4.2.2 证明，举反例（课件）2025-2026学年湘教版八年级数学上册

该初中数学课件聚焦“证明与举反例”，涵盖举反例判断假命题、证明步骤与格式、反证法等核心内容。以伽利略推翻落体谬论故事导入，承接命题概念，通过“判一判”“做一做”搭建从实例到方法的学习支架。 其亮点是情境化导入激发兴趣，实例丰富且分层，如举反例从数到形，反证法结合三角形内角和定理。通过探究式学习培养推理意识与抽象能力，归纳总结结构化，助学生掌握逻辑推理，教师可直接用实例提升教学效率。

4.2 命题与证明 第4章 三角形 4.2.2 证明，举反例 ÷ 八年级上册数学（湘教版） 学习目标 1.能判断命题的真假并会对假命题举反例．（重点） 2. 了解证明的基本步骤和书写格式；（重点） 3. 掌握反证法证明的基本步骤和格式.（难点） 伽利略巧破落体谬论 16 世纪，亚里士多德 “重物体下落更快” 的观点深入人心，大家对此深信不疑. 但年轻的伽利略却对此存疑. 他来到比萨斜塔前，周围聚满了好奇的民众. 伽利略一手拿着 10 磅重的铁球，一手拿着 1 磅重的铁球，随后同时将两球抛下. 众人惊异地看到，两球几乎同时砸向地面. 伽利略随即解释，若依亚里士多德所言， 两球绑一起，轻球会拖慢重球， 可总重变大又该下落更快， 此观点自相矛盾，由此成功推翻. 情境导入 举反例 1 如：0 的绝对值是 0，不是正数. 1. 有理数的绝对值是正数. 假命题 判一判：下列命题是真命题还是假命题？ 2. 如果 | a | = | b |，那么 a = b. 如： a = -1，b = 1， | a | = | b |，但 a≠b. 假命题 探究新知 例1 命题“如果 ab = 0，那么 a = 0”是真命题还是假命题？ 解：1×0 = 0，但是 1≠0， 因此“如果 ab = 0，那么 a = 0”是假命题. 一般地，对于一个命题，如果能举出一个例子，使之符合命题条件，但不满足命题结论，就可判断该命题为假命题，这种做法称为举反例. 探究1：如何判断一个命题是假命题呢？ 知识要点 做一做 用举反例的方法说明下列命题是假命题. (1) 若 a² = b²，则 a = b； (2) 一个角的余角大于这个角； (3) 若 a，b 是有理数，则 | a + b | = | a | + | b |； (4) 如果∠A = ∠B，那么∠A 与∠B 是对顶角. 解：(1) (2)2 = (-2)2 = 4，但是 2≠-2， 因此“若 a² = b²，则 a = b”是假命题. (2) 一个角是 60°，它的余角是 30°，但是 30°＜60°， 因此“一个角的余角大于这个角”是假命题. (3) 若 a，b 是有理数，则 | a + b | = | a | + | b |； (4) 如果∠A = ∠B，那么∠A 与∠B 是对顶角. (3) |a+b| = |1+(-1)| = |0| = 0，|a| + |b| = |1|+|-1| = 1+1 = 2， 但是 0≠2，因此“若a，b是有理数，则 |a+b| = |a|+|b|”是假命题. (4) 在一个等腰三角形中，两个底角∠A 和∠B相等，比如等腰三角形的两个底角都为 50°，但这两个角并不是对顶角.因此“如果∠A = ∠B，那么∠A 与∠B 是对顶角”是假命题. 2 证明 探究2：如何判断一个命题是真命题呢? 判断一个命题是真命题，通常需从命题的条件出发，运用定义、基本事实以及已经判断其成立的真命题，进行逻辑推理、计算，得出这个命题的结论成立，这一过程就是通常所说的证明. 证实其他命 题的正确性 推 理 推理的过程叫证明 基本事实或定义 一些条件 + 真命题证明的一般过程： 归纳总结 例2 证明：如果实数 a≠0 或实数 b≠0， 那么 a²+b²≠0. 证明：若a≠0，则 a² 为正数. 又 b² 为正数或 0，从而 a² + b² 是正数， 因此 a²+b²≠0. 同理可得，若b≠0，则 a²+b²≠0. 例3 证明：△ABC 的三个内角中至少有一个角大于或等于 60°. 分析：“至少有一个”意味着“有一个”“有两个”“有三个”，因而应分三种情况进行证明，我们可以假设没有一个满足条件，若能推出一个与已知条件或已有定义、基本事实、已经证明了的真命题等矛盾的结论，就可否定假设，从而得出所要证明的结论. 3 反证法 证明：假设△ABC 的三个内角中没有一个角大于或等于 60°， 则∠A＜60°，∠B＜60°，∠C＜60°， 从而∠A +∠B +∠C＜60° + 60° + 60°＝180°. 这与“三角形的内角和等于 180°”矛盾， 故假设不成立. 因此，△ABC 的三个内角中至少有一个角大于或等于 60°. 像上例这样，当直接从条件出发证明一个命题比较困难时，可以先假设命题不成立，从这样的假设出发，经过推理得出与已知条件、定义、基本事实、真命题等产生矛盾，得出假设不成立，从而判断所求证命题正确，这种证明方法叫作反证法. 反证法基本步骤： (1) 假设命题不成立；(2) 导出矛盾；(3) 肯定结论. 归纳总结 应用反证法的情形： (1) 直接证明困难； (2) 需分成很多类进行讨论； (3) 结论为“至少”、“至多”、“有无穷多个” 的一类命题； (4) 结论为“唯一”类命题. 用反证法证明时，导出矛盾的几种可能： （1）与原命题的条件矛盾； （3）与定义、公理、定理、性质矛盾； （2）与假设矛盾; （4）与客观事实矛盾. 做一做 用反证法证明下例. 证明：如果实数 a≠0 或实数 b≠0， 那么 a² + b²≠0. 证明：假设 a² + b² = 0. 因为对于任意实数 a、b，都有 a²≥0，b²≥0， 要使 a² + b² = 0 成立，则 a² = 0 且 b² = 0， 由此可得 a = 0 且 b = 0. 这与已知条件“实数 a≠0 或实数 b≠0”矛盾. 所以假设不成立，即如果实数 a≠0 或实数 b≠0， 那么 a² + b²≠0. 1. 命题“三角形中最多只有一个内角是直角”的结论的否定是 (　　) A．两个内角是直角 B．有三个内角是直角 C．至少有两个内角是直角 D．没有一个内角是直角 C 【解析】“最多只有一个”即为“至多一个”，反设应为“至少有两个”，故应选 C. 练一练 原词语 否定词 原词语 否定词 等于 任意的 是 至少有一个 都是 至多有一个 大于 至少有 n 个 小于 至多有 n 个 对所有 x 成立 对任何 x 不成立 不是 不都是 不大于 不小于 一个也没有 至少有两个 至多有(n - 1)个 至少有(n + 1)个 存在某个x 不成立 存在某个 x 成立 不等于 某个 填一填 (3) 两条直线被第三条直线所截，同位角相等. 两条相交的直线 a、b 被第三条直线 l 所截 (如图)，所得同位角不相等. -1 和 -3 的积是 -1×(-3) > 0，-1 和 -3 不是正数. 1. 举反例说明下列命题是假命题： (1) 两个锐角的和是钝角； (2) 如果数 a，b 的积 ab＞0，那么 a，b 都是正数； 直角三角形的两个锐角和不是钝角. a b l 课堂练习 2. 如图，现有以下 3 个论断：①AB∥CD； ②∠B =∠C；③∠E =∠F. 请以其中 2 个论断为条件，另一个论断为结论构造命题. (1) 你构造的是哪几个命题? (2) 请选择其中一个真命题加以证明. 解：(1)由①②得③；由①③得②； 由②③得①. (2) 由①②得③，证明过程如下： ∵ AB∥CD，∴∠EAB =∠C. 又∵∠B =∠C，∴∠EAB = ∠B. ∴CE∥BF. ∴∠E =∠F. (答案不唯一) 3. 求证：△ABC 中不能有两个钝角． 证明：假设△ABC 中有两个钝角， 不妨设∠A＜90°，∠B＞90°，∠C＞90°， 则∠A＋∠B＋∠C＞180°. 这与三角形的内角和定理相矛盾， 所以假设不成立，因此原命题正确， 即△ABC 中不能有两个钝角． 真命题的证明 直接证明 反证法 反设结论 推理 导出矛盾 (画图)写出已知、求证 写出证明过程 证得结论 假命题的证明 举反例 课堂小结 $$