2.4 等腰三角形的判定定理 课件 2025--2026学年浙教版八年级数学上册

第二章 特殊三角形 2.4等腰三角形的判定定理 01 教学目标 02 新知导入 03 新知讲解 04 课堂练习 05 课堂小结 06 作业布置 01 教学目标 01 02 1．理解并掌握等腰三角形的判定定理； 2.理解并掌握等边三角形的判定定理． 02 新知导入 等腰三角形的判定思路 03 新知探究 暑假的某天，酷爱游泳的李明和王强到一矩形游泳池去游泳，两人约定：站在游泳池同一边的两个角落上(如图示B、C两点)，同时以相同的角度(∠B＝∠C)潜入水里，并以相同的速度直线式前游。不一会儿，两人在池内的A处碰撞在一起。好动脑筋的李明就想：难道刚刚游过的路程相等(即AB＝AC)？这是为什么呢？它蕴藏了什么数学道理？ 探索一： B C A 游泳池 03 新知探究 合作学习 如图所示,量出AC的长,就可知道河的宽度AB,你知道为什么吗? 探索二： 03 新知讲解 除此之外，还有其他判定方法吗？ 利用等腰三角形的定义，怎样判定一个三角形是等腰三角形？ 如果一个三角形的两条边相等，那么就可判定这个三角形是等腰三角形 03 新知讲解 【合作学习】在纸上任意画线段BC，分别以点B和点C为顶点，以BC为一边，在BC的同侧画两个相等的角，两角的另一边相交于点A. B C A 量一量，线段AB与AC相等吗？其他同学的结果与你的相同吗?你发现了什么规律? 03 新知讲解 已知:如图, 在△ABC中,∠B=∠C. 求证: △ABC是等腰三角形. 方法一：作△ABC的角平分线AD. 在△ABD和△ACD中， ∵∠BAD=∠CAD(角平分线的定义)， ∠B=∠C (已知)， AD=AD (公共边)， ∴△ABD≌ △ACD (AAS), ∴AB=AC (全等三角形的对应边相等)， 即△ABC是等腰三角形. 03 新知讲解 已知:如图, 在△ABC中,∠B=∠C. 求证: △ABC是等腰三角形. 方法二：作△ABC的高AD ∵AD⊥BC ∴∠ADB=∠ADC=90° 在△ABD和△ACD中， ∵ ∠ADB=∠ADC ， ∠B=∠C (已知)， AD=AD (公共边)， ∴△ABD≌ △ACD (AAS), ∴AB=AC (全等三角形的对应边相等)， 即△ABC是等腰三角形. 03 新知讲解 如果一个三角形中有两个角相等,那么这个三角形是等腰三角形。 （简写成“等角对等边”）. ∴ AC=AB. ( ) 即△ABC为等腰三角形. ∵∠B=∠C， ( ) 在△ABC中， 应用格式： 等腰三角形的判定方法 已知 等角对等边 B C A ( ( 提炼概念 03 新知讲解 A B C D 2 1 ∵∠1=∠2 , ∴ BD=DC （等角对等边）. ∵∠1=∠2, ∴ DC=BC A B C D 2 1 （等角对等边）. 错，因为都不是在同一个三角形中. 辨一辨：如图,下列推理正确吗? 03 新知讲解 例3 一次数学实践活动的内容是测量河宽，如图，即测量点A,B之间的距离.同学们想出了许多方法，其中小聪的方法是：从点Ａ出发,沿着与直线AB成60°角的AC方向前进至C，在C处测得∠C＝30°.量出AC的长，它就是河的宽度（即点A,B之间的距离）． 这个方法正确吗？请说明理由． 03 新知讲解 ∵ ∠ CAD= ∠ C+ ∠ B（三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和）， ∴ ∠ B= ∠ C， ∴ AB=AC（在同一个三角形中， 等角对等边）. ∴ ∠ B= ∠CAD -∠C=60 °- 30 ° =30°， 解：这一方法正确.理由如下： 03 新知讲解 等腰三角形 等边三角形 一般三角形 在等腰三角形中，有一种特殊的情况，就是底与腰相等，即三角形的三边相等，我们把三条边都相等的三角形叫作等边三角形. 03 新知讲解 思考：一个三角形满足什么条件时会成为等边三角形？ 猜想1：三个角都相等的三角形是等边三角形. C B A 03 新知讲解 证明：三个角都相等的三角形是等边三角形． 已知：在△ABC中，∠A=∠B=∠C． 求证：△ABC是等边三角形． C B A 证明：∵∠A=∠B， ∴BC=AC(在同一个三角形中，等角对等边)． 又∵∠A=∠C， ∴BC=AB(在同一个三角形中，等角对等边)． ∴AB=BC=CA，即△ABC是等边三角形． 03 新知讲解 证明: ∵AB=AC,∠B=60°(已知), ∴∠C=∠B=60°(在同一个三角形中，等边对等角). ∴∠A=60°(三角形的内角和定理)， ∴∠A=∠B =∠C=60°． ∴△ABC是等边三角形(三个角都相等的三角形是等边三角形). 已知:如图,在△ABC中，AB=AC,∠B=60°． 求证:△ABC是等边三角形． 第一种情况：有一个底角是60° A C B 60° 03 新知讲解 证明: ∵AB=AC，∠A=60°(已知), ∴∠C=∠B=60°(在同一个三角形中，等边对等角). ∴∠A=∠B=∠C =60°， ∴△ABC是等边三角形(三个角都相等的三角形是等边三角形)． 已知:如图,在△ABC中，AB=AC,∠A=60°． 求证:△ABC是等边三角形． 第二种情况：顶角是60°； A C B 60° 03 新知讲解 方法总结：判定一个三角形是等边三角形有以下方法： 一是证明三角形三条边相等； 二是证明三角形三个内角相等； 三是先证明三角形是等腰三角形，再证明有一个内角等于60°. 【总结归纳】 03 新知讲解 “等角对等边”是判定等腰三角形的重要依据，是先有角相等再有边相等，只限于在同一个三角形中，若在两个不同的三角形中，此结论不一定成立． 【总结归纳】 证明线段相等的方法: 1、证明线段所在的两个三角形全等。 2、证明同一个三角形中线段所对的两个角相等。 04 课堂练习 【知识技能类作业】必做题： 1． 下列推理中，错误的是( ) A．∵∠A＝∠B＝∠C，∴△ABC是等边三角形 B．∵AB＝AC，且∠B＝∠C，∴△ABC是等边三角形 C．∵∠A＝60°，∠B＝60°，∴△ABC是等边三角形 D．∵AB＝AC，∠B＝60°，∴△ABC是等边三角形 B 04 课堂练习 【知识技能类作业】选做题： 2.如图,已知∠A=36°, ∠DBC=36°, ∠C=72°,则∠1= ,∠2= , 图中的等腰三角形 有 个. 36°，72°，3 04 课堂练习 【综合拓展类作业】 3.如图，在△ABC中，∠BAD=∠B，∠EAC=∠C，若△ADE的周长是 12，则BC的长是多少？ 解：∵∠BAD=∠B，∠EAC=∠C ∴AD=BD,AE=EC ∴AD+AE+DE=BD+EC+DE=BC=12 ∴BC的长为12 24 04 课堂练习 【综合拓展类作业】 4.如图,有甲、乙两个三角形.甲三角形的内角分别为10°，20°, 150°; 乙 三角形的内角分别为80°,25°,75°.你能把每一-个三角形分成两个等腰三角形吗?画一画，并标出各角的度数. 25 04 课堂练习 【综合拓展类作业】 26 05 课堂小结 等腰三角形的判定定理： 等边三角形的判定定理： 同一个三角形中，等角对等边 三个角都相等的三角形是等边三角形 一个角是60°的等腰三角形是等边三角形 分类讨论 能被分成两个等腰三角形的三角形特征： 1.角之间存在两倍关系 2.角之间存在三倍关系 3.直角三角形 同一个三角形中，等边对等角 等腰三角形的性质定理： 互逆定理 06 作业布置 【知识技能类作业】必做题： 1.如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，在直线AC上取一点P，使得△PAB是等腰三角形，则符合条件的点P有(　　) A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 C 06 作业布置 【知识技能类作业】选做题： 2.△ABC为等边三角形，点D在线段AF上，点F在线段BE上，点E在线段CD上，∠1＝∠2＝∠3. (1)求∠BEC的度数； (2)△DEF为等边三角形吗？为什么？ 06 作业布置 【知识技能类作业】选做题： 解：(1)∵△ABC为等边三角形， ∴∠ACB＝60°，∴∠BCE＋∠3＝60°. ∵∠2＝∠3，∴∠BCE＋∠2＝60°. ∴∠BEC＝180°－∠BCE－∠2＝120°. (2)△DEF为等边三角形．理由如下： ∵∠BEC＝120°，∴∠DEF＝60°， 同理，∠EFD＝60°，∠EDF＝60°， ∴∠DEF＝∠EFD＝∠EDF＝60°，∴△DEF为等边三角形．　 06 作业布置 【综合拓展类作业】 3.探究：怎样的三角形能分成两个等腰三角形？ 不妨假设∠A=x°是△ABC中最小的角， BD将△ABC分成两个等腰三角形。 用x表示两个等腰三角形的各个内角 $$