4.1 第2课时 三角形的高、中线和角平分线（课件）2025-2026学年湘教版八年级数学上册

该初中数学课件聚焦三角形的高、角平分线和中线，通过复习垂线、线段中点、角平分线的定义搭建学习支架，引导学生从已学几何概念自然过渡到三角形重要线段的探究。 其亮点在于融合视频演示（画钝角三角形的高、平均分蛋糕）、典例精析（等面积法求最值）及生活应用（分菜地问题），以几何直观突破画法难点，用推理意识深化性质理解，发展应用意识。学生在动手实践中提升思维，教师可借助结构化小结与多样化资源优化教学。

4.1 三角形 第4章 三角形 第2课时 三角形的高、角平分线和中线 ÷ 八年级上册数学（湘教版） 学习目标 1. 了解三角形的高、角平分线与中线的概念，会用工具正确画出三角形的高、角平分线与中线；(重点) 2. 学会用数学知识解决实际问题，发展应用和自主探究意识，并培养动手实践能力. (难点) 定义 图示 垂线 线段中点 角平分线 O B A A B 当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫作另一条直线的垂线 把一条线段分成两条相等的线段的点 一条射线把一个角分成两个相等的角，这条射线叫作这个角的平分线 复习导入 问题1 什么是三角形的高？怎样画三角形的高？ 定义 从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫作三角形的高线，简称三角形的高. 问题2 由三角形的高你能得到什么结论？ ∠AHB = ∠AHC = 90° A B C H 垂足 注意：标明垂直记号和垂足的字母. 高 三角形的高 1 探究新知 ② AH⊥BC，垂足为 H； ③ 点 H 在 BC 上，且∠AHB = 90° (或∠AHC = 90°). ① AH 是△ABC 的高； A B C H 高的描述方法（如图）：有三种 (1) 你能画出这个三角形的三条高吗? (2) 这三条高之间有怎样的位置关系? (3) 锐角三角形的三条高是在三角形 的内部还是外部? 锐角三角形的三条高交于同一点. 锐角三角形的三条高都在三角形的内部. 锐角三角形的三条高 如图所示. O A B C D E F 合作探究 直角边 BC 上的高是 ； 直角边 AB 上的高是 . (2) 斜边 AC 上的高是 ； 直角三角形的三条高 A B C (1) 画出直角三角形的三条高； AB CB 它们有怎样的位置关系? D 直角三角形的三条高交于直角顶点. BD 钝角三角形的三条高 (1) 你能画出钝角三角形的三条 高吗？ A B C D E F (2) AC 边上的高是哪条线段？ AB 边上的高是哪条线段？ BC 边上的高是哪条线段？ BF CE AD A B C D F (3) 钝角三角形的三条高相交 吗？ (4) 它们所在的直线交于一点 吗？这点位于何处？ O E 钝角三角形的三条高不相交. 钝角三角形的三条高所在直线交于一点，并且这个点在三角形外部. 点击视频开始播放 → 视频：画钝角三角形的高 例1 作△ABC 的边 AB 上的高，下列作法中，正确的是(　　) 方法总结：三角形任意一边上的高必须满足：(1) 过该边所对的顶点；(2) 垂直于该边，且垂足必须在该边或在该边的延长线上. D 典例精析 例2 如图所示，在△ABC 中，AB＝AC＝5，BC＝6，AD⊥BC 于点 D，且 AD＝4，若点 P 在边 AC 上移动，则 BP 的最小值为 ． 方法总结：首先判定△ABC 为锐角三角形，得出 BP 最小等于 AC 边上的高；然后利用面积相等作为桥梁(可不求面积)去求这条高．此法通常称为“等面积法”． _____ 在一张纸上画出一个一个三角形并剪下来，将它的一个角对折，使其两边重合. 折痕 AD 所在的射线即为∠BAC 的平分线. A B C D 三角形的角平分线 2 思考：在一张薄纸上任意画一个三角形，你能通过折纸的方法得到它吗? 三角形的角平分线的定义： 在三角形中，一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫作三角形的角平分线. 1 2 A B C D 注意：“三角形的角平分线”是线段，不是射线. ∠1 =∠2 = ∠BAC 每人准备锐角三角形、钝角三角形和直角三角形纸片 各一个. (1) 你能分别画出这三个三角形的三条角平分线吗? (2) 你能用折纸的办法得到它们吗? (3) 在每个三角形中，这三条角平分线之间有怎样的 位置关系 ? 做一做 观察直角三角形、钝角三角形的三条角平分线，你又有什么发现？ 三角形的三条角平分线交于同一点. 例3 如图，CD 平分∠ACB，DE∥BC，∠AED = 80°，求∠ECD 的度数. 解：∵ CD 平分∠ACB， 又 DE∥BC， ∴∠ACB =∠AED = 80°. ∴∠ECD = 40°. ∴∠ECD =∠BCD = ∠ACB. A B C E D 典例精析 视频：平均分蛋糕 点击视频开始播放 → 定义： 在三角形中，连接一个顶点和它的对边中点的线段叫作三角形的中线. A B C 想一想：由三角形的中线能得到什么结论？ BE = CE = BC E 如图，BE = CE，则线段 AE 是△ABC 的 BC 边上的中线． 三角形的中线 3 画一画：如图，画出锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的三条中线，并观察它们中线的交点有什么规律？ 画图发现 三角形的三条中线交于三角形内部一点，这一点我们称为三角形的重心. A B C A B C A B C D E F D D E F E F O O O 例4 如图，AD 是△ABC 的中线， AE 是△ABC 的高. （1）图中共有几个三角形？请分别列举出来； 解：图中有 6 个三角形， 它们分别是： △ABD， △ADE， △AEC， △ABE， △ADC， △ABC. （2）其中哪些三角形的面积相等？ 解：因为 AD 是△ABC 的中线， 所以 BD = DC. 因为 AE 是△ABC 的高，也是△ABD 和△ADC 的高， 因此 S△ABD = S△ADC . 所以 S△ABD = BD • AE， S△ADC = DC • AE， 总结：三角形的中线把三角形分成面相等的两个部分. 22 解：∵AD 是△ABC 的中线，∴CD = BD. ∵△ABC 的周长为 35 cm，BC = 11 cm， ∴AC + AB = 35 - 11 = 24 (cm). 又∵△ABD 与△ACD 的周长差为 3 cm， ∴AB - AC = 3 cm. ∴AB = 13.5 cm，AC = 10.5 cm. 例5 如图，△ABC 中，AB > AC，AD 是 BC 边上的中线，若△ABC 的周长为 35 cm，BC = 11 cm，且△ABD 与△ACD 的周长差为 3 cm，求 AB 与 AC 的长. A C D B 三角形的 重要线段 概念 图形 表示法 三角形 的高线 从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线,顶点和垂足之间的线段 ∵AD是△ABC的高， ∴AD⊥BC， ∠ADB=∠ADC=90°. 三角形的 角平分线 三角形一个内角的平分线与它的对边相交,这个角的顶点与交点之间的线段 ∵AD是△ABC的角平分线， ∴ ∠1=∠2= ∠BAC 三角形 的中线 三角形中,连接一个顶点和它对边中点的线段 ∵ AD是△ABC的边BC上的中线， ∴ BD=CD= BC. A B C D A B C D A B C D ( 1 ( 2 1．下列说法正确的是 （　　） A．三角形三条高都在三角形内 B．三角形三条中线相交于一点 C．三角形的三条角平分线可能在三角形内，也可 能在三角形外 D．三角形的角平分线是射线 B 课堂练习 2.填空： (1) 如图①，AD，BE，CF 是△ABC 的三条中线，则 AB = 2＿＿，BD = ＿＿，AE = ＿＿. (2) 如图②，AD，BE，CF 是△ABC 的三条角平分线， 则∠1 =_______， ∠3 =_______，∠ABC = 2_____. 图① 图② AF DC ∠CAD ∠2 ∠BCF A B C D E F AC 3. 如图，AD 是△ABC 的中线，CE 是△ACD 的中线，S△AEC = 3 cm2，则 S△ABC =_____cm2. 12 能力提升：王大爷有一块三角形的菜地，现在要将它们平均分给四个儿子，在菜地的一角 A 处有一口池塘，为了使分开后的四块菜地都能就近取水，王大爷为此很伤脑筋.你能想出什么办法帮帮王大爷吗？ 如果不考虑水源，你认为还可以怎样分? A （思路提示：想到三角形的中线能把三角形分成面积相等的两部分.） 三角形的重要线段 高 注意钝角三角形两短边上高的画法 中线 会把原三角形的面积平分 一边上的中线把原三角形分成两个三角形，这两个三角形的周长差等于原三角形其余两边的差 角平分线 是线段，不是射线 课堂小结 $$钝角三角形的高比较特殊，有两条高会出现在三角形外部下面。我以过点A向BC边上做高为例，来说明如何做钝角三角形的高。首先延长线段CB。将直角三角板的一条直角边与BC所在的直线重合，移动三角板，使另一条直角边经过点A。固定三角板过点A向BC边所在的直线作垂线。垂足为点D则线段AD即为边BC上的高。下面老师演示如何过点C向AB边做高。