2025年陕西省西安市灞桥区铁一中滨河学校中考数学九模试卷

2025年陕西省西安市灞桥区铁一中滨河学校中考数学九模试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.下列实数中是无理数的是(    ) A. B. C. D. 2.如图是的正方形网格，选择一空白小正方形，能与阴影部分组成正方体展开图的方法有(    ) A. 1种 B. 2种 C. 3种 D. 4种 3.下列各式计算中正确的是(    ) A. B. C. D. 4.如图，一束光线与水平面成的角度照射地面，现在地面AB上支放一个平面镜CD，使这束光线经过平面镜反射后成水平光线射出，则平面镜CD与地面AB所成角的度数等于(    ) A. B. C. D. 5.已知点，在一次函数的图象上，且，则下列结论一定成立的是(    ) A. B. C. D. 6.如图，在菱形ABCD中，，对角线AC与BD相交于点O，于点F，交BD于点若，则DP的长为(    ) A. B. C. D. 7.如图，的半径OC长为12，将沿AB折叠，AB恰好经过OC的中点D，且，则折痕AB长为(    ) A. B. C. 12 D. 8.已知抛物线为常数，且的自变量x与函数y的几组对应值如表： x … 1 3 5 6 … y … 5 0 0 12 21 … 将抛物线平移得到新抛物线，若点在新抛物线上，则n的值为(    ) A. B. 4 C. D. 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。 9.若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围是______. 10.如图，正五边形ABCDE中，M、N分别为AB、AE的中点，连接DM、CN，O为DM、CN的交点，则的大小为______ 11.如图，在平面直角坐标系xOy中，和是以O为位似中心的位似图形，A，B两点的坐标分别为，点A的对应点C的坐标是，则点D的坐标是          . 12.如果反比例函数的图象与直线没有交点，请写出一个符合条件的k值______. 13.如图，已知正方形ABCD边长为1，E为AB边上一点，以点D为中心，将按逆时针方向旋转得，连接EF，分别交BD，CD于点M，N，若，则______. 三、解答题：本题共13小题，共81分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 14.本小题5分 计算： 15.本小题5分 先化简，再求值：，其中， 16.本小题5分 化简： 17.本小题5分 如图，直线，垂足为P，测得用尺规在图中作一条劣弧，使得它在A、C两点分别与直线AB和CD相切. 18.本小题5分 如图，已知，E、F在线段BC上，DE与AF交于点O，且，求证： 19.本小题5分 如图，小明和小春制作了两个质地均匀、可以自由转动的转盘，A盘被等分为四个扇形，上面分别标有数字1，2，4，5；B盘中圆心角为的扇形上面标有数字3，其余部分上面标有数字 小明转动一次A盘，指针指向数字为2的概率是______； 小明和小春用如图所示的两个转盘做游戏，游戏规则如下：分别旋转两个转盘，将A盘转出的数字作为被减数，B盘转出的数字作为减数；如果差为正数，则小春胜；若差为负数，则小明胜.这个游戏对双方公平吗？请用列表或画树状图的方法说明你的理由. 20.本小题5分 如图，8块相同的长方形地砖拼成一个长方形，每块长方形地砖的长和宽分别是多少？ 21.本小题6分 如图所示，晚上小亮走在大街上，他发现当他站在大街上高度相等的两盏路灯AB和CD之间时，自己右边的影子NE的长为3m，左边的影子ME的长为，又知小亮的身高EF为，两盏路灯AC之间的距离为12m，点A、M、E、N、C在同一条直线上，问：路灯的高为多少米？ 22.本小题7分 【问题背景】我国传统的计重工具——秤的应用，方便了人们的生活，可以用秤砣到秤纽的水平距离，来得出秤钩上所挂物物体的质量如图①称重时，若秤杆上秤砣到秤纽的水平距离为厘米时，秤钩所挂物重为千克 【记录数据】表中为若干次称重时，某数学兴趣小组所记录的一些数据. 厘米 0 1 2 3 4 千克 【探索发现】 请你通过描点的方法，判断y与x是______函数的关系请选填“一次”，“二次”，“反比例”； 求出y与x之间的函数关系式； 【结论应用】当秤钩所挂物重由千克变为7千克时，秤杆上秤砣移动的水平距离是多少？ 23.本小题7分 某学校开展了“校园人工智能创新节”活动，活动包含AI模型设计、人工智能应用方案两个项目.为了解学生的AI模型设计水平，从全校学生的AI模型设计成绩中随机抽取部分学生的成绩成绩为百分制，用x表示，并将其分成如下四组：，，， 下面给出了部分信息：的成绩为：81，81，82，82，82，83，84，84，84，85，86，86，86，87，88，88，88，89，89， 根据以上信息解决下列问题： 请补全频数分布直方图； 所抽取学生的AI模型设计成绩的中位数是______分； 根据活动要求，学校将AI模型设计成绩、人工智能应用方案成绩按3：2的比例确定这次活动各人的综合成绩. 某班甲、乙两位学生的AI模型设计成绩与人工智能应用方案成绩单位：分如下： AI模型设计 人工智能应用方案 甲的成绩 94 90 乙的成绩 90 95 通过计算，甲、乙哪位学生的综合成绩更高？ 24.本小题8分 如图，是四边形ABCD的外接圆，BD是直径，且，的切线AE交CD的延长线于点 求证：； 若，，求BD的长. 25.本小题8分 如图是某公园的一座抛物线形拱桥，夏季正常水位时拱桥的拱顶到水面AB的距离为，秋季水位会下降约，此时水面CD宽度约为 如图1，以AB的中点O为原点，AB所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系，请求出抛物线的解析式； 如图2，国庆节期间为装点节日的气氛，公园决定在拱桥上挂一串小彩灯，这串彩灯在拱桥中间部分EF与水面接近平行，两边自然垂下且关于抛物线的对称轴对称，彩灯两端的最低点M，N到水面CD的距离为，求这串影灯的最大长度. 26.本小题10分 如图1，在中，，，求AB的长结果保留根号 如图2是某机器人研发公司搭建的一个测试场地. 场地布局如下： 四边形ABCD，，，，米，米.在AD边上设置一个固定检测点G，米. 测试要求如下： 在AB边上设置一个检测点M，要求机器人的视角达到最大值； 轨道EF从CD边出发，沿射线AD方向平移m米.在EF上放置标志物P，同时要求机器人观测P的视角等于视角的最大值； 为了保证测试安全，需要使四边形AEFB的面积最大. 问题：是否存在满足所有上述条件的平移距离m？如果存在，求出具体的m值；如果不存在，请说明理由. 答案和解析 1.【答案】C  【解析】解：A、是小数，不是无理数，不符合题意； B、是整数，是有理数，不符合题意； C、是无理数，符合题意； D、是分数，是有理数，不符合题意； 故选： 由无理数的定义即可判定选择项． 本题考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：，等；开方开不尽的数；以及像…，等有这样规律的数． 2.【答案】B  【解析】解：如图所示： 选择标有1或2的位置的空白小正方形，能与阴影部分组成正方体展开图， 所以能与阴影部分组成正方体展开图的方法有2种． 故选： 依据正方体的展开图的结构特征进行判断，即可得出结论． 此题主要考查了几何体的展开图，关键是掌握正方体展开图的特点． 3.【答案】C  【解析】解：A、，故A错误； B、，故B错误； C、，故C正确； D、，故D错误． 故选： 根据整式的加减运算法则即可求出答案． 本题考查整式的运算法则，解题的关键是熟练运用整式的运算，本题属于基础题型． 4.【答案】A  【解析】解：如图， 由题意可知，，， ，， ，， ， ， 故选： 根据平行线的性质及三角形的外角定理即可求解． 此题考查了平行线的性质，熟练掌握“两直线平行，内错角相等”是解题的关键． 5.【答案】D  【解析】解：点，在一次函数的图象上，且， 点，在y轴的异侧， 、异号， 故选： 利用图象上点的坐标特征，可得出点，在y轴的异侧，进而可得出 本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，数形结合是解题的关键． 6.【答案】C  【解析】解：四边形ABCD是菱形， ，，， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ， 在中，由勾股定理得， ， 故选： 先由菱形的性质得到，，，再证明是等边三角形，则，进而得到，由三线合一定理得到，则可求出，利用勾股定理得到，则 本题主要考查了菱形的性质，等边三角形的性质与判定，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 7.【答案】A  【解析】解：延长CO交AB于E点，连接OB， ， 为AB的中点， ，D为OC的中点， ，， ， ， 在中，根据勾股定理可得：，即， 解得， 故选： 延长CO交AB于E点，连接OB，构造直角三角形，然后再根据勾股定理求出AB的长． 本题考查的是翻折变换，垂径定理，勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解题的关键． 8.【答案】D  【解析】解：依题意，抛物线向左平移1个单位得出，点在新抛物线上， 在上， 观察表格可得在抛物线上， 又对称轴为直线， 也在原抛物线上， 或， 或 故选： 根据表格求得对称轴进而得出，在抛物线上，根据平移得出在，即可求解． 本题考查了二次函数的平移，熟练掌握平移法则是关键． 9.【答案】  【解析】解：代数式在实数范围内有意义， ， ， 故答案为： 根据题意，由分式有意义的条件，可得，进而得出答案． 本题考查了分式有意义的条件，掌握分式有意义的条件是解题的关键． 10.【答案】72  【解析】解：由题意可得：， 正五边形的每个内角为， ， 由题意可得：CN、DM是正五边形的对称轴， ，， ，， ， ， 故答案为： 根据正五边形的内角和公式求出内角和，再除以5得到，由M、N分别为AB、AE的中点得CN、DM是正五边形的对称轴，所以，，最后根据三角形内角和定理和对顶角相等即可求解． 本题考查了正五边形的内角和公式，正五边形的对称性，三角形的内角和定理，对顶角相等，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 11.【答案】  【解析】解：与是以点O为位似中心的位似图形，相似比为3：1， 点D的坐标为，即， 故答案为： 根据位似变换的性质计算，得到答案． 本题考查的是位似变换的性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或 12.【答案】答案不唯一  【解析】解：依题意有， 解得， 符合条件的k值为2， 故答案为：答案不唯一 反比例函数的图象与直线没有交点，得出，解不等式即可． 本题考查反比例函数与一次函数的交点，以及不等式的内容，关键掌握反比例函数的性质． 13.【答案】  【解析】解：四边形ABCD是边长为1的正方形， ，， ， 将按逆时针方向旋转得， ，，，， ，， ，B、C、F三点在同一条直线上， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为： 由正方形的性质得，推导出，由旋转得，，，，则，所以，，则，所以，则，于是得，则，求得，则，所以，于是得到问题的答案． 此题重点考查正方形的性质、旋转的性质、勾股定理、解直角三角形等知识，推导出是解题的关键． 14.【答案】  【解析】解： 先根据算术平方根、二次根式的乘法、负整数指数幂、零指数幂的运算法则计算，再合并即可． 本题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 15.【答案】解： ， 当，时，原式  【解析】根据完全平方公式和多项式乘多项式将题目中的式子展开，然后合并同类项，再将m、n的值代入化简后的式子计算即可． 本题考查整式的混合运算-化简求值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 16.【答案】  【解析】解： 先算括号里面的，再算除法即可． 本题考查的是分式的混合运算，熟知分式混合运算的法则是解题的关键． 17.【答案】见解析．  【解析】解：如图，即为所求． 过点A作PB的垂线，过点C作PD的垂线，两垂线交于点O，以O为圆心，OA为半径作即可． 本题考查作图-复杂作图，切线的判定和性质，解题的关键是掌握相关知识解决问题． 18.【答案】证明见解答．  【解析】证明：， ， ， 在和中， ， ， ， 由，得，而，，即可根据“HL”证明，得，则 此题重点考查全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定等知识，证明是解题的关键． 19.【答案】；   这个游戏对双方不公平．  【解析】小明转动一次A盘，则指针指向数字为2的概率是 故答案为：； 这个游戏对双方不公平， 理由如下：列表如下： 被减数 减数 1 2 4 5 3 1 2 4 0 1 4 0 1 由表知，共有12种等可能结果，其中差为负数的有6种结果，差为正数的有4种结果， 则x小明胜的概率是，小春胜的概率是， ， 这个游戏对双方不公平． 直接根据概率公式求解即可； 根据题意画出树状图得出所有等可能的情况数，找出差为负数的情况数和差为正数的情况数，再根据概率公式求出各自获胜的概率，然后进行比较，即可得出答案． 本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 20.【答案】解：设每块长方形地砖的长为xcm，宽为 依题意得， 解得， 答：长方形地砖的长为45cm，宽为  【解析】就从右边长方形的宽60cm入手，找到相对应的两个等量关系：小长方形的宽；一个小长方形的长+一个小长方形的宽 本题应从题中所给的已知量60入手，找到最简单的两个等量关系，进而求解． 21.【答案】解：设，则，再设路灯的高为hm， ，，， ∽，∽， ，， 即，， 则， 解得：， 故， 解得： 答：路灯高米．  【解析】首先根据已知条件求证出∽，∽，然后根据相似三角形的性质求得两个相似三角形的相似比，进而求出路灯AB的高度． 本题考查相似三角形的应用，解决此问题的关键在于正确理解题意的基础上建立数学模型，把实际问题转化为数学问题求解． 22.【答案】描点并连线见解答，一次；   ；     【解析】描点并连线如图所示： 这些点分布在同一条直线上， 与x是一次函数的关系． 故答案为：一次． 设y与x之间的函数关系式为、b为常数，且， 将坐标和分别代入， 得， 解得， 与x之间的函数关系式为 当时，解得， 当时，解得， 答：秤杆上秤砣移动的水平距离是 描点并连线，根据这些点的分布情况判断函数类型即可； 利用待定系数法解答即可； 分别求出当和时对应x的值并求差即可． 本题考查一次函数的应用，掌握一次函数的图象特征和待定系数法求一次函数的关系式是解题的关键． 23.【答案】见解答；   ；   甲的综合成绩比乙高．  【解析】，而有20人， 有， 补全图形如下： ， 而的成绩为：81，81，82，82，82，83，84，84，84，85，86，86，86，87，88，88，88，89，89， 个成绩按照从小到大排列后，排在第25个，第26个数据分别是：82，83； 中位数为， 故答案为：； 甲的成绩为：分； 乙的成绩为分； 甲的综合成绩比乙高． 先求解总人数，再求解的人数，再补全图形即可； 根据中位数的含义确定第25个，第26个数据的平均数即可得到中位数； 根据加权平均数公式分别计算甲，乙二人成绩，再比较即可． 本题考查的是频数分布直方图，中位数的含义，利用样本估计总体，加权平均数的含义，掌握基础的统计知识是解本题的关键． 24.【答案】证明见解答；   BD的长是  【解析】证明：连接并延长AO交BC于点F， 是四边形ABCD的外接圆， ， ， ， 的切线AE交CD的延长线于点E， ， 是的直径， ， ， ∽， ， ， 垂直平分BC， ， 解：， 四边形AFCE是矩形， ， ，， ， ， ， ， ， 解得， ， 的长是 连接并延长AO交BC于点F，可证明，由切线的性质得，而BD是的直径，则，所以，可证明∽，由，得，则AF垂直平分BC，所以，即可证明； 先证明四边形AFCE是矩形，则，而，则，由，且，得，求得，则 此题重点考查等腰三角形的性质、垂径定理、圆内接四边形的对角互补、直角所对的圆周角是直角、切线的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识，正确地添加辅助线是解题的关键． 25.【答案】抛物线的解析式为；   这串彩灯的最大长度为米．  【解析】设抛物线的解析式为：， 由题意得：拱顶的坐标为，点D的坐标为， ， 解得， 抛物线的解析式为； 由题意知，点， ， 彩灯两端的最低点到水面CD的距离为，秋季水位会下降约， 彩灯的最低点M，N在直线上， 点N为， ， 设彩灯的长度为w， ， ， 时，w最大， 答：这串彩灯的最大长度为米． 设抛物线的解析式为：，易得拱顶和点D的坐标，代入所设的解析式，可得a和k的值，即可求得抛物线的解析式； 表示出彩灯的长度，根据二次函数的性质得到最大值即可． 本题考查二次函数的应用．根据题意得到用二次函数表示的彩灯的长度是解决本题的难点． 26.【答案】；   m的值为米．  【解析】如图1，过点C作于点 在中， ，， ， ， 在中， ， ， ， ； 如图，连接GC， ，米，米， 四边形ABCG是平行四边形， ， 四边形ABCG是矩形， 在AB边上设置一个检测点M，要求机器人的视角达到最大值， 点M应是以CD为弦的与AB相切的切点， 矩形和圆都是轴对称图形， 点M是AB的中点， 米， 米，米， 米， 由勾股定理，得米， ，即是等边三角形， ， 轨道EF从CD边出发，沿射线AD方向平移m米．在EF上放置标志物P，同时要求机器人观测P的视角等于视角的最大值， 米，， ，， ， 米， 米，为定值， 要使四边形AEFB的面积最大，只要▱CDEF的面积最大即可， ▱CDEF的面积， 要使四边形AEFB的面积最大，只要m最大即可， 点P应是以CD为弦的半径与相同与EF相切的切点， 连接OP，则， ， ，记垂足为Q， 设AE与交于点H，连接CH， ，， 为直径，， 米，米， 米，米， 设CD与交于点I，连接HI，过点D作于点N， 为直径， ， ， 米， 米， 米， 易知：四边形QPND是矩形， 米， 米， 故m的值为米． 过点C作于点D，在中，求出CD，AD，在中，求出BD，即可解决问题； 首先推出视角的最大值为，再推出轨道EF从CD边出发，沿射线AD方向平移m米．在EF上放置标志物P，同时要求机器人观测P的视角等于视角的最大值，且使四边形AEFB的面积最大，只要m最大即可，从而得到点P应是以CD为弦的半径与相同与EF相切的切点，再设法求出m即可． 本题考查解直角三角形的应用，矩形的判定和性质，平移的特征，圆的有关概念和性质，直线和圆的位置关系，理解题意，弄清各个量之间的关系是解题的关键． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$