4.5 第2课时 等腰三角形的判定（课件）2025-2026学年湘教版八年级数学上册

4.5 等腰三角形 第4章 三角形 第2课时 等腰三角形的判定 ÷ 八年级上册数学（湘教版） 学习目标 1. 掌握等腰三角形的判定方法；（重点） 2. 会运用等腰三角形的判定定理进行相关证明和计算. （难点） A B C 如图，位于海上 B、C 两处的两艘救生船接到 A 处遇险船只的报警，当时测得 ∠B =∠C. 如果这两艘救生船以同样的速度同时出发，能不能同时赶到出事地点（不考虑风浪因素）？ 情境导入 等腰三角形的判定 1 探究：任意画∠EBC，在线段 BC 的同侧，以 C 为顶点作∠FCB，使∠FCB =∠EBC，BE 与 CF 交于点A，得到△ABC，如图所示. 用圆规量一量 AB 和 AC，它们相等吗？由此，你能发现什么? A F E C B 猜想：可以发现 AB = AC，从而△ABC 是等腰三角形. 探究新知 以过点 A 的一条直线为折痕对折，使得射线 AC 与射线 AB 重合，折痕与 BC 的交点记作 D，则 AD 为∠BAC 的平分线. A B C D 推理证明 如图，在∠ABC 中，∠B =∠C， 在△ABD 和△ACD 中， ∠B = ∠C， ∠BAD = ∠CAD， AD = AD， 所以△ABD≌△ACD (角角边). 从而 AB = AC，因此△ABC 是等腰三角形 所以 AC = AB ( )， 即△ABC 为等腰三角形. 因为∠B =∠C ( )， 等腰三角形的判定方法 有两个角相等的三角形是等腰三角形 （简称“等角对等边”）. 已知 等角对等边 在△ABC 中， 应用格式： B C A ( ( 知识要点 A B C D 2 1 因为∠1 =∠2， 所以 BD = DC (等角对等边). 因为∠1 =∠2， 所以 DC = BC A B C D 2 1 (等角对等边). 错，因为两角都不是在同一个三角形中. 辨一辨：如图，下列推理正确吗? 例1 如图，在△ABC 中，AB = AC，点 D，E 分别是 AB，AC 上的点，且 DE∥BC. 求证：△ADE 为等腰三角形. 证明：因为 AB = AC， 所以∠B =∠C (等边对等角). 又因为 DE∥BC， 所以∠ADE =∠B，∠AED =∠C. 因此∠ADE =∠AED. 于是△ADE 为等腰三角形(等角对等边). 典例精析 证明：∵ AD∥BC， ∴∠ADB =∠DBC. ∵ BD 平分∠ABC， ∴∠ABD =∠DBC. ∴∠ABD =∠ADB， ∴ AB = AD. 例2 已知：如图，AD∥BC，BD 平分∠ABC. 求证：AB = AD. B A D C 总结：角平分线 + 平行线，可得等腰三角形. ∴∠EDB =∠EBD. ∴ BE = DE，即△EBD 是等腰三角形. 如图，把一张长方形的纸沿着对角线折叠，重合部分是一个等腰三角形吗？为什么？ B C A D E 变式训练 解：是的. 由折叠可知，∠EBD =∠CBD. ∵AD∥BC，∴∠EDB =∠CBD. 练一练：1. 在△ABC 中，∠A 和∠B 的度数如下，能判定 △ABC 是等腰三角形的是（ ） A. ∠A＝50°，∠B＝70° B. ∠A＝70°，∠B＝40° C. ∠A＝30°，∠B＝90° D. ∠A＝80°，∠B＝60° B 2. 如图，已知 OC 平分∠AOB，CD∥OB，若 OD＝3 cm，则CD 的长为______. 3 cm 例3 求证：如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，那么这个三角形是等腰三角形. 已知：如图，∠CAE 是△ABC 的外角，∠1 =∠2，AD∥BC. 求证：AB = AC. 分析 要证明 AB = AC，可先证明∠B =∠C. 因为∠1 =∠2，所以应想办法找出∠B，∠C与∠1，∠2 的关系. A B C D E 1 2 证明：因为 AD∥BC， 所以∠1 =∠B (两直线平行，同位角相等)， ∠2 =∠C (两直线平行，内错角相等). 又因为∠1 =∠2， 所以∠B =∠C. 因此 AB = AC (等角对等边). A B C D E 1 2 例4 如图，在△ABC 中，AB = AC，∠ABC 和∠ACB 的平分线交于点O. 过 O 作 EF∥BC 交 AB 于 E，交 AC 于 F. 探究 EF、BE、CF 之间的关系. 解：EF = BE + CF. 理由如下：∵ EF∥BC， ∴∠EOB =∠CBO，∠FOC =∠BCO. ∵ BO、CO 分别平分∠ABC、∠ACB， ∴∠CBO＝∠ABO，∠BCO＝∠ACO， ∴∠EOB＝∠ABO，∠FOC＝∠ACO， ∴BE＝OE，CF＝OF， ∴ EF＝OE + OF＝BE + CF. A B C O E F 若 AB≠AC，其他条件不变，图中还有等腰三角形吗？结论还成立吗？ 1. 如图，已知∠A = 36°，∠DBC = 36°，∠C = 72°，则∠DBA = _____°，∠BDC = ____°，图中的等腰三角形有_______________________. 36 72 △ABC、 △DBA、 △BCD A B C D 课堂练习 2. 如图，在△ABC 中，∠ABC 和∠ACB 的平分线交于点 E，过点 E 作 MN∥BC 交 AB 于 M，交 AC 于 N，若 BM＋CN＝9，则线段 MN 的长为_____. 9 第2 题图 3. 已知：如图，四边形 ABCD 中，AB＝AD，∠B＝∠D. 求证：BC＝CD. 证明：连接 BD. ∵ AB = AD， ∴∠ABD =∠ADB. ∵∠ABC =∠ADC， ∴∠ABC - ∠ABD =∠ADC -∠ADB， 即∠CBD = ∠CDB. ∴ BC = CD. 等腰(边)三角形的判定 等腰三角形的判定 等角对等边 (注意是指同一个三角形中) 等边三角形的判定 1. 三个角都相等的三角形是等边三角形； 2. 有一个角是 60° 的等腰三角形是等边三角形 课堂小结 $$