1.3几何证明举例 第1课时教案2025-2026学年 青岛版八年级数学上册

配套初中数学青岛版（新课标） 第一章 推理与证明 1．3几何证明举例（第1课时）   一、教材分析 《几何证明举例（第1课时）》是青岛版初中数学八年级上册第一章第三节的内容．本节课以平行线为切入点，借助基本事实展开对相关性质和判定定理的证明，并引入互逆命题概念．它既是对前期几何知识的深化，又为后续复杂几何内容的学习筑牢根基，在知识体系中起承上启下作用，是培养学生逻辑推理能力、构建几何思维的重要素材．   三、教学目标 1．理解原命题、逆命题等概念，能准确拆分、互换命题条件与结论，把握命题间逻辑关联，发展数学抽象能力． 2．通过平行线性质与判定定理的证明，掌握演绎推理方法，规范证明步骤，提升逻辑推理的严密性． 3．运用平行线定理及命题知识，解决角度计算、平行证明、命题辨析问题，实现知识迁移，提升数学应用与创新能力．   三、教学重难点 　　重点：平行线性质与判定定理的证明过程、原命题与逆命题的互化方法及逻辑关联． 难点：几何证明中逻辑推理的严谨性表达，以及逆命题真假性辨析的思维建构．   四、教学过程 · 复习回顾 在七年级下册我们探索了哪些平行线的性质和判定方法？ 1．平行线的性质： （1）两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等； （2）两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等； （3）两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补． 2．平行线的判定方法： （1）两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么两直线平行； （2）两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么两直线平行； （3）两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么两直线平行． 根据基本事实“两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行”，能够证得平行线的性质定理Ⅰ：两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等． 那么，如何利用它们证明平行线的其他性质和判定定理呢？ 师生活动：教师提问平行线性质与判定方法，学生口头回答后教师板书要点，引导学生思考定理证明的逻辑关联． 设计意图：激活旧知，建立知识衔接，为定理证明提供逻辑基础． · 探究新知 活动一：平行线性质定理和判定定理的证明 　（1）证明平行线的性质定理Ⅱ:两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等． 已知：如图，直线，直线EF分别交AB，CD于点O和P． 求证： 证明：因为(已知)， 所以(两直线平行，同位角相等)． 因为(对顶角相等)， 所以(等量代换)． （2）证明平行线的性质定理Ⅲ：两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补(请写出证明)． 已知：如图，直线，直线EF分别交AB，CD于点O和P．求证：． 证明：因为(已知)， 所以(两直线平行，同位角相等)． 因为(平角的定义)， 所以(等量代换)． （3）证明平行线的判定定理I：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行． 已知：如图，直线EF分别交AB，CD 于点O和P，．求证：． 证明：因为(对顶角相等)， (已知)， 所以(等量代换)． 所以(同位角相等，两直线平行)． （4）证明平行线的判定定理Ⅱ：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行(请写出证明)． 已知：如图，直线EF分别交AB，CD于点O和P，．求证：． 证明：因为(已知)， 因为(平角的定义)， 所以(等量代换)． 所以(同位角相等，两直线平行)． 交流：证明一个命题的一般步骤： （1）弄清题设和结论； （2）根据题意画出相应的图形； （3）根据题设和结论写出已知，求证； （4）分析证明思路,写出证明过程． 师生活动：教师示范定理Ⅱ证明，强调推理依据；学生独立完成定理Ⅲ及判定定理证明，教师巡视指导并投影反馈． 活动二：探究两个命题条件和结论的关系 观察上面（1）和（3），（2）和（4）中的两个命题，发现它们的条件和结论之间有什么关系？ （1）条件：两条直线平行，结论：内错角相等． （3）条件：内错角相等，结论：两条直线平行． （2）条件：两条直线平行，结论：同旁内角互补． （4）条件：同旁内角互补，结论：两条直线平行． 第一个命题的条件和结论分别是第二个命题的结论和条件． 活动三：原命题、逆命题、互逆命题、逆定理的概念 　　在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题叫作互逆命题．如果把其中一个命题叫作原命题，那么另一个命题叫作它的逆命题． 如果一个定理的逆命题也是真命题，那么这个逆命题叫作原定理的逆定理． 注意：原命题成立，逆命题不一定成立． 师生活动：学生观察命题条件与结论的关系，归纳互逆命题概念；教师结合实例讲解逆定理，强调原命题与逆命题的真假独立性． 设计意图：通过“示范—实践—归纳”模式，培养逻辑推理能力，利用命题对比突破互逆概念的抽象理解． · 应用新知 例1． 如图，．求证：． 　　分析：先根据同位角相等判定两直线平行，再根据两直线平行同旁内角互补． 　　证明：因为(已知)， 　　所以(同位角相等，两直线平行)． 　　所以(两直线平行，同旁内角互补)． 总结：在判定直线平行和运用平行线性质时，要明确角的位置关系，防止混淆同位角、内错角和同旁内角等不同类型的角． 例2． 写出下列命题的逆命题，并判断这些逆命题是真命题还是假命题． 　　（1）对顶角相等； 　　（2）在同一平面内，如果两条直线没有公共点，那么这两条直线平行． 分析：原命题和真命题的条件和结论互换． 解：（1）如果两个角相等，那么这两个角是对顶角．假命题． （2） 在同一平面内，如果两条直线平行，那么这两条直线没有公共点．真命题． 总结：准确找出原命题的条件和结论并进行互换是写出逆命题的关键．判断逆命题真假时，需要依据已学的数学定义、性质和定理等知识，通过举反例或依据定义的方法来确定． 例3． 举例说明下列命题的逆命题是假命题． （1）如果一个三角形有一个角是钝角，那么它的另外两个角是锐角． 逆命题：如果一个三角形有两个角是锐角，那么这个三角形的另一个角是钝角．例如，等边三角形三个角都是锐角，不属于钝角三角形． （2） 如果两个角都是直角，那么这两个角相等． 逆命题：如果两个角相等，那么这两个角是直角． 例如，60°= 60°，但这两个角不是直角． 分析：原命题和真命题的条件和结论互换，然后举例判断为假命题． 总结：只要举出一个反例，就可以说明该命题是假命题． 例4． 如图，直线AB，CD与EF相交于G，H，下列条件：① ；②；③；④，其中能判定的是( ) A．①③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 解：和是同位角，因此已知，可得；和是内错角，因此已知，可得；和是对顶角，因此由不能得到；由，可以得到，再根据同旁内角互补，两直线平行，可以得到．故选：B． 总结：易混淆对顶角与判定平行的角（同位角等），错误认为“对顶角相等”可直接判定平行． 师生活动：教师引导分析例题中角的位置关系，学生独立完成证明或判断，师生共同总结“由角定平行，由平行得角关系”的解题逻辑． 设计意图：通过多类型例题巩固知识，强化“角的位置关系分析”与“逻辑推理路径”的核心技能． · 课堂练习 1．阅读证明过程，并在括号内填写推理的依据． 如图，直线AB∥CD，直线EF与AB，CD分别交于点P和Q，AB⊥EF，垂足为点P．求证:CD⊥EF． 证明：因为　(　已知　)， 所以　(　两直线平行，同位角相等　)． 因为　(　已知　)， 所以(　垂直的定义　)． 所以(　等量代换　)． 所以　(　垂直的定义　)． 2．写出下列命题的逆命题，并判断这些逆命题的真假． （1）如果两个角相等，那么这两个角的补角相等； （2）两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么内错角相等． 分析：明确其逆命题的定义，即交换原命题的题设和结论就可以得到逆命题．然后分别针对每个命题进行具体分析判断真假． 解：（1）逆命题：如果两个角的补角相等，那么这两个角相等．是真命题． （2）逆命题：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么同位角相等．是真命题． 总结：准确找出原命题的条件和结论并进行互换． 限时训练 1．写出下列命题的逆命题，并判断所得逆命题的真假，如果是假命题，请举一个反例．（1）内错角相等，两直线平行；（2）如果，那么． 分析：命题由条件和结论两部分组成，一般形式为“如果（条件），那么（结论）” .逆命题就是把原命题的条件和结论互换位置得到的新命题，即“如果（原结论），那么（原条件）”． 解：（1）逆命题是“两直线平行，内错角相等”，是真命题． （2）逆命题是“如果，那么”，是假命题． 反例：当，时，，而． 总结：构造逆命题是锻炼逻辑推理的有效方式，能清晰梳理条件和结论的因果关系，明白原命题成立时逆命题不一定成立，需重新验证． 2．已知：如图，，，．求和的度数． 　　 　　分析：利用两条直线平行的判定和性质即可确定答案． 解：因为(已知)， 所以（两直线平行，内错角相等）， 因为（已知）所以（等量代换）， 　　因为 （已知） 所以（两直线平行，同旁内角互补）， 所以 （等式的性质）， 所以（等量代换）． 总结：需熟练掌握平行线性质与角的位置关系的对应，精准运用性质实现角的转化与计算． 3．对于图中标记的各角，下列条件能够推理得到的是( ) A． B．　　　C． D． 分析：理解对顶角和同旁内角的概念，利用判断两条直线平行的判定条件即可确定答案． 解：的对顶角与是同旁内角，若，可以根据同旁内角互补，两直线平行得到．故选：D． 总结：解题关键是精准识别角的类型，判断其是否为平行线判定定理（同位角相等、内错角相等、同旁内角互补 ）对应的角． 4．如图，直线c，d与直线a，b分别相交，．求证：． 分析：理解内错角和同旁内角的概念，利用两条直线平行的判定和性质即可确定答案． 证明：(已知)， (内错角相等，两直线平行)． (两直线平行，同旁内角互补)． (对顶角相等)， (等量代换)． 总结：遇“角关系→直线平行→角关系”题型，遵循：先判平行，再用性质，实现角关系的转化与证明． 师生活动：学生限时完成针对性练习（如填写推理依据、写逆命题），教师巡视答疑，集中订正共性问题（如混淆判定与性质）． 设计意图：即时反馈学习效果，针对性提升证明规范与概念应用能力． · 归纳总结 师生活动：教师和学生一起回顾本节课所讲的内容． 1．本节课你学到了什么？ 2．证明一个命题的一般步骤是什么？ 设计意图：系统化知识结构，培养学生反思与总结习惯，明确重点难点及学习方法． 学科网（北京）股份有限公司 $$