空间向量与立体几何专项训练—2026届高三数学一轮复习

空间向量与立体几何 【教材习题】1.设A，B，C，D是空间中4个不同的点，在下列命题中，不正确的是( ). A.若AC与BD共面，则AD与BC共面 B.若AC与BD是异面直线，则AD与BC是异面直线 C.若，，则 D.若，，则 【教材习题】2.我国古代数学名著《九章算术》中“开立圆术”曰：置积尺数，以十六乘之，九而一，所得开立方除之，即立圆径.“开立圆术”相当于给出了已知球的体积V，求其直径d的一个近似公式.人们还用过一些类似的近似公式.根据判断，下列近似公式中最精确的一个是( ). A. B. C. D. 【教材习题】3.选择题 （1）如果两条直线a与b没有公共点，那么a与b( ). A.共面 B.平行 C.是异面直线 D.可能平行，也可能是异面直线 （2）设直线a，b分别是长方体的相邻两个面的对角线所在的直线，则a与b( ). A.平行 B.相交 C.是异面直线 D.可能相交，也可能是异面直线 【教材习题】4.平面与平面平行的充分条件可以是( ). A.内有无穷多条直线都与平行 B.直线，，且直线a不在内，也不在内 C.直线，直线，且， D.内的任何一条直线都与平行 【教材习题】5.下列命题正确的是( ). A.三点确定一个平面 B.一条直线和一个点确定一个平面 C.圆心和圆上两点可确定一个平面 D.梯形可确定一个平面 【教材习题】6.一个正方体内接于一个球（即正方体的8个顶点都在球面上），过球心作一截面，则截面的图形可能是___________. 【教材习题】7.在正方体中，下列说法正确的是__________. ①平面；②AC与相交；③点，到平面的距离相等；④与AB平行的面只有一个，与AB垂直的面有两个. 【教材习题】8.填空题 （1）一个几何体由7个面围成，其中两个面是互相平行且全等的五边形，其他各面都是全等的矩形，则这个几何体是__________. （2）一个多面体最少有__________个面，此时这个多面体是__________. 【教材习题】9.已知圆锥的表面积为，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面直径为__________m. 【教材习题】10.如图，在长方体的各条棱所在直线中. （1）与直线AB垂直的直线有__________条； （2）与直线AB异面且垂直的直线有__________条； （3）与直线AB和都垂直的直线有__________条； （4）与直线AB和都垂直且相交的直线是直线__________. [2024年安徽高考真题]11.已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高均为，则圆锥的体积为( ) A. B. C. D. [2021年辽宁高考真题]12.正四棱台的上､下底面的边长分别为2，4，侧棱长为2，则其体积为( ) A. B. C. D. [2024年黑龙江高考真题]13.已知正三棱台的体积为，，，则与平面ABC所成角的正切值为( ) A. B.1 C.2 D.3 [2025届·黑龙江·模拟考试]14.如果直线l与平面没有公共点，那么直线l与平面的位置关系是( ) A.平行 B.垂直 C.相交 D.直线在平面内 [2025届·广东肇庆·三模]15.P是正四棱柱表面上的一个动点，，当直线与正四棱柱六个面所成角的大小相等时，与所成角的余弦值为( ) A. B. C. D. [2025年湖南高考真题]（多选）16.在正三棱柱中，D为BC中点，则( ) A. B.平面 C. D.平面 [2022年湖北高考真题]（多选）17.已知正方体，则( ) A.直线与所成的角为 B.直线与所成的角为 C.直线与平面所成的角为 D.直线与平面ABCD所成的角为 [2022年湖北高考真题] （多选）18.已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，AB为底面直径，，，点C在底面圆周上，且二面角为，则( ) A.该圆锥的体积为 B.该圆锥的侧面积为 C. D.的面积为 [2023年云南高考真题]19.底面边长为4的正四棱锥被平行于其底面的平面所截，截去一个底面边长为2，高为3的正四棱锥，所得棱台的体积为__________. [2020年山东高考真题]20.已知直四棱柱的棱长均为2，，以为球心，为半径的球面与侧面的交线长为______. 参考答案 1.答案：C 解析：若AC与BD共面，则A，B，C，D四点共面，故AD与BC共面，A中命题正确；假设AD与BC不是异面直线，则AD与BC共面，于是AC与BD共面，这与AC与BD是异面直线矛盾，故AD与BC是异面直线，B中命题正确；如图所示，，，但不能推出，C中命题错误；若，，取BC的中点E，连接AE，DE，则，，， 故平面ADE，又平面ADE，所以，D中命题正确.故选C. 2.答案：D 解析：由，解得.设，则，将选项A中的常数代入得； 将选项B中的常数代入得； 将选项C中的常数代入得； 将选项D中的常数代入得.故选：D. 3、（1）答案：D 解析：根据空间中两条直线的位置关系，可得如果两条直线a与b没有公共点，那么m与n可能平行，也可能是异面直线故选：D. （2）答案：D 解析：如图，长方体中， 当所在直线为a，所在直线为b时，a与b相交； 当所在直线为a，所在直线为b时，a与b异面故选：D. 4.答案：D 解析：A：内有无穷多条直线都与平行，则面与面可能平行也可能相交，错误； B：直线，，且直线a不在与内，则面与面可能平行也可能相交，错误； C：直线，直线，且，，则面与面可能平行也可能相交，错误； D：内的任何直线都与平行，内任取两条相交的直线平行于，由面面平行的判定知，正确.故选：D. 5.答案：BD 解析：平面上不共线的三点确定一个平面，故A错误； 一条直线和直线外一点确定一个平面，故B正确； 如果圆上两点和圆心共线，不能确定一个平面，故C错误； 梯形上下底是两平行直线，可以确定一个平面，故D正确；故选：BD. 6.答案：（1）（2）（3） 解析：当截面平行于正方体的一个侧面时得图（3）； 当截面过正方体的体对角线时得图（2）； 当截面不平行于任何侧面也不过体对角线时得图（1）； 但无论如何都不能截出图（4）. 7.答案：①③ 解析：如图所示， 对于①，平面平面，平面，平面，命题①正确； 对于②，AC与异面，命题②错误； 对于③，平面，平面，且，所以，点、到平面的距离相等，命题③正确； 对于④，与AB平行的平面有平面和平面，与AB垂直的面有平面和平面，命题④错误.故答案为：①③. 8.答案：（1）正五棱柱 （2）4；三棱锥或四面体 解析：（1）如图所示： 由题意一个几何体由7个面围成，其中两个面是互相平行且全等的五边形， 故此几何体是五棱柱，又其他各面都是全等的矩形， 故五棱柱的上下底面边长相等且侧棱与底面垂直， 根据正棱柱的定义可知该几何体是正五棱柱. 故答案为：正五棱柱. （2）根据多面体的定义可知，一个多面体最少有4个面，每个面都是三角形，它的名称是三棱锥或四面体. 故答案为：4；三棱锥或四面体. 9.答案： 解析：设圆锥的底面半径为，直径为d，母线长为l，所以，，， 解得，即.故答案为：. 10.答案：（1）8 （2）4 （3）4 （4） 解析：（1）与直线AB垂直的直线有：，，，，，，，，共8条. （2）与直线AB异面且垂直的直线由，，，，共4条. （3）与直线AB和都垂直的直线有，，，，共4条. （4）与直线AB和都垂直且相交的直线是直线. 故答案为：8；4；4；. 11.答案：B 解析：设圆柱和圆锥的底面半径均为r，因为它们的高均为，且侧面积相等，所以，得，所以圆锥的体积，故选B. 12.答案：D 解析：作出图形，连接该正四棱台上下底面的中心，如图， 因为该四棱台上下底面边长分别为2，4，侧棱长为2，所以该棱台的高，下底面面积，上底面面积，所以该棱台的体积.故选：D. 13.答案：B 解析：设正三棱台的高为h，三条侧棱延长后交于一点P，作平面ABC于点O，PO交平面于点，连接，，如图所示.由，可得，，又，，所以正三棱台的体积，解得，故.由正三棱台的性质可知，O为底面ABC的中心，则，因为平面ABC，所以是与平面ABC所成的角，在中，，故选B. 14.答案：A 解析：如果直线l与平面没有公共点，则，故选：A. 15.答案：A 解析： 如图，以点A为坐标原点建立空间直角坐标系，则，，设，则，易知平面一个法向量为，平面的一个法向量为，平面的一个法向量为， 设直线与平面、平面、平面所成的角分别为，，，由已知可得.又，，， 所以有.又由P是正四棱柱表面上的一个动点，易知，，，所以. 若P是平面上的一个动点，可知，，，满足条件的点的坐标为，与点A重合，舍去； 若P是平面上的一个动点，可知，，，满足条件的点的坐标为，与点A重合，舍去； 若P是平面上的一个动点，可知，，，满足条件的点的坐标为，与点A重合，舍去； 若P是平面上的一个动点，可知，，，满足条件的点的坐标为，点P可以为； 若P是平面上的一个动点，可知，，，没有满足条件的点； 若P是平面上的一个动点，可知，，，满足条件的点的坐标为，重复舍去.综上所述，.所以.又，所以，与所成角的余弦值为.故选：A. 16.答案：BD 解析：错误项分析：A（×）由三棱柱的性质可知，平面ABC，则，假设，又，平面，所以平面，矛盾，所以AD与不垂直. B（√）因为三棱柱是正三棱柱，所以平面ABC，则，因为D为BC的中点，，所以，又，平面，所以平面，又，所以平面. 错误项分析：C（×），与AB相交，所以AD与异面. D（√），平面，平面，所以平面. 故选BD. 17.答案：ABD 解析：如图，连接、，因为，所以直线与所成的角即为直线与所成的角，因为四边形为正方形，则，故直线与所成的角为，A正确； 连接，因为平面，平面，则，因为，，所以平面，又平面，所以，故B正确； 连接，设，连接，因为平面，平面，则，因为，，所以平面，所以为直线与平面所成的角，设正方体棱长为1，则，，， 所以，直线与平面所成的角为，故C错误； 因为平面，所以为直线与平面所成的角，易得，故D正确.故选：ABD 18.答案：AC 解析：对于A，连接，，，，，圆锥的体积，故A正确. 对于B，，故B错误. 对于C，取AC的中点D，连接PD，OD.，，D为AC的中点，，.即为二面角的平面角，，又底面圆，底面圆，，，，，故C正确. 对于D，，故D错误.故选AC. 19.答案：28 解析：棱台的两底面边长分别为2与4，高为3（由上、下底面边长可知棱台的高与截去的棱锥的高相等），所以棱台的体积. 20.答案： 解析：如图，连接，易知为正三角形，所以.分别取，，的中点，连接，则易得，，且.由题意知分别是，与球面的交点.在侧面内任取一点，使，连接，则，连接，易得，故可知以为圆心，为半径的圆弧为球面与侧面的交线.由知，所以的长为. 学科网（北京）股份有限公司 $$