1.1 三角形中的线段和角 限时训练 —2025～2026学年苏科版数学八年级上册

2025—2026学年苏科版（2024）数学八年级上学期提优限时训练 1.1 三角形中的线段和角 1．如图，在△ABD中，∠A的对边是 A．BF B．BE C．BD D．BC 2．下列分类正确的是 A．三角形可分为等腰三角形、等边三角形 B．三角形可分为不等边三角形、等腰三角形以及等边三角形 C．三角形可分为不等边三角形和等边三角形 D．三角形可分为不等边三角形和等腰三角形 3．如图所示的图形中，三角形的个数是 A．3 B．4 C．5 D．6 第1题 第3题 第6题 4．若使用如图所示的①②两根直铁丝做成一个三角形框架，则需要将其中一根铁丝折成两段，则可以把铁丝分为两段的是 A．①②都可以 B．①②都不可以 C．只有①可以 D．只有②可以 5．利用一块含30°角的透明直角三角板过点A作△ABC的边BC的垂线，下列三角板摆放的位置正确的是 A B C D 6．如图，已知点D是BC的中点，AE，AF分别是△ABC的角平分线、高线，则下列结论错误的是 A．S△ABC＝2S△ABE B．BD＝CD C．∠AFC＝90° D．∠BAE＝∠CAE 7．△ABC在正方形网格中的位置如图所示，点A，B，C，P均在格点上，则点P是△ABC的 A．三条内角角平分线的交点 B．三条中线的交点 C．三条高的交点 D．三边垂直平分线的交点 8．如图，在△ABC中，延长CA至点F，使得AF＝CA，延长AB至点D，使得BD＝2AB，延长BC至点E，使得CE＝3CB，连接EF、FD、DE，若S△DEF＝36，则S△ABC为 A．1 B．2 C．3 D．4 9．如图，在△ABC中，∠A＝40°，BD、CD分别平分∠ABC、∠ACB，M、N、Q分别在DB、DC、BC的延长线上，BE、CE分别平分∠MBC、∠BCN，BF、CF分别平分∠EBC、∠ECQ，则∠F等于 A．17.5° B．20° C．22.5° D．35° 第7题 第8题 第9题 10．不等边三角形的两条边上的高分别为8和24，若第三条边上的高的长也是整数，则这个整数的最大值是 A．12 B．11 C．10 D．9 11．已知a，b，c是三角形的三条边，则化简＝ ． 12．在△ABC中，AC＝5cm，AD是△ABC中线，把△ABC周长分为两部分，若其差为3cm，则BA＝ ． 13．在△ABC中，∠A＝∠B＝∠C，则这个三角形是 三角形． 14．如图，在△ABC中，AD为中线，DE和DF分别为△ADB和△ADC的高，若AB＝3，AC＝4，DF＝1.5，则DE＝ ． 15．如图，在△ABC中，CD是高，CE是角平分线，BC＞AC．若∠A＝，∠B＝，则∠DCE＝ ．（用含有，的式子表示） 第14题 第15题 16．如图，在矩形ABCD中，已知AB＝5，BC＝12，AC＝13，P是BC边上动点（点P不与点B，C重合），连接AP，作点B关于直线AP的对称点M，则线段MC的最小值为 ． 第16题 第17题 17．如图，△ABC中，点D，E分别在边AC，AB上，AD＝2CD，AE＝BE，BD与CE交于点O，若BC＝6，S四边形ADOE＝5，则AB长的最小值为________． 18．已知：△ABC的三边长分别为a，b，c． （1）化简：； （2）若a，b，c满足，试判断△ABC的形状． 19．【模型呈现】 如图①，D是△ABC边BC的中点，则S△ABD＝S△ACD． 【模型变式】 （1）如图②，若MN∥AB，直接写出图中面积相等的三角形； 【模型应用】 （2）如图③，在四边形ABCD中，过A点画直线AF，交BC于点F，使得AF能将四边形ABCD的面积二等分，请简要写出画法，并写明理由． 20．如图，数轴上，点A，B表示的数分别为a，b，P为负半轴上任意一点，它表示的数为x． （1）计算的值； （2）嘉淇认为：当﹣2≤x＜0时，PO＋PA＜AB，则以PO，PA，AB的长为边长不能构成三角形，若以PO，PA，AB的长为边长能构成三角形，请直接写出x的取值范围． 21．如图，已知点P是△ABC内一点，连结AP，PB，PC，求证：(AB＋AC＋BC)＜PA＋PB＋PC＜AB＋AC＋BC． 22．（1）如图1，在△ABC中，若AD是边BC上的中线，则＝ ；如图2，在△ABC中，若BD＝BC，则＝ ． （2）如图3，若CD，BE分别是△ABC的边AB，AC上的中线，求四边形ADOE的面积可以用如下方法． 连接AO，由AD＝DB，得，S△ADO＝S△BDO， 同理，可得S△CBO＝S△ABO， 设S△ADO＝x，S△AEO＝y，则S△BDO＝x，S△CEO＝y，设S△ABC＝2a， 由题意，得S△ABE＝S△ABC＝a，S△ADC＝S△ABC＝a， 可列方程组，解得＝ ． ∴＝ ． （3）如图4，AD＝AB，AE＝AC，若S△ABC＝21，求S四边形ADOE． 4 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025—2026学年苏科版（2024）数学八年级上学期提优限时训练 1.1 三角形中的线段和角 1．如图，在△ABD中，∠A的对边是 A．BF B．BE C．BD D．BC 【答案】C 【解析】BF是△ABF中∠A的对边；BE是△ABE中∠A的对边；BD是△ABD中∠A的对边；BC是△ABC中∠A的对边；故选C． 2．下列分类正确的是 A．三角形可分为等腰三角形、等边三角形 B．三角形可分为不等边三角形、等腰三角形以及等边三角形 C．三角形可分为不等边三角形和等边三角形 D．三角形可分为不等边三角形和等腰三角形 【答案】D 【解析】等边三角形是特殊的等腰三角形，故排除A和B，不等边三角形是指三边都不相等的三角形，选项C中漏了恰有两边相等的三角形（等腰三角形），故选D． 3．如图所示的图形中，三角形的个数是 A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【解析】有△ABE、△ACE、△CDE、△ABC、△ACD共5个，故选C． 4．若使用如图所示的①②两根直铁丝做成一个三角形框架，则需要将其中一根铁丝折成两段，则可以把铁丝分为两段的是 A．①②都可以 B．①②都不可以 C．只有①可以 D．只有②可以 【答案】C 【解析】三角形的两边之和大于第三边，两根长度分别为5cm和4cm的细木条做一个三角形的框架，可以把5cm的细木条分为两截，理由：5＞4，满足两边之和大于第三边．故选C． 5．利用一块含30°角的透明直角三角板过点A作△ABC的边BC的垂线，下列三角板摆放的位置正确的是 A B C D 【答案】D 【解析】过点A作BC边上的高，当含30°角的透明直角三角板一直角边和高重合时，即为位置摆放正确，选项A，B，C中的摆放均不正确，不符合题意，选项D中的摆放正确，符合题意，故选D． 6．如图，已知点D是BC的中点，AE，AF分别是△ABC的角平分线、高线，则下列结论错误的是 A．S△ABC＝2S△ABE B．BD＝CD C．∠AFC＝90° D．∠BAE＝∠CAE 【答案】A 【解析】根据三角形的角平分线、中线和高的定义判断如下：A、AE不是中线，不能等分△ABC面积，故A错误；B、点D是BC的中点，BD＝CD，该选项正确；C、AF是△ABC的高线，∠AFC＝90°，该选项正确；D、AE是△A BC的角平分线，∠BAE＝∠CAE，该选项正确．故选A． 7．△ABC在正方形网格中的位置如图所示，点A，B，C，P均在格点上，则点P是△ABC的 A．三条内角角平分线的交点 B．三条中线的交点 C．三条高的交点 D．三边垂直平分线的交点 【答案】B 【解析】如图，点E、F分别是BC、AC的中点，AE、BF是△ABC的中线，所以点P是△ABC三条中线的交点，故选B． 8．如图，在△ABC中，延长CA至点F，使得AF＝CA，延长AB至点D，使得BD＝2AB，延长BC至点E，使得CE＝3CB，连接EF、FD、DE，若S△DEF＝36，则S△ABC为 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解析】连接AE，BF，CD，设S△ABC＝x，则S△ABF＝x，S△BDF＝2x，S△BCD＝2x，S△AEC＝S△AEF＝3x，S△CDE＝6x，依题意有：x＋x＋2x＋2x＋3x＋3x＋6x＝36，解得x＝2，故选B． 9．如图，在△ABC中，∠A＝40°，BD、CD分别平分∠ABC、∠ACB，M、N、Q分别在DB、DC、BC的延长线上，BE、CE分别平分∠MBC、∠BCN，BF、CF分别平分∠EBC、∠ECQ，则∠F等于 A．17.5° B．20° C．22.5° D．35° 【答案】A 【解析】因为BD、CD分别平分∠ABC、∠ACB，所以∠D＝90°＋0.5∠A＝110°，因为BE、CE分别平分∠MBC、∠BCN，所以∠E＝90°﹣0.5∠D＝35°，因为BF、CF分别平分∠EBC、∠ECQ，则∠F＝0.5∠E＝17.5°，故选A． 10．不等边三角形的两条边上的高分别为8和24，若第三条边上的高的长也是整数，则这个整数的最大值是 A．12 B．11 C．10 D．9 【答案】B 【解析】设三角形的三边为a，b，c，面积为S，边a上的高为8，边b上的高为24，边c上的高为h，则S，所以，，，因为，所以，解得6＜h＜12，所以h的最大整数值为11，即这个整数的最大值是11，故选B． 11．已知a，b，c是三角形的三条边，则化简＝ ． 【答案】﹣2b＋2c 【解析】∵＞0，＜0，∴＝()﹣[﹣()]＝﹣2b＋2c． 12．在△ABC中，AC＝5cm，AD是△ABC中线，把△ABC周长分为两部分，若其差为3cm，则BA＝ ． 【答案】8cm或2cm 【解析】AD是△ABC中线，BD＝CD，AD把△ABC周长分为的两部分分别是：AB＋BD，AC＋CD，，如果AB＞AC，那么AB﹣5＝3，AB＝8cm；如果AB＜AC，那么5﹣AB＝3，AB＝2cm．故答案为8cm或2cm． 13．在△ABC中，∠A＝∠B＝∠C，则这个三角形是 三角形． 【答案】钝角 【解析】因为∠A＝∠B＝∠C，所以∠B＝4∠A，∠C＝7∠A，则∠A＋4∠A＋7∠A＝180°，所以∠A＝15°，∠C＝7∠A＝105°，所以△ABC是钝角三角形． 14．如图，在△ABC中，AD为中线，DE和DF分别为△ADB和△ADC的高，若AB＝3，AC＝4，DF＝1.5，则DE＝ ． 【答案】2 【解析】∵△ABC中，AD为中线，∴BD＝DC，∴S△ABD＝S△ADC，∵DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，AB＝3，AC＝4，DF＝1.5，∴AB·ED＝AC·DF，∴×3×ED＝×4×1.5，∴ED＝2． 15．如图，在△ABC中，CD是高，CE是角平分线，BC＞AC．若∠A＝，∠B＝，则∠DCE＝ ．（用含有，的式子表示） 【答案】 【解析】∠DCE＝∠ACE﹣∠ACD＝∠ACB﹣(90°﹣∠A)＝(180°﹣∠A﹣∠B)﹣(90°﹣∠A)＝(∠A﹣∠B)＝． 16．如图，在矩形ABCD中，已知AB＝5，BC＝12，AC＝13，P是BC边上动点（点P不与点B，C重合），连接AP，作点B关于直线AP的对称点M，则线段MC的最小值为 ． 【答案】8 【解析】当A、M、C三点不共线时，由三角形两边之差小于第三边得AC﹣AM＜CM，即CM＞8，当A、M、C三点共线时，AC﹣AM＝CM，即CM＝8，则线段MC的最小值为8． 17．如图，△ABC中，点D，E分别在边AC，AB上，AD＝2CD，AE＝BE，BD与CE交于点O，若BC＝6，S四边形ADOE＝5，则AB长的最小值为________． 【答案】4 【解析】因为AD＝2CD，设S△OCD＝x，则S△OAD＝2x，因为AE＝BE，所以设S△OAE＝S△OBE＝y，S△OAC＝S△OBC＝3x，所以S△OCD：S△OBC＝1：3，所以S△OAB＝3S△OAD，即2y＝6x，故y＝3x，因为S四边形ADOE＝5，所以5x＝5，解得x＝1，所以S△ABC＝12x＝12，作AF⊥BC于F，所以BC·AF＝12，因为BC＝6，所以AF＝4，根据点到直线垂线段最短可知AB≥AF＝4，即AB长的最小值为4． 18．已知：△ABC的三边长分别为a，b，c． （1）化简：； （2）若a，b，c满足，试判断△ABC的形状． 【解析】解：（1）∵a，b，c为△ABC的三边长， ∴＞0，＞0，＜0，＜0， ∴ ＝＝﹣2a＋4c； （2）∵且≥0，≥0， ∴＝0且＝0，∴b＝c且a＝c，即a＝b＝c，∴△ABC是等边三角形． 19．【模型呈现】 如图①，D是△ABC边BC的中点，则S△ABD＝S△ACD． 【模型变式】 （1）如图②，若MN∥AB，直接写出图中面积相等的三角形； 【模型应用】 （2）如图③，在四边形ABCD中，过A点画直线AF，交BC于点F，使得AF能将四边形ABCD的面积二等分，请简要写出画法，并写明理由． 【解析】解：（1）S△ABC＝S△ABD，S△ACD＝S△BCD，S△AOC＝S△BOD； （2）画法：连接AC，BD． 取BD中点E，过点E作EF∥AC，交BC于点F，连接AF，AF即为所求，画图如下： ∵E是BD的中点，∴S△ABE＝S△AED，S△ECD＝S△CBE，即S△ABE＋S△CBE＝S四边形ABCD， ∵EF∥AC，∴S△AEF＝S△CEF， ∴S△ABE＋S△CBE＝S△ABE＋S△BEF＋S△AEF＝S△ABF＝S四边形ABCD． 20．如图，数轴上，点A，B表示的数分别为a，b，P为负半轴上任意一点，它表示的数为x． （1）计算的值； （2）嘉淇认为：当﹣2≤x＜0时，PO＋PA＜AB，则以PO，PA，AB的长为边长不能构成三角形，若以PO，PA，AB的长为边长能构成三角形，请直接写出x的取值范围． 【解析】解：（1）由题意，得a＝﹣2，b＝1， ； （2）由题意知PO＝﹣x，AB＝3，∵﹣2≤x＜0，∴点P始终在线段AB上， ∴PA＋PO＜AB，∴以PO，PA，AB的长为边不能构成三角形； ∵x＜0，以PO，PA，AB的长为边长能构成三角形， ∴点P在点A的左侧，∴PA＝﹣2﹣x， ①当AB为最大边时，PA＋PO＞AB，∴﹣2﹣x＋(﹣x)＞3，∴x＜； ②当PO为最大边时，PA＋AB＞PO，∴﹣2﹣x＋3＞﹣x，此不等式恒成立， 综上，x＜． 21．如图，已知点P是△ABC内一点，连结AP，PB，PC，求证：(AB＋AC＋BC)＜PA＋PB＋PC＜AB＋AC＋BC． 【解析】证明：延长AP交BC于D， 由三角形三边关系定理得到：AP＋PD＜AC＋CD，PB＜PD＋BD， ∴AP＋PD＋PB＜AC＋CD＋PD＋BD，∴AP＋PB＜AC＋BC， 同理PB＋PC＜AB＋AC，PC＋PA＜AB＋BC， ∴2(PA＋PB＋PC)＜2(AB＋BC＋AC )，∴PA＋PB＋PC＜AB＋AC＋BC； 由三角形三边关系定理得到：PA＋PB＞AB，PB＋PC＞BC，PA＋PC＞AC， ∴2(PA＋PB＋PC)＞AB＋AC＋BC，∴PA＋PB＋PC＞(AB＋AC＋BC)， ∴(AB＋AC＋BC)＜PA＋PB＋PC＜AB＋AC＋BC． 22．（1）如图1，在△ABC中，若AD是边BC上的中线，则＝ ；如图2，在△ABC中，若BD＝BC，则＝ ． （2）如图3，若CD，BE分别是△ABC的边AB，AC上的中线，求四边形ADOE的面积可以用如下方法． 连接AO，由AD＝DB，得，S△ADO＝S△BDO， 同理，可得S△CBO＝S△ABO， 设S△ADO＝x，S△AEO＝y，则S△BDO＝x，S△CEO＝y，设S△ABC＝2a， 由题意，得S△ABE＝S△ABC＝a，S△ADC＝S△ABC＝a， 可列方程组，解得＝ ． ∴＝ ． （3）如图4，AD＝AB，AE＝AC，若S△ABC＝21，求S四边形ADOE． 【解析】解：（1），； （2），； （3）如图3，连接OA， ∵AD＝AB，AE＝AC，S△ABC＝21， ∴S△ADO＝S△BDO，S△CEO＝S△AEO，S△ABE＝S△ABC＝14，S△ADC＝S△ABC＝7， 设S△ADO＝x，S△CEO＝y，则S△BDO＝2x，S△AEO＝2y， ∴，解得， ∴S四边形ADOE＝S△ADO＋S△AEO＝x＋2y＝4＋2×1＝6． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$