15.3 第2课时 角平分线的性质及判定 课件 2025-2026学年 沪科版八年级数学上册

该初中数学课件聚焦角平分线的性质及判定，通过“建贸易市场”现实情境导入，引导学生从性质定理（角平分线上的点到两边距离相等）出发，经逆命题探究得出判定定理（到两边距离相等的点在角平分线上），形成“性质-判定-应用”知识链，搭建从具体到抽象的学习支架。 其亮点在于以数学眼光观察现实问题，通过“猜想-证明-应用”发展推理意识，如性质定理用AAS全等证明，判定定理通过构造射线和HL全等推理。结合三角形内角平分线活动探究，用表格对比性质与判定，强化几何直观与模型意识。学生能提升逻辑推理与应用能力，教师可直接利用结构化例题、变式及练习优化教学。

第 15 章 轴对称图形与 等腰三角形 15.3 角的平分线 第 2 课时 角平分线的性质及判定 1.会叙述角平分线的性质及判定;(重点) 2.能利用三角形全等,证明角平分线的性质定理,理解和掌握角平分线性质定理和它的逆定理,能应用这两个性质解决一些简单的实际问题;(难点) 3.经历探索、猜想、证明的过程,进一步发展学生的推理证明意识和能力. 学习目标 如图,要在 S 区建一个贸易市场,使它到铁路和公路距离相等, 离公路与铁路交叉处 500 米,这个集贸市场应建在何处?(比例尺为 1︰20000) D C S 解:作夹角的角平分线 OC, 截取 OD = 2.5 cm,D 即为所求. O 角平分线的性质 思考 如图, OE 是 ∠AOB 的平分线,P 是 OE 上的任一点,过点 P 分别作 PC⊥OA,PD⊥OB,点 C,D 是垂足. PC、PD 的长有什么关系吗?证明你的猜想. A O B P C D E 1 证明 ∵ OP平分∠AOB,(已知) ∴ ∠COP=∠DOP.(角平分线的定义) 又∵ PC⊥OA,PD⊥ OB ,(已知) ∴∠PCO =∠PDO = 90 .(垂直的定义) 如图, OE 平分∠AOB,P 是 OE 上的任一点,PC ⊥ OA 于点 C,PD⊥OB于点 D .求证:PC = PD. A O B P C D E ∵在 PCO 和 PDO中, ∠COP =∠DOP , ( 已证 ) ∠PCO =∠PDO,( 已证 ) OP = OP, (公共边) ∴ PCO≌ PDO. (AAS) ∴ PC = PD 定理:角平分线上的点到角两边的距离相等. 应用所具备的条件: (1) 点在角的平分线上; (2) 到角两边的距离(垂直). 定理的作用: 证明线段相等. B A D O P E C 应用格式: ∵ OP 是∠AOB 的平分线, ∴ PD = PE. PD⊥OA,PE⊥OB, 推理的条件有三个,必须写完全,不能少. 要点归纳 判一判:(1) 如下左图,因为 AD 平分∠BAC (已知), 所以 BD = CD . ( ) 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等 B A D C (2) 如上右图,因为 DC⊥AC,DB⊥AB (已知), 所以 BD =CD. ( ) 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等 B A D C 例1 已知:如图,在 ABC 中,AD 是它的角平分线,且 BD = CD,DE⊥AB, DF⊥AC,垂足分别为 E,F. 求证:EB = FC. A B C D E F 证明:∵AD 是∠BAC 的平分线, DE⊥AB, DF⊥AC, ∴ DE = DF,∠DEB =∠DFC = 90 . 在Rt BDE 和 Rt CDF 中, DE = DF, BD = CD, ∴ Rt BDE≌Rt CDF (HL). ∴ EB = FC. 典例精析 变式:如图,在直角 ABC 中,∠C = 90 ,AP 平分∠BAC 交 BC 于点 P,若 PC = 4, AB = 14. (1) 则点 P 到 AB 的距离为_; (2) 求 APB 的面积. A B C P D 4 温馨提示:存在一条垂线段 —— 构造应用 故 AB PD = 28. 解:由角平分线的性质知 PD = PC = 4, 1. 应用角平分线的性质: 存在角平分线 涉及距离问题 2. 联系角平分线的性质: 面积 周长 条件 角平分线的性质 方法归纳 思考:写出上面角平分线性质定理的逆命题. 这个逆命题是真命题吗?如果是真命题请写出已知、求证,并给出证明. 角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上 角平分线上的点到角两边的距离相等 逆 命 题 思考:这个结论正确吗? 角平分线的判定 2 已知:如图,PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别是 D、E,PD = PE.求证:点 P 在∠AOB 的角平分线上. 证明: 作射线 OP, ∴ 点 P 在∠AOB 角的平分线上. 在 Rt PDO 和 Rt PEO 中, (全等三角形的对应角相等). OP = OP (公共边), PD = PE (已知), B A D O P E ∵ PD⊥OA,PE⊥OB. ∴∠PDO =∠PEO = 90 . ∴ Rt PDO≌Rt PEO ( HL). ∴ ∠DOP =∠EOP 角平分线判定定理: 角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上. P A O B C D E 应用所具备的条件: (1)位置关系:点在角的内部; (2)数量关系:该点到角两边的距离相等. 应用格式: ∵ PD⊥OA,PE⊥OB,PD = PE. ∴点 P 在 ∠AOB 的平分线上. 方法归纳 例2 如图,某地有两所大学和两条交叉的公路.图中点M,N 表示大学,OA,OB 表示公路,现计划修建一座物资仓库,希望仓库到两所大学的距离相同,到两条公路的距离也相同,你能确定出仓库 P 应该建在什么位置吗?请在图中画出你的设计.(尺规作图,不写作法,保留作图痕迹) O N M A B O N M A B P 方法总结:到角两边距离相等的点在角的平分线上,到两点距离相等的点在这两点连线的垂直平分线上. 解:如图所示: 图形 已知 条件 结论 P C P C OP 平分∠AOB PD⊥OA 于 D PE⊥OB 于 E PD = PE OP 平分 ∠AOB PD = PE PD⊥OA 于 D PE⊥OB 于 E 角的平分线的判定 角的平分线的性质 活动1 分别画出下列三角形三个内角的平分线,你发现了什么? 发现:三角形的三条角平分线相交于一点 三角形的内角平分线 3 活动2 分别过交点作三角形三边的垂线,用刻度尺量一 量,每组垂线段,你发现了什么? 发现:过交点作三角形三边的 垂线段相等 你能证明这个结论吗? 已知:如图, ABC 的角平分线 BM,CN 相交于点 P, 求证: (1) 点 P 到三边 AB,BC,CA 的距离相等. 证明:过点 P 作 PD,PE,PF 分别垂直于 AB,BC,CA,垂足分别为 D,E,F. ∵BM 是 ABC 的角平分线, 点 P 在 BM 上, ∴PD = PE. 同理 PE = PF. ∴PD = PE = PF. 即点 P 到三边 AB,BC,CA 的距离相等. D E F A B C P N M 证明结论: (2) 连接 AP,求证:AP 平分∠BAC. 由 (1) 得, PD = PF (已证). 又∵ PD⊥AB,PF⊥AB, ∴ AP 平分∠BAC (角平分线上的点到角两边的距离相等). 结论:三角形的三条角平分线交于一点,并且这点到三边的距离相等. D E F A B C P N M 变式1:如图,在直角 ABC 中,AC = BC,∠C =90 ,AP 平分∠BAC,BD 平分∠ABC;AP,BD 交于点 O,过点 O 作 OM⊥AC,若 OM = 4, (1)求点 O 到 ABC 三边的距离和. M E N A B C P O D 温馨提示:不存在垂线段 — — 构造应用 12 解:连接 OC, (2)若 ABC 的周长为 32,求 ABC 的面积. M E N A B C P O D S ABC = S AOB+S BOC+S AOC, 2.联系角平分线性质: 距离 面积 周长 1.应用角平分线的判定与性质: 判定角平分线 距离问题 条件 要点归纳 2. ABC 中,∠C = 90 ,AD 平分∠CAB,且 BC = 8,BD = 5,则点 D 到 AB 的距离是 . A B C D 3 E 1. 如图,DE⊥AB,DF⊥BG,垂足分别是 E,F,DE = DF,∠FDB = 60 ,则∠EBF = ,BE = . 60 BF E B D F A C G 3. 在 Rt ABC 中,BD 平分∠ABC,DE⊥AB 于 E,则: (1) 哪条线段与 DE 相等?为什么?(2) 若 AB=10, BC=8,AC=6,求 BE,AE 的长和 AED 的周长. 解:(1) DC=DE. 理由如下:角平分线上的点到角两边的距离相等. (2) 在 Rt CDB 和 Rt EDB 中,DC = DE,DB = DB,∴ Rt CDB≌Rt EDB(HL), ∴ BE=BC=8.∴ AE=AB - BE=2. ∴ AED 的周长为AE + DE + DA= AE + DC + DA= AE + AC = 2 + 6=8. E D C B A 6 8 10 4. 已知:如图,OD 平分∠POQ,在 OP,OQ 边上取OA=OB,点 C 在 OD 上,CM⊥AD 于 M,CN⊥BD 于 N. 求证:CM = CN. 证明:∵ OD 平分∠POQ, ∴∠AOD = ∠BOD. 在 AOD 与 BOD 中, OA = OB, ∠AOD =∠BOD, OD = OD, ∴ AOD≌ BOD (SAS). 又∵ CM⊥AD ,CN⊥BD , ∴ CM = CN. ∴∠ADO =∠BDO. 5.如图,已知∠CBD 和∠BCE 的平分线相交于点 F,求证:点 F 在∠DAE 的平分线上. 证明:过点 F 作 FG⊥AE 于 G,FH⊥AD 于 H,FM⊥BC 于 M. ∵点 F 在∠BCE 的平分线上,FG⊥AE, FM⊥BC. ∴FG=FM. 又∵点 F 在∠CBD 的平分线上, FH⊥AD, FM⊥BC, ∴FM=FH. ∴FG=FH. ∴点 F 在∠DAE的平分线上. G H M A B C F E D 角平分线的性质及判定 性质定理 一个点:角平分线上的点; 二距离:点到角两边的距离; 两相等:两条垂线段相等 判定定理 角的内部到角两边距离相等的点在这个角的平分线上 重要结论 三角形的角平分线相交于内部一点 $$