空间几何体的交线与截面问题讲义-2026届高三数学一轮复习

空间几何体的交线与截面问题 　　空间几何体的交线与截面问题是立体几何的难点也是高考的热点，利用平面的性质是处理交线与截面问题的关键. 一、空间几何体的交线 作交线的方法有两种： ①利用基本事实作交线； ②利用线面平行及面面平行的性质定理去寻找线面平行及面面平行，然后根据性质作交线. 【例1】已知直四棱柱ABCD－A1B1C1D1的棱长均为2，∠BAD＝60°.以D1为球心，为半径的球面与侧面BCC1B1的交线长为　　　　.  【变式】已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为3，E，F分别为BC，CD的中点，P是线段A1B上的动点，C1P与平面D1EF的交点Q的轨迹长为　　　　.  二、常见空间几何体截面的作法 技法1　直接法 若截面上的点都在几何体的棱上，且两两在同一个平面内，可借助基本事实“如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内”，直接连线作截面. 【例2】　在正方体ABCD－A1B1C1D1中，P为BB1的中点，画出过A1，C1，P的截面. 技法2　平行线法 　若截面与几何体的两个平行平面相交，或者截面上有一条直线与几何体的某一个面平行，可以借助于两个性质：①如果一条直线平行于一个平面，经过这条直线的平面与这个平面相交，那么这条直线就和交线平行；②如果两个平面平行，第三个平面和它们相交，那么两条交线平行，利用平行线法作截面. 【例3】　在正方体ABCD－A1B1C1D1中，P为BB1的中点，画出过A1，D1，P的截面. 技法3　延长线法 　 若截面上的点中至少有两个点在几何体的一个表面上，可以借助于基本事实“如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内”，利用延长线法作截面. 【例4】　在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，Q分别为AB，BC，AA1的中点，画出过E，F，Q的截面. 【变式】如图，正方体ABCD －A1B1C1D1的棱长为4，P，Q分别为棱A1B1，DD1的中点，过P，Q，B作正方体的截面，则截面多边形的周长是（　　） A.5＋2＋4 B.10＋4＋ C.10＋2＋ D. 三、截面图形的判断与计算 　通过作截面图形，将立体几何问题转化为平面几何问题，所有的判断与计算可依照平面几何的性质、定理及公式求解. 【例5】（1）在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是棱DD1和BB1上的点，MD＝DD1，NB＝BB1，那么正方体中过点M，N，C1的截面图形是 （　　） A.三角形　　　　　　　B.四边形 C.五边形 D.六边形 （2）如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是BC的中点，平面α经过直线BD且与直线C1E平行，若正方体的棱长为2，则平面α截正方体所得的多边形的面积为　　　　.  【变式1】过正方体ABCD －A1B1C1D1的体对角线BD1的截面面积为S，Smax和Smin分别为S的最大值和最小值，则＝ （　　） A.　　　　　　　　　B. C. D. 【变式2】（多选）正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，已知平面α⊥AC1，则关于α截此正方体所得截面的判断正确的是 （　　） A.截面形状可能为正三角形 B.截面形状可能为正方形 C.截面形状可能为正六边形 D.截面面积最大值为3 【变式3】如图，正方体A1C的棱长为1，点M在棱A1D1上，A1M＝2MD1，过M的平面α与平面A1BC1平行，且与正方体各面相交得到截面多边形，则该截面多边形的周长为　　　　.  学科网（北京）股份有限公司 $$空间几何体的交线与截面问题 空间几何体的交线与截面问题是立体几何的难点也是高考的热点，利用平面的性质是处理 交线与截面问题的关键. 一、空间几何体的交线 作交线的方法有两种： ①利用基本事实作交线； ②利用线面平行及面面平行的性质定理去寻找线面平行及面面平行，然后根据性质作交线. 【例 1】已知直四棱柱 ABCD－A1B1C1D1的棱长均为 2，∠BAD＝60°.以 D1为球心， 5为半 径的球面与侧面 BCC1B1的交线长为 . 解析 如图，连接 B1D1，易知△B1C1D1为正三角形，所以 B1D1＝C1D1＝2.分别取 B1C1，BB1， CC1的中点 M，G，H，连接 D1M，D1G，D1H，则易得 D1G＝D1H＝ 22 + 12＝ 5，D1M⊥B1C1， 且 D1M＝ 3.由题意知 G，H分别是 BB1，CC1与球面的交点.在侧面 BCC1B1内任取一点 P， 使 MP＝ 2，连接 D1P，则 D1P＝ �1�2 +��2＝ ( 3)2 + ( 2)2＝ 5，连接 MG，MH，易得 MG＝MH＝ 2，故可知以 M为圆心， 2为半径的圆弧 GH为球面与侧面 BCC1B1的交线.由 ∠B1MG＝∠C1MH＝45°知∠GMH＝90°，所以��的长为 1 4 ×2π× 2＝ 2π 2 . 答案 2π 2 【变式】已知正方体 ABCD－A1B1C1D1的棱长为 3 2，E，F分别为 BC，CD的中点，P是线 段 A1B上的动点，C1P与平面 D1EF的交点 Q的轨迹长为 . 解析：如图所示，连接 EF，A1B，D1F，连接 A1C1，B1D1交于点 M，连接 B1E，BC1交于点 N， 连接 MN，由 EF∥B1D1，即 E，F，B1，D1共面，由 P是线段 A1B上的动点，当 P重合于 A1 或 B时，C1A1，C1B与平面 D1EF的交点分别为 M，N，即点 Q的轨迹为 MN，由正方体棱长 为 3 2，得 C1M＝ 1 2 A1C1＝3，则 BC1＝6，又 ���1�1＝ �� ��1 ＝ 1 2 ，则 NC1＝ 2 3 BC1＝4，由 A1B＝BC1＝A1C1， 得∠A1C1B＝60°，则 MN＝ ��12 +��12-2��1·��1·cos∠�1�1�＝ 9 + 16 − 2 × 3 × 4 × 1 2 ＝ 13. 答案： 13 二、常见空间几何体截面的作法 技法 1 直接法 若截面上的点都在几何体的棱上，且两两在同一个平面内，可借助基本事实“如果一条直 线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内”，直接连线作截面. 【例 2】 在正方体 ABCD－A1B1C1D1中，P为 BB1的中点，画出过 A1，C1，P的截面. 解 因为此三点在几何体的棱上，且两两在一个平面内，直接连接 A1P，A1C1，C1P就得到截 面 A1C1P. 技法 2 平行线法 若截面与几何体的两个平行平面相交，或者截面上有一条直线与几何体的某一个面平行， 可以借助于两个性质：①如果一条直线平行于一个平面，经过这条直线的平面与这个平面相交， 那么这条直线就和交线平行；②如果两个平面平行，第三个平面和它们相交，那么两条交线平 行，利用平行线法作截面. 【例 3】 在正方体 ABCD－A1B1C1D1中，P为 BB1的中点，画出过 A1，D1，P的截面. 解 连接 A1P，其余面上的交线根据平面的性质寻找，由于 A1，D1，P在一个平面内，且两个 平面 A1ADD1和 B1BCC1平行，只要过 P作 A1D1的平行线就可以了.即设 CC1的中点为 Q，连 接 PQ和 D1Q，得到截面 A1D1QP. 技法 3 延长线法 若截面上的点中至少有两个点在几何体的一个表面上，可以借助于基本事实“如果一条直 线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内”，利用延长线法作截面. 【例 4】 在正方体 ABCD－A1B1C1D1中，E，F，Q分别为 AB，BC，AA1的中点，画出过 E， F，Q的截面. 解 连接 EF，得到平面 EFQ和平面 ABCD的交线，其余面由正方体的性质和平面的性质来判 断，延长 FE，EF，分别交 DA，DC的延长线于 G，H，则 G，Q都在平面 AA1D1D内，连接 GQ并延长交 A1D1于点 P，交 DD1的延长线于点 S，则 S，H都在平面 DD1C1C内，连接 SH 交 D1C1于点 M，交 CC1于点 N，连接 QE，NF，PM，MN，就得到截面 EFNMPQ. 【变式】如图，正方体 ABCD －A1B1C1D1的棱长为 4，P，Q分别为棱 A1B1，DD1的中点，过 P，Q，B作正方体的截面，则截面多边形的周长是（ ） A.5＋2 5＋4 2 B.10＋4 5＋ 13 C.10＋2 5＋ 13 D.25+9 5+2 13 3 解析：D 由题意得如图所示的截面五边形 PBMQN.易知 CM＝3，DM＝1，D1N＝ 4 3 ，A1N＝ 8 3 ， B1P＝A1P＝DQ＝D1Q＝2，故 BP＝ 16 + 4＝2 5，BM＝ 16 + 9＝5，QM＝ 1 + 4＝ 5，QN ＝ 4 3 2 + 4＝2 13 3 ，PN＝ 8 3 2 + 4＝10 3 .所以截面五边形 PBMQN的周长为25+9 5+2 13 3 . 三、截面图形的判断与计算 通过作截面图形，将立体几何问题转化为平面几何问题，所有的判断与计算可依照平面几 何的性质、定理及公式求解. 【例 5】（1）在正方体 ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是棱 DD1和 BB1上的点，MD＝ 1 3 DD1， NB＝1 3 BB1，那么正方体中过点 M，N，C1的截面图形是 （ ） A.三角形 B.四边形 C.五边形 D.六边形 （2）如图，在正方体 ABCD－A1B1C1D1中，E是 BC的中点，平面α经过直线 BD且与直线 C1E 平行，若正方体的棱长为 2，则平面α截正方体所得的多边形的面积为 . 解析 （1）先确定截面上的已知边与几何体上和其共面的边的交点，再确定截面与几何体的 棱的交点.如图，设直线 C1M，CD相交于点 P，直线 C1N，CB相交于点 Q，连接 PQ交直线 AD于点 E，交直线 AB于点 F，则五边形 C1MEFN为所求截面图形. （2）如图，过点 B作 BM∥C1E交 B1C1于点 M，过点 M作 BD的平行线，交 C1D1于点 N，连 接 DN，则平面 BDNM即为符合条件的平面α，由作图可知 M，N分别为 B1C1，C1D1的中点， 故 BD＝2 2，MN＝ 2，且 BM＝DN＝ 5，∴等腰梯形 MNDB的高为 h＝ ( 5)2- 2 2 2 ＝ 3 2 2 ， ∴梯形 MNDB的面积为1 2 ×（ 2＋2 2）×3 2 2 ＝ 9 2 . 答案 （1）C （2）9 2 【变式 1】过正方体 ABCD －A1B1C1D1的体对角线 BD1的截面面积为 S，Smax和 Smin分别为 S 的最大值和最小值，则 �m�� �min ＝ （ ） A. 3 2 B. 6 2 C.2 3 3 D.2 6 3 解析：C 设 M，N分别为 AA1，CC1的中点（图略），易证截面 BMD1N是边长为 5 2 的菱形（正 方体棱长设为 1），其面积 Smin＝ 6 2 .而截面 BB1D1D是矩形，其面积 Smax＝ 2，故 �m�� �min ＝ 2 6 2 ＝ 2 3 3 . 【变式 2】（多选）正方体 ABCD－A1B1C1D1的棱长为 2，已知平面α⊥AC1，则关于α截此正方 体所得截面的判断正确的是（ ） A.截面形状可能为正三角形 B.截面形状可能为正方形 C.截面形状可能为正六边形 D.截面面积最大值为 3 3 解析：ACD 易知 A、C正确，B不正确，下面说明 D正确，如图，截面为正六边形，当六 边形的顶点均为棱的中点时，其面积最大，MN＝2 2，GH＝ 2，OE＝ ��'2 + �'�2＝ 1 + 2 2 2 ＝ 6 2 ，所以 S＝2×1 2 ×（ 2＋2 2）× 6 2 ＝3 3，故 D正确. 【变式 3】如图，正方体 A1C的棱长为 1，点 M在棱 A1D1上，A1M＝2MD1，过 M的平面α与 平面 A1BC1平行，且与正方体各面相交得到截面多边形，则该截面多边形的周长为 . 解析：如图所示，因为 A1M＝2MD1，故该截面与正方体的交点位于靠近 D1，A，C的三等分 点处，故可得截面为 MIHGFE，设正方体的棱长为 3a，则 ME＝2 2a，MI＝ 2a，IH＝2 2a， HG＝ 2a，FG＝2 2a，EF＝ 2a，所以截面 MIHGFE的周长为 ME＋EF＋FG＋GH＋HI＋IM ＝9 2a，又因为正方体 A1C的棱长为 1，即 3a＝1，故截面多边形的周长为 3 2. 答案：3 2 空间几何体的交线与截面问题 空间几何体的交线与截面问题是立体几何的难点也是高考的热点，利用平面的性质是处理 交线与截面问题的关键. 一、空间几何体的交线 作交线的方法有两种： ①利用基本事实作交线； ②利用线面平行及面面平行的性质定理去寻找线面平行及面面平行，然后根据性质作交线. 【例 1】已知直四棱柱 ABCD－A1B1C1D1的棱长均为 2，∠BAD＝60°.以 D1为球心， 5为半 径的球面与侧面 BCC1B1的交线长为 . 【变式】已知正方体 ABCD－A1B1C1D1的棱长为 3 2，E，F分别为 BC，CD的中点，P是线 段 A1B上的动点，C1P与平面 D1EF的交点 Q的轨迹长为 . 二、常见空间几何体截面的作法 技法 1 直接法 若截面上的点都在几何体的棱上，且两两在同一个平面内，可借助基本事实“如果一条直 线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内”，直接连线作截面. 【例 2】 在正方体 ABCD－A1B1C1D1中，P为 BB1的中点，画出过 A1，C1，P的截面. 技法 2 平行线法 若截面与几何体的两个平行平面相交，或者截面上有一条直线与几何体的某一个面平行， 可以借助于两个性质：①如果一条直线平行于一个平面，经过这条直线的平面与这个平面相交， 那么这条直线就和交线平行；②如果两个平面平行，第三个平面和它们相交，那么两条交线平 行，利用平行线法作截面. 【例 3】 在正方体 ABCD－A1B1C1D1中，P为 BB1的中点，画出过 A1，D1，P的截面. 技法 3 延长线法 若截面上的点中至少有两个点在几何体的一个表面上，可以借助于基本事实“如果一条直 线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内”，利用延长线法作截面. 【例 4】 在正方体 ABCD－A1B1C1D1中，E，F，Q分别为 AB，BC，AA1的中点，画出过 E， F，Q的截面. 【变式】如图，正方体 ABCD －A1B1C1D1的棱长为 4，P，Q分别为棱 A1B1，DD1的中点，过 P，Q，B作正方体的截面，则截面多边形的周长是（ ） A.5＋2 5＋4 2 B.10＋4 5＋ 13 C.10＋2 5＋ 13 D.25+9 5+2 13 3 三、截面图形的判断与计算 通过作截面图形，将立体几何问题转化为平面几何问题，所有的判断与计算可依照平面几 何的性质、定理及公式求解. 【例 5】（1）在正方体 ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是棱 DD1和 BB1上的点，MD＝13DD1， NB＝1 3 BB1，那么正方体中过点 M，N，C1的截面图形是 （ ） A.三角形 B.四边形 C.五边形 D.六边形 （2）如图，在正方体 ABCD－A1B1C1D1中，E是 BC的中点，平面α经过直线 BD且与直线 C1E 平行，若正方体的棱长为 2，则平面α截正方体所得的多边形的面积为 . 【变式 1】过正方体 ABCD －A1B1C1D1的体对角线 BD1的截面面积为 S，Smax和 Smin分别为 S 的最大值和最小值，则 �m�� �min ＝ （ ） A. 3 2 B. 6 2 C.2 3 3 D.2 6 3 【变式 2】（多选）正方体 ABCD－A1B1C1D1的棱长为 2，已知平面α⊥AC1，则关于α截此正方 体所得截面的判断正确的是（ ） A.截面形状可能为正三角形 B.截面形状可能为正方形 C.截面形状可能为正六边形 D.截面面积最大值为 3 3 【变式 3】如图，正方体 A1C的棱长为 1，点 M在棱 A1D1上，A1M＝2MD1，过 M的平面α与 平面 A1BC1平行，且与正方体各面相交得到截面多边形，则该截面多边形的周长为 . 空间几何体的交线与截面问题 　　空间几何体的交线与截面问题是立体几何的难点也是高考的热点，利用平面的性质是处理交线与截面问题的关键. 一、空间几何体的交线 作交线的方法有两种： ①利用基本事实作交线； ②利用线面平行及面面平行的性质定理去寻找线面平行及面面平行，然后根据性质作交线. 【例1】已知直四棱柱ABCD－A1B1C1D1的棱长均为2，∠BAD＝60°.以D1为球心，为半径的球面与侧面BCC1B1的交线长为　　　　.  解析　如图，连接B1D1，易知△B1C1D1为正三角形，所以B1D1＝C1D1＝2.分别取B1C1，BB1，CC1的中点M，G，H，连接D1M，D1G，D1H，则易得D1G＝D1H＝＝，D1M⊥B1C1，且D1M＝.由题意知G，H分别是BB1，CC1与球面的交点.在侧面BCC1B1内任取一点P，使MP＝，连接D1P，则D1P＝＝＝，连接MG，MH，易得MG＝MH＝，故可知以M为圆心，为半径的圆弧GH为球面与侧面BCC1B1的交线.由∠B1MG＝∠C1MH＝45°知∠GMH＝90°，所以的长为×2π×＝. 答案　 【变式】已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为3，E，F分别为BC，CD的中点，P是线段A1B上的动点，C1P与平面D1EF的交点Q的轨迹长为　　　　.  解析：如图所示，连接EF，A1B，D1F，连接A1C1，B1D1交于点M，连接B1E，BC1交于点N，连接MN，由EF∥B1D1，即E，F，B1，D1共面，由P是线段A1B上的动点，当P重合于A1或B时，C1A1，C1B与平面D1EF的交点分别为M，N，即点Q的轨迹为MN，由正方体棱长为3，得C1M＝A1C1＝3，则BC1＝6，又＝＝，则NC1＝BC1＝4，由A1B＝BC1＝A1C1，得∠A1C1B＝60°，则MN＝＝＝. 答案： 二、常见空间几何体截面的作法 技法1　直接法 若截面上的点都在几何体的棱上，且两两在同一个平面内，可借助基本事实“如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内”，直接连线作截面. 【例2】　在正方体ABCD－A1B1C1D1中，P为BB1的中点，画出过A1，C1，P的截面. 解　因为此三点在几何体的棱上，且两两在一个平面内，直接连接A1P，A1C1，C1P就得到截面A1C1P. 技法2　平行线法 　若截面与几何体的两个平行平面相交，或者截面上有一条直线与几何体的某一个面平行，可以借助于两个性质：①如果一条直线平行于一个平面，经过这条直线的平面与这个平面相交，那么这条直线就和交线平行；②如果两个平面平行，第三个平面和它们相交，那么两条交线平行，利用平行线法作截面. 【例3】　在正方体ABCD－A1B1C1D1中，P为BB1的中点，画出过A1，D1，P的截面. 解　连接A1P，其余面上的交线根据平面的性质寻找，由于A1，D1，P在一个平面内，且两个平面A1ADD1和B1BCC1平行，只要过P作A1D1的平行线就可以了.即设CC1的中点为Q，连接PQ和D1Q，得到截面A1D1QP. 技法3　延长线法 　 若截面上的点中至少有两个点在几何体的一个表面上，可以借助于基本事实“如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内”，利用延长线法作截面. 【例4】　在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，Q分别为AB，BC，AA1的中点，画出过E，F，Q的截面. 解　连接EF，得到平面EFQ和平面ABCD的交线，其余面由正方体的性质和平面的性质来判断，延长FE，EF，分别交DA，DC的延长线于G，H，则G，Q都在平面AA1D1D内，连接GQ并延长交A1D1于点P，交DD1的延长线于点S，则S，H都在平面DD1C1C内，连接SH交D1C1于点M，交CC1于点N，连接QE，NF，PM，MN，就得到截面EFNMPQ. 【变式】如图，正方体ABCD －A1B1C1D1的棱长为4，P，Q分别为棱A1B1，DD1的中点，过P，Q，B作正方体的截面，则截面多边形的周长是（　　） A.5＋2＋4 B.10＋4＋ C.10＋2＋ D. 解析：D　由题意得如图所示的截面五边形PBMQN.易知CM＝3，DM＝1，D1N＝，A1N＝，B1P＝A1P＝DQ＝D1Q＝2，故BP＝＝2，BM＝＝5，QM＝＝，QN＝＝，PN＝ ＝.所以截面五边形PBMQN的周长为. 三、截面图形的判断与计算 　通过作截面图形，将立体几何问题转化为平面几何问题，所有的判断与计算可依照平面几何的性质、定理及公式求解. 【例5】（1）在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是棱DD1和BB1上的点，MD＝DD1，NB＝BB1，那么正方体中过点M，N，C1的截面图形是 （　　） A.三角形　　　　　　　B.四边形 C.五边形 D.六边形 （2）如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是BC的中点，平面α经过直线BD且与直线C1E平行，若正方体的棱长为2，则平面α截正方体所得的多边形的面积为　　　　.  解析　（1）先确定截面上的已知边与几何体上和其共面的边的交点，再确定截面与几何体的棱的交点.如图，设直线C1M，CD相交于点P，直线C1N，CB相交于点Q，连接PQ交直线AD于点E，交直线AB于点F，则五边形C1MEFN为所求截面图形. （2）如图，过点B作BM∥C1E交B1C1于点M，过点M作BD的平行线，交C1D1于点N，连接DN，则平面BDNM即为符合条件的平面α，由作图可知M，N分别为B1C1，C1D1的中点，故BD＝2，MN＝，且BM＝DN＝，∴等腰梯形MNDB的高为h＝＝，∴梯形MNDB的面积为×（＋2）×＝. 答案　（1）C　（2） 【变式1】过正方体ABCD －A1B1C1D1的体对角线BD1的截面面积为S，Smax和Smin分别为S的最大值和最小值，则＝ （　　） A.　　　　　　　　　B. C. D. 解析：C　设M，N分别为AA1，CC1的中点（图略），易证截面BMD1N是边长为的菱形（正方体棱长设为1），其面积Smin＝.而截面BB1D1D是矩形，其面积Smax＝，故＝＝. 【变式2】（多选）正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，已知平面α⊥AC1，则关于α截此正方体所得截面的判断正确的是 （　　） A.截面形状可能为正三角形 B.截面形状可能为正方形 C.截面形状可能为正六边形 D.截面面积最大值为3 解析：ACD　易知A、C正确，B不正确，下面说明D正确，如图，截面为正六边形，当六边形的顶点均为棱的中点时，其面积最大，MN＝2，GH＝，OE＝＝＝，所以S＝2××（＋2）×＝3，故D正确. 【变式3】如图，正方体A1C的棱长为1，点M在棱A1D1上，A1M＝2MD1，过M的平面α与平面A1BC1平行，且与正方体各面相交得到截面多边形，则该截面多边形的周长为　　　　.  解析：如图所示，因为A1M＝2MD1，故该截面与正方体的交点位于靠近D1，A，C的三等分点处，故可得截面为MIHGFE，设正方体的棱长为3a，则ME＝2a，MI＝a，IH＝2a，HG＝a，FG＝2a，EF＝a，所以截面MIHGFE的周长为ME＋EF＋FG＋GH＋HI＋IM＝9a，又因为正方体A1C的棱长为1，即3a＝1，故截面多边形的周长为3. 答案：3 学科网（北京）股份有限公司 $$