精品解析：甘肃省张掖市山丹县大马营中学2025-2026学年九年级上学期开学摸底考试数学试卷

新九年级开学摸底考试卷（二） 数学 （考试试卷：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上． 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3.考试范围：八下全册和九上第一章的内容 4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 在平行四边形中，，则等于（ ） A. B. C. D. 2. 下列方程中是关于 x的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 在中，满足下面的条件时，不是直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 5. 为了铸牢学生的安全意识，近期某校举行了“防溺水”演讲比赛，记分员小丽将位评委给某位选手的评分进行整理，并制作成如下表格，若去掉一个最高分和一个最低分后，表中数据一定不发生变化的统计量是（ ） 平均数 中位数 众数 方差 A. 中位数 B. 众数 C. 平均数 D. 方差 6. 把根号外的因式移入根号内，下列结果正确的是（　　） A. B. C. D. 7. 关于x的一元二次方程（a－1）x²－x＋a²－1＝0的一个根是0，则a的值为（ ） A. 1 B. －1 C. 1或－1 D. 0 8. 某牛奶销售公司招聘送奶员，下面的海报显示的是这家公司的日薪计算方式：一天内送出的前240瓶牛奶，每瓶牛奶0.5元，此后，每多送一瓶每瓶多0.4元．下列正确表示这家公司的日薪与送奶数量关系的图是（ ） A. B. C. D. 9. 函数的图象如图所示，下列说法正确的是（ ） A. 当时， B. C. 若的图象与坐标轴围成的三角形面积为2，则 D. 若点和点在直线上，则 10. 如图，在矩形中，，，E，F是对角线上的两个点，且，M，N分别是边，边上的动点．下列四种说法： ①存在无数个平行四边形： ②存在无数个正方形； ③当时，存在唯一的矩形； ④当时，存在唯一的矩形．其中正确的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上） 11. 若有意义，则的取值范围是______． 12. 设α、β是方程的两根，则的值为______． 13. 已知点，是一次函数的图象上的两点，则a_____b（填“>”“<”或“=”）． 14. 图①中有一首古算诗，根据诗中的描述可以计算出红莲所在位置的湖水深度，其示意图如图②，其中，于点C，尺，尺．设的长度为x尺，可列方程为______． 15. 关于x的方程有实数根，则a的取值范围 ____________________． 16. 如图，菱形的边长为4，，点，在对角线上，且点在点左侧，，连接，，若是等腰三角形，则的长为______． 三、解答题（本大题共8小题，第17，18，19，20，21题每题8分；第22，23题每题10分；第24题12分，共72分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. （1）计算：． （2）解方程：． 18. 如图，在中，． （1）直接写出的形状是_________； （2）若点P为线段上一点，连接，且，求的长． 19. 如图，在平行四边形中，是对角线上的中点，过点作，垂足为且． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，求的长． 20. 如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点．直线与轴交于点，与轴交于点，四边形是平行四边形． （1）求、两点的坐标； （2）求直线所对应的函数表达式． 21. 为巩固脱贫攻坚成果，实行乡村振兴，某村村民利用网络平台“直播带货”，销售一批成本为每件50元的商品，经调查发现，该商品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，部分数据如表所示： 销售单价x（元／件） 55 60 70 销售数量y（件） 75 70 60 （1）求y与x之间的函数关系式 （2）销售期间，网络平台要求该商品每件商品售价不得高于100元，要使该商品每天的销售利润为700元，求此时商品售价； 22. 新学期伊始，为了更好的了解学情，老师对本级部学生暑假数学预习情况进行了测试，采取随机抽测（满分分），并将测试成绩进行了收集整理．以下是部分数据和不完整的统计图表，其中成绩为的人的成绩如下：，，，，，，，． 竞赛成绩组 频数 请根据表中的信息完成以下几个问题； （1）____________，____________； （2）请写出等级成绩中的中位数为___________，众数为___________； （3）请补全条形图； （4）本校共人，根据调查结果，请你估计该学校学生中成绩为等级及以上的人数是多少？ 23. 如图，在平面直角坐标系中，直线，为常数且与轴交于点，与直线相交于点． （1）求直线的函数解析式； （2）点在直线上，使的面积为3，求出点的坐标； （3）若点在线段上，点在直线上，点在轴上，当四边形是正方形时，求点的坐标． 24. 如图①，在正方形中，P是对角线上的一点，点E在的延长线上，且． （1）求证：； （2）求证：； （3）把正方形改为菱形，其它条件不变（如图②），若，则________度． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 新九年级开学摸底考试卷（二） 数学 （考试试卷：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上． 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3.考试范围：八下全册和九上第一章的内容 4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 在平行四边形中，，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质，根据平行四边形的两个对角相等，邻角互补求解即可． 【详解】解：如图， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：D． 2. 下列方程中是关于 x的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是一元二次方程的定义，熟知只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程是解答此题的关键．据此逐项判断即可． 【详解】解：A、方程不是整式方程，不是一元二次方程，故不符合题意； B、当时，方程不是一元二次方程，故不符合题意； C、方程化为，不是一元二次方程，故不符合题意； D、方程即是一元二次方程，故符合题意； 故选：D． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的四则运算，熟知二次根式的四则运算法则是解题的关键． 【详解】解：A、与不是同类二次根式，不能合并，原式计算错误，不符合题意； B、，原式计算正确，符合题意； C、，原式计算错误，不符合题意； D、，原式计算错误，不符合题意； 故选：B． 4. 在中，满足下面的条件时，不是直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理和三角形内角和定理的应用，能理解勾股定理的逆定理的内容是解此题的关键．根据勾股定理的逆定理和三角形内角和定理逐个判断即可． 【详解】解：A、∵， ∴， 即是直角三角形，不符合题意； B、∵ ∴， ∴， ∴是直角三角形，不符合题意； C、设，则， ∵， ∴是直角三角形，不符合题意； D、∵，， ∴，即不是直角三角形，符合题意； 故选：D． 5. 为了铸牢学生的安全意识，近期某校举行了“防溺水”演讲比赛，记分员小丽将位评委给某位选手的评分进行整理，并制作成如下表格，若去掉一个最高分和一个最低分后，表中数据一定不发生变化的统计量是（ ） 平均数 中位数 众数 方差 A. 中位数 B. 众数 C. 平均数 D. 方差 【答案】A 【解析】 【分析】此题主要考查了统计量的选择，关键是掌握中位数定义．根据中位数：将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数可得答案． 【详解】解：如果去掉一个最高分和一个最低分，则表中数据一定不发生变化的是中位数， 故选：A． 6. 把根号外的因式移入根号内，下列结果正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的性质与化简，解题的关键是根据二次根式有意义的条件判断字母的符号，再正确移动根号外的因式． 先根据二次根式有意义的条件确定的符号，再将根号外的负因式处理符号后，平方移入根号内进行化简． 【详解】解：∵， ∴． ∴=． 故选：C． 7. 关于x的一元二次方程（a－1）x²－x＋a²－1＝0的一个根是0，则a的值为（ ） A. 1 B. －1 C. 1或－1 D. 0 【答案】B 【解析】 【分析】把代入，求出a的值即可． 【详解】解：把代入可得， 解得， ∵一元二次方程二次项系数不为0， ∴， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查一元二次方程的解，注意二次项系数不为0． 8. 某牛奶销售公司招聘送奶员，下面的海报显示的是这家公司的日薪计算方式：一天内送出的前240瓶牛奶，每瓶牛奶0.5元，此后，每多送一瓶每瓶多0.4元．下列正确表示这家公司的日薪与送奶数量关系的图是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查等量关系的知识，由题意可知，日薪与送奶数量是存在两种关系，当送奶数量小于或等于240瓶是日薪与送奶量一致且呈现递增的关系，当送奶数量大于240瓶是日新增长速度大于240瓶前，解题的关键是根据题意，判断出日薪与送奶数量的关系式即可． 【详解】解：由题意可知，日薪与送奶数量是存在两种关系，当送奶数量小于或等于240瓶是日薪与送奶量一致且呈现递增的关系，当送奶数量大于240瓶是日新增长速度大于240瓶前， ∴选项A符合题意， 故选：A． 9. 函数的图象如图所示，下列说法正确的是（ ） A. 当时， B. C. 若的图象与坐标轴围成的三角形面积为2，则 D. 若点和点在直线上，则 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一次函数的图象和性质，根据一次函数的图象和性质，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、由图象可知：当时，，正确； B、由图象可知，，原选项错误； C、若的图象与坐标轴围成的三角形面积为2，则，，原选项错误； D、由图象可知，随的增大而增大， ∵， ∴，原选项错误； 故选A． 10. 如图，在矩形中，，，E，F是对角线上的两个点，且，M，N分别是边，边上的动点．下列四种说法： ①存在无数个平行四边形： ②存在无数个正方形； ③当时，存在唯一的矩形； ④当时，存在唯一的矩形．其中正确的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的性质与判定，正方形的判定，平行四边形的判定，连接，且令，相交于点O，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形可得只要满足，那么四边形就是平行四边形，据此可判断①；只要，则四边形是正方形，据此可判断②；根据只要，则四边形是矩形，且，即可判断③④． 【详解】解：连接，且令，相交于点O， ∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴只要满足，那么四边形就是平行四边形， ∵点E，F是上的动点， ∴存在无数个平行四边形，故①正确； 只要，则四边形是正方形， 而符合要求的正方形只有一个，故②错误； 只要，则四边形是矩形， ∵， ∴当时，不存在矩形，故③错误； 当时，此时，即此时，故存在唯一的矩形，故④正确， 故选：B． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上） 11. 若有意义，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，熟记二次根式有意义的条件是解决问题的关键． 根据二次根式有意义的条件，列不等式求解即可得到答案． 【详解】解：有意义的条件是， 解不等式得， 故答案为：． 12. 设α、β是方程的两根，则的值为______． 【答案】2022 【解析】 【分析】此题考查了根与系数的关系，掌握一元二次方程的两根为，，则，是解题的关键． 【详解】∵α、β是方程的两根， ∴，， ∴， 故答案为：2022． 13. 已知点，是一次函数的图象上的两点，则a_____b（填“>”“<”或“=”）． 【答案】< 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的增减性，解题的关键是掌握一次函数，当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小．根据，得出y随x的增大而减小，根据，得出． 【详解】解：∵， ∴y随x的增大而减小， ∵，是一次函数的图象上的两个点，， ∴， 故答案为：． 14. 图①中有一首古算诗，根据诗中的描述可以计算出红莲所在位置的湖水深度，其示意图如图②，其中，于点C，尺，尺．设的长度为x尺，可列方程为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的实际应用，正确理解题意，运用勾股定理建立方程是解题的关键． 设的长度为x尺，则，在中，由勾股定理即可建立方程． 【详解】解：设的长度为x尺，则， ∵， 由勾股定理得：， ∴， 故答案为：． 15. 关于x的方程有实数根，则a的取值范围 ____________________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，根据判别式来判断即可，当时，方程有两个不相等的实数根，当时，方程有两个相等的实数根，当时，方程没有实数根． 根据关于x的方程有实数根，可知，然后即可求得a的取值范围． 【详解】解：∵关于x的方程有实数根， ∴， 解得． 所以a的取值范围是． 故答案为：． 16. 如图，菱形的边长为4，，点，在对角线上，且点在点左侧，，连接，，若是等腰三角形，则的长为______． 【答案】或或 【解析】 【分析】本题考查菱形的性质、含30度角的直角三角形的特征、等腰三角形的性质，勾股定理等知识，过点C作，垂足为H，根据是等腰三角形，分三种情况讨论即可． 【详解】解：如图，过点C作，垂足为H， 则， 菱形的边长为4，， ， ， 是等腰三角形，， ， 如图，当时， ， 点F与点H重合， ； 如图，当时， ， 点E与点H重合， ； 如图，当时， ， ， ； 综上，的长为或或， 故答案为：或或． 三、解答题（本大题共8小题，第17，18，19，20，21题每题8分；第22，23题每题10分；第24题12分，共72分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. （1）计算：． （2）解方程：． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，解一元二次方程； （1）根据二次根式的混合运算进行计算即可求解； （2）根据因式分解法解一元二次方程，即可求解． 【详解】解：（1）原式 ． （2）， ， 或， ． 18. 如图，在中，． （1）直接写出的形状是_________； （2）若点P为线段上一点，连接，且，求的长． 【答案】（1）直角三角形 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理： （1）根据勾股定理的逆定理，即可求解； （2）设，则，在中，根据勾股定理可得关于x的方程，即可求解． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴是直角三角形； 故答案为：直角三角形. 【小问2详解】 解：由（1）得：， 设，则， 在中，， ∴， 解得：， 即． 19. 如图，在平行四边形中，是对角线上的中点，过点作，垂足为且． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，求的长． 【答案】（1）详见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了矩形的判定，三角形中位线定理，勾股定理，熟练掌握矩形的判定和勾股定理是解题的关键． （1）根据中位线定理，得到，结合，得到即可证明四边形是矩形； （2）根据矩形的性质，中位线定理，得，利用勾股定理计算即可． 【小问1详解】 证明：是对角线上的中点，． ， ， 四边形是平行四边形， 四边形是矩形； 【小问2详解】 解：四边形是矩形，， ， ． 20. 如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点．直线与轴交于点，与轴交于点，四边形是平行四边形． （1）求、两点的坐标； （2）求直线所对应的函数表达式． 【答案】（1）点的坐标为，点的坐标为 （2） 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的性质以及平行四边形的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据一次函数与坐标轴的交点性质分别求出、两点的坐标 （2）先根据四边形是平行四边形，得出，，即，再运运用待定系数法求一次函数的解析式，即可作答． 【小问1详解】 解：直线， 当时，，， 点的坐标为． 当时，， 点的坐标为． 【小问2详解】 四边形是平行四边形， ，， ． 设直线所对应的函数表达式为． 将，代入上式， 得 ． 21. 为巩固脱贫攻坚成果，实行乡村振兴，某村村民利用网络平台“直播带货”，销售一批成本为每件50元的商品，经调查发现，该商品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，部分数据如表所示： 销售单价x（元／件） 55 60 70 销售数量y（件） 75 70 60 （1）求y与x之间的函数关系式 （2）销售期间，网络平台要求该商品每件商品售价不得高于100元，要使该商品每天的销售利润为700元，求此时商品售价； 【答案】（1） （2）售价为60元 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用，一元二次方程的实际应用： （1）直接利用待定系数法求解即可； （2）根据利润（售价进价）销售量列出方程求解即可． 【小问1详解】 解∶ 设该商品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系式为， 将点、代入一次函数关系式得：， 解得， ∴， 【小问2详解】 解：根据题意，得， 解得， ∵售价不得高于100元， ∴， ∴售价为60元； 22. 新学期伊始，为了更好的了解学情，老师对本级部学生暑假数学预习情况进行了测试，采取随机抽测（满分分），并将测试成绩进行了收集整理．以下是部分数据和不完整的统计图表，其中成绩为的人的成绩如下：，，，，，，，． 竞赛成绩组 频数 请根据表中的信息完成以下几个问题； （1）____________，____________； （2）请写出等级成绩中的中位数为___________，众数为___________； （3）请补全条形图； （4）本校共人，根据调查结果，请你估计该学校学生中成绩为等级及以上的人数是多少？ 【答案】（1），； （2），； （3） 补全统计图如下： （4）人 【解析】 【分析】本题考查了条形统计图和扇形统计图的信息关联、中位数、众数、利用样本估计总体等知识点，熟练掌握统计调查的相关知识是解题关键． （1）根据成绩为的人的成绩的人数即可求出，首先根据组的人数和在扇形图中的度数求出总人数，进而求得的值，然后根据组的人数求出所占的百分比； （2）根据众数及中位数的概念求解即可； （3）根据（1）进而补全条形统计图即可； （4）根据样本估计总体的方法求解即可． 【小问1详解】 ∵成绩为的人的成绩：，，，，，，，，共人， ∴频数 （人） （人） 所对应的百分比为：， ∴（人）， 故答案为：，； 【小问2详解】 ∵成绩为的人的成绩从小到大排序得：，，，，，，，． 出现的次数最多，最中间两个数为，， ∴中位数为，等级成绩的众数为， 故答案为，82； 【小问3详解】 由，． 【小问4详解】 （人） ∴该学校学生中成绩为等级及以上的人数是人． 23. 如图，在平面直角坐标系中，直线，为常数且与轴交于点，与直线相交于点． （1）求直线的函数解析式； （2）点在直线上，使的面积为3，求出点的坐标； （3）若点在线段上，点在直线上，点在轴上，当四边形是正方形时，求点的坐标． 【答案】（1）； （2）点的坐标为或； （3）点的坐标为 【解析】 【分析】本题综合考查一次函数的应用． （1）把点的坐标代入直线可得的值，进而把点的坐标和点的坐标代入直线可得和的值，即可求得所求的函数解析式； （2）设点的横坐标为，则的面积可用为底边，点的横坐标的绝对值为高表示，求得的值后进而求得点的纵坐标； （3）易得点和点的横坐标相同，根据点在直线上，点在直线上可得点和点的纵坐标，进而根据列出方程，求解后即可判断出点的横坐标，进而可得点的纵坐标． 【小问1详解】 解：点在直线上， ． 即． 将点，代入中， 得：． 解得：． 直线的函数解析式为：； 【小问2详解】 解：设点的横坐标为，则点的纵坐标为． 点的坐标为， ． 则， 解得：或． 当时，； 当时，． 点的坐标为或； 【小问3详解】 解：如图，连接交于点， 四边形是正方形， ，，． 点在直线上， 设． 点在直线上， 设点的坐标为：． ，． ， ， 点的坐标为． 24. 如图①，在正方形中，P是对角线上的一点，点E在的延长线上，且． （1）求证：； （2）求证：； （3）把正方形改为菱形，其它条件不变（如图②），若，则________度． 【答案】（1） 证明：在正方形中，，， 在和中， ， ； （2） 证明：由（1）知，， ， ， ， ， 设与相交于点O， ， ， ； （3）60 【解析】 【分析】本题考查的是正方形的性质、菱形的性质、全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理、正方形和菱形的性质是解题的关键． （1）根据正方形的性质得到，，证明； （2）根据全等三角形的性质得到，根据等腰三角形的性质得到，证明，得到答案； （3）根据菱形的性质、仿照（2）的证明方法解答即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：在菱形中，，， 又， ， 则是等边三角形， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， 设与相交于点O， ， ， ， ， ， 故答案为：60 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $