可． 【详解】解：方程有一根为， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解，解题的关键是把方程的根代入，得出的值，整体思想的运用是解题的必经之路． 12. 请写出一个二次函数的解析式，使其图象的开口向下，且对称轴为直线．这个函数解析式可以是___________． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，用到的知识点：二次函数的对称轴是直线；当时，抛物线开口向上，当时，抛物线开口向下；二次函数与轴交于点．由题意可知：写出的函数解析式满足，，由此举例得出答案即可． 【详解】解：设所求二次函数的解析式为． 图象的开口向下， ，可取， 对称轴是直线， ，得， 可取任意数， 函数解析式可以为：（答案不唯一）． 故答案为：（答案不唯一）． 13. 若一元二次方程经过配方，变形为的形式，则n的值为_______． 【答案】10 【解析】 【分析】本题主要考查了配方法的应用，由方程知，只要加上一次项系数一半的平方，再减去这个数即可完成配方． 【详解】解：由题意得 ：， 即： 即． 故． 故答案为：10． 14. 某校九年级举行班级篮球赛，若采取双循环赛制（即每两个班之间都进行两场比赛），则要赛30场，设九年级共有个班，列方程得__________． 【答案】 【解析】 【分析】设九年级共有个班，根据每两个班之间都进行两场比赛即可列出方程． 【详解】解：设九年级共有个班， 由题意可得：， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，掌握单循环赛制和双循环赛制的联系和区别是解题关键． 15. 如图，抛物线与轴交于点，过点且与轴平行的直线交抛物线于两点，则线段的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，先求出点的坐标，再将代入中，求出点两点的坐标，即可得到答案，理解题意，熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征是解此题的关键． 【详解】解：在抛物线中，当时，， ， 过点且与轴平行的直线交抛物线于两点， 在中，当时，， 解得：，， ，， ， 故答案为：． 三、解答题（一）（共 3 题，每题 8 分，共 24 分） 16. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握因式分解法解一元二次方程是解题的关键． （1）利用因式分解法解方程即可； （2）利用因式分解法解方程即可． 【小问1详解】 解： 或 ∴，； 【小问2详解】 解： 或 ∴，． 17. 已知抛物线经过点． （1）求b的值； （2）判断点是否在此抛物线上？ 【答案】（1）16 （2）不在 【解析】 【分析】（1）只需把点A的坐标代入抛物线的解析式即可解决问题； （2）只需考虑时抛物线上所对应点的函数值是否等于8，即可解决问题． 【小问1详解】 解：抛物线经过点， ； 【小问2详解】 解：∵当时，， ∴不在此抛物线上． 【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是掌握二次函数图象上点的坐标满足其解析式． 18. 已知关于x的一元二次方程． （1）若方程有实数根，求实数m的取值范围； （2）若方程两实数根分别为，，且满足，求实数m的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程的判别式，根与系数的关系， （1）一元二次方程有实数根，则根的判别式，建立关于m的不等式，求出m的取值范围，根据根的判别式得到关于m的不等式是解题的关键； （2）根据根与系数的关系得到，又求出，然后代入求解即可． 【小问1详解】 方程有实数根， ， ， 即； 【小问2详解】 为该方程的两个实数根， ， 又， ∴ ∴ ∴， 将代入得， ∴． 四、解答题（二）（共 3 题，每题 9 分，共 27 分） 19. 如图，由5个形状大小完全相同的小矩形构造成一个大矩形（各小矩形之间不重叠且不留空隙），图中阴影部分的面积为16，且每个小矩形的宽为1，求每个小矩形的长． 【答案】每个小矩形的长为 【解析】 【分析】题目主要考查一元二次方程的应用，设小矩形的长为x，根据图形，列出方程求解即可． 【详解】解：设小矩形的长为x， 根据题意，得， 解得：，（舍） 答：每个小矩形的长为． 20. 如图，已知一次函数的图象与二次函数的图象交于点和． （1）求两个函数的解析式； （2）求的面积． 【答案】（1）， （2）3 【解析】 【分析】（1）首先把点代入二次函数得出，再把点代入二次函数解析式得出，进一步把、代入一次函数求得一次函数即可； （2）利用一次函数求得点坐标，把的面积分为与的面积和即可． 【小问1详解】 解：把点代入二次函数得，， 二次函数的解析式； 点代入二次函数解析式得， 把点，代入一次函数得 ， 解得， 故一次函数的解析式． 【小问2详解】 一次函数的解析式中，令，得， ∴一次函数与轴交于点， ∴． 【点睛】此题考查待定系数法求求一次函数、二次函数解析式，三角形的面积，正确利用函数图象上的点解决问题． 21. 冬季来临，某超市以每件35元的价格购进某款棉帽，并以每件58元的价格出售．经统计，10月份的销售量为256只，12月份的销售量为400只． （1）求该款棉帽10月份到12月份销售量的月平均增长率； （2）经市场预测，下个月份的销售量将与12月份持平，现超市为了减少库存，采用降价促销方式，调查发现，该棉帽每降价1元，月销售量就会增加20只．当该棉帽售价为多少元时，月销售利润达8400元？ 【答案】（1）该款棉帽10月份到12月份销售量的月平均增长率为 （2）该款棉帽售价为50元时，月销售利润达8400元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意找准等量关系列出方程是解题的关键． （1）设该款棉帽10月份到12月份销售量的月平均增长率为x，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论； （2）设该款棉帽售价为y元，则每件的销售利润为元，利用月销售利润=每件的销售利润×月销售量，可列出关于y的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【小问1详解】 解：设该款棉帽10月份到12月份销售量的月平均增长率为x， 由题意得：， 解得：，(不符合题意，舍去) 答：该款棉帽10月份到12月份销售量的月平均增长率为． 【小问2详解】 解：设该款棉帽售价为y元，则每件的销售利润为元， 根据题意得：， 解得：，(不符合题意，舍去) 答：该款棉帽售价为50元时，月销售利润达8400元． 五、解答题（三）（共 2 题，每题 12 分，共 24 分） 22. 已知的两边，的长是关于x的方程的两个根，第三边的长是10． （1）求证：无论n取何值，此方程总有两个不相等的实数根． （2）当n为何值时；为等腰三角形？并求的周长． （3）当n为何值时，是以为斜边的直角三角形？ 【答案】（1） 证明：， ， ∴无论取何值，此方程总有两个不相等得实根； （2），32或，28 （3）6 【解析】 【分析】（1）计算判别式，即可得证； （2）根据是等腰三角形，可知是方程的一个根，代入方程，求出，①当时，②当时，再根据根与系数的关系，求出底，即可求出的周长； （3）根据勾股定理列方程，求出的值，再检验即可确定． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， ， 解得：， ①， ， ②， ； 【小问3详解】 解：，的长是关于的一元二次方程的两个根， 是以为斜边的直角三角形，且， ， ， ， （舍） ． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，涉及等腰三角形的性质，直角三角形的性质，勾股定理等，熟练掌握这些知识是解题的关键，本题综合性较强． 23. 学科实践 任务驱动：2024年世界泳联跳水世界杯第三站暨超级总决赛于4月19日至21日在中国陕西省西安市成功举办，中国国家跳水队以8金1银总奖牌9枚完美收官，进一步激发各地跳水运动员训练的热情．数学小组对跳水运动员跳水训练进行实践调查． 研究步骤：如图，某跳水运动员在10米跳台上进行跳水训练，水面与y轴交于点，运动员（将运动员看成一点）在空中运动的路线是经过原点О的抛物线，在跳某个规定动作时，运动员在空中最高处点A的坐标为．正常情况下，运动员在距水面高度5米之前，必须完成规定的翻腾、打开动作，并调整好入水姿势，否则就会失误，运动员人水后，运动路线为另一条抛物线． 问题解决：请根据上述研究步骤与相关数据，完成下列任务． （1）求运动员在空中运动时对应抛物线的解析式及入水处点B的坐标． （2）若运动员在空中调整好入水姿势时，恰好与y轴的水平距离为3米，问该运动员此次跳水会不会失误？说明理由． （3）在该运动员人水处点B的正前方有M，N两点，且，该运动员人水后运动路线对应的抛物线的解析式为．若该运动员出水处点D在之间（包括M，N两点），请求出k的取值范围． 【答案】（1）解析式为；B的坐标为 （2）不会失误，理由如下： ∵运动员在空中调整好入水姿势时，恰好与y轴的水平距离为3米， ∴运动员调整好入水姿势的点的横坐标为3， ∴当时，， ∴调整点的坐标为， ∴运动员此时距离水面高度为(米). ∵， ∴运动员此次跳水不会失误 （3） 【解析】 【分析】此题考查了二次函数的应用，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）待定系数法求出函数解析式，当时，，求出点B的坐标； （2）当时，，得到调整点的坐标为，求出运动员此时距离水面高度为(米).即可得到答案； （3）由人水处点得到，①当抛物线经过点M时，，②，解得；当抛物线经过点N时，，③由①③联立方程组，解得.即可得到答案． 【小问1详解】 设运动员在空中运动时对应的抛物线的解析式为 ∵抛物线经过原点， ∴， 解得， ∴运动员在空中运动时对应的抛物线的解析式为 当时，， 解得或(舍去)， 点B的坐标为 【小问2详解】 略 【小问3详解】 ∵，， ∵. ∵人水处点， ∴，① 当抛物线经过点M时，，② 由①②联立方程组，解得； 当抛物线经过点N时，，③ 由①③联立方程组，解得 ∵出水处点D在之间(包括M，N两点)， ∴ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $