1.3 证明 第1课时教案　2025-2026学年浙教版数学八年级上册　

该教案聚焦“证明的必要性及基本步骤与书写格式”，以王戎不取道旁李故事导入，衔接小学三角形知识，引出推理重要性，为后续几何定理学习筑牢逻辑基础。 特色在于用直观错觉实例（线段长短、平行线观察）制造认知冲突，培养数学眼光。通过代数式反例（n²-3n+7）和例题推理，发展推理意识。实践作业结合生活场景，提升数学语言表达能力，助力学生逻辑思维养成，方便教师开展严谨教学。

第1章 三角形的初步认识 1.3证明(第1课时)   一、教材分析 《1.3 证明》是浙教版八年级上册第一章“三角形的初步知识” 的重要内容.证明是数学大厦构建的基石，是在学生已学习三角形相关概念、性质，经历观察、实验、归纳等活动基础上，对数学结论严谨性追求的深化.它衔接前面直观感知的知识，又为后续几何定理系统学习、逻辑推理能力培养筑牢根基，让学生从“知其然”迈向“知其所以然”. 教材通过生活中线段长度直观错觉、直线平行观察猜想、代数式质数归纳等实例，引出证明的必要性；借助例1、例2，例3，示范从已知条件出发，依据定义、定理等进行推理证明的完整过程，强调每一步推理的依据，规范证明书写格式.   二、教学目标 1.通过观察、分析、猜想、验证等教学活动的过程使学生理解证明的必要性． 2.掌握证明的基本步骤和书写格式，能运用定义、基本事实、定理等进行简单的逻辑推理证明. 3.经历证明的过程，培养学生的逻辑思维能力和推理意识；在合作学习与例题分析中，提升学生分析问题、解决问题的能力. 4.让学生体会数学的严谨性，感受证明在数学中的重要作用，激发学生学习数学的兴趣，培养学生实事求是的科学态度.   三、教学重难点 重点：通过观察、分析、猜想、验证等教学活动的过程使学生理解证明的必要性． 难点：掌握证明的基本步骤和书写格式，能运用定义、基本事实、定理等进行简单的逻辑推理证明．   四、教学过程 · 情境导入 王戎，字冲.三国至西晋时期名士、官员，“竹林七贤”之一.王戎小时候，爱和小朋友在路上玩要.一天，他们发现路边的一棵树上结满了李子，小朋友们一哄而上，去摘李子，独有王戎没动.等到小朋友们摘了李子一尝，原来是苦的!他们都问王戎：“你怎么知道李子是苦的呢?”王戎说：“假如李子不苦的话，早被路人摘光了，而这树上却结满了李子，所以李子一定是苦的.”王戎没有直接去尝李子，而是通过合理的推理得出了结论. 在数学中，我们也经常要通过这样的推理来证明一个命题的正确性，今天就让我们一起走进数学证明的世界，领略其中的奥秘. 师生活动：教师提问小学学过的三角形相关知识，如三角形的外观特征、是否知道内角和等，引导学生回忆；学生分享记忆中的三角形知识，教师结合学生回答，简要总结小学基础内容，为新课学习做铺垫． 设计意图：创设有助于学生探索思考的故事情境，激起学生的兴趣.本节课从王戎不取道旁李的故事出发，引导学思考如何通过推理来证明命题的正确性. · 探究新知 　　活动一：探究证明的定义 问题1：图中的横线平行吗？ a，b哪条线段更长? 答：平行；一样长. 问题2：你认为线段AB和线段CD的长度相等吗?量量看. 答：AB=18cm；CD=18cm；长度相等. 问题3：观察图形，一组直线a，b，c，d是否都互相平行？ 答：直线a，b，c，d互相平行. 总结：你所看到的真不一定是真，你所看到的假不一定是假. 师生活动：教师展示图片，对学生进行提问，学生思考后举手回答.教师追问：说明只靠观察得出的结论 -- (停顿，引导学生说“不一定可靠”.生活中这样的例子不少，数学里呢?）顺势呈现“一组直线a，b，c，d，观察是否平行”的图，让学生先猜想，再用三角板、直尺平移验证，发现直观与实际可能有偏差. 设计意图：用生活、数学中的直观错觉实例，制造认知冲突，让学生亲身体验“观察、猜想结论不一定正确”，自然引出“需要更严谨方法(证明)来确定结论”，激发学习兴趣与探究欲. 问题4：命题“对于自然数n，代数式n2-3n+7的值都是质数”是真命题吗？ 小明是这样做的：当n=0时， n2-3n+7=7； 当n=1时， n2-3n+7=5； 当n=2时， n2-3n+7=5； 当n=3时， n2-3n+7=7； 当n=4时， n2-3n+7=11；…… 所以这是真命题. 师生活动：各小组分享计算结果，发现“随着n增大，出现合数”，推翻最初猜想.教师引导总结:“仅靠观察前几个数归纳的结论，也不一定可靠!那数学中，怎么确定一个命题一定正确?"引出“证明”-- 从条件出发，依定义、定理等严谨推理. 答：小明的结论是错误! 当n=6时， n2-3n+7=25，所以这是假命题. 总结：举反例来说明假命题 设计意图：通过代数式实例，让学生经历“猜想 - 验证 - 推翻猜想” 过程，深刻感受“实验、归纳结论的或然性”，凸显证明对确定真理的必要性，为理解证明概念做铺垫. 追问：上面的例子说明了什么呢? 凭实验、观察和归纳得出的结论不一定正确，因此通过这些方式得到的结论，还需进一步加以证实. 要判断一个命题是真命题，往往需要从命题的条件出发，根据已知的定义、基本事实、定理(包括推论)，一步一步推得结论成立.这样的推理过程叫作证明 . 活动二：探究命题的证明 问题5：命题“如图：AD⟂BC于D，AD平分EDF，则BDF= CDE”是真命题吗? 师生活动：学生独立思考后小组讨论，选代表回答问题，教师补充总结学生的结论. 并详细讲解每一步的依据和目的，边讲边在黑板上板书. 分析：AD⟂BC ADB=ADC=90° AD平分EDF ADF=ADE 所以90°-ADF=90°-ADE，BDF= CDE，这是真命题. 解：因为AD⟂BC(已知)， 所以ADB=ADC=90°(垂直的定义) 又因为AD平分EDF(已知)， 所以ADF=ADE(角平分线的定义) 因为BDF=ADB-ADF， CDE=ADC-ADE， 所以BDF= CDE，所以是真命题. 总结：证明的基本格式：因为……，所以……. 设计意图：在教师引导下逐步构建研究思路，循序渐进地引导学生思考，逐步培养学生的推理能力，使学生初步养成言之有据的习惯，从而能进行简单的推理. 问题6：已知：如图，DE∥BC，∠1=∠E，求证：BE平分∠ABC. 师生活动：组织学生进行讨论，并选小组代表发言，其他小组补充.学生总结，老师补充. 分析：由条件推出结论： 追问：还有别的分析方法吗？ 方法二：分析结论，利用已知条件一步一步倒推： 证明：因为 DE∥BC (已知 )， 所以 ∠2=∠E( 两直线平行，内错角相等) 又因为 ∠1=∠E(已知)， 所以 ∠1=∠2， 所以BE平分∠ABC( 角平分线的定义 ). 总结：通过找出第三个角传递相等关系来完成证明的方法是证明角相等、线段相等的常用手段之一. 思路1：条件出发→我能得出什么? 思路2：结论出发→我还需要什么? 总结：证明命题的一般步骤： (1)理解题意：分清命题的条件(已知)，结论(求证)； (2)根据题意，画出图形； (3)结合图形，用符号语言写出“已知”和“求证”； (4)分析题意，探索证明思路(由“因”导“果”，执“果”索“因”)； (5)依据思路，运用数学符号和数学语言条理清晰地写出证明过程. 注意：证明过程中的每一步推理都要有依据，依据作为推理的理由，可以写在每一步后的括号内. 设计意图：通过小组合作探究证明方法，培养学生的合作交流能力和逻辑推理能力，让学生经历从猜想-证明-得出结论的完整过程，体会数学的严谨性. · 应用新知 例1．已知：如图，AB∥CD，EP，FP分别平分∠BEF，∠DFE.求证：∠PEF+∠PFE=90°. 分析：要证∠PEF+∠PFE=90°，可先利用AB∥CD得∠BEF与∠DFE的关系，再结合角平分线定义，转化为∠PEF和∠PFE的和来推导. 证明：因为EP，FP分别平分∠BEF，∠DFE（已知） 所以 ∠PEF= ∠BEF，∠PFE= ∠DFE（角平分线的定义） 因为AB∥CD（已知） 所以∠BEF+∠DFE=180° （两直线平行，同旁内角互补） 故有 ∠PEF+∠PFE= ∠BEF+ ∠DFE= （∠BEF+∠DFE）=×180°=90°. 例2．已知：如图，DE∥BC，∠1=∠2.求证：DC平分∠ACB. 分析：要证 DC 平分∠ACB，即证 ∠1 = ∠3，可利用 DE∥BC 的平行线性质，结合已知 ∠1 = ∠2 来推导. 证明：因为DE∥BC(已知) 所以∠2=∠3 (两直线平行，内错角相等) 又因为∠1=∠2(已知) 所以∠1=∠3(等量代换) 所以DC平分∠ACB (角平分线的定义) 例3．已知：如图，直线EF，GH被直线MN所截，AB⟂GH，B为垂足，∠1=∠2.求证：AB⟂EF. 分析：已知∠1=∠2，根据“同位角相等，两直线平行”，可得 EF∥GH，所以∠FAB+∠HBA=180°.再根据AB⟂GH，得∠HBA=90°，所以∠FAB=90°，即AB⟂EF. 证明：因为∠1=∠2( 已知) 所以EF∥GH(内错角相等，两直线平行) 所以∠FAB+∠HBA=180° (两直线平行，同旁内角互补) 因为AB⟂GH(已知) 所以∠HBA=90°(垂线的定义) 所以∠FAB=180°-∠HBA=180°-90°=90° 所以AB ⟂EF(垂线的定义) 师生活动：教师讲解例题的解题思路和方法，引导学生分析问题，让学生自己思考解答，然后教师进行讲解和总结，强调解题的关键和注意事项． 设计意图：通过定义阐释、例题示范与纠错，让学生理解证明的内涵，掌握证明基本步骤与规范书写，从“知道要证明” 到学会怎么证明”，突破教学重点与难点. · 课堂练习 1．已知：如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC上的点，且∠1=∠2.求证：∠B=∠ADE. 证明：因为∠1=∠2(已知)， 所以DE∥BC(内错角相等，两直线平行). 所以∠B=∠ADE(两直线平行，同位角相等). 总结：“因为”后面是已知条件、已证、定义、定理、基本事实等，“所以”后面是由此推出的结果. 2．已知：如图，∠ACD=2∠B，CE平分∠ACD.求证：CE∥AB. 证明：因为CE平分∠ACD(已知)， 所以∠ACD=2∠ECD(角平分线的定义). 又因为∠ACD=2∠B(已知)， 所以∠ECD=∠B(等量代换). 所以CE∥AB(同位角相等，两直线平行). 3．下列能作为证明的依据的是( ) A. 已知条件 B.定义和基本事实 C. 定理和推论 D. 以上三项都可以 答：D 4．如图，在下列给出的四个条件：①∠1=∠2；②∠2=∠3；③∠4+∠2=180°；④∠A=∠1中，能判定AC//DF的是 (填序号) 分析：∠1=∠2，可以得出EF//AB.根据平行线的判断定理，由条件②③④可以得出AC//DF. 答：②③④ 5．下列选项中，可以用来证明命题“若，则”是假命题的反例是( ) A. a=-3 B.a=-1 C.a=1 D.a=3 解：用来证明命题“若，则”是假命题的反例可以是：a=-3， 因为(-3)2>1，但是a=-3<1， 所以A正确， 故选 A. 答：A 总结：要证明一个结论不成立，可以通过举反例的方法来证明一个命题是假命题. 6．完成下列推理过程：如图，M，F两点在直线CD上，AB∥CD，CB∥DE，BM，DN分别是∠ABC，∠EDF的平分线.求证：BM∥DN. 证明：因为BM，DN分别是∠ABC，∠EDF的平分线， 所以∠1=∠ABC，∠3= (角平分线的定义) 因为AB//CD，所以∠1=∠2，所以∠ABC = ( ) 所以∠2=∠BCD(等量代换) 因为CB//DE，所以∠BCD= ( ) 所以∠2 = (等量代换) 所以BM//DN( ). 答：∠EDF；∠BCD；两直线平行，内错角相等；∠EDF；两直线平行，同位角相等；∠3；同位角相等，两直线平行 7．如图，在△ABC中，CD⟂AB于点D，G是BC上一点，过点G作GF⟂AB于点F，且满足B=ADE.求证：CDE=BGF. 证明：因为CD⟂AB ，GF⟂AB(已知) 所以BFG=ADC=90°(垂直的定义)， 所以B+BGF=90°，ADE+CDE=90° 因为B=ADE(已知) 所以CDE=BGF(等量代换). 师生活动：学生独立完成课堂练习，教师巡视指导，了解学生的掌握情况，然后对练习题进行讲解和分析，让学生说出解题思路和方法，教师进行点评和总结． 设计意图：通过课堂练习巩固学生所学的知识，及时发现学生存在的问题并进行解决，让学生进一步掌握证明技能，规范书写，提高学生的解题能力和应用能力． · 归纳总结 师生活动：教师和学生一起回顾本节课所讲的内容． 1．本节课你学到了什么？ 2．证明的定义是什么，格式是怎样的？ 3．证明过程的“因为”后面是什么？“所以”后面是什么？ 设计意图：帮助学生梳理本节课的知识结构，加深学生对所学知识的理解和记忆，让学生明确本节课的重点和难点，为后续学习做好准备． · 实践作业：生活中的几何证明 目标：理解证明逻辑，用定理推理；挖掘生活几何场景，强化应用；提升抽象、推导、逻辑表达能力. 要求：在校园、家庭、社区找含平行线、垂直等元素场景(如楼梯扶手、门框)，拍照/手绘记录.从场景提炼证明题(如“立柱与地面垂直且平行，证立柱与横杆夹角相等”)，按“已知-求证-证明”格式，用定理推导，标注依据. 成果：2-3人一小组，分工明确.证明严谨，成果(照片、模型等)整理成文档/手抄报，含场景描述、证明、思路. 学科网（北京）股份有限公司 $$