精品解析：宁夏青铜峡市宁朔中学2025-2026学年高三上学期开学考试数学试题

青铜峡市宁朔中学2025-2026（一） 高三年级数学开学考试卷 一、单选题：本大题共8小题，共40分．在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项 1. 设全集，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意可得的值，然后计算即可. 【详解】由题意可得，则. 故选：A. 2. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 利用特称命题的否定是全称命题，直接写结果即可. 【详解】特称命题的否定是全称命题，故命题“”的否定是. 故选：A. 3. 已知复数，则复数的虚部为（ ） A. B. C. 1 D. -1 【答案】C 【解析】 【分析】先求出，即可判断. 【详解】因为，所以，所以的虚部为1. 故选：C 4. 现收集了7组观测数据.用4种模型分别进行拟合.由此得到相应的回归方程并进行残差分析，进一步得到如图4幅残差图，根据残差图，拟合效果最好的模型是（ ） A. 模型一 B. 模型二 C. 模型三 D. 模型四 【答案】D 【解析】 【分析】根据残差的带状宽度对拟合效果的影响，即可作出判断. 【详解】当残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明选用的模型比较合适，带状区域的宽度越窄，拟合的精确度越好，拟合效果越好，对比四个残差图，可知模型四的图对应的带状区域的宽度最窄. 故选:D 5. 现从4名男生和3名女生中，任选3名男生和2名女生，分别担任5门不同学科的课代表，则不同安排方法的种数是（ ） A. 12 B. 120 C. 1440 D. 17280 【答案】C 【解析】 【分析】首先选3名男生和2名女生，再全排列，共有种不同安排方法. 【详解】首先从4名男生和3名女生中，任选3名男生和2名女生，共有种情况， 再分别担任5门不同学科的课代表，共有种情况. 所以共有种不同安排方法. 故选：C 6. 下列式子中最小值为4的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】对于A，当时，有最大值；对于B，等号取不到，最小值不是；对于C，当时，有最大值；对于D，最小值为4． 【详解】对于A，当时，，不符合题意； 对于B，成立的条件为，不符合题意； 对于C，当时，，不符合题意； 对于D，； 故选：D 【点睛】本题考查基本不等式的应用，考查利用不等式求最值，属于中档题． 7. 函数的单调减区间是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用导数求原函数的单调区间，注意原函数的定义域. 【详解】∵的定义域为，且， 令，解得， ∴函数的单调减区间是. 故选：D. 8. 已知是等差数列的前 项和，公差，，若成等比数列，则的最小值为 A. B. 2 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 由成等比数列可得数列的公差，再利用等差数列的前 项和公式及通项公式可得为关于 的式子，再利用对勾函数求最小值. 【详解】∵成等比数列， ∴，解得： ， ∴， 令，令，其中 的整数， ∵函数在递减，在递增， ∴当时，；当时，， ∴. 故选：A. 【点睛】本题考查等差数列与等比数列的基本量运算、函数的最值，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意 为整数，如果利用基本不等式求解，等号是取不到的. 二、多选题：本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分． 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求． 全部选对得 6 分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知关于的不等式的解集为，则（ ） A. 的根为和 B. 函数的零点为和 C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】根据三个二次（二次函数、一元二次方程、一元二次不等式）之间的关系，即可得出正确的选项. 【详解】关于的不等式的解集为， ，C选项正确； 且和是关于的方程的两根， 则 ，则 ，，故D不正确； 不等式解集的端点值就是函数的零点及方程的根，故A正确，B不正确. 故选：AC． 10. 甲、乙、丙、丁四名同学相约去电影院看春节档热映的《热辣滚烫》，《飞驰人生2》，《第二十条》三部电影，每人都要看且限看其中一部.记事件为“恰有两名同学所看电影相同”，事件为“只有甲同学一人看《飞驰人生2》”，则（  ） A. 四名同学看电影情况共有种 B. “每部电影都有人看”的情况共有72种 C. D. “四名同学最终只看了两部电影”的概率是 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据分步乘法计数原理可判断A；将四名同学先分组，再分到三部电影可判断B；由条件概率可判断C；先求出四名同学最终只报了两个项目的方法总数，再结合A选项可判断 D. 【详解】对于A，由题意可知，甲、乙、丙、丁四名同学每人有3种选择， 故四名同学的报名情况共有种，A正确； 对于B，现将四名志愿者分为2，1，1三组，共有种情况， 再将其分到三个活动中，共有种，由分步乘法计数原理得到 种， 故“每个项目都有人报名”的报名情况共有36种，B错误； 对于C，由已知有：，， 所以， C正确； 对于D， “四名同学最终只报了两个项目”的概率是，D正确. 故选：ACD. 11. 已知，则下列说法正确的是（ ） A. 函数在上单调递减 B. 函数有两个零点 C. 方程有且仅有1个解时m的取值范围为或 D. 函数有极大值，无极小值 【答案】BD 【解析】 【分析】求函数的定义域与导数，分析函数的单调性与图象趋势，作出函数的大致图象，数形结合可判断各选项. 【详解】函数的定义域为. 则， 当时，，则 在单调递增； 当时，，则 在单调递减； 当 时，，则 在单调递减. 所以 在处取极大值，极大值为且； 又当 当. 由此，作出函数的大致图象（如图）. A项，当时，，，所以 不是单调递减的，故A错误； B项，由图象可知，函数 的图象与轴有两个交点，即 有两个零点，故B正确； C项，由图象可知要使直线与 的图象有且仅有一个公共点时，则，或 ，故C错误； D项，函数 在处取极大值，由图象可知 有极大值，无极小值，故D正确. 故选：BD. 三、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分． 12. 在的二项展开式中，项的系数为________（结果用数值表示） 【答案】 【解析】 【分析】根据二项式的展开式，求出指定项的系数. 【详解】展开式的第 项为， 则当时，，所以项的系数为21. 故答案为：21. 13. 某校举办运动会，甲参加跑步比赛、跳绳比赛（这两个比赛不能同时参加）的概率分别为0.6，0.4，若甲参加跑步比赛获奖的概率为0.7，参加跳绳比赛获奖的概率为0.6，则甲获奖的概率为________. 【答案】0.66 【解析】 【分析】本题需要先确定“甲参加跑步比赛”和“甲参加跳绳比赛”构成一个完备事件组，接着使用全概率公式计算“甲获奖”的概率. 【详解】记事件表示 “甲参加跑步比赛”，事件表示 “甲参加跳绳比赛”， 事件表示 “甲获奖”，由题可知. 甲参加跑步比赛获奖的概率为，即在甲参加跑步比赛的条件下获奖的概率， 甲参加跳绳比赛获奖的概率为，即. 又跑步与跳绳不能同时参加，且， 所以，于是根据全概率公式： ， 所以甲获奖得概率为. 故答案为：. 14. 已知函数有零点，则的取值范围是__． 【答案】 【解析】 【分析】 利用导数求出函数的单调性，函数 在上递减，在上递增，根据单调性求出函数的最小值为，由解得结果即可. 【详解】因为， 所以， 由得，由得， 所以函数 在上递减，在上递增， 所以 时，函数 取得最小值， 因为函数有零点，所以，解得. 故答案为： 【点睛】本题考查了函数的零点，考查了利用导数研究函数的单调性和最值，属于基础题. 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分． 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 等差数列中， ，． （1）求数列的通项公式； （2）设，求的值． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【详解】（Ⅰ）设等差数列 的公差为． 由已知得， 解得． 所以． （Ⅱ）由（Ⅰ）可得． 所以 ． 考点：1、等差数列通项公式；2、分组求和法． 16. “民政送温暖，老人有饭吃”．近年来，各级政府，重视提高老年人的生活质量．在医疗、餐饮等多方面，为老人提供了方便．单从用餐方面，各社区，创建了“爱心食堂”、“爱心午餐”、“老人食堂”等等不同名称的食堂，解决了老人的吃饭问题．“爱心食堂”为了更好地服务老人，于3月28日12时，食堂管理层人员对这一时刻用餐的118人，对本食堂推出的15种菜品按性价比“满意”和“不满意”作问卷调查，其中，有13人来食堂用餐不足5次，另有儿童5人，他们对菜品不全了解，不予问卷统计，在被问卷的人员中男性比女性多20人．用餐者对15种菜品的性价比认为“满意”的菜品数记为，当时，认为该用餐者对本食堂的菜品“满意”，否则，认为“不满意”．统计结果部分信息如下表： 满意 不满意 合计 男 40 女 20 合计 附:参考公式和临界值表，其中 0.1 0.05 0.01 0.001 2.706 3.841 6.635 10.828 （1）①完成上面列联表； ②能有多大（百分比）的把握认为用餐者对本食堂菜品的性价比是否满意与性别有关？ （2）用分层抽样在对菜品的性价比“满意”的人群中抽取6人，再从这6人中随机抽取3人，求抽取的3人中恰有2人是女性的概率： 【答案】（1）①表格见解析；②90%； （2）. 【解析】 【分析】（1）①依题意补全列联表即可；②计算值和临界值比较，结合独立检验基本思想得到结论； （2）根据分层抽样得男性4人和女性2人，分别对男性与女性标号，利用列举法求古典概率． 【小问1详解】 ①由题意，问卷调查人数为（人）， 其中，男性60人，女性40人，得完整列联表如下表： 满意 不满意 合计 男 40 20 60 女 20 20 40 合计 60 40 100 ②，而， 有 的把握认为用餐者对本食堂菜品的性价比是否满意与性别有关. 【小问2详解】 由（1）知，对菜品的性价比“满意”的人群中有40名男性和20名女性， 用分层抽样分别抽取男性4人和女性2人，4人男性记为人女性记为， 从6人中抽取3人的所有结果为， 共20种不同结果， 其中，恰有2人是女性即含有的结果有4种． 抽取的3人中恰有2人是女性的概率为. 17. 某学校高一年级学生某次考试成绩进行统计，从全体高一学生中抽出名学生的数学成绩和物理成绩，数据经过处理后，得到一些统计数据和数据关系：，，，其中、分别表示学生的数学成绩和物理成绩，其中.通过计算得到与的相关系数. （1）求与的线性回归方程； （2）已知同学甲的此次数学成绩为分，根据回归方程估计其物理成绩是否会超过80分？ 参考公式：，；相关系数. 【答案】（1） （2）同学甲物理成绩不会超过分. 【解析】 【分析】（1）求出、的值，结合题干中的数据求出、的值，即可得出回归直线的方程； （2）将代入回归直线方程，即可得出结论. 【小问1详解】 由题中数据可得，，， 由得， ， 所以， 所以线性回归方程为. 【小问2详解】 当时，，即同学甲物理成绩不会超过分. 18. 已知函数. （1）若，求曲线在点处的切线方程； （2）若函数在时取得极值，求实数a的值； （3）当时，求零点的个数. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）求导计算，，得到切线方程. （2）求导得到导函数，根据解得，再计算函数的单调区间，验证得到答案. （3）求导得到导函数，确定函数的单调区间，计算极值，再根据得到在上有且仅有一个零点，再根据当 时， ，结合函数的单调区间得到答案. 【小问1详解】 ，定义域为，， ，，故切线方程为. 【小问2详解】 定义域为， . 由已知解得. 当时，. 当时，，函数单调递减； 当时，，函数单调递增； 所以函数在时取得极小值，其极小值为，符合题意，所以. 【小问3详解】 令，由得. 当时，，函数单调递减； 当时，，函数单调递增； 函数在时取得极小值，其极小值为. 因为，所以 ，，所以， 所以，而， 又因为，所以，所以. 根据零点存在定理，函数在上有且仅有一个零点. 因为. 令，得，，故. 所以当 时， . 根据零点存在定理，函数在上有且仅有一个零点， 综上所述：当时，有两个零点. 【点睛】关键点睛：本题考查了切线问题，根据极值求参数，利用导数解决函数的零点问题，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中，找点计算， 时， ，结合零点存在定理是解题的关键，需要熟练掌握. 19. 作为影视打卡基地，都匀秦汉影视城推出了大影视博物馆：陈情令馆、庆余年馆、大秦馆、双世宠妃馆，馆内还原了影视剧中部分经典场景，更有丰富的、具有特色的影视剧纪念品供游客选择，国庆期间甲、乙等名同学准备从以上个影视馆中选取一个景点游览，设每个人只选择一个影视馆且选择任一个影视馆是等可能的， （1）分别求“恰有人选择庆余年馆”和“甲选择庆余年馆且乙不选择陈情馆”的概率； （2）设表示人中选择博物馆的个数，求的分布列和数学期望. 【答案】（1）“恰有人选择庆余年馆”和“甲选择庆余年馆且乙不选择陈情馆”的概率分别为、 （2）的分布列为： 期望为 【解析】 【分析】（1）设“恰有人选择庆余年馆”为事件，设“甲选择庆余年且乙不选择陈情馆”为事件，求出所有可能选择的方式的种数，利用排列组合思想求出事件、所包含的基本事件数，利用古典概型的概率公式可求得这两个事件的概率； （2）分析可知，随机变量的可能取值有、、、，计算出随机变量在不同取值下的概率，可得出随机变量的分布列，进而可求得的值. 【小问1详解】 解：所有可能选择的方式有种，设“恰有人选择庆余年馆”为事件， 则其余人每人都有种选择，所以，， 设“甲选择庆余年且乙不选择陈情馆”为事件， 则乙有种选择，其余人每人都有种选择，则， 则“恰有人选择庆余年馆”的概率为， “甲选择庆余年馆且乙不选择陈情馆”的概率为. 【小问2详解】 解：由题可知：的所有可能的值为、、、， 则，， ，， 则的分布列为 所以，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 青铜峡市宁朔中学2025-2026（一） 高三年级数学开学考试卷 一、单选题：本大题共8小题，共40分．在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项 1. 设全集，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 3. 已知复数，则复数的虚部为（ ） A. B. C. 1 D. -1 4. 现收集了7组观测数据.用4种模型分别进行拟合.由此得到相应的回归方程并进行残差分析，进一步得到如图4幅残差图，根据残差图，拟合效果最好的模型是（ ） A. 模型一 B. 模型二 C. 模型三 D. 模型四 5. 现从4名男生和3名女生中，任选3名男生和2名女生，分别担任5门不同学科的课代表，则不同安排方法的种数是（ ） A. 12 B. 120 C. 1440 D. 17280 6. 下列式子中最小值为4的是（ ） A. B. C. D. 7. 函数的单调减区间是（ ） A. B. C. D. 8. 已知是等差数列的前项和，公差，，若成等比数列，则的最小值为 A. B. 2 C. D. 二、多选题：本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分． 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求． 全部选对得 6 分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知关于的不等式的解集为，则（ ） A. 的根为和 B. 函数的零点为和 C. D. 10. 甲、乙、丙、丁四名同学相约去电影院看春节档热映的《热辣滚烫》，《飞驰人生2》，《第二十条》三部电影，每人都要看且限看其中一部.记事件为“恰有两名同学所看电影相同”，事件为“只有甲同学一人看《飞驰人生2》”，则（  ） A. 四名同学看电影情况共有种 B. “每部电影都有人看”的情况共有72种 C. D. “四名同学最终只看了两部电影”的概率是 11. 已知，则下列说法正确的是（ ） A. 函数在上单调递减 B. 函数有两个零点 C. 方程有且仅有1个解时m的取值范围为或 D. 函数有极大值，无极小值 三、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分． 12. 在的二项展开式中，项的系数为________（结果用数值表示） 13. 某校举办运动会，甲参加跑步比赛、跳绳比赛（这两个比赛不能同时参加）的概率分别为0.6，0.4，若甲参加跑步比赛获奖的概率为0.7，参加跳绳比赛获奖的概率为0.6，则甲获奖的概率为________. 14. 已知函数有零点，则的取值范围是__． 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分． 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 等差数列中， ，． （1）求数列的通项公式； （2）设，求的值． 16. “民政送温暖，老人有饭吃”．近年来，各级政府，重视提高老年人的生活质量．在医疗、餐饮等多方面，为老人提供了方便．单从用餐方面，各社区，创建了“爱心食堂”、“爱心午餐”、“老人食堂”等等不同名称的食堂，解决了老人的吃饭问题．“爱心食堂”为了更好地服务老人，于3月28日12时，食堂管理层人员对这一时刻用餐的118人，对本食堂推出的15种菜品按性价比“满意”和“不满意”作问卷调查，其中，有13人来食堂用餐不足5次，另有儿童5人，他们对菜品不全了解，不予问卷统计，在被问卷的人员中男性比女性多20人．用餐者对15种菜品的性价比认为“满意”的菜品数记为，当时，认为该用餐者对本食堂的菜品“满意”，否则，认为“不满意”．统计结果部分信息如下表： 满意 不满意 合计 男 40 女 20 合计 附:参考公式和临界值表，其中 0.1 0.05 0.01 0.001 2.706 3.841 6.635 10.828 （1）①完成上面列联表； ②能有多大（百分比）的把握认为用餐者对本食堂菜品的性价比是否满意与性别有关？ （2）用分层抽样在对菜品的性价比“满意”的人群中抽取6人，再从这6人中随机抽取3人，求抽取的3人中恰有2人是女性的概率： 17. 某学校高一年级学生某次考试成绩进行统计，从全体高一学生中抽出名学生的数学成绩和物理成绩，数据经过处理后，得到一些统计数据和数据关系：，，，其中、分别表示学生的数学成绩和物理成绩，其中.通过计算得到与的相关系数. （1）求与的线性回归方程； （2）已知同学甲的此次数学成绩为分，根据回归方程估计其物理成绩是否会超过80分？ 参考公式：，；相关系数. 18. 已知函数. （1）若，求曲线在点处的切线方程； （2）若函数在时取得极值，求实数a的值； （3）当时，求零点的个数. 19. 作为影视打卡基地，都匀秦汉影视城推出了大影视博物馆：陈情令馆、庆余年馆、大秦馆、双世宠妃馆，馆内还原了影视剧中部分经典场景，更有丰富的、具有特色的影视剧纪念品供游客选择，国庆期间甲、乙等名同学准备从以上个影视馆中选取一个景点游览，设每个人只选择一个影视馆且选择任一个影视馆是等可能的， （1）分别求“恰有人选择庆余年馆”和“甲选择庆余年馆且乙不选择陈情馆”的概率； （2）设表示人中选择博物馆的个数，求的分布列和数学期望. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $