专题1.5 三角形全等的判定（知识梳理+17个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共59题）-2025-2026学年浙教版数学八年级上册同步培优讲练（2024新教材）

专题1.5 三角形全等的判定 （知识梳理+17个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共59题 ） 【原卷版】 知识梳理 技巧点拨 2 知识点梳理01：两个三角形全等的基本事实：边边边（SSS） 2 知识点梳理02：三角形的稳定性 2 知识点梳理03：两个三角形全等的基本事实：边角边（SAS） 2 知识点梳理04：两个三角形全等的基本事实：角边角（ASA） 3 知识点梳理05：两个三角形全等的判定定理：角角边（AAS） 4 优选题型 考点讲练 5 考点1：用SSS证明三角形全等 5 考点2：用SSS间接证明三角形全等 6 考点3：全等的性质和SSS综合 7 考点4：用SAS证明三角形全等 8 考点5：用SAS间接证明三角形全等 9 考点6：全等的性质和SAS综合 10 考点7：用ASA(AAS)证明三角形全等 12 考点8：全等的性质和ASA(AAS）综合 12 考点9：添加条件使三角形全等（全等三角形的判定综合) 13 考点10：灵活选用判定方法证全等（全等三角形的判定综合） 14 考点11：连接两点构造全等三角形（全等三角形的辅助线问题） 14 考点12：倍长中线模型（全等三角形的辅助线问题） 15 考点13：旋转模型（全等三角形的辅助线问题） 17 考点14：垂线模型（全等三角形的辅助线问题） 18 考点15：其他模型(全等三角形的辅助线问题） 20 考点16：证一条线段等于两条线段和差（全等三角形的辅助线问题） 21 考点17：全等三角形综合问题 22 中考真题 实战演练 24 难度分层 拔尖冲刺 26 基础夯实 26 培优拔高 30 知识点梳理01：两个三角形全等的基本事实：边边边（SSS） 1.基本事实：三边对应相等的两个三角形全等（简写成“边边边”或“ SSS ”）. 2.几何语言： 如图，在 △ABC 和 △A′B′C′ 中， 知识点梳理02：三角形的稳定性 当三角形的三条边长确定时，三角形的形状、大小完全被确定，这个性质叫做三角形的稳定性. 稳定性是三角形特有的性质，其他多边形不具备稳定性.该性质在生产和日常生活中有广泛的应用，如房屋的人字架、大桥的钢梁、起重机的支架等. 知识点梳理03：两个三角形全等的基本事实：边角边（SAS） 1.基本事实：两边及其夹角对应相等的两个三角形全等（简写成“边角边”或“ SAS” ）. 注意 应用“边角边”时必须满足相等的角是对应相等的两边的夹角，即“两边夹一角” ，不可出现“边边角”的错误. “ SSA ”不能判定两个三角形全等.如图，在 △ABC 和 △ADC 中， AC=AC ， CB=CD ， ∠CAD=∠CAB ，但 △ABC与 △ADC不全等 2.几何语言： 如图，在 △ABC 和 △A′B′C′ 中， 要按照“边—角—边”的顺序来写，即把夹角相等写在中间，以突出两边及其夹角对应相等 ∴△ABC≅△A′B′C′(SAS). 知识点梳理04：两个三角形全等的基本事实：角边角（ASA） 1.基本事实：两个角及其夹边对应相等的两个三角形全等（简写成“角边角”或“ ASA ” ）. 2.几何语言： 如图，在 △ABC和 △A′B′C′中， 在书写两个三角形全等的条件“角边角”时，要按照“角—边—角”的顺序来写，即把夹边相等写在中间，以突出两角及其夹边对应相等 ∴△ABC≅△A′B′C′(ASA). 知识点梳理05：两个三角形全等的判定定理：角角边（AAS） 1.判定定理：两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（简写成“角角边”或“ AAS ”）. 两角和一边分别相等的两个三角形不一定全等，不要忽略“对应”关系. 如图所示，在 △ADE和 △ABC中， ∠A=∠A，∠ADE=∠ABC ， AD=BC，但△ADE与 △ABC不全等 注意 由“ ASA ”和“ AAS ”可知，如果两个三角形具备两个角和一条边对应相等，就可判定其全等. 2.几何语言： 如图，在 △ABC和 △A′B′C′中， 辨析 “ ASA ”与“ AAS ”的区别与联系 “ S ”的意义 书写格式 联系 ASA “ S ”是两角的夹边. 把夹边相等写在两角相等的中间. 由三角形的内角和定理可知，“ AAS ”可由“ ASA ”推导得出. AAS “ S ”是其中一角的对边. 把两角相等写在一起，边相等放在最后. 如果可以用“角边角”判定两个三角形全等，那么也可以转化为用“角角边”判定两个三角形全等，反之亦然 3. 三角形全等的条件的灵活选用 已知条件 作出图形 是否全等 形成结论 三条边 是 SSS 两边一角 两边夹角 是 SAS 两边对角 否 两角一边 两角夹边 是 ASA 两角对边 是 AAS 三个角 否 无 考点1：用SSS证明三角形全等 【典例精讲】（24-25八年级上·安徽淮南·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点，点． (1)画出将先向右平移4个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到的； (2)在所给网格中，用无刻度直尺画出，使得，直接写出点C的坐标． 【变式训练】（23-24八年级上·广西桂林·期末）如图，，，与相交于点．    (1)求证：≌； (2)若，求的度数． 考点2：用SSS间接证明三角形全等 【典例精讲】（24-25七年级下·上海闵行·阶段练习）如图，已知：，，点E在的延长线上． (1)求证：垂直平分； (2)求证： 【变式训练】（22-23八年级上·河南漯河·开学考试）完成下面的证明： 如图（1），，E、F分别是、的中点．那么． 证明：∵E、F分别是、的中点， ，． ∵ ． 在和中， （                   ） （2）根据（1）的证明，若连接，如图7（2）．请证明：． 考点3：全等的性质和SSS综合 【典例精讲】（20-21八年级上·河北邢台·阶段练习）嘉嘉和琪琪两位同学给出两种画角平分线的方法：      嘉嘉：如图：两把相同的直尺，一把直尺压住射线，另一把直尺压住射线并且与第一把直尺交于点，小明说：“射线就是的角平分线 琪琪：按如图所示做个仪器，其中，，将仪器上的点与的顶点重合，调整和，使它们分别落在角的两边上，过点，画一条射线，就是的平分线 对于两人的画法，下列说法正确的是（   ） A．两人都对 B．两人都不对 C．嘉嘉对，琪琪不对 D．嘉嘉不对，琪琪对 【变式训练】（23-24八年级上·江西赣州·阶段练习）如图，点E、F在上，且，，，试说明：点O是的中点．请你在横线上补充其推理过程或理由． 证明：∵， ∴， 即 ①， ∵②，③， ∴ ． ∴ ①（全等三角形对应角相等）． ∵②（理由： ），③， ∴（理由： ）． ∴ （全等三角形对应边相等）． ∴点O是的中点． 考点4：用SAS证明三角形全等 【典例精讲】25-26八年级上·全国·课后作业）如图，已知，，要使．若以“”为判定三角形全等的依据，则添加的条件可以是（   ） A． B． C． D． 【变式训练】如图1，在中，是直角，，、分别是、的平分线，、相交于点．    （1）求出的度数； （2）判断与之间的数量关系并说明理由．（提示：在上截取，连接．） （3）如图2，在△中，如果不是直角，而（1）中的其它条件不变，试判断线段、与之间的数量关系并说明理由． 考点5：用SAS间接证明三角形全等 【典例精讲】（24-25八年级上·广西防城港·期末）如图，射线在外，． (1)在射线上截取，连接；（要求尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，求证：； 【变式训练】（22-23八年级上·江西南昌·期末）如图，是的角平分线． (1)若，求证：； (2)当时，与的数量关系如何？说说你的理由． 考点6：全等的性质和SAS综合 【典例精讲】（24-25八年级上·安徽池州·期末）【问题提出】 数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题：如图1，在中，，，D是的中点，求边上的中线的取值范围． 【问题探究】 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到E，使，请补充完整证明“”的推理过程． （1）试说明：． 解：延长到点E，使， ∵D是的中点（已知）， ∴（中点定义）， 在和中， ∵， ∴（__________）． （2）探究得出的取值范围是__________； 【问题解决】 （3）如图2，中，，，是的中线，，，且，求的长． 【变式训练】（24-25八年级上·全国·期末）如图，，，，，连接，交于点，连接．下列结论：①；②；③平分；④平分中，正确的个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 考点7：用ASA(AAS)证明三角形全等 【典例精讲】（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，是一段斜坡，是水平线，欢欢为了测斜坡上一点C的竖直高度，他在点C处立上一根竹竿，竹竿垂直于斜坡，在竿顶点D处垂下一根绳子，与斜坡的交点是E．当时，测得，则的长为（   ） A． B． C． D． 【变式训练】（24-25八年级上·辽宁·阶段练习）如图，在中，交于，平分交于，为延长线上一点，交的延长线于点，交的延长线于点，的延长线交于点，连接，则下列结论：①；②；③；④若，则．其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 考点8：全等的性质和ASA(AAS）综合 【典例精讲】（24-25八年级上·河南新乡·阶段练习）如图，在中，，的垂直平分线交于点D，交于点E，连接、． (1)若的周长是14，的长是3，求的周长； (2)若，求证：点E在线段的垂直平分线上． 即点E在线段的垂直平分线上． 【变式训练】（24-25八年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，中，，平分，为边上的点，连接，，下列结论： ； ； ； ，其中一定正确的结论有 （填写序号即可）． 考点9：添加条件使三角形全等（全等三角形的判定综合) 【典例精讲】（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，已知，添加下列条件之一：①；②；③；④．其中能使成立的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式训练】（24-25八年级上·福建福州·阶段练习）已知中，，，现有以下这些条件：①；②；③；④．要使的形状和大小都是确定的，可以添加的条件是 ．（写出所有正确结论的序号） 考点10：灵活选用判定方法证全等（全等三角形的判定综合） 【典例精讲】（24-25八年级上·江苏徐州·期中）的个元素，如图所示，下面甲、乙、丙三个三角形中和全等的是（   ） A．只有乙 B．只有丙 C．甲和乙 D．乙和丙 【变式训练】（24-25七年级下·上海杨浦·期末）下列说法中，错误的是（   ） A．两角对应相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等 B．两边对应相等且其中一组等边的对角相等的两个三角形全等 C．两边对应相等且其中一组等边上的中线相等的两个三角形全等 D．两角对应相等且其中一组等角的平分线相等的两个三角形全等 考点11：连接两点构造全等三角形（全等三角形的辅助线问题） 【典例精讲】（20-21八年级上·广西崇左·期末）如图，把两根钢条的中点连在一起，可以做成一个测量工件内槽宽的工具（卡钳）在图中，只要量出的长，就能求出工件内槽的宽的长，依据是 ． 【变式训练】（20-21八年级上·江苏盐城·阶段练习）（1）如图①，四边形ABCD中，AB=AD，∠B=∠ADC=90°．E，F分别是BC，CD上的点，且BE+FD=EF．试探究图中∠EAF与∠BAD之间的数量关系．小明同学探究此问题的方法是：延长FD到G，使DG=BE，连结AG．先证明，再证明，从而得出∠EAF=∠GAF，最后得出∠EAF与∠BAD之间的数量关系是　　． （2）将（1）中的条件“∠B=∠ADC=90°”改为“∠B+∠D=180°”（如图②），其余条件不变，上述数量关系是否成立，成立，请证明；不成立，说明理由 （3）如图③，中俄两国海军在南海举行联合军事演习，中国舰艇在指挥中心（O）北偏西30°的A处，俄罗斯舰艇在指挥中心南偏东70°的B处，两舰艇到指挥中心距离相等．接到行动指令后，中国舰艇向正东方向以60海里/小时的速度前进，俄罗斯舰艇沿北偏东50°的方向以80海里/小时的速度前进，2小时后，指挥中心观测到两舰艇分别到达E，F处且相距280海里．求此时两舰艇的位置与指挥中心（O处）形成的夹角∠EOF的大小． 考点12：倍长中线模型（全等三角形的辅助线问题） 【典例精讲】（24-25八年级上·全国·期末）综合与实践 【问题情境】 课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 如图1，中，若，，求边上的中线的取值范围． 小明在组内和同学们合作交流后，得到了如下的解决方法：延长到E，使，连接BE．请根据小明的方法思考： （1）由已知和作图能得到，依据是 ___________； A．    B．    C．    D． （2）由“三角形的三边关系”，可求得的取值范围是 ___________． 解后反思：题目中出现“中点”“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中． [初步运用] （3）如图2，是的中线，交于E，交于F，．若，，求线段BF的长． 【变式训练】（24-25八年级上·广东韶关·阶段练习）（1）【教材呈现】以下是某数学教材某页的部分内容：如图，在中，是边的中点，过点画直线，使，交的延长线于点，求证：． （2）【方法应用】如图，在△中，，，则边上的中线长度的取值范围是 ． （3）【猜想证明】如图，在四边形中，，点是的中点，若是的平分线，试猜想线段、、之间的数量关系，并证明你的猜想． 考点13：旋转模型（全等三角形的辅助线问题） 【典例精讲】（23-24八年级上·天津滨海新·期中）如图，和中，，连接与交于点M，与交于点N． (1)求证：； (2)试猜想与有何特殊关系，并证明； (3)连接，有以下两个结论：①平分；②平分，其中正确的有______（请写序号，少选、错选均不得分）． 【变式训练】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，点O为AB的中点，点P为直线BC上的动点（不与点B点C重合），连接OC、OP，将线段OP绕点P顺时针旋转60°，得到线段PQ，连接BQ． （1）观察猜想：如图①，线段BQ与CP的数量关系是　 　；∠CBQ＝　 　； （2）探究证明： 如图②，当点P在CB的延长线上时，（1）中结论是否成立？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由． 考点14：垂线模型（全等三角形的辅助线问题） 【典例精讲】（21-22八年级上·贵州铜仁·阶段练习）（1）如图1，已知中，90°，，直线经过点直线，直线，垂足分别为点．求证：． （2）如图2，将（1）中的条件改为：在中，三点都在直线上，并且有．请写出三条线段的数量关系，并说明理由． 【变式训练】（20-21八年级上·河南·期末）如图，已知中，，，是过的一条直线，且，在，的同侧，于，于． （1）证明：； （2）试说明：； （3）若直线绕点旋转到图位置（此时，在，的异侧）时，其余条件不变，问与，的关系如何？请证明； （4）若直线绕点旋转到图位置（此时，在，的同侧）时其余条件不变，问与，的关系如何？请直接写出结果，不需说明理由． 考点15：其他模型(全等三角形的辅助线问题） 【典例精讲】（20-21八年级上·山东济宁·期末）如图，为等边的边延长线上的一动点，以为边向上作等边，连接． （1）求证：； （2）当时，求的度数； （3）与有怎样的数量关系？随着点位置的变化，与的数量关系是否会发生变化？请说明理由． 【变式训练】如图，直线l1∥l2，直线l3交直线l1于点B，交直线l2于点D，O是线段BD的中点．过点B作BA⊥l2于点A，过点D作DC⊥l1于点C，E是线段BD上一动点（不与点B，D重合），点E关于直线AB，AD的对称点分别为P，Q，射线PO与射线QD相交于点N，连接PQ． （1）求证：点A是PQ的中点； （2）请判断线段QN与线段BD是否相等，并说明理由．    考点16：证一条线段等于两条线段和差（全等三角形的辅助线问题） 【典例精讲】（24-25八年级上·河南漯河·阶段练习）如图，在中，，，与的平分线，交于点． (1)求的度数； (2)求证：． 【变式训练】（23-24八年级上·湖南岳阳·期中）如图①，在△中，，90°，直线是过点的任意一条直线，于点，于点．    (1)求证：△△． (2)猜想，，三条线段之间的数量关系．（不写证明） (3)在图②中，将图①中的直线绕点逆时针旋转一任意角度，经过三角形的内部（不与，重合）时，上述三条线段之间又有怎样的数量关系？请写出结论，并画出图形． 考点17：全等三角形综合问题 【典例精讲】（24-25八年级上·吉林长春·开学考试）如图，在中，，，，，直线过点．点从点出发，沿折线以每秒1个单位长度的速度向终点运动，点从点出发，沿折线以每秒3个单位长度的速度向终点运动，、两点同时出发，到各自终点结束．分别过、两点作直线的垂线，垂足分别为点、．设点的运动时间为（秒）： (1)当、两点相遇时，求的值； (2)在整个运动过程中，用含的代数式表示的长； (3)当与全等时，请直接写出的值； (4)当点不与、重合时，请直接写出点落在某个内角平分线上时的值． 【变式训练】（25-26八年级上·全国·单元测试）某数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题：如图①，在中，，，D是的中点，求边上的中线的取值范围． 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到点E，使，请补充完整证明“”的推理过程． （1）求证：． 证明：如图①，延长到点E，使． 在和中， （________）； （2）由（1）的结论，根据与之间的关系，探究得出的取值范围是________； 【感悟】解题时，条件中若出现“中点”“中线”等字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中． 【问题解决】 （3）如图②，在中，是的中线，，且，求的长． 1．（2025·陕西·中考真题）如图，点是的边延长线上一点，，，．求证：． 2．（2025·湖北·中考真题）如图，平分．求证：． 3．（2025·四川内江·中考真题）如图，点B、F、C、E在同一条直线上，． (1)求证：； (2)若，求的长． 4．（2024·辽宁·中考真题）如图，在中，，．将线段绕点顺时针旋转得到线段，过点作，垂足为．    图1            图2             图3 (1)如图1，求证：； (2)如图2，的平分线与的延长线相交于点，连接，的延长线与的延长线相交于点，猜想与的数量关系，并加以证明； (3)如图3，在（2）的条件下，将沿折叠，在变化过程中，当点落在点的位置时，连接． ①求证：点是的中点； ②若，求的面积． 5．（2025·广东广州·中考真题）如图，，，．求证：． 基础夯实 1．（21-22八年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，是不等边三角形，，以 D、E 为两个顶点画位置不同的三角形，使所画的三角形与全等，这样的三角形最多可画出（     ）个 A．2 B．3 C．4 D．以上结果均不对 2．（21-22八年级上·四川泸州·阶段练习）如图，在中，，，是边上的中线，延长使得，连接，则长的取值范围是（   ） A． B． C． D．无法确定 3．（25-26七年级上·全国·课后作业）如图是的正方形网格，以点为两个顶点作位置不同的格点三角形，使所作的格点三角形与全等，这样的格点三角形最多可以画出（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．6个 4．（23-24八年级上·河南安阳·期中）如图，已知，请你添加一个条件，使，你添加的条件是 （填一个即可） 5．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，在中，，，则的度数为 ． 6．（25-26八年级上·全国·周测）如图，是的中线，E，F分别是和延长线上的点，且，连接．有下列说法：①和的面积相等；②；③；④；⑤．其中正确的是 （填序号）． 7．（25-26八年级上·全国·单元测试）如图，点D是的边延长线上一点，，，．求证：． 8．（24-25八年级上·山东德州·阶段练习）如图，在中，D为上一点，E为中点，连接并延长至点F，使得，连接． (1)求证：； (2)若，连接，平分，平分，求的度数． 9．（25-26八年级上·全国·单元测试）如图，四边形的对角线，相交于点E，，，点F在上，． (1)求证：； (2)若，求证：． 10．（25-26八年级上·江苏·阶段练习）（1）如图射线在这个角的内部，点分别在的边上，且于点于点求证：． （2）如图，点分别在的边上，点都在内部的射线上，分别是的外角．已知，且求证：． （3）如图，在中，，点在边上，，点在线段上，若的面积为，求与的面积之和． 培优拔高 11．（24-25八年级上·安徽安庆·期末）如图，在中，于点E，于点D，，则的长是（   ） A．4 B．3 C．2 D．6 12．如图（1），已知，为的平分线上一点，连接，；如图（2），已知，，为的平分线上两点，连接，，，；如图（3），已知，，，为的平分线上三点，连接，，，，，； ，以此规律，第个图形中全等三角形的对数是（  ） A． B． C． D． 13．如图，已知的面积为平分，且于，则的面积是（　　） A．10 B．8 C．6 D．4 14．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，在中，两点在上，且有．若，，则的度数为 ． 15．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，在中，，E为的中点，D为上一点，交的延长线于点F．若，与之间的距离为5，则四边形的周长的最小值是 ． 16．（25-26八年级上·全国·单元测试）小乐与朋友们周末去游乐园乘坐海盗船游玩，想了解海盗船摆动到最高点位置时的高度．如图，当静止时海盗船位于铅垂线上，转轴B到地面的距离，在来人坐的过程中，当海盗船静止在点A处时，，此时测得点A到铅垂线的距离，当船头从A处摆动到处时发现船头处在最高位置处，此时，．求点到地面的距离 ． 17．（25-26八年级上·全国·单元测试）如图，，，，其中，点以每秒2个单位长度的速度，沿着路径运动．同时，点以每秒个单位长度的速度，沿着路径运动，一个点到达终点后另一个点随即停止运动．它们的运动时间为秒． (1)若、两点同时到达点时，则点的速度 ． (2)若与全等，求x的值． 18．（25-26八年级上·全国·单元测试）如图，中，是的中点，过点的直线交于，交的平行线于，，交于点，连接、． (1)求证：； (2)请你判断与在数量上有何关系，并说明你的理由． 19．（20-21八年级上·福建莆田·阶段练习）如图，，点D在的延长线上，连接． (1)求证：； (2)当时，请直接写出的度数． 20．（23-24七年级下·陕西西安·期末）数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题：如图1，在中，是的中点，求边上的中线的取值范围． (1)小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：如图1，延长到点，使，连接．根据可以判定，得出．这样就能把线段集中在中．利用三角形三边的关系，即可得出中线的取值范围是 (2)由第（1）问方法的启发，请解决下面问题：如图2，在中，是边上的一点，是的中线，，试说明：； (3)如图3，是的中线，过点分别向外作，使得，判断线段与的关系，并说明理由． 第 1 页 共 11 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题1.5 三角形全等的判定 （知识梳理+17个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共59题 ） 【解析版】 知识梳理 技巧点拨 2 知识点梳理01：两个三角形全等的基本事实：边边边（SSS） 2 知识点梳理02：三角形的稳定性 2 知识点梳理03：两个三角形全等的基本事实：边角边（SAS） 2 知识点梳理04：两个三角形全等的基本事实：角边角（ASA） 3 知识点梳理05：两个三角形全等的判定定理：角角边（AAS） 4 优选题型 考点讲练 5 考点1：用SSS证明三角形全等 5 考点2：用SSS间接证明三角形全等 7 考点3：全等的性质和SSS综合 9 考点4：用SAS证明三角形全等 11 考点5：用SAS间接证明三角形全等 14 考点6：全等的性质和SAS综合 17 考点7：用ASA(AAS)证明三角形全等 21 考点8：全等的性质和ASA(AAS）综合 23 考点9：添加条件使三角形全等（全等三角形的判定综合) 25 考点10：灵活选用判定方法证全等（全等三角形的判定综合） 27 考点11：连接两点构造全等三角形（全等三角形的辅助线问题） 28 考点12：倍长中线模型（全等三角形的辅助线问题） 31 考点13：旋转模型（全等三角形的辅助线问题） 35 考点14：垂线模型（全等三角形的辅助线问题） 39 考点15：其他模型(全等三角形的辅助线问题） 42 考点16：证一条线段等于两条线段和差（全等三角形的辅助线问题） 46 考点17：全等三角形综合问题 49 中考真题 实战演练 55 难度分层 拔尖冲刺 60 基础夯实 60 培优拔高 69 知识点梳理01：两个三角形全等的基本事实：边边边（SSS） 1.基本事实：三边对应相等的两个三角形全等（简写成“边边边”或“ SSS ”）. 2.几何语言： 如图，在 △ABC 和 △A′B′C′ 中， 知识点梳理02：三角形的稳定性 当三角形的三条边长确定时，三角形的形状、大小完全被确定，这个性质叫做三角形的稳定性. 稳定性是三角形特有的性质，其他多边形不具备稳定性.该性质在生产和日常生活中有广泛的应用，如房屋的人字架、大桥的钢梁、起重机的支架等. 知识点梳理03：两个三角形全等的基本事实：边角边（SAS） 1.基本事实：两边及其夹角对应相等的两个三角形全等（简写成“边角边”或“ SAS” ）. 注意 应用“边角边”时必须满足相等的角是对应相等的两边的夹角，即“两边夹一角” ，不可出现“边边角”的错误. “ SSA ”不能判定两个三角形全等.如图，在 △ABC 和 △ADC 中， AC=AC ， CB=CD ， ∠CAD=∠CAB ，但 △ABC与 △ADC不全等 2.几何语言： 如图，在 △ABC 和 △A′B′C′ 中， 要按照“边—角—边”的顺序来写，即把夹角相等写在中间，以突出两边及其夹角对应相等 ∴△ABC≅△A′B′C′(SAS). 知识点梳理04：两个三角形全等的基本事实：角边角（ASA） 1.基本事实：两个角及其夹边对应相等的两个三角形全等（简写成“角边角”或“ ASA ” ）. 2.几何语言： 如图，在 △ABC和 △A′B′C′中， 在书写两个三角形全等的条件“角边角”时，要按照“角—边—角”的顺序来写，即把夹边相等写在中间，以突出两角及其夹边对应相等 ∴△ABC≅△A′B′C′(ASA). 知识点梳理05：两个三角形全等的判定定理：角角边（AAS） 1.判定定理：两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（简写成“角角边”或“ AAS ”）. 两角和一边分别相等的两个三角形不一定全等，不要忽略“对应”关系. 如图所示，在 △ADE和 △ABC中， ∠A=∠A，∠ADE=∠ABC ， AD=BC，但△ADE与 △ABC不全等 注意 由“ ASA ”和“ AAS ”可知，如果两个三角形具备两个角和一条边对应相等，就可判定其全等. 2.几何语言： 如图，在 △ABC和 △A′B′C′中， 辨析 “ ASA ”与“ AAS ”的区别与联系 “ S ”的意义 书写格式 联系 ASA “ S ”是两角的夹边. 把夹边相等写在两角相等的中间. 由三角形的内角和定理可知，“ AAS ”可由“ ASA ”推导得出. AAS “ S ”是其中一角的对边. 把两角相等写在一起，边相等放在最后. 如果可以用“角边角”判定两个三角形全等，那么也可以转化为用“角角边”判定两个三角形全等，反之亦然 3. 三角形全等的条件的灵活选用 已知条件 作出图形 是否全等 形成结论 三条边 是 SSS 两边一角 两边夹角 是 SAS 两边对角 否 两角一边 两角夹边 是 ASA 两角对边 是 AAS 三个角 否 无 考点1：用SSS证明三角形全等 【典例精讲】（24-25八年级上·安徽淮南·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点，点． (1)画出将先向右平移4个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到的； (2)在所给网格中，用无刻度直尺画出，使得，直接写出点C的坐标． 【答案】(1)图见详解 (2)图见详解， 【思路引导】本题主要考查了平移作图及全等三角形的判定，关键是正确确定坐标系原点位置． （1）首先将点向右平移4个单位，再向下平移2个单位后的对应点位置，然后再连接即可； （2）根据全等三角形的判定确定点C的位置，再连接即可． 【规范解答】（1）解：如图 为所求作； （2）解：如图， 为所求作，． 【变式训练】（23-24八年级上·广西桂林·期末）如图，，，与相交于点．    (1)求证：≌； (2)若，求的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【思路引导】本题考查了判定两个三角形全等，三角形外角的定义： （1）根据三个边长对应相等可得到两个三角形全等； （2）根据两个三角形全等得到对应角相等，再根据三角形外角的定义可求得结果； 找到角度之间的关系是解题的关键． 【规范解答】（1）证明：在中， ， ∴ ； （2）解：由（1）可得， ∴， ∵是的一个外角， ∴， ∴的度数为． 考点2：用SSS间接证明三角形全等 【典例精讲】（24-25七年级下·上海闵行·阶段练习）如图，已知：，，点E在的延长线上． (1)求证：垂直平分； (2)求证： 【答案】(1)详见解析 (2)详见解析 【思路引导】本题考查全等三角形的判定，线段垂直平分线的性质性质． （1）由线段垂直平分线性质定理的逆定理，即可证明问题; （2）由线段垂直平分线的性质定理推出，即可证明． 【规范解答】（1）证明：∵，， ∴点A和D都在线段的垂直平分线上， ∴垂直平分； （2）证明：由（1）知垂直平分， ∴， 在和中， ， ∴． 【变式训练】（22-23八年级上·河南漯河·开学考试）完成下面的证明： 如图（1），，E、F分别是、的中点．那么． 证明：∵E、F分别是、的中点， ，． ∵ ． 在和中， （                   ） （2）根据（1）的证明，若连接，如图7（2）．请证明：． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【思路引导】本题考查了全等三角形的判定． （1）根据中点的定义得出，，则，即可根据求证； （2）由（1）可得，则，根据中点的定义推出，即可根据证明． 【规范解答】（1）证明：∵E、F分别是、的中点， ，． ∵， ． 在和中， ， ； （2）证明：由（1）可得， ∴， ∵E、F分别是、的中点， ，． ∵， ∴， 在和中， ， ∴． 考点3：全等的性质和SSS综合 【典例精讲】（20-21八年级上·河北邢台·阶段练习）嘉嘉和琪琪两位同学给出两种画角平分线的方法：      嘉嘉：如图：两把相同的直尺，一把直尺压住射线，另一把直尺压住射线并且与第一把直尺交于点，小明说：“射线就是的角平分线 琪琪：按如图所示做个仪器，其中，，将仪器上的点与的顶点重合，调整和，使它们分别落在角的两边上，过点，画一条射线，就是的平分线 对于两人的画法，下列说法正确的是（   ） A．两人都对 B．两人都不对 C．嘉嘉对，琪琪不对 D．嘉嘉不对，琪琪对 【答案】A 【思路引导】根据角平分线判定（角内部到角两边距离相等的点在角平分线上）判断嘉嘉的画法是否正确．由，，为公共边，证，得，即平分．进而判断琪琪的画法是否正确．本题主要考查角平分线判定及全等三角形判定与性质，熟练掌握角平分线判定（角内部到角两边距离相等的点在角平分线上 ）和全等三角形判定（ ）是解题关键． 【规范解答】解：嘉嘉的画法： 直尺宽度相等，即点到、的距离等于直尺宽度，即点到、距离相等， ∴射线是角平分线，故嘉嘉画法正确 ． 琪琪的画法： ，， 即是平分线，琪琪画法正确 ． 综上，两人都对， 故选： ． 【变式训练】（23-24八年级上·江西赣州·阶段练习）如图，点E、F在上，且，，，试说明：点O是的中点．请你在横线上补充其推理过程或理由． 证明：∵， ∴， 即 ①， ∵②，③， ∴ ． ∴ ①（全等三角形对应角相等）． ∵②（理由： ），③， ∴（理由： ）． ∴ （全等三角形对应边相等）． ∴点O是的中点． 【答案】；；；对顶角相等；； 【思路引导】本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 由“”可证，可得，由“”可证，可得，即可求解． 【规范解答】解：∵， ∴，即①， ∵， ∴． ∴①（全等三角形对应角相等）． ∵②（理由：对顶角相等），③， ∴（理由：）． ∴（理由：全等三角形对应边相等）． ∴点是的中点． 故答案为：；；；对顶角相等；；． 考点4：用SAS证明三角形全等 【典例精讲】25-26八年级上·全国·课后作业）如图，已知，，要使．若以“”为判定三角形全等的依据，则添加的条件可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】本题考查了全等三角形的判定，利用证明两三角形全等需要知道两个三角形中的两条边及两条边的夹角对应相等，根据可证，已知，再增加条件即可用证明． 【规范解答】解： ， ， ， 当时， 根据可证． 故选：D． 【变式训练】如图1，在中，是直角，，、分别是、的平分线，、相交于点．    （1）求出的度数； （2）判断与之间的数量关系并说明理由．（提示：在上截取，连接．） （3）如图2，在△中，如果不是直角，而（1）中的其它条件不变，试判断线段、与之间的数量关系并说明理由． 【答案】（1）∠AFC＝120°；（2）FE与FD之间的数量关系为：DF＝EF．理由见解析；（3）AC＝AE+CD．理由见解析． 【思路引导】（1）根据三角形的内角和性质只要求出∠FAC，∠ACF即可解决问题; （2）根据在图2的 AC上截取CG=CD，证得△CFG≌△CFD (SAS),得出DF= GF；再根据ASA证明△AFG≌△AFE，得EF=FG，故得出EF=FD； （3）根据(2) 的证明方法，在图3的AC上截取AG=AE，证得△EAF≌△GAF (SAS)得出∠EFA=∠GFA；再根据ASA证明△FDC≌△FGC，得CD=CG即可解决问题． 【规范解答】（1）解：∵∠ACB＝90°，∠B＝60°， ∴∠BAC＝90°﹣60°＝30°， ∵AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线， ∴∠FAC＝15°，∠FCA＝45°， ∴∠AFC＝180°﹣（∠FAC+∠ACF）＝120° （2）解：FE与FD之间的数量关系为：DF＝EF． 理由：如图2，在AC上截取CG＝CD，    ∵CE是∠BCA的平分线， ∴∠DCF＝∠GCF， 在△CFG和△CFD中， ， ∴△CFG≌△CFD（SAS）， ∴DF＝GF．∠CFD＝∠CFG 由（1）∠AFC＝120°得， ∴∠CFD＝∠CFG＝∠AFE＝60°， ∴∠AFG＝60°， 又∵∠AFE＝∠CFD＝60°， ∴∠AFE＝∠AFG， 在△AFG和△AFE中， ， ∴△AFG≌△AFE（ASA）， ∴EF＝GF， ∴DF＝EF； （3）结论：AC＝AE+CD． 理由：如图3，在AC上截取AG＝AE，    同（2）可得，△EAF≌△GAF（SAS）， ∴∠EFA＝∠GFA，AG＝AE ∵∠BAC+∠BCA=180°-∠B=180°-60°=120° ∴∠AFC＝180°﹣(∠FAC+∠FCA)＝180°-(∠BAC+∠BCA)=180°-×120°=120°， ∴∠EFA＝∠GFA＝180°﹣120°＝60°＝∠DFC， ∴∠CFG＝∠CFD＝60°， 同（2）可得，△FDC≌△FGC（ASA）， ∴CD＝CG， ∴AC＝AG+CG＝AE+CD． 【考点剖析】本题考查了全等三角形的判定和性质的运用，全等三角形的判定和性质是证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造全等三角形． 考点5：用SAS间接证明三角形全等 【典例精讲】（24-25八年级上·广西防城港·期末）如图，射线在外，． (1)在射线上截取，连接；（要求尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，求证：； 【答案】(1)图见解析 (2)详见解析 【思路引导】此题主要考查了基本作图以及全等三角形的判定，正确画出图形是解题关键． （1）根据题意，在射线上截取，连接即可； （2）利用全等三角形的判定方法结合得出答案． 【规范解答】（1）解：作图如图， （2）证明：在和中 【变式训练】（22-23八年级上·江西南昌·期末）如图，是的角平分线． (1)若，求证：； (2)当时，与的数量关系如何？说说你的理由． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 【思路引导】（1）延长至E，使，连接，运用证明，可得结论； （2）在的延长线上取点F，使，连接，根据推导得到结论． 【规范解答】（1）证明：延长至E，使，连接. ∵， ∴. ∵平分， ∴. 在与中， , ∴. ∴. ∵， ∴ ∵， ∴. （2）解：. 理由：在的延长线上取点F，使，连接. ∴， 又∵， ∴. ∵， ∴. ∵是的角平分线， ∴， 在与中， ， ∴. ∴． 【考点剖析】本题考查全等三角形的判定和性质，角平分线的定义，三角形外角性质，等腰三角形的判定和性质．正确的作出辅助线是解题关键． 考点6：全等的性质和SAS综合 【典例精讲】（24-25八年级上·安徽池州·期末）【问题提出】 数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题：如图1，在中，，，D是的中点，求边上的中线的取值范围． 【问题探究】 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到E，使，请补充完整证明“”的推理过程． （1）试说明：． 解：延长到点E，使， ∵D是的中点（已知）， ∴（中点定义）， 在和中， ∵， ∴（__________）． （2）探究得出的取值范围是__________； 【问题解决】 （3）如图2，中，，，是的中线，，，且，求的长． 【答案】（1）对顶角相等；；（2）；（3） 【思路引导】本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形三边关系以及等腰直角三角形的性质，解题的关键是通过“倍长中线”法构造全等三角形，将分散的线段和角的关系集中，进而解决问题． （1）根据中点定义得到，结合对顶角相等的性质，利用判定定理证明； （2）由全等三角形性质得，再根据三角形三边关系求出的取值范围，进而得到的取值范围； （3）延长交延长线于F，利用证明，得出、，结合得，最后计算长度即得的长． 【规范解答】（1）解：延长到点E，使， ∵D是的中点（已知）， ∴（中点定义）， 在和中， ∵，（对顶角相等） ∴； 故答案为：对顶角相等；． （2）由题意可得：， ∵， 即， ∴． 故答案为：． （3）延长交的延长线于点F，如图： ∵，， ∴ 在和中． ∴， ∴，， ∵， ∴垂直平分 ∴， ∴． 【变式训练】（24-25八年级上·全国·期末）如图，，，，，连接，交于点，连接．下列结论：①；②；③平分；④平分中，正确的个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【思路引导】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的外角性质，角平分线的性质，熟练掌握证明三角形全等的方法是解题的关键． 由证明得出，，可判定②正确；由全等三角形的性质得出，由三角形的外角性质得：，得出，可判定①正确；作于，于，如图所示：则，利用全等三角形对应边上的高相等，得出，由角平分线的判定方法得出平分，可判定④正确；假设平分，则，由全等三角形的判定定理可得，得，而，所以，而，故可判定③错误；即可得出结论． 【规范解答】解：，，，， ， 即， 在和中， ， ， ，， 故结论②正确，符合题意； （已证）， ， 由三角形的外角性质得： ， ， 故结论①正确，符合题意； 作于，于，如图， 则， ， ， ∵，， （全等三角形对应边的高相等）， 平分， 故结论④正确，符合题意； 假设平分，则， 平分， ， ， 则， 即， 在与中， ， ， ， ， ， 而， 故结论③错误，不符合题意； 正确的个数有3个； 故选：C． 考点7：用ASA(AAS)证明三角形全等 【典例精讲】（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，是一段斜坡，是水平线，欢欢为了测斜坡上一点C的竖直高度，他在点C处立上一根竹竿，竹竿垂直于斜坡，在竿顶点D处垂下一根绳子，与斜坡的交点是E．当时，测得，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】根据题意，得，，得到，于是得到，再证明，得到，解答即可． 本题考查了三角形全等的判定和性质，深刻理解垂下的意义，得到平行线成为解题的关键性突破口． 【规范解答】解：根据题意，得，， ∴， ∴， ∵， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 【变式训练】（24-25八年级上·辽宁·阶段练习）如图，在中，交于，平分交于，为延长线上一点，交的延长线于点，交的延长线于点，的延长线交于点，连接，则下列结论：①；②；③；④若，则．其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【思路引导】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定，三角形内角和定理，余角的性质等知识，利用余角的性质可判定①、②；利用角平分线的性质可判断③；利用全等三角形的判定可判定④． 【规范解答】解：∵，， ∴，， ∴， ∵无法判断， ∴无法判断，故①错误； ∵，， ∴，， ∴，故②正确； ∵平分， ∴E到、的距离相等，设这个距离为 ∴，故③正确； 在和中， ， ∴，故④正确， 故选：C． 考点8：全等的性质和ASA(AAS）综合 【典例精讲】（24-25八年级上·河南新乡·阶段练习）如图，在中，，的垂直平分线交于点D，交于点E，连接、． (1)若的周长是14，的长是3，求的周长； (2)若，求证：点E在线段的垂直平分线上． 【答案】(1) (2)证明见解析 【思路引导】本题考查了垂直平分线的性质，三角形全等的判定及性质，解题的关键是掌握三角形全等的判定及性质，利用转换的思想进行求解． （1）根据题意得出，根据△ABC的周长是14，可得，通过等量代换可知，即可得出答案； （2）通过证明出，得出，即可证明． 【规范解答】（1）解：是的垂直平分线， ， ， ， 的周长为14， ， ， ， 的周长为8； （2）解：， ， ， ， ， ， ， ， 即点E在线段的垂直平分线上． 【变式训练】（24-25八年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，中，，平分，为边上的点，连接，，下列结论： ； ； ； ，其中一定正确的结论有 （填写序号即可）． 【答案】 【思路引导】本题考查了角平分线性质，全等三角形的性质和判定，邻补角定义等知识点的应用，判定，即可得到，，，又，得到，从而判断；判定，可得，根据，，再根据，即可得出，从而判断 ；根据， ，进而得出， ，根据，可得，进而得出 ，从而判断，正确作辅助线构造全等三角形是解题的关键． 【规范解答】解：如图，过作于， ∵，是角平分线， ∴，， 又∵， ∴， ∴，，， 又∵， ∴，故正确； ∵，， ∴， ∴， ∴，故正确； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，故错误； ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，故正确； ∴一定正确的结论有， 故答案为：． 考点9：添加条件使三角形全等（全等三角形的判定综合) 【典例精讲】（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，已知，添加下列条件之一：①；②；③；④．其中能使成立的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【思路引导】本题考查全等三角形的判定，结合已知条件及补充条件，根据全等三角形的判定定理逐项判断即可． 【规范解答】解： ， ，即， 又 ， 添加①时，根据能证； 添加②时，不能证明； 添加③时，根据能证； 添加④时，根据能证； 综上可知，能使成立的有3个， 故选C． 【变式训练】（24-25八年级上·福建福州·阶段练习）已知中，，，现有以下这些条件：①；②；③；④．要使的形状和大小都是确定的，可以添加的条件是 ．（写出所有正确结论的序号） 【答案】①②③ 【思路引导】此题考查了全等三角形判定和三角形内角和定理的应用能力，关键是能准确理解并运用以上知识． 根据全等三角形的判定方法即可解答． 【规范解答】解：边是的对边， 当，时，再知道或的度数，根据就可确定的形状和大小， ，， 或必须小于， 要使的形状和大小都是确定的，可以添加的条件是， 故答案为：①②③． 考点10：灵活选用判定方法证全等（全等三角形的判定综合） 【典例精讲】（24-25八年级上·江苏徐州·期中）的个元素，如图所示，下面甲、乙、丙三个三角形中和全等的是（   ） A．只有乙 B．只有丙 C．甲和乙 D．乙和丙 【答案】D 【思路引导】本题考查了全等三角形的判定，灵活运用全等三角形的判定是本题的关键．由全等三角形的判定可求解． 【规范解答】解：由“”可证图乙和全等，由“”可证图丙和全等． 故选：D． 【变式训练】（24-25七年级下·上海杨浦·期末）下列说法中，错误的是（   ） A．两角对应相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等 B．两边对应相等且其中一组等边的对角相等的两个三角形全等 C．两边对应相等且其中一组等边上的中线相等的两个三角形全等 D．两角对应相等且其中一组等角的平分线相等的两个三角形全等 【答案】B 【思路引导】本题考查全等三角形的判定，需逐一分析各选项是否符合全等条件． 【规范解答】解：A．两角对应相等，且其中一组等角的对边相等，符合全等判定，正确，不符合题意； B．两边对应相等，但其中一组等边的对角相等，属于条件，无法唯一确定三角形（存在歧义情况），不能保证全等，错误，符合题意； C．两边分别相等且其中一组等边上的中线也相等的两个三角形全等，正确，不符合题意； D．两角对应相等，且一组等角的平分线相等，通过角平分线定理可推第三边相等，符合或全等判定，正确． 故选：B． 考点11：连接两点构造全等三角形（全等三角形的辅助线问题） 【典例精讲】（20-21八年级上·广西崇左·期末）如图，把两根钢条的中点连在一起，可以做成一个测量工件内槽宽的工具（卡钳）在图中，只要量出的长，就能求出工件内槽的宽的长，依据是 ． 【答案】全等三角形的对应边相等 【思路引导】连接AB，，可以证△AOB≌△COD（SAS），依所据全等三角形对就边相等得所以测量CD的长也就等于测量了工件内槽AB的长． 【规范解答】解：连接AB，，如图， ∵点O分别是AC、BD的中点， ∴OA＝OC，OB＝OD． 在△AOB和△COD中， OA＝OC，∠AOB＝∠COD（对顶角相等），OB＝OD， ∴△AOB≌△COD（SAS）． ∴CD＝AB（全等三角形的对应边相等）． 故答案为：全等三角形的对应边相等． 【考点剖析】本题考查全等三角形的应用，在实际生活中，对于难以实地测量的线段，常常通过两个全等三角形，转化需要测量的线段到易测量的边上或者已知边上来，从而求解． 【变式训练】（20-21八年级上·江苏盐城·阶段练习）（1）如图①，四边形ABCD中，AB=AD，∠B=∠ADC=90°．E，F分别是BC，CD上的点，且BE+FD=EF．试探究图中∠EAF与∠BAD之间的数量关系．小明同学探究此问题的方法是：延长FD到G，使DG=BE，连结AG．先证明，再证明，从而得出∠EAF=∠GAF，最后得出∠EAF与∠BAD之间的数量关系是　　． （2）将（1）中的条件“∠B=∠ADC=90°”改为“∠B+∠D=180°”（如图②），其余条件不变，上述数量关系是否成立，成立，请证明；不成立，说明理由 （3）如图③，中俄两国海军在南海举行联合军事演习，中国舰艇在指挥中心（O）北偏西30°的A处，俄罗斯舰艇在指挥中心南偏东70°的B处，两舰艇到指挥中心距离相等．接到行动指令后，中国舰艇向正东方向以60海里/小时的速度前进，俄罗斯舰艇沿北偏东50°的方向以80海里/小时的速度前进，2小时后，指挥中心观测到两舰艇分别到达E，F处且相距280海里．求此时两舰艇的位置与指挥中心（O处）形成的夹角∠EOF的大小． 【答案】（1）∠EAF=∠BAD；（2）仍然成立，见解析；（3）70° 【思路引导】（1）根据小明同学的探究方法不难得到∠EAF= ∠BAD； （2）延长FD到G，使DG=BE，连接AG，根据同角的补角相等求出∠B=∠ADG，然后利用“边角边”证明△ABE和△ADG全等，根据全等三角形对应边相等可得 AE=AG ，∠BAE=∠DAG，再求出∠EAF=∠GAF，然后利用“边角边”证明△AEF和△GAF全等，根据全等三角形对应边相等可得EF=GF，然后求解即可； （3）连接EF，延长AE、BF相交于点C，然后求出∠OAC+∠OBC=180°，判断出符合探索延伸的条件，再根据探索延伸的结论解答即可． 【规范解答】解：(1)如图①，延长FD到G，使DG=BE，连结AG． 在△ABE和△ADG中，AB=AD，BE=DG，∠B=∠ADG=90°， ∴△ABE≌△ADG，∴AE=AG， 在△AEF和△AGF中，AE=AG，AF=AF，EF=BE+FD=DG+FD=GF， ∴△AEF≌△AGF，∴∠EAF=∠GAF=∠GAD+∠DAF=∠EAB+∠DAF ∴∠BAD=∠EAF+∠EAB+∠DAF=2∠EAF ∴∠EAF=∠BAD (2)∠EAF=∠BAD仍然成立． 证明：如图②，延长FD到G，使DG=BE，连接AG． ∵∠B+∠ADC=180°，∠ADC+∠ADG=180°，∴∠B=∠ADG， ∴△ABE≌△ADG（SAS）．∴AE=AG，∠BAE=∠DAG． 又∵EF=BE+DF，DG=BE，∴EF=DG+DF=GF． ∴△AEF≌△AGF（SSS）．∴∠EAF=∠GAF．        又∵∠GAF=∠DAG+∠DAF，∴∠EAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF． 而∠EAF+∠BAE+∠DAF=∠BAD， ∴∠EAF=∠BAD (3)如图③，连接EF，延长AE、BF相交于点C． ∵2小时后，舰艇甲行驶了120海里，舰艇乙行驶了160海里， 即AE=120，BF=160．而EF=280，∴在四边形AOBC中，有EF=AE+BF， 又∵OA=OB，且∠OAC+∠OBC=（90°﹣30°）+（70°+50°）=180°， ∴符合(2)中的条件．   又∵∠AOB=30°+90°+（90°﹣70°）=140°，∴∠EOF=∠AOB =70°． 答：此时两舰艇的位置与指挥中心（O处）形成的夹角∠EOF的大小为70°． 【考点剖析】本题考查了全等三角形的判定与性质，读懂问题背景的求解思路，作辅助线构造出全等三角形并两次证明三角形全等是解题的关键，也是本题的难点． 考点12：倍长中线模型（全等三角形的辅助线问题） 【典例精讲】（24-25八年级上·全国·期末）综合与实践 【问题情境】 课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 如图1，中，若，，求边上的中线的取值范围． 小明在组内和同学们合作交流后，得到了如下的解决方法：延长到E，使，连接BE．请根据小明的方法思考： （1）由已知和作图能得到，依据是 ___________； A．    B．    C．    D． （2）由“三角形的三边关系”，可求得的取值范围是 ___________． 解后反思：题目中出现“中点”“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中． [初步运用] （3）如图2，是的中线，交于E，交于F，．若，，求线段BF的长． 【答案】（1）C；（2）；（3）5 【思路引导】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质、三角形三边关系等知识，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． （1）由全等三角形的判定定理解答即可； （2）根据三角形的三边关系计算； （3）延长到M，使，连接，由证得，根据全等三角形的性质即可得出答案． 【规范解答】解：（1）∵是边上的中线， ∴， 在和中， ， ∴， 故选：C； （2）∵，即， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； （3）延长到M，使，连接，如图所示： ∵，， ∴， ∵是中线， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即． 【变式训练】（24-25八年级上·广东韶关·阶段练习）（1）【教材呈现】以下是某数学教材某页的部分内容：如图，在中，是边的中点，过点画直线，使，交的延长线于点，求证：． （2）【方法应用】如图，在△中，，，则边上的中线长度的取值范围是 ． （3）【猜想证明】如图，在四边形中，，点是的中点，若是的平分线，试猜想线段、、之间的数量关系，并证明你的猜想． 【答案】（1）证明见解析；（2）；（3），证明见解析 【思路引导】本题是“倍长中线”模型综合应用，考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、角平分线的性质、三角形三边关系等知识点； （1）根据平行线的性质可得，，根据中点的定义可得，进而证明，根据全等三角形的性质即可得证； （2）延长到，使，连接，证，推出，在中，根据三角形三边关系定理得出，代入求出即可． （3）结论：．延长，交于点，证明，推出，再证明即可解决问题． 【规范解答】（1）证明：∵（已知）， ∴，． ∵D为边中点， ∴． 在与中， ∵， ∴， ∴（全等三角形的对应边相等）； （2）延长到，使，连接， 是边上的中线， ， 在和中， ， ， ， 在中，， ， ， 故答案为：； （3）结论：． 理由：如图②中，延长，交于点， ， ， 在和中， ， ， ， 是的平分线， ， ， ， ， ． 考点13：旋转模型（全等三角形的辅助线问题） 【典例精讲】（23-24八年级上·天津滨海新·期中）如图，和中，，连接与交于点M，与交于点N． (1)求证：； (2)试猜想与有何特殊关系，并证明； (3)连接，有以下两个结论：①平分；②平分，其中正确的有______（请写序号，少选、错选均不得分）． 【答案】(1)见解析 (2)且，理由见解析 (3)② 【思路引导】本题考查了常见的全等三角形模型――“手拉手模型”，熟记模型的构成条件、推理过程及结论是解题关键． （1）推出，即可求证； （2）由可得，结合可得，即可得； （3）作，由可得，，即可推出，从而结论②正确；假设结论①正确，可得出，，与条件不符． 【规范解答】（1）证明：∵，， ， ∴ ∵ ∴ （2）解：且，理由如下： ∵， ∴， ， ， ， ， ∴ （3）解：作，如图所示： ∵， ∴， ∵ ∴ ∵ ∴平分 假设①正确，即平分， 则有： ∴ 即： ∵平分， ， ， ， ， 故只有当时，①才成立； 故答案为：② 【变式训练】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，点O为AB的中点，点P为直线BC上的动点（不与点B点C重合），连接OC、OP，将线段OP绕点P顺时针旋转60°，得到线段PQ，连接BQ． （1）观察猜想：如图①，线段BQ与CP的数量关系是　 　；∠CBQ＝　 　； （2）探究证明： 如图②，当点P在CB的延长线上时，（1）中结论是否成立？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由． 【答案】（1）BQ＝CP；120°；（2）成立，理由见解析 【思路引导】（1）根据直角三角形的性质得到OC＝AB＝OB，根据等边三角形的性质得到∠COB＝60°，根据旋转的性质得到∠POQ＝60°，OP＝OQ，结合图形得到∠COP＝∠BOQ，利用SAS定理证明△COP≌△BOQ，根据全等三角形的性质证明； （2）仿照（1）的作法，先证△COP≌△BOQ，再根据全等三角形的性质解答． 【规范解答】解：（1）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°， ∴∠ABC＝60°， 在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点O为AB的中点， ∴OC＝AB＝OB， ∴△COB为等边三角形， ∴∠COB＝60°， ∴∠COP＋∠BOP＝60°， 由旋转的性质可知，∠POQ＝60°，OP＝OQ， ∴∠BOQ＋∠BOP＝60°， ∴∠COP＝∠BOQ， 在△COP和△BOQ中， ∵OC＝OB，∠COP＝∠BOQ ，OP＝OQ， ∴△COP≌△BOQ（SAS）， ∴BQ＝CP，∠OBQ＝∠OCP＝60°， ∴∠CBQ＝∠CBO＋∠OBQ＝120°， 故答案为：BQ＝CP；120°； （2）当点P在CB的延长线上时，（1）中结论成立，理由如下： ∵∠COB＝∠POQ＝60°， ∴∠COB＋∠BOP＝∠POQ＋∠BOP，即∠COP＝∠BOQ， 在△COP和△BOQ中， ∵OC＝OB，∠COP＝∠BOQ ，OP＝OQ， ∴△COP≌△BOQ（SAS）， ∴BQ＝CP，∠OBQ＝∠OCP＝60°， ∴∠CBQ＝∠CBO＋∠OBQ＝120°． 【考点剖析】本题考查的是旋转的性质、全等三角形的判定和性质、直角三角形的性质、等边三角形的判定和性质，掌握三角形全等的判定定理和性质定理、旋转变换的性质是解题的关键． 考点14：垂线模型（全等三角形的辅助线问题） 【典例精讲】（21-22八年级上·贵州铜仁·阶段练习）（1）如图1，已知中，90°，，直线经过点直线，直线，垂足分别为点．求证：． （2）如图2，将（1）中的条件改为：在中，三点都在直线上，并且有．请写出三条线段的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）证明见解析；（2），证明见解析 【思路引导】（1）利用已知得出∠CAE=∠ABD，进而利用AAS得出则△ABD≌△CAE，即可得出DE=BD+CE； （2）根据∠BDA=∠AEC=∠BAC，得出∠CAE=∠ABD，在△ADB和△CEA中，根据AAS证出△ADB≌△CEA，从而得出AE=BD，AD=CE，即可证出DE=BD+CE； 【规范解答】（1）DE=BD+CE．理由如下： ∵BD⊥，CE⊥， ∴∠BDA=∠AEC=90° 又∵∠BAC=90°， ∴∠BAD+∠CAE=90°，∠BAD+∠ABD=90°， ∴∠CAE=∠ABD 在△ABD和△CAE中， ， ∴△ABD≌△CAE（AAS） ∴BD=AE，AD=CE， ∵DE=AD+AE， ∴DE=CE+BD； （2），理由如下： ∵∠BDA=∠AEC=∠BAC， ∴∠DBA+∠BAD=∠BAD+∠CAE， ∴∠CAE=∠ABD， 在△ADB和△CEA中， ， ∴△ADB≌△CEA（AAS）， ∴AE=BD，AD=CE， ∴BD+CE=AE+AD=DE； 【考点剖析】本题考查了全等三角形的判定与性质综合中的“一线三等角”模型：判定三角形全等的方法有“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”；全等三角形的对应边相等．也考查了等边三角形的判定与性质． 【变式训练】（20-21八年级上·河南·期末）如图，已知中，，，是过的一条直线，且，在，的同侧，于，于． （1）证明：； （2）试说明：； （3）若直线绕点旋转到图位置（此时，在，的异侧）时，其余条件不变，问与，的关系如何？请证明； （4）若直线绕点旋转到图位置（此时，在，的同侧）时其余条件不变，问与，的关系如何？请直接写出结果，不需说明理由． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3） BD=DE+CE ；证明见解析；（4）BD=DE−CE 【思路引导】（1）根据题意可得，结合，直接用AAS证明三角形全等即可； （2）根据（1）的结论，进而可得； （3）方法同（1）证明，进而可得 （4）方法同（1）结论同（2）证明，进而可得． 【规范解答】（1）证明：∵， ∴． 又∵ ，， ∴，， ∴． 又∵， ∴． （2） 解：∵， ∴，． 又∵， ∴． （3） 解：∵， ∴． 又∵ ，， ∴，， ∴． 又∵， ∴． ∴，，， ∴ （4） 解：．理由如下： ∵， ∴． 又∵ ，， ∴，， ∴． 又∵， ∴， ∴，． 又∵， ∴． 【考点剖析】本题考查了三角形全等的性质与判定，等腰直角三角形的性质，掌握三角形全等的性质与判定是解题的关键． 考点15：其他模型(全等三角形的辅助线问题） 【典例精讲】（20-21八年级上·山东济宁·期末）如图，为等边的边延长线上的一动点，以为边向上作等边，连接． （1）求证：； （2）当时，求的度数； （3）与有怎样的数量关系？随着点位置的变化，与的数量关系是否会发生变化？请说明理由． 【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）；数量关系不变；理由见解析 【思路引导】（1）先根据等边三角形的性质得出∠BAC＝∠PAQ＝60°，AB＝AC，AP＝AQ，再由SAS定理即可得出结论； （2）由∠APC=∠CAP，∠B=∠BAC，∠B+∠BAC+∠APC+∠CAP=180°，得∠BAP=90°，再结合，进而即可求解； （3）设CD与AP交于点O，由，得∠ACD=∠APD，结合∠AOC=∠DOP，三角形内角和定理，即可得到结论． 【规范解答】（1）证明：∵△ABC与△APD是等边三角形， ∴∠BAC＝∠PAD＝60°，AB＝AC，AP＝AD， ∴∠BAP＝∠DAC， 在△ABP与△ACD中， ， ∴（SAS）； （2）∵， ∴∠APC=∠CAP， ∵△ABC是等边三角形， ∴∠B=∠BAC=60°， 又∵∠B+∠BAC+∠APC+∠CAP=180°， ∴∠BAC+∠CAP=×180°=90°，即：∠BAP=90°， ∴∠APB=90°-60°=30°， ∴∠ADC=∠APB=30°， ∵△APD是等边三角形， ∴=60°-∠ADC=60°-30°=30°； （3）=，随着点位置的变化，与的数量关系不会发生变化，理由如下： 设CD与AP交于点O， ∵， ∴∠ACD=∠ABP=60°， ∵∠APD=60°， ∴∠ACD=∠APD， 又∵∠AOC=∠DOP，∠AOC+∠ACD+∠PAC=180°，∠DOP+∠APD+∠PDC=180°， ∴=． 【考点剖析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，直角三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 【变式训练】如图，直线l1∥l2，直线l3交直线l1于点B，交直线l2于点D，O是线段BD的中点．过点B作BA⊥l2于点A，过点D作DC⊥l1于点C，E是线段BD上一动点（不与点B，D重合），点E关于直线AB，AD的对称点分别为P，Q，射线PO与射线QD相交于点N，连接PQ． （1）求证：点A是PQ的中点； （2）请判断线段QN与线段BD是否相等，并说明理由．    【答案】（1）见解析；（2）相等，理由见解析 【思路引导】（1）由点E关于直线AB，AD的对称点分别为P，Q，连接AE，PE，QE，根据对称点的性质得出对应的边和对应的角相等，即AP＝AE，AQ＝AE，∠1＝∠2，∠3＝∠4，再根据垂直的性质得出∠2＋∠3＝90°，∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝180°，即P，A，Q三点在同一条直线上，根据中点的定义得出结论． （2）连接PB，根据对称的性质得到BP＝BE，DQ＝DE，∠5＝∠6，∠7＝∠8，根据垂直的性质∠7＋∠9＝90°，∠8＋∠10＝90°，得∠9＝∠10，由平行的性质得∠6＝∠9从而得到∠OBP＝∠ODN，易证明△BOP≌△DON得到BP＝DN，BE＝DN，等量转换得到QN＝BD． 【规范解答】解：（1）连接AE，PE，QE，如图    ∵点E关于直线AB，AD的对称点分别为P，Q ∴AP＝AE，AQ＝AE，∠1＝∠2，∠3＝∠4， ∴AP＝AQ ∵AB⊥l2， ∴∠2＋∠3＝90° ∴∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝180° ∴P，A，Q三点在同一条直线上 ∴点A是PQ的中点． （2）QN＝BD，理由如下：连接PB    ∵点E关于直线AB，AD的对称点分别为P，Q ∴BP＝BE，DQ＝DE，∠5＝∠6，∠7＝∠8 ∵l1//l2，DC⊥l1， ∴DC⊥l2， ∴∠7＋∠9＝90°， ∴∠8＋∠10＝90°， ∴∠9＝∠10 又∵AB⊥l2，DC⊥l2， ∴AB//CD ∴∠6＝∠9， ∴∠5＋∠6＝∠9＋∠10 即∠OBP＝∠ODN ∵O是线段BD的中点， ∴OB＝OD 在△BOP和△DON中 ∴△BOP≌△DON ∴BP＝DN， ∴BE＝DN ∴QN＝DQ＋DN＝DE＋BE＝BD 【考点剖析】本题考查了对称点，平行线的性质和判定，三角形全等的性质和判定，解题的关键是学会添加常用的辅助线构造全等三角形解决问题． 考点16：证一条线段等于两条线段和差（全等三角形的辅助线问题） 【典例精讲】（24-25八年级上·河南漯河·阶段练习）如图，在中，，，与的平分线，交于点． (1)求的度数； (2)求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【思路引导】本题考查角平分线的定义、三角形的外角，全等三角形的判定和性质，证明线段的和差常用“截长或补短”的方法． （1）利用三角形的内角和求出的度数，再利用角平分线得到、的大小，最后求出外角的度数； （2）在上，构造，再利用条件证明，从而得到解题． 【规范解答】（1）解：∵， ∴， ∵与的平分线，交于点 ∴ , ， ∵是的外角， ∴； （2）证明：在上截取，连接， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴ ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， 在和中 ，     ∴ ， ∴， ∵， ∴． 【变式训练】（23-24八年级上·湖南岳阳·期中）如图①，在△中，，90°，直线是过点的任意一条直线，于点，于点．    (1)求证：△△． (2)猜想，，三条线段之间的数量关系．（不写证明） (3)在图②中，将图①中的直线绕点逆时针旋转一任意角度，经过三角形的内部（不与，重合）时，上述三条线段之间又有怎样的数量关系？请写出结论，并画出图形． 【答案】(1)见解析 (2) (3)图见解析，或，理由见解析 【思路引导】本题考查几何变换综合题，需要学生掌握三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：．注意：不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角． （1）利用判定； （2）根据全等三角形的对应边相等可以求得，进而即可得到结论； （3）与（1）证明过程同理，并结合图形，进行线段的等量代换以及线段的和差运算，则或，即可作答． 【规范解答】（1）证明：于点，于点，， ，，， ． 在和中 ， ． （2）解：．理由如下： 由（1）知，，则 ∴ ∴ （3）解：结论：或． 理由：设与的交点为， 当离点近时，结论为； 当离点近时，结论为（注：当为中点时，，两点重合，线段不存在）． 当离点近时，如图：    同（1）可证明， ，． ， ． 当离点近时，如图：        同理，得． 考点17：全等三角形综合问题 【典例精讲】（24-25八年级上·吉林长春·开学考试）如图，在中，，，，，直线过点．点从点出发，沿折线以每秒1个单位长度的速度向终点运动，点从点出发，沿折线以每秒3个单位长度的速度向终点运动，、两点同时出发，到各自终点结束．分别过、两点作直线的垂线，垂足分别为点、．设点的运动时间为（秒）： (1)当、两点相遇时，求的值； (2)在整个运动过程中，用含的代数式表示的长； (3)当与全等时，请直接写出的值； (4)当点不与、重合时，请直接写出点落在某个内角平分线上时的值． 【答案】(1) (2) (3)或或18 (4)或 【思路引导】本题考查了三角形全等的判定和性质，线段的动点问题，根据题意得出关于t的方程是解题的关键． （1）由题意得，即可求得t的值； （2）根据题意分两种情况：当点在上时，即时，；当点在上时，即时，，即可求解； （3）分情况讨论：①当D在上，E在上时；当D在上，E在上时；当D在上，E在上时，得出关于t的方程，解方程求得t的值； （4）分情况讨论：当点在的平分线上时；当点在的平分线上时；当点在的平分线上时，分别求解即可． 【规范解答】（1）解：由题意得， 解得：（秒）， 当、两点相遇时，t的值为秒； （2）解：由题意可知，，， 当点在上时，即时，； 当点在上时，即时，； 则的长为； （3）解：①当D在上，E在上时， ∵，     ∴， ∵于F，于G．     ∴， ∴， 要使与全等，   只需， ∴ 解得， 点到达点用时，点到达点用时， 则当D在上，E在上时，可知当D、E重合时，与全等，如图， 则， 由题意得，，         解得：， 当D在上，E在上时， ∵当E到达A时，用时，此时点运动个单位长度，还未到达点， ∴A、E重合后，点D在上时，如图，同①可得只需时，与全等， 则， 解得， 综上，当与全等时，满足条件的t等于或或18． （4）解：当点在的平分线上时，如图，过点作于点， ∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， 即， 解得：； 当点在的平分线上时，不存在； 当点在的平分线上时，如图，过点作于点， ∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， 即， 解得：； 综上，或． 【变式训练】（25-26八年级上·全国·单元测试）某数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题：如图①，在中，，，D是的中点，求边上的中线的取值范围． 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到点E，使，请补充完整证明“”的推理过程． （1）求证：． 证明：如图①，延长到点E，使． 在和中， （________）； （2）由（1）的结论，根据与之间的关系，探究得出的取值范围是________； 【感悟】解题时，条件中若出现“中点”“中线”等字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中． 【问题解决】 （3）如图②，在中，是的中线，，且，求的长． 【答案】（1）已知，对顶角相等，，；（2）；（3）6 【思路引导】本题是三角形的综合题和倍长中线问题，主要考查的是全等三角形的判定和性质、三角形的三边关系等知识，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． （1）延长到点，使，由“”可证； （2）由全等三角形的性质可得，由三角形的三边关系可求解； （3））延长交的延长线于F，由“”可证，则，，证明，得，根据，即可得的长． 【规范解答】解：（1）证明：延长到点，使， 在和中， ， ； 故答案为：已作，对顶角相等，，； （2）由（1），得，且，， ． 在中，． 又 ． 故答案为：． （3）如图，延长交的延长线于点． ， ． 在和中， ， ． 又且， ， ， ． 故的长是6． 1．（2025·陕西·中考真题）如图，点是的边延长线上一点，，，．求证：． 【答案】见解析 【思路引导】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 先根据平行得到，再证明即可． 【规范解答】证明：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴． 2．（2025·湖北·中考真题）如图，平分．求证：． 【答案】见解析 【思路引导】本题考查了全等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 先根据角平分线得到，再由证明，即可得到． 【规范解答】证明：∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∴． 3．（2025·四川内江·中考真题）如图，点B、F、C、E在同一条直线上，． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)11 【思路引导】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质，判定两个三角形全等的一般方法有：，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）先根据平行线的性质得到，再由“”直接证明即可； （2）由，，再由线段和差即可得到，最后由即可求解． 【规范解答】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 4．（2024·辽宁·中考真题）如图，在中，，．将线段绕点顺时针旋转得到线段，过点作，垂足为．    图1            图2             图3 (1)如图1，求证：； (2)如图2，的平分线与的延长线相交于点，连接，的延长线与的延长线相交于点，猜想与的数量关系，并加以证明； (3)如图3，在（2）的条件下，将沿折叠，在变化过程中，当点落在点的位置时，连接． ①求证：点是的中点； ②若，求的面积． 【答案】(1)见详解 (2) (3)30 【思路引导】（1）利用“”即可证明； （2）可知，证明，则，可得，则，故； （3）①翻折得，根据等角的余角相等得到，故，则，即点F是中点； ②过点F作交于点M，连接，设，，则，由翻折得，故，因此，在中，由勾股定理得：，解得：或（舍，此时） ，在中，由勾股定理得：，解得：，则，由，得到，，因此，故． 【规范解答】（1）证明：如图，      由题意得，， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）猜想： 证明：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； （3）解：①由题意得， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴，即点F是中点； ②过点F作交于点M，连接，    ∵， ∴， 设，， ∴， 由翻折得， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：， 整理得，， 解得：或（舍，此时） ， 在中，由勾股定理得：， 解得：， ∴， ∵， ∴，， ∴点M为中点， ∴， ∴． 【考点剖析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，翻折的性质，勾股定理解三角形，平行线分线段成比例定理，正确添加辅助线是解题的关键． 5．（2025·广东广州·中考真题）如图，，，．求证：． 【答案】见解析 【思路引导】本题考查了全等三角形的判定，先证明，进而根据即可证明． 【规范解答】证明：∵， ∴，即， 在和中， ∴ 基础夯实 1．（21-22八年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，是不等边三角形，，以 D、E 为两个顶点画位置不同的三角形，使所画的三角形与全等，这样的三角形最多可画出（     ）个 A．2 B．3 C．4 D．以上结果均不对 【答案】C 【思路引导】此题考查了三角形全等．根据全等三角形的定义和判定即可得到答案． 【规范解答】解：如图，根据题意得到满足题意的三角形最多可画出4个， 故选：C 2．（21-22八年级上·四川泸州·阶段练习）如图，在中，，，是边上的中线，延长使得，连接，则长的取值范围是（   ） A． B． C． D．无法确定 【答案】C 【思路引导】延长至，使得，连接．则，先根据定理证出，根据全等三角形的性质可得，再利用三角形的三边关系求解即可得． 【规范解答】解：如图，延长至，使得，连接．则， 为边上的中线， ， 在和中， ， ， ∴ 在中，，即， 解得， 故选：C． 【考点剖析】本题考查了三角形全等的判定与性质、三角形的三边关系，通过作辅助线，构造全等三角形是解题关键． 3．（25-26七年级上·全国·课后作业）如图是的正方形网格，以点为两个顶点作位置不同的格点三角形，使所作的格点三角形与全等，这样的格点三角形最多可以画出（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．6个 【答案】C 【思路引导】本题考查三角形全等的判定方法，观察图形可知：与是对应边，B点的对应点在上方两个，在下方两个共有个满足要求的点，也就有四个全等三角形． 【规范解答】解：根据题意，运用可得与全等的三角形有个，线段的上方有两个点，下方也有两个点． 故选：C． 4．（23-24八年级上·河南安阳·期中）如图，已知，请你添加一个条件，使，你添加的条件是 （填一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【思路引导】本题主要考查了全等三角形的判定定理，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定定理． 利用全等三角形的判定定理求解即可． 【规范解答】解：，理由如下： ∵，， ∴， 故答案为：． 5．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，在中，，，则的度数为 ． 【答案】40°/40度 【思路引导】本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形外角的性质等知识点，解题的关键在于通过全等条件证明与全等． 先证明与全等，利用全等三角形对应角相等的性质求出的度数，再应用三角形外角等于不相邻两内角和的性质计算出的度数． 【规范解答】解：在和中，（公共边）， ， ， ． 故答案为： 6．（25-26八年级上·全国·周测）如图，是的中线，E，F分别是和延长线上的点，且，连接．有下列说法：①和的面积相等；②；③；④；⑤．其中正确的是 （填序号）． 【答案】①③④ 【思路引导】本题主要考查全等三角形的判定与性质，等底等高的三角形面积；根据三角形中线的定义可得，根据等底等高的三角形面积相等判断出①正确，根据题意只能证出，不能得到，所以不一定相等；判断②；利用“边角边”证明，判断③；全等三角形对应角相等可得，再根据内错角相等，两直线平行判断④；根据全等三角形对应边相等可得，只有当时，，判断⑤即可． 【规范解答】解：∵是的中线， ∴， ∵点A到的距离相等， ∴和面积相等，故①正确； ∵是的中线，只能证出， 不能得到 ∴不一定相等；故②错误； 在△BDF和△CDE中， ∴，故③正确； ∵ ∴， ∴，故④正确； ∵， ∴， ∴只有当时，； 故⑤不一定正确， 故答案为：①③④． 7．（25-26八年级上·全国·单元测试）如图，点D是的边延长线上一点，，，．求证：． 【答案】见解析 【思路引导】本题重点考查了平行线的性质、全等三角形的判定与性质等知识，由已知证明是解题的关键． 由，得，而，，即可根据“”证明，则． 【规范解答】证明：∵点D是延长线上一点，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 8．（24-25八年级上·山东德州·阶段练习）如图，在中，D为上一点，E为中点，连接并延长至点F，使得，连接． (1)求证：； (2)若，连接，平分，平分，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【思路引导】本题主要考查了全等三角形的性质和判定、平行线的判定、三角形内角和定理等知识点，能综合运用定理进行推理是解题的关键． （1）先证明，由全等三角形的性质可得，最后根据平行线的判定定理即可证明结论； （2）根据角平分线的定义以及可得，再根据三角形内角和定理求解即可． 【规范解答】（1）证明：∵E为中点， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 9．（25-26八年级上·全国·单元测试）如图，四边形的对角线，相交于点E，，，点F在上，． (1)求证：； (2)若，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【思路引导】此题重点考查全等三角形的判定与性质、等腰三角形的“三线合一”等知识，推导出，进而证明是解题的关键． （1）由，相交于点E，，点F在上，得，由，推导出，而，即可根据“”证明； （2）由全等三角形的性质得，而，根据等腰三角形的“三线合一”得． 【规范解答】（1）证明：∵，相交于点E，，点F在上， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴． （2）证明：由（1）得， ∴， ∵， ∴，即． 10．（25-26八年级上·江苏·阶段练习）（1）如图射线在这个角的内部，点分别在的边上，且于点于点求证：． （2）如图，点分别在的边上，点都在内部的射线上，分别是的外角．已知，且求证：． （3）如图，在中，，点在边上，，点在线段上，若的面积为，求与的面积之和． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）5 【思路引导】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，三角形外角的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，三角形外角的性质是解题的关键． （1）求出，，根据证两三角形全等即可； （2）根据已知和三角形外角性质求出，，根据证两三角形全等即可； （3）求出的面积，根据得出与的面积之和等于的面积，即可得出答案． 【规范解答】解：（1）， ， ， ， ， ； （2）， ， 同理：， ， ； （3）过点作，如图， ， ， ， ， 由（2）知，， ， ， 与的面积之和为 培优拔高 11．（24-25八年级上·安徽安庆·期末）如图，在中，于点E，于点D，，则的长是（   ） A．4 B．3 C．2 D．6 【答案】A 【思路引导】本题考查全等三角形的判定和性质，根据同角的余角相等，得到，证明，进而得到，线段的和差关系求出的长即可． 【规范解答】解：∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； 故选A． 12．如图（1），已知，为的平分线上一点，连接，；如图（2），已知，，为的平分线上两点，连接，，，；如图（3），已知，，，为的平分线上三点，连接，，，，，； ，以此规律，第个图形中全等三角形的对数是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】此题主要考查了三角形全等的判定以及规律的归纳，根据条件可得图中有对三角形全等；图中可证出，，有对三角形全等；图中有对三角形全等，根据数据可分析出第个图形中全等三角形的对数． 【规范解答】解：因为是的平分线，所以． 在与中， ， 所以， 所以题图（1）中有1对全等三角形． 同理，题图（2）中，，所以． 因为，所以． 又因为，所以， 所以题图（2）中有3对全等三角形． 同理，题图（3）中有6对全等三角形 …… 由此发现：第个图形中全等三角形的对数是． 故选：C． 13．如图，已知的面积为平分，且于，则的面积是（　　） A．10 B．8 C．6 D．4 【答案】C 【思路引导】本题考查了角平分线的性质、全等三角形的判定与性质以及三角形面积的转化，解题的关键是通过延长线段构造全等三角形，将的面积与的面积建立等量关系． 延长交于点利用平分和证明得出且与面积相等；由可知与面积相等；通过面积转化可得的面积是面积的2倍，进而求出的面积． 【规范解答】延长交于点G． ∵ 平分 ∴． ∵ ∴． 在和中， ∴． ∴ ． ∵ ∴和等底同高（以、为底，高均为点C到的距离）， ∴． ∵ 且 ∴ ∵ ∴即． 故选：C． 14．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，在中，两点在上，且有．若，，则的度数为 ． 【答案】/110度 【思路引导】本题考查全等三角形的判定和性质，根据“边边边”证明，根据对应角相等可得，即可求解． 【规范解答】解： ，， ， ， ， ， 故答案为：． 15．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，在中，，E为的中点，D为上一点，交的延长线于点F．若，与之间的距离为5，则四边形的周长的最小值是 ． 【答案】16 【思路引导】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、平行线的性质，将问题转化为求的最小值是解答本题的关键，由已知条件可证，则有，则四边形FBCD的周长为，由此只需最小即可得到最小的周长，由垂线段最短可知，当，即时，四边形FBCD的周长最短，据此即可解答． 【规范解答】解：E为的中点， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， 当时最短，此时四边形的周长取最小值， 与之间的距离为5，， 当时，， ∴四边形周长的最小值为． 故答案为：16． 16．（25-26八年级上·全国·单元测试）小乐与朋友们周末去游乐园乘坐海盗船游玩，想了解海盗船摆动到最高点位置时的高度．如图，当静止时海盗船位于铅垂线上，转轴B到地面的距离，在来人坐的过程中，当海盗船静止在点A处时，，此时测得点A到铅垂线的距离，当船头从A处摆动到处时发现船头处在最高位置处，此时，．求点到地面的距离 ． 【答案】/5米 【思路引导】本题考查的是全等三角形的应用，先过点作于点F，再证明，可得，再由可得答案． 【规范解答】解：过点作于点F， ，， ， ， 在与中， ， ， ， ． 故答案为：． 17．（25-26八年级上·全国·单元测试）如图，，，，其中，点以每秒2个单位长度的速度，沿着路径运动．同时，点以每秒个单位长度的速度，沿着路径运动，一个点到达终点后另一个点随即停止运动．它们的运动时间为秒． (1)若、两点同时到达点时，则点的速度 ． (2)若与全等，求x的值． 【答案】(1)6 (2)或 【思路引导】本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解决问题的关键，分类讨论是解决问题的易错点； （1）先求出点从点出发到达点时所用的时间为秒，再根据点运动的路程即可得出点的速度； （2）依题意得，，则，，再根据，则有以下两种情况：①当且时，，由得，解得，再由得，由此可得的值；②当且时，，由得，解得，再由得，由此可得的值，综上所述即可得出答案． 【规范解答】（1）解：， 点从点出发到达点时所用的时间为：（秒）， 点从点出发到达点时所用的时间为3秒， ，， ， 点运动的速度为：， 故答案为：6； （2）解：依题意得：，， ，， ， 当与全等时，有以下两种情况： ①当且时，， 由，得：， 解得：， 由，得：， ， ， 解得：； ②当且时，， 由，得：， 解得：， 由，得：， ， ， 解得：， 综上所述：当与全等，的值为或． 18．（25-26八年级上·全国·单元测试）如图，中，是的中点，过点的直线交于，交的平行线于，，交于点，连接、． (1)求证：； (2)请你判断与在数量上有何关系，并说明你的理由． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 【思路引导】本题考查了三角形全等的判定及性质；此题把全等三角形的判定与性质和三角形的三边的关系结合起来，综合利用它们解决题目的问题； （1）根据已知条件容易证明，利用全等三角形的性质就可以解决问题； （2）根据（1）知道，，而，容易得到，再根据三角形三边长的关系可以证明题目的结论． 【规范解答】（1）证明：是中点， ． ， ． 又， ． ． （2）解：． 证明：， ． ， ． 在中，， ，， ． 19．（20-21八年级上·福建莆田·阶段练习）如图，，点D在的延长线上，连接． (1)求证：； (2)当时，请直接写出的度数． 【答案】(1)证明过程见解析 (2)α 【思路引导】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形的外角性质，证明是解本题的关键． （1）由“”可证，可得； （2）由（1）可知，可得，由三角形的外角性质即可求解． 【规范解答】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴； （2）解：由（1）知，， ∴， ∵， ∴． 20．（23-24七年级下·陕西西安·期末）数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题：如图1，在中，是的中点，求边上的中线的取值范围． (1)小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：如图1，延长到点，使，连接．根据可以判定，得出．这样就能把线段集中在中．利用三角形三边的关系，即可得出中线的取值范围是 (2)由第（1）问方法的启发，请解决下面问题：如图2，在中，是边上的一点，是的中线，，试说明：； (3)如图3，是的中线，过点分别向外作，使得，判断线段与的关系，并说明理由． 【答案】(1)AD (2)见解析 (3)，理由见解析 【思路引导】本题是三角形的综合题和倍长中线问题，考查的是全等三角形的判定和性质、三角形的三边关系等知识，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键，并运用类比的方法解决问题． （1）延长到点，使，根据定理证明，可得结论； （2）延长到点F，使得，连接．证明，得出，得出，得出，即可证明结论． （3）延长，使，连接，证明，得出，，证明，得出，即可证明结论． 【规范解答】（1）解：如图1，延长到点，使， ∵是的中点， ， ， ， ， 在中，， ， ； （2）证明：如图，延长到点F，使得，连接． ∵是边上的中线， ∴， 在和中， ， ， ∴， ∴， ，， ， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：；理由如下： 如图，延长，使，连接， ∵为边上的中线， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 第 1 页 共 11 页 学科网（北京）股份有限公司 $$