第28章 锐角三角函数 章末练习2025-2026学年人教版九年级数学下册

28章 锐角三角函数 章末复习 一、单选题 1．如图，中，，，，则下列三角函数表示正确的是（    ） A． B． C． D． 2．在Rt中，，则的值等于（   ） A． B． C． D． 3．在正方形网格中，如图放置，则的值为（    ） A．2 B． C． D． 4．在中，，，，则的长是（   ） A．2 B．3 C．4 D．6 5．如图，一个土堆的截面可近似看成一个等腰，，其中斜坡与水平地面所成夹角，当米时，土堆顶端A到地面的距离为（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 6．的值是（　　） A． B． C． D． 7．在中，A、B都是锐角，，，下列说法正确的是（    ） A． B． C．是等边三角形 D．是直角三角形 8．已知，在中，，，则的度数是（　　） A． B． C． D． 9．若是锐角，且，则（   ） A． B． C． D． 10．某数学兴趣小组用无人机测量园博园“福塔”的高度，测量方案如图：先将无人机垂直上升至距水平地面的P点，测得“福塔”顶端A的俯角为，再将无人机面向“福塔”沿水平方向飞行到达Q点，测得“福塔”顶端A的俯角为，则“福塔”的高度约为（　　）（参考数据： ，，） A． B． C． D． 11．如图所示，河旁有一座小山，从山顶A处测得河对岸点C的俯角为，测得岸边点D的俯角为，C，D，B在同一水平线上，又知河宽为50 m，则山高是（    ） A．50 m B．25 m C．m D．75 m 12．如图，一艘军舰在处测得小岛位于南偏东方向，向正东航行海里后到达处，此时测得小岛位于南偏西方向，则小岛离观测点的距离是（ ）海里 A． B． C． D． 二、填空题 13．计算： ． 14．如图，在菱形中，交AB于点E，连接，若，则的值是 ． 15．在中，满足：，则的形状为 ． 16．如图，垂直于水平面的信号塔建在垂直于水平面的悬崖边B点处，某测量员从山脚C点出发沿水平方向前行78米到D点（点A，B，C在同一直线上），再沿斜坡方向前行78米到E点（点A，B，C，D，E在同一平面内），在点E处测得信号塔顶端A的仰角为，悬崖的高为米，斜坡的坡度（或坡比），则信号塔的高度约为 （参考数据：） 17．暑假期间，小明与小亮相约到某旅游风景区登山．他们由山底A处先步行到达B处，再由B处乘坐登山缆车到达山顶D处．已知点A、B、D、E、F在同一平面内，山坡的坡角为，缆车行驶路线与水平面的夹角为，经工作人员介绍知山顶D处与B处的水平距离约为（换乘登山缆车的时间忽略不计）则山的高度为 m．（参考数据：，，） 三、解答题 18．计算：． 19．已知中，与满足 (1)试判断．的形状； (2)求的值． 20．如图，在中，，求的度数和的长． 21．某维护人员为测量我校号教学楼高度，用无人机在“正行楼”前测量（如图），此时无人机在离地面米的处，无人机测得操控者的俯角为，测得楼顶处的俯角为．又经过人工测量操控者和教学楼距离为米，求教学楼的高度．（结果保留整数参考数据：，，） 22．如图，某快艇由西向东航行，在处测得灯塔的方位是北偏东，又继续航行10海里，在处测得灯塔的方位是北偏东， (1)此时快艇与灯塔的距离是多少海里． (2)若把“灯塔”改为“小岛”，小岛点方圆海里内有暗礁，如果快艇继续向东航行，请问快艇有没有触礁的危险？请说明理由． 23．我国力争2030年前实现碳达峰，2060年前实现碳中和（碳达峰与碳中和简称“双碳”），“双碳”战略倡导绿色、环保、低碳的生活方式．自行车是低碳出行的常见代步工具，图1是一辆自行车的实物图，图2是这辆自行车的部分结构的几何示意图，其中车架档，，，车架档，，车架档，前轴轴心E，中轴轴心A，后轴轴心B在同一直线上，求前、后轴轴心的距离（结果精确到参考数据：，，，） 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 答案 1．C 【分析】本题主要考查了勾股定理，锐角三角函数，先利用勾股定理求出的长，然后根据锐角三角函数的定义对各选项分别进行计算，再利用排除法求解即可，熟练掌握相关概念是解题的关键． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， 、，原选项不正确，不符合题意； 、，原选项不正确，不符合题意； 、，原选项正确，符合题意； 、，原选项不正确，不符合题意； 故选：． 2．A 【分析】本题考查求角的余弦值，勾股定理求出的长，根据余弦的定义，进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴； 故选A． 3．A 【分析】本题考查勾股定理与格点问题，正切的定义等，解题的关键是利用格点构造直角三角形．取格点，连接，利用正切的定义即可求出的值． 【详解】解：如图所示，取格点，连接 ∵，， ∴， 故选：A． 4．C 【分析】本题考查了已知正弦值求边长，解题关键是掌握正弦的定义式． 根据正弦的定义式可知，再根据，，求出的长． 【详解】解：∵在中，， ∴， ∵，， ∴，解得：， 故选：C． 5．C 【分析】此题考查解直角三角形的应用，等腰三角形三线合一的性质，根据等腰三角形的性质得到，再根据三角函数求出答案． 【详解】解：∵，， ∴， 在中，， ∴（米）， 故选：C． 6．D 【分析】本题主要考查了特殊角锐角函数值．根据特殊角锐角函数值解答即可． 【详解】解：． 故选：D 7．C 【分析】本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记、、角的各种三角函数值是解题的关键． 根据特殊角的三角函数值分别求出、，根据等边三角形的判定定理判断即可． 【详解】解：，， ，， ∴． 是等边三角形． 故选项C说法正确，符合题意；选项A、B、D说法错误，不符合题意． 故选：C． 8．C 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值．记住特殊角的三角函数值是解决此类问题的关键． 利用的三角函数值解决问题． 【详解】解：∵在中，，， ∴， 故选：C． 9．A 【分析】本题主要考查了锐角三角函数的增减性，锐角的正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小），正确理解锐角正弦值的增减性是解题的关键．根据正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小），及、、的正弦值可求解． 【详解】解：是锐角，且， ， 故选：A． 10．D 【分析】题目主要考查解直角三角形的应用，理解题意，作出辅助线是解题关键．过点A作于点C，证明为等腰直角三角形，得出，设，则，在中，根据，求出即可得出答案． 【详解】解：过点A作于点C，如图所示： 则， 由题意得，，， ∵在中，， ∴为等腰直角三角形， ∴， 设，则， 在中，， 解得：， ∴， ∴． 故选：D． 11．C 【分析】本题考查运用三角函数的定义解直角三角形．应用含的式子表示出，．根据得方程即可求出山高． 【详解】解：设山高为x， 在中有：， 在中有：， 而， 解得米． 故选：C． 12．B 【分析】本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，含角的直角三角形，正确作出辅助线是解题的关键．过点作，交的延长线于，由题意可知，由含的直角三角形的性质可得出海里，再通过角度的计算得出，通过等角对等边可得出海里，根据余弦的定义求出，最后根据线段的和差关系可得出答案． 【详解】解：如图，过点作，交的延长线于， 则， 由题意可知：，海里， ∴海里，， ∵， ∴， ∴, ∴海里， ∵， ∴海里， ∴海里， 故选：B． 13． 【分析】先化简二次根式，并直接将特殊角的三角函数值代入求解即可．本题考查了计算特殊角的正切值，二次根式的混合运算，解题的关键是掌握特殊角的三角函数值． 【详解】解：． 故答案为：． 14． 【分析】本题可先根据菱形的性质设出边长，再结合已知条件得出线段长度，最后利用三角函数的定义求解的值．本题主要考查了菱形的性质、勾股定理以及三角函数的定义，熟练掌握这些知识是解题的关键． 【详解】解：设， 四边形是菱形， ， ， ， ， 在中，， 由勾股定理可得， 在中，， ， 故答案为：． 15．等边三角形 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，三角形的分类，先根据非负数的性质及特殊角的三角函数值求出的度数，再根据三角形的内角和定理求出的度数，最后根据三个内角的关系判断出其形状． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形． 故答案为：等边三角形． 16．25米/ 【分析】本题考查了解直角三角形应用-测高问题，解题的关键是作，构造直角三角形，应用已知条件解直角三角形． 过点E作交的延长线于点F，过点E作于点M，设米，则米，在中，利用勾股定理求出x的值，进而可得出的长，可得出的长．由矩形的判定定理得出四边形是矩形，可得出，再由锐角三角函数的定义求出的长，进而可得出答案． 【详解】解：过点E作交的延长线于点F，过点E作于点M， ∵斜坡的坡度（或坡比），米， ∴可设米，则米， 在中，∵， ∴， 解得， ∴米，米， ∴米． ∵， ∴四边形是矩形， ∴米，米． 在中，∵， ∴米， ∴米． ∴米． 故答案为：25米． 17．750 【分析】本题考查解直角三角形的应用、矩形的判定与性质，理解题意，构造直角三角形是解答的关键． 根据题意得到过点B作，则四边形是矩形，根据含30度角的直角三角形得到，再根据正切值的计算得到，由此即可求解． 【详解】解：根据题意，，，，， 如图所示，过点B作于G，则四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：750． 18． 【分析】本题考查了含特殊角的三角函数值的混合运算、二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题关键．先计算含特殊角的三角函数值，再计算二次根式的乘法，然后计算二次根式的加减法即可得． 【详解】解：原式 ． 19．(1)是等腰直角三角形，详见解析 (2) 【分析】（1）根据绝对值的性质求出及的值，再根据特殊角的三角函数值求出与的度数，进而可得出结论； （2）根据与的三角函数值代入进行计算即可． 本题主要考查了特殊角的三角函数值的应用，准确分析计算是解题的关键． 【详解】（1）解：∵，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形． （2）由（1）可知:，， ∴原式． 20．， 【分析】本题主要考查了根据特殊角三角函数值求角的度数，勾股定理，先利用勾股定理求出的长，再求出的值即可求出的度数． 【详解】解：∵在中，， ∴， ∴， ∴． 21．教学楼高约米 【分析】此题主要考查了解直角三角形的应用，利用数形结合以及锐角三角函数关系求解是解题关键． 作于点，作于点，由，求得米，由米知米，再根据四边形是矩形知米．由知米，从而得米． 【详解】解：过点作于点，过点作于点． 由题意得，米，米，，． 在中，， ， 米， 米， 米， 四边形是矩形， 米． 在中，， ． 米， 米． 答：教学楼高约米． 22．(1)（海里） (2)该快艇继续向东航行，没有触礁的危险，理由见解析 【分析】本题主要考查了解直角三角形，三角形外角的性质定理，含的直角三角形等内容，解题的关键是熟练掌握以上性质． （1）过作于点，利用直角三角形的性质求得相关角的度数，利用三角形的外角性质求出，即可得出结果； （2）利用含的直角三角形的性质进行求解即可． 【详解】（1）解：过作于点， ∵， ∴， ∴， ∴（海里）； （2）解：由（1）得，， ∴， ∴该快艇继续向东航行，没有触礁的危险． 23． 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，连接，过点作于点，先在中利用正切求出，再证明四边形为矩形得到，接着根据平行线的性质得到，则在中利用正弦的定义可求出，然后计算即可．根据题目已知特点选用适当锐角三角函数或边角关系去解直角三角形，构建是解决问题的关键． 【详解】解：如图，连接，过点作于点， ， ． 在中，， ． ， ， ， 四边形为平行四边形． ， 四边形为矩形， ． 点，，共线，， ． 在中，， ， ． 答：前、后轴轴心，之间的距离为． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$