第13章 三角形中的边角关系、命题与证明 习题课件 2025-2026学年沪科版（2024）数学八年级上册

13.2 命题与证明 第1课时 命 题 1 知识点1 定义 1.下列属于定义的是( ) D A.两点确定一条直线 B.两直线平行，同位角相等 C.等角的补角相等 D.线段是直线上的两点和两点间的部分 ‹#› 第1课时 命 题 练 基础 练 能力 2 2.等腰三角形的定义：有____________的三角形叫作等腰三角形. 两条边相等 ‹#› 第1课时 命 题 练 基础 练 能力 3 知识点2 命题及真假命题 3.下列语句中，属于命题的是( ) A A.两点之间，线段最短 B.庄子故里欢迎您 C.作线段 的垂线 D.你吃饭了吗 ‹#› 第1课时 命 题 练 基础 练 能力 4 4.（2024·合肥期末）下列命题中，属于真命题的是( ) B A.相等的角是对顶角 B.如果，那么 C.内错角相等 D.同旁内角互补 ‹#› 第1课时 命 题 练 基础 练 能力 5 5.下列命题：①如果，那么 ；②如果两个角相等，那么这两个角为同位 角；③如果，那么；④如果与互补，那么 ，其中 假命题有( ) C A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 ‹#› 第1课时 命 题 练 基础 练 能力 6 知识点3 命题的构成及改写 6.（2025·安徽模拟）把命题“同旁内角互补，两直线平行”改写成“如果……那么……”的 形式：________________________________________________________________. 如果两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补，那么这两条直线平行 ‹#› 第1课时 命 题 练 基础 练 能力 7 7.填空： （1）命题“平方相等的两实数相等”的条件是____________________，结论是________ _________，此命题是____（填“真”或“假”）命题； （2）命题“一个钝角的补角小于这个角”的条件是______________，结论是__________ _______________，此命题是____（填“真”或“假”）命题. 两个实数的平方相等 这两个 实数相等 假 一个角是钝角 这个角的 补角小于这个角 真 ‹#› 第1课时 命 题 练 基础 练 能力 8 知识点4 互逆命题及反例 8.下列说法正确的是( ) A A.命题一定有逆命题 B.真命题的逆命题一定是真命题 C.假命题的逆命题一定是假命题 D.以上都对 ‹#› 第1课时 命 题 练 基础 练 能力 9 9.对于命题“如果，那么 ”，能说明它属于假命题的反例是( ) A A. B. C. D. ‹#› 第1课时 命 题 练 基础 练 能力 10 10.命题“如果，那么， 互为倒数”的逆命题是____________________________， 它的逆命题是____（填“真”或“假”）命题. 如果,互为倒数，那么 真 ‹#› 第1课时 命 题 练 基础 练 能力 11 11.下列各图中，能说明“锐角 与锐角 的和是锐角”是假命题的是( ) C A. B. C. D. ‹#› 第1课时 命 题 练 基础 练 能力 12 12.（8分）写出下列命题的逆命题，并判断它们的真假，若是假命题，则举反例加以说明. （1）一次函数，若， ，则它的图象不经过第四象限. 解：逆命题：如果一次函数的图象不经过第四象限，那么， . 逆命题是假命题.反例：当， 时，一次函数的图象也不经过第四象限. （2）如果是的中点，那么 注:选择题每题4分，填空题每题5分. 解：逆命题：如果，那么是 的中点. 逆命题是假命题.反例：当点在的延长线上，且时，不是 的中点. ‹#› 第1课时 命 题 练 基础 练 能力 13 $$13.2 命题与证明 第4课时 三角形的外角 1 知识点1 三角形的外角 1.下列各图中，是 的一个外角的是( ) D A. B. C. D. ‹#› 第4课时 三角形的外角 练 基础 练 能力 2 2.如图，是_______的一个外角； 是_______的一个外角. ‹#› 第4课时 三角形的外角 练 基础 练 能力 3 知识点2 三角形的外角的性质 3.如图，在中，是延长线上一点， ， ，则 的度数 为( ) B 第3题图 A. B. C. D. ‹#› 第4课时 三角形的外角 练 基础 练 能力 4 第4题图 4.如图，在中，点，在射线上，则，， 之间 的大小关系为( ) D A. B. C. D. ‹#› 第4课时 三角形的外角 练 基础 练 能力 5 5.一副三角尺按如图所示的方式放置，则 的度数为____. ‹#› 第4课时 三角形的外角 练 基础 练 能力 6 知识点3 三角形的外角和为 6.（8分） 证明“三角形的外角和为 ”. 如图，,,是 的三个外角. 求证： . 证明：过点作射线，使 （图略）, 则， . 因为 ， 所以 . ‹#› 第4课时 三角形的外角 练 基础 练 能力 7 7.如图，若 ，则 的度数为______. 第7题图 ‹#› 第4课时 三角形的外角 练 基础 练 能力 8 8.（2025·安徽模拟）如图，将三角形纸片沿折叠，使点落在点 处，连接 ，，平分，平分 . 第8题图 （1）若 ，则 的度数为____. （2）若的度数为 ，的度数为 ，则 与 之间的数量关系是______ _________.注:选择题每题4分，填空题每题5分. ‹#› 第4课时 三角形的外角 练 基础 练 能力 9 $$13.1 三角形中的边角关系 13.1.2 三角形中角的关系 1 知识点1 三角形内角和定理 1.（2024·宿州期末）如图， 缺了一部分，若 ， ，则 的度数是( ) C A. B. C. D. ‹#› 13.1.2 三角形中角的关系 练 基础 练 能力 练 素养 2 2.在中， ，则 等于( ) C A. B. C. D. ‹#› 13.1.2 三角形中角的关系 练 基础 练 能力 练 素养 3 3.（2024·湖南长沙中考）如图，在中， ， ， ， 则 的度数为( ) C A. B. C. D. ‹#› 13.1.2 三角形中角的关系 练 基础 练 能力 练 素养 4 4.如图,将铅笔放置在的边上，笔尖方向为从点到点 的方向，把铅笔依次绕 点、点、点按逆时针方向旋转，， 的度数，观察笔尖方向的变化，这种 变化说明了______________________. 三角形内角和等于 ‹#› 13.1.2 三角形中角的关系 练 基础 练 能力 练 素养 5 5.如图所示，____ ，____ . 35 90 ‹#› 13.1.2 三角形中角的关系 练 基础 练 能力 练 素养 6 6. 在 中， （1）若 ，，则_____ ； （2）若， ，则____ . 108 20 ‹#› 13.1.2 三角形中角的关系 练 基础 练 能力 练 素养 7 知识点2 三角形按角分类 7.下面给出的四个三角形都有一部分被遮挡了，其中不能判断三角形类型的是( ) C A. B. C. D. ‹#› 13.1.2 三角形中角的关系 练 基础 练 能力 练 素养 8 8.若一个三角形中有一个角是 ，则这个三角形一定是( ) B A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形 D.正（等边）三角形 ‹#› 13.1.2 三角形中角的关系 练 基础 练 能力 练 素养 9 9. 在中，如果，那么 是( ) A A.锐角三角形 B.直角三角形 C.等边三角形 D.钝角三角形 ‹#› 13.1.2 三角形中角的关系 练 基础 练 能力 练 素养 10 10.（8分） 如图，已知 ，，垂足是 . （1）求 的度数； 解： . （2）写出图中所有的直角三角形，并指出它们的斜边. 解：题图中的直角三角形有，，，它们的斜边分别是，， . ‹#› 13.1.2 三角形中角的关系 练 基础 练 能力 练 素养 11 11.下列说法正确的是( ) A A.三角形的内角中最多有一个直角 B.三角形的内角中最多有两个锐角 C.三角形的内角中最多有一个锐角 D.三角形的内角都大于 ‹#› 13.1.2 三角形中角的关系 练 基础 练 能力 练 素养 12 12.一副三角尺拼成的图案如图所示，其中 ， ， ，则 的度数为( ) B A. B. C. D. ‹#› 13.1.2 三角形中角的关系 练 基础 练 能力 练 素养 13 13.在中，交线段于点， ， ，则 ____ . 79 ‹#› 13.1.2 三角形中角的关系 练 基础 练 能力 练 素养 14 14.（10分）如图，在中，点为边上的一点，点 为边上的一点， . （1）若 ，求 的度数. 解：因为, ， 所以 . （2）试说明： . 解：因为 ， ， 所以 . 又因为 ， 所以 . ‹#› 13.1.2 三角形中角的关系 练 基础 练 能力 练 素养 15 15.（14分）（应用意识）在一个三角形中，如果一个内角是另一个内角的3倍，这样的 三角形被称为“三倍角三角形”.例如，三个内角分别为 ， ， 的三角形是 “三倍角三角形”. （1）在中， ， ， ①_____ . ② 是“三倍角三角形”吗?为什么? 解：是“三倍角三角形”.理由如下：因为 ， ，所以 ,所以 是“三倍角三角形”. ‹#› 13.1.2 三角形中角的关系 练 基础 练 能力 练 素养 16 （2）若是“三倍角三角形”，且 ，求 中最小内角的度数. [答案] 因为 ，所以 . 设最小内角的度数为 . ①当时， ，满足题意； ②当最小内角的度数为 时，另外两个角的度数分别为 ， ，满足题意； ③当 时， ， ，不合题意，舍去. 综上所述，中最小内角的度数为 或 . ‹#› 13.1.2 三角形中角的关系 练 基础 练 能力 练 素养 17 $$第13章 三角形中的边角关系、命题与证明 练专题五 三角形与角度相关的常见模型 1 模型1A字模型及其变形 模型总结 如图，，分别是的边， 所在直线上的点，则 . ‹#› 练专题五 三角形与角度相关的常见模型 2 1.如图，在中， ，若 ，则 的度数为____. 第1题图 ‹#› 练专题五 三角形与角度相关的常见模型 3 2.如图，是的边上一点，， ， ，则 的度数为____， 的度数为____. 第2题图 ‹#› 练专题五 三角形与角度相关的常见模型 4 3.（8分）如图，在中， ，求 的大小.（用含 的式子表示） 解：因为 ， 所以 ， 所以 . ‹#› 练专题五 三角形与角度相关的常见模型 5 模型2 8字模型 模型总结 如图， . ‹#› 练专题五 三角形与角度相关的常见模型 6 4.（12分）如图①，已知线段，相交于点，连接， ，我们把这种图形称之 为“8字型”，试解答下列问题： 图① 图② ‹#› 练专题五 三角形与角度相关的常见模型 7 （1）写出图①中，，， 之间的等量关系：___________________. （2）如图②，的平分线和的平分线相交于点，且与交于点, 与 交于点 . ①若 ， ，则____ ； 38 ②探究与， 之间的等量关系，并说明理由. 解：因为的平分线和的平分线相交于点 ， 所以， . 由“8字型”，得， . 两等式相减，得 ， 所以 . ‹#› 练专题五 三角形与角度相关的常见模型 8 模型3飞镖模型 模型总结 如图， . ‹#› 练专题五 三角形与角度相关的常见模型 9 5.一零件示意图如图所示，按规定 ， ， ，判断这个零件 是否合格，只需检验的度数.某质检员量得 ，则这个零件________. （填“合格”或“不合格”） 不合格 ‹#› 练专题五 三角形与角度相关的常见模型 10 6.（8分）如图，在凹四边形中， ， ， ，求 的度数. 下面是学习小组的同学们交流时得到的解决问题的三种方法： 方法一：作射线 ； 方法二：延长交于点 ； 方法三：连接 . 请选择上述方法中的一种，求 的度数. ‹#› 练专题五 三角形与角度相关的常见模型 11 解：答案不唯一，以方法二为例：延长交于点 ，如图所示. 由三角形的外角的性质，得， ， 所以 . ‹#› 练专题五 三角形与角度相关的常见模型 12 7.（12分）如图①所示的图形，像我们常见的学习用品——圆规，我们把这样的图形叫 作“规形图”. 图① 图② 图③ ‹#› 练专题五 三角形与角度相关的常见模型 13 （1）观察“规形图”，试探究与，， 之间的关系，并说明理由. 解：.理由如下：如图，连接并延长到点 . 因为是 的一个外角， 所以 . 同理， ， 所以 ， 即 . ‹#› 练专题五 三角形与角度相关的常见模型 14 （2）请你直接利用以上结论，解决以下三个问题： ①如图②，把一块直角三角尺放置在上，使三角尺的两条直角边， 恰 好分别经过点，， ，则____ ； 36 图② ‹#› 练专题五 三角形与角度相关的常见模型 15 ②如图③，平分，平分，若 ， ，请用含 和 的式子表示 的度数. [答案] 由（1）中的结论可知， ， 所以 . 因为平分，平分 ， 所以， ， 所以 . 因为 ， 所以 ， 所以 . 因为 ， ， 所以 . 图③ ‹#› 练专题五 三角形与角度相关的常见模型 16 $$13.2 命题与证明 第3课时 三角形内角和定理的证明及推论 1 知识点1 三角形内角和定理的证明 1.下列四种辅助线的作法中，不能用于证明“三角形的内角和等于 ”的是( ) B A.①过点作 B.②作于点 C.③过上一点作， D.④延长到点，过点作 ‹#› 第3课时 三角形内角和定理的证明及推论 练 基础 练 能力 练 素养 2 2.数学课上，同学们通过撕、拼的方法，探索、验证三角形的内角和等于 .下面是 小彬的课堂笔记，请阅读操作方法，补全说理过程. 如图①，的三个内角分别为,,.将和 撕下，按图②所示的方式摆拼， 使和的顶点均与的顶点重合，的一边与重合，的一边与 重合. ‹#› 第3课时 三角形内角和定理的证明及推论 练 基础 练 能力 练 素养 3 图① 图② 理由：由操作可知，所以 .（________________________） 同理， ， 所以____//____. 因为经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行，所以点，， 在同一条 直线上， 所以_____ ， 即________ ______. 内错角相等，两直线平行 180 ‹#› 第3课时 三角形内角和定理的证明及推论 练 基础 练 能力 练 素养 知识点2 直角三角形的两锐角互余 3.在中， ，若 ，则 的度数为( ) A A. B. C. D. ‹#› 第3课时 三角形内角和定理的证明及推论 练 基础 练 能力 练 素养 5 在中， ，若，则 的度数为____. ‹#› 第3课时 三角形内角和定理的证明及推论 练 基础 练 能力 练 素养 6 4.如图，在中， ，，则与 互余的角有( ) D A. B. C. D.和 ‹#› 第3课时 三角形内角和定理的证明及推论 练 基础 练 能力 练 素养 7 5.如图，有一个与地面成 角的斜坡，现要在斜坡上竖一电线杆，当电线杆与地面垂 直时，它与斜坡所成的角____ . 60 ‹#› 第3课时 三角形内角和定理的证明及推论 练 基础 练 能力 练 素养 8 6.如图，，，点在线段上，且， ，则 ____ . 60 ‹#› 第3课时 三角形内角和定理的证明及推论 练 基础 练 能力 练 素养 9 知识点3 有两个角互余的三角形是直角三角形 7.在中，，则 是( ) B A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等边三角形 ‹#› 第3课时 三角形内角和定理的证明及推论 练 基础 练 能力 练 素养 10 8.（8分）已知:如图AB//CD，与 的平分线相交于 点.求证： 为直角三角形. 证明：因为 ， 所以 . 因为与的平分线相交于点 ， 所以， ， 所以 . 由“有两个角互余的三角形是直角三角形”，得 为直角 三角形. ‹#› 第3课时 三角形内角和定理的证明及推论 练 基础 练 能力 练 素养 11 9.在下列条件中：，， ， ，，能确定 是直角三角形的有( ) B A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 ‹#› 第3课时 三角形内角和定理的证明及推论 练 基础 练 能力 练 素养 12 易错点 忽略直角三角形中的直角顶点的不确定性导致漏解 10.如图，已知 ，点是射线上的一个动点，在点 的运动过程中，当 恰好是直角三角形时，此时 所有可能的度数为_________. 或 ‹#› 第3课时 三角形内角和定理的证明及推论 练 基础 练 能力 练 素养 13 11.（12分）（2025·淮北模拟）如图，是的角平分线，点在上，交 于点， . 图① 图② ‹#› 第3课时 三角形内角和定理的证明及推论 练 基础 练 能力 练 素养 14 （1）如图①，若，则____ ； 63 （2）如图②，若， ，求 的度数. 解：因为，是的平分线， , 所以 ， ， 所以 ， 所以 ， 所以 . ‹#› 第3课时 三角形内角和定理的证明及推论 练 基础 练 能力 练 素养 15 12.（14分）（2025·安徽模拟）（几何直观）如图①，在 中，已知 ，是边上的高线，是 的平分线. 图① 图② ‹#› 第3课时 三角形内角和定理的证明及推论 练 基础 练 能力 练 素养 16 （1）若 ， . ① 的度数为____； ‹#› 第3课时 三角形内角和定理的证明及推论 练 基础 练 能力 练 素养 17 ②根据①的计算结果，可以猜想与和 之间的等量关系为____________ ______________.（直接写出结论，不需要证明） [解析] 猜想： .证明如下： 因为 ， ， 所以 . 故答案为 . ‹#› 第3课时 三角形内角和定理的证明及推论 练 基础 练 能力 练 素养 18 （2）如图②，若 是钝角，上述猜想的结论是否仍然成立？并说明理由. 解：当 是钝角时，上述猜想仍然成立.理由如下： 设 ， . 根据三角形内角和定理，得 . 因为是 的平分线， 所以 . 因为是边上的高线，所以,,三点共线，所以 . 在中， ， 所以 ， 所以当 是钝角时，上述猜想的结论仍然成立. ‹#› 第3课时 三角形内角和定理的证明及推论 练 基础 练 能力 练 素养 19 $$第13章 三角形中的边角关系、命题与证明 练专题六 三角形中内外角平分线的夹角模型 1 模型1 双内角平分线的夹角模型 模型总结 如图，，分别为的内角平分线，则 . ‹#› 练专题六 三角形中内外角平分线的夹角模型 2 1.（10分）如图，在中，与的平分线交于点 ，琪琪在写作业时，发 现如下规律： ①当 时， ； ②当 时， ； ③当 时， . （1）根据上述规律，若 ，则_____ ； 135 ‹#› 练专题六 三角形中内外角平分线的夹角模型 3 （2）请你用数学表达式归纳出与 之间的数量关系，并说明理由. 解： .理由如下： 在中， . 因为与的平分线交于点 ， 所以， ， 所以 ， 所以 . ‹#› 练专题六 三角形中内外角平分线的夹角模型 4 模型2 内外角平分线的夹角模型分 模型总结 如图，，分别为的内角平分线、外角平分线，则 . ‹#› 练专题六 三角形中内外角平分线的夹角模型 5 2.（10分）如图，在中，内角平分线和外角平分线相交于点 . （1）若 ， ，则____ ; 25 （2）若 ，则____ ; （3）根据以上计算过程，探究与 之间的数量关系. 45 解： . ‹#› 练专题六 三角形中内外角平分线的夹角模型 6 模型3 双外角平分线夹角模型 模型总结 如图，，为的外角平分线，则 . ‹#› 练专题六 三角形中内外角平分线的夹角模型 7 3.如图，,分别平分,，,分别平分的两个外角, . （1）若 ，则____ ； （2）无论的内角如何变化，和 的数量关系为________________. 32 ‹#› 练专题六 三角形中内外角平分线的夹角模型 8 $$13.1 三角形中的边角关系 13.1.3 三角形中几条重要线段 1 知识点1 三角形的高 1. 下列各图中，能正确表示的边 上的高的是( ) D A. B. C. D. ‹#› 13.1.3 三角形中几条重要线段 练 基础 练 能力 练 素养 2 2.如果一个三角形的三条高的交点恰好是三角形的一个顶点，那么这个三角形是( ) C A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形 D.等边三角形 ‹#› 13.1.3 三角形中几条重要线段 练 基础 练 能力 练 素养 3 3.（10分）如图所示，，分别是的高，已知， . ‹#› 13.1.3 三角形中几条重要线段 练 基础 练 能力 练 素养 4 （1）请画出的高和 ； 解：依题意，， 即为所求作的高，如图所示. ‹#› 13.1.3 三角形中几条重要线段 练 基础 练 能力 练 素养 5 （2）求 的面积； 解：因为，，是 的高， 所以 . （3）若，求 的长. 解：因为,是的高，且 ，所以 ，所以 . ‹#› 13.1.3 三角形中几条重要线段 练 基础 练 能力 练 素养 6 知识点2 三角形的角平分线 4.如图，， ，下列结论错误的是( ) D A.是的角平分线 B.是 的角平分线 C. D.是 的角平分线 ‹#› 13.1.3 三角形中几条重要线段 练 基础 练 能力 练 素养 7 5.如图，为的角平分线，，交于点.若 ，则 ____ . 50 ‹#› 13.1.3 三角形中几条重要线段 练 基础 练 能力 练 素养 8 知识点3 三角形的中线 6.三角形一边上的中线把原三角形分成两个( ) B A.形状相同的三角形 B.面积相等的三角形 C.直角三角形 D.周长相等的三角形 ‹#› 13.1.3 三角形中几条重要线段 练 基础 练 能力 练 素养 9 7.如图，在中，若， ， ,均是的中线，则 的周长是( ) B A.22 B.26 C.35 D.45 ‹#› 13.1.3 三角形中几条重要线段 练 基础 练 能力 练 素养 10 8.如图，在中，，分别是边，的中点，与相交于点，则点 是 的______，若，则 ___. 重心 3 ‹#› 13.1.3 三角形中几条重要线段 练 基础 练 能力 练 素养 11 9.如图，在中，点，，分别为，， 的中点，且阴影部分的面积为 ，则____ . 64 ‹#› 13.1.3 三角形中几条重要线段 练 基础 练 能力 练 素养 12 10.如图，在中，，分别是边上的中线与高，若， 的面积 是6，则 的长是___. 3 ‹#› 13.1.3 三角形中几条重要线段 练 基础 练 能力 练 素养 13 易错点 忽略对高的位置的分类讨论而出错 11.已知是的高， ， ，则 的度数是_________. 或 ‹#› 13.1.3 三角形中几条重要线段 练 基础 练 能力 练 素养 14 12.在中，是的中点，，，用剪刀从点 入手进行裁剪. （1）若沿 剪成两个三角形，则它们周长的差为___； （2）若点在上，沿剪开，得到的两部分周长的差为2，则 的长为______. 4 1或3 ‹#› 13.1.3 三角形中几条重要线段 练 基础 练 能力 练 素养 15 13.（8分） 如图，已知钝角三角形 .（不必尺规作图） ‹#› 13.1.3 三角形中几条重要线段 练 基础 练 能力 练 素养 16 （1）画出边上的中线 ； 解：如图所示. ‹#› 13.1.3 三角形中几条重要线段 练 基础 练 能力 练 素养 17 （2）画出的角平分线 ； 解：如图所示. ‹#› 13.1.3 三角形中几条重要线段 练 基础 练 能力 练 素养 18 （3）画出的边上的高 ； 解：如图所示. （4）若，，求 的面积. 解： . ‹#› 13.1.3 三角形中几条重要线段 练 基础 练 能力 练 素养 19 14.（14分）（几何直观）如图，在中，，分别是， 的平分线. （1）若 ， ，则的度数是____；若 ，则 的 度数是____. ‹#› 13.1.3 三角形中几条重要线段 练 基础 练 能力 练 素养 20 （2）探究与 之间的数量关系，并证明你的结论. 解： . 证明：因为，分别是， 的平分线， 所以， . 因为 , , 所以 . ‹#› 13.1.3 三角形中几条重要线段 练 基础 练 能力 练 素养 21 $$13.1 三角形中的边角关系 13.1.1 三角形中边的关系 1 知识点1 三角形的概念及相关元素 1.观察下列图形，其中是三角形的是( ) A A. B. C. D. ‹#› 13.1.1 三角形中边的关系 练 基础 练 能力 练 素养 2 2.（10分）如图所示. （1）图中共有___个三角形，用符号分别表示为_____________ ______________________________.其中以 为边的三角形有 _______________________；以 为一个内角的三角形有 ________________. 5 ，，，， ，， ， （2） 的顶点分别为_______________；三个内角分别是 _________________________. 点、点、点 ，， （3）在中，的对边是____，的对角是_______;与 的公共 边是____，公共角是______________. ‹#› 13.1.1 三角形中边的关系 练 基础 练 能力 练 素养 3 知识点2 三角形按边分类 3.三角形按边分类可分为( ) D A.不等边三角形、等边三角形 B.等腰三角形、等边三角形 C.不等边三角形、等腰三角形、等边三角形 D.不等边三角形、等腰三角形 ‹#› 13.1.1 三角形中边的关系 练 基础 练 能力 练 素养 4 4.手工课上，圆圆用长的彩绳围成了一个边长比为 的三角形.若按边分类， 则这个三角形是______三角形，它的腰长为______. 等腰 ‹#› 13.1.1 三角形中边的关系 练 基础 练 能力 练 素养 5 知识点3 三角形的三边关系 5. 用下列长度的三条线段，不能组成一个三角形的是( ) C A.1，5，5 B.3，4，5 C.2，4，6 D.3，3，3 ‹#› 13.1.1 三角形中边的关系 练 基础 练 能力 练 素养 6 6.如图（示意图），为了估计池塘岸边， 两点之间的距离，小明在 该池塘的一侧选取一点，测得，，则， 两点 之间的距离可能是( ) C A. B. C. D. ‹#› 13.1.1 三角形中边的关系 练 基础 练 能力 练 素养 7 7.已知三角形的三边长分别为2，，13，若 为正整数，则这样的三角形有( ) B A.2个 B.3个 C.5个 D.13个 ‹#› 13.1.1 三角形中边的关系 练 基础 练 能力 练 素养 8 8.若一个三角形的两边长分别是2和7，则 （1）这个三角形的第三边长 的取值范围是__________； （2）当这个三角形的周长为奇数时，第三边长为______. 6或8 ‹#› 13.1.1 三角形中边的关系 练 基础 练 能力 练 素养 9 易错点 忽略腰、底的分类讨论而出错 9.（8分） 一个等腰三角形的周长为，其中一边长为 ，则 这个三角形另外两边的长分别是多少？ ‹#› 13.1.1 三角形中边的关系 练 基础 练 能力 练 素养 10 解：根据题意可知有两种情况： ①当腰长为，周长为 时， 底边长为 . 因为，， 能够组成一个三角形， 所以这个三角形另外两边的长分别是， . ②当底边为，周长为 时， 腰长为 . 因为，， 能够组成一个三角形， 所以这个三角形另外两边的长分别是， . 综上所述，这个三角形另外两边的长分别是，或， . ‹#› 13.1.1 三角形中边的关系 练 基础 练 能力 练 素养 11 10.已知一个三角形的两边长分别是4和11，第三边长为，则 的取值范围在数轴 上表示正确的是( ) A A. B. C. D. ‹#› 13.1.1 三角形中边的关系 练 基础 练 能力 练 素养 12 11.如图，嘉嘉将一根笔直的铁丝放置在数轴上，点，对应的数分别为 ，5，从 点，两处将铁丝弯曲，两头对接，围成一个三角形，其中点对应的数为 ，则点 对应的数可能为( ) A A.2 B.3 C.4 D.5 ‹#› 13.1.1 三角形中边的关系 练 基础 练 能力 练 素养 13 12.已知一个三角形的三边长分别是，，，其中和满足方程组 若这 个三角形的周长为整数，则这个三角形的周长是___. 9 ‹#› 13.1.1 三角形中边的关系 练 基础 练 能力 练 素养 14 13.已知一个三角形的三边长分别是4，， . （1）满足条件的 的取值范围是__________； （2）若这是一个等腰三角形，则 的值为___. 7 ‹#› 13.1.1 三角形中边的关系 练 基础 练 能力 练 素养 15 14.（10分）已知，，是 的三边长. （1）___0，___0，___0.（填“ ”“ ”或“ ”） （2）化简: . 解：因为，， ， 所以 . ‹#› 13.1.1 三角形中边的关系 练 基础 练 能力 练 素养 16 15.（14分）（几何直观） （1）如图①，为内任意一点，猜想可得到___.（填“ ”“ ” 或“ ”） 图① ‹#› 13.1.1 三角形中边的关系 练 基础 练 能力 练 素养 17 （2）填空，试说明以上猜想： 如图②，延长交于点 . 由三角形中任意两边的和大于第三边，得 在中， _________，① 在中， _________，② ,得 ___________________，即___ . 图② ‹#› 13.1.1 三角形中边的关系 练 基础 练 能力 练 素养 18 图③ （3）如图③，四边形是任意四边形，与交于点 .试说明 . 解：由三角形的三边关系可知，在中有 ，在 中有，在中有，在 中有 ，将以上不等式同侧相加，得 ，即 ，所以 . ‹#› 13.1.1 三角形中边的关系 练 基础 练 能力 练 素养 19 $$13.2 命题与证明 第2课时 定理与证明 1 知识点1 定理 1.下列属于定理的是( ) B A.两点之间，线段最短 B.三角形中任意两边的和大于第三边 C.同位角相等，两直线平行 D.一个三角形中不能有两个直角 ‹#› 第2课时 定理与证明 练 基础 练 能力 2 知识点2 推理与证明 2.下列语句中，能作为“三角形中任意两边的和大于第三边”的依据的是( ) A A.两点之间，线段最短 B.三角形内角和为 C.同位角相等，两直线平行 D.垂线段最短 ‹#› 第2课时 定理与证明 练 基础 练 能力 3 3.如图，下列推理中错误的是( ) D A.因为，所以 B.因为，所以 C.因为，，所以 D.因为 ，所以 ‹#› 第2课时 定理与证明 练 基础 练 能力 4 4. 补充完成下列证明，并填上推理的 依据. 已知：如图，,和互余，点,, 在同 一条直线上. 证明：因为 ，（已知） 所以 ，（____________） 所以 _____ .（补角的定义） 又因为与 互余，（已知） 所以 ____，（互余的定义） 所以 ，（__________） 所以 .（________________________） 垂直的定义 等量代换 内错角相等，两直线平行 求证： . ‹#› 第2课时 定理与证明 练 基础 练 能力 5 5.（10分）（2024·六安期中） （1）补充完成下列证明，并填上推理的依据. 已知：如图，，，分别平分和 . 求证： . 证明：因为，分别平分和 ，（已知） 所以 _____， _____.（________________） 角平分线的定义 ‹#› 第2课时 定理与证明 练 基础 练 能力 6 因为 ，（已知） 所以 ，（________________________） 所以 ，（__________） 所以 ，（等式的性质） 所以 .（________________________） 两直线平行，内错角相等 等量代换 内错角相等，两直线平行 ‹#› 第2课时 定理与证明 练 基础 练 能力 7 （2）指出（1）的推理中运用了哪两个互逆的真命题. 解：两个互逆的真命题分别为两直线平行，内错角相等；内错角相等，两直线平行. ‹#› 第2课时 定理与证明 练 基础 练 能力 8 6.（10分） 如图，有下列条件： ; ; ，请以其中两个作为题设，另一个作为结论，写出一个真命题，并给予证明. ‹#› 第2课时 定理与证明 练 基础 练 能力 9 解：可由，， ，下面以最后一种情况举例说明. 已知：如题图，， . 求证： . 证明：因为 ，（已知） 所以 .（两直线平行，内错角相等） 因为 ，（已知） 所以 ，（两直线平行，同旁内角互补） 所以 .（等量代换） ‹#› 第2课时 定理与证明 练 基础 练 能力 10 $$第13章 三角形中的边角关系、命题与证明 第13章 章末复习 1 考点1 三角形的三边关系 1.以下列各组长度的线段为边，能组成三角形的是( ) D A.，， B.，， C.，， D.，， ‹#› 第13章 章末复习 练 考点 练 综合 2 2.（2024·马鞍山期中）若三角形的三边长分别为5，7，，则第三边长 的取值范围是 ( ) C A. B. C. D. ‹#› 第13章 章末复习 练 考点 练 综合 3 考点2 三角形的高、角平分线、中线 3.若将三角形纸片按照下面四种方式折叠，得到，则是 的高的是 ( ) C A. B. C. D. ‹#› 第13章 章末复习 练 考点 练 综合 4 4.如图， （1）若是的中线，，则 ； [答案] 6 （2）若是的角平分线，则________；若 ，则 ____ ； （3）若是的高，则 是______三角形. 53 直角 ‹#› 第13章 章末复习 练 考点 练 综合 5 5.（10分）如图，为的中线，为 的中线. （1）作图：在中作出边上的高，边上的高 . 解：如图所示，， 即为所求. ‹#› 第13章 章末复习 练 考点 练 综合 6 （2）若的面积为40，，则中,边上的高 为多少？ 解：因为为的中线，为 的中线， 所以， ， 所以 . 因为的面积为40， ， 所以 ， 所以 ， 即中,边上的高 为4. ‹#› 第13章 章末复习 练 考点 练 综合 7 考点3 三角形中角的关系 6.在中，若 ，，则 ( ) A A. B. C. D. ‹#› 第13章 章末复习 练 考点 练 综合 8 第7题图 7.（2024·安徽一模）如图， 的三个顶点在一组平行线上， ， .若 ，则 ( ) C A. B. C. D. ‹#› 第13章 章末复习 练 考点 练 综合 9 8.如图，在中，高线，交于点.已知 ， ，则____ . 70 第8题图 ‹#› 第13章 章末复习 练 考点 练 综合 10 9.如图，在锐角三角形中， ，将 的顶点放置在边上，使 的两边分别与边，交于点，（点不与点重合，点不与点 重合）.设 ，.若 . 图① 图② （1）如图①，当点与点重合， 时，____ . （2）如图②，当点，均不与点重合时，____ . 30 90 ‹#› 第13章 章末复习 练 考点 练 综合 11 考点4 命题与证明 10.（8分）“如果，那么 ”是真命题，还是假命题?如果是假命题，举一反例并 添加适当的条件使它变成真命题. 解：它是假命题.反例：如果，，那么与 无意义. 如果增加条件“ ”，那么它就可变成真命题. ‹#› 第13章 章末复习 练 考点 练 综合 12 11.（8分）如图，有三个论断：;; .请你从中任选两个 作为题设，另一个作为结论构成一个真命题，并证明该命题的正确性. ‹#› 第13章 章末复习 练 考点 练 综合 13 解：答案不唯一，以①②为题设，③为结论举例： 已知：，.求证： . 证明：如题图，因为， ， 所以 ， 所以 ， 所以 . 又因为，所以 ， 所以 ， 所以 . ‹#› 第13章 章末复习 练 考点 练 综合 14 12.（14分）（综合与实践）【教材背景】教材第89页第1题求五角星形五个角的度数和 （如图①），我们求得 .爱动脑筋的小聪借助几何画 板将图①进行调整，得到图②、图③、图④三个图形，请你帮助小聪解决下列问题： 图① 图② 图③ 图④ 【初步观察】 （1）根据图②，直接写出,,,, 满足的关系式：_______________________ _____________. ‹#› 第13章 章末复习 练 考点 练 综合 15 【初步探究】 （2）如图③，点在上，求证： . 证明：如图， 因为 ， ， 所以， ， 所以 . 因为 ， 所以 ， 所以 . ‹#› 第13章 章末复习 练 考点 练 综合 16 【拓展探究】 （3）如图④，点在 上方，（2）中的结论是否仍成立？请作出辅助线，并说明理由. 解：（2）中的结论仍成立.作辅助线：如图，过点作交于点，交 于点 ，转化为题图③即可求证. ‹#› 第13章 章末复习 练 考点 练 综合 17 理由如下： 因为,所以， . 因为 ， 所以 . 因为 ， ， 所以 ， 所以 ， 所以 ， 即 . ‹#› 第13章 章末复习 练 考点 练 综合 18 $$