精品解析：2025年四川省成都市西川中学中考三诊数学试卷

四川省成都市武侯区西川中学2024~2025学年度下期中考模拟监测试题九年级数学 注意事项： 1．全卷分A卷和B卷，A卷满分100分，B卷满分50分；考试时间120分钟． 2．在作答前，考生务必将自己的姓名、准考证号涂写在试卷和答题卡规定的地方．考试结束，监考人员将试卷和答题卡一并收回． 3．选择题部分必须使用2B铅笔填涂：非选择题部分必须使用0.5毫米黑色签字笔书写，字体工整、笔迹清楚． 4．请按照题号在答题卡上各题目对应的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题均无效． 5．保持答题卡清洁，不得折叠、污染、破损等． A卷（共100分） 第Ⅰ卷（选择题，共32分） 一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求） 1. 的相反数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了求一个数的相反数，只有符号不同的两个数互为相反数，据此求解即可． 【详解】解：的相反数是， 故选：B． 2. 如图，是由三个相同的小正方体组成的几何体，该几何体的俯视图是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】试题分析：此几何体的俯视图为：．故选D． 考点：简单组合体的三视图． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了合并同类项，同底数幂的乘法运算，同底数幂的除法运算，平方差公式，根据各自的运算法则一一计算并判断即可． 【详解】解：．和不是同类项，不能合并，故该选项不符合题意； ．，原计算错误，故该选项不符合题意； ．，原计算错误，故该选项不符合题意； ．，原计算正确，故该选项不符合题意； 故选：D． 4. 若点和点关于轴对称，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了关于轴对称的点的坐标特征，根据关于轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数解答即可求解，掌握关于轴对称的点的坐标特征是解题的关键． 详解】解：∵点和点关于轴对称， ∴， ∴， 故选：． 5. 为贯彻落实教育部《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》精神，把劳动教育纳入人才培养全过程，某校组织学生周末赴劳动教育实践基地开展锄地、除草、浇水、剪枝、捉鱼、采摘六项实践活动，已知六个项目参与人数（单位：人）分别是：35，38，40，42，42，43．则这组数据的众数和中位数分别是（ ） A. 38，39 B. 42，40 C. 42，41 D. 42，42 【答案】C 【解析】 【分析】根据众数和中位数的定义即可求解. 【详解】解：已知六个项目参与人数分别是：35，38，40，42，42，43， 42出现了2次，出现的次数最多， 众数为42． 已知六个项目参与人数分别是：35，38，40，42，42，43， 处在最中间的两位数为40，42， 中位数为：． 故选：C． 【点睛】本题考查了众数和中位数的定义．解题的关键在于熟练掌握众数和中位数定义．一组数据中出现次数最多的数据叫做这组数据的众数．将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数． 6. 如图，菱形的对角线、，交于点，则下列结论错误的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质，菱形的四条边分别相等，对边平行，对角线互相垂直平分线，对角线平分一组对角，据此可得答案． 【详解】解：∵菱形的对角线、，交于点， ∴，，，，，， 由菱形的性质不能得到， 故选：D． 7. 《九章算术》中有这样一个数学问题：“今有五雀、六燕，集称之衡，雀俱重，燕俱轻，一雀一燕交而处，衡适平．并燕、雀重一斤．问燕、雀一枚各重几何？”翻译为：“今有五只雀、六只燕，分别称重时，五只雀比六只燕重；若交换一只雀和一只燕，两边重量相等．五只雀和六只燕共重1斤．问每只雀、燕各重多少斤？”（注意：古代1斤=16两）设每只雀x斤，每只燕y斤，根据题意可列方程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查列二元一次方程组，设每只雀x斤，每只燕y斤，根据题意列方程组，即可求解． 【详解】解：设每只雀x斤，每只燕y斤， 交换一只雀和一只燕，两边重量相等，则，即， 五只雀和六只燕共重1斤，即， 所以 故选：B． 8. 鹰眼系统能够追踪、记录和预测球的运动轨迹，如图为足球比赛中某一时刻的鹰眼系统预测画面，足球的飞行轨迹可看成抛物线．若把对应的抛物线的函数表达式设为，画二次函数的图像时，列表如下： x … 1 2 3 4 … y … 0 1 0 … 关于此函数下列说法不正确的是（ ） A. 函数图像开口向下 B. 当时，该函数有最大值 C. 当时， D. 若在函数图像上有两点，则 【答案】D 【解析】 【分析】先利用待定系数法求二次函数的解析式，再根据二次函数图像与性质对逐项判断即可． 【详解】解：由题意可知，抛物线的图像经过点， 即：，解得：， ∴抛物线解析式为：， ∵， ∴抛物线开口向下，故A正确； ∵， ∴当时，该函数有最大值，故B正确； 当时，，故C正确； ∵当，即，解得：，， ∴抛物线与x轴的交点坐标为：、， ∴，y随x的增大而增大；，y随x的增大而减小， ∴当函数值时，，或，故D错误． 故选：D． 【点睛】本题主要考查用待定系数法求二次函数解析式、二次函数图像与性质等知识点，熟练掌握用待定系数法求函数解析式是解题的关键． 第Ⅱ卷（非选择题，共68分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 9. 分解因式：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了综合提公因式和公式法分解因式，先提公因式，再运用平方差公式进行因式分解，即可作答． 【详解】解：， 故答案为：． 10. 分式方程的解是______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根． 分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解． 【详解】解：， 去分母得：， 移项、合并得：， 解得：， 经检验是分式方程的解． 故答案为：． 11. 在平面直角坐标系中，若函数的图象经过点和，则的值是___________. 【答案】0 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，已知自变量求函数值，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键． 将点和代入，求得和，再相加即可． 【详解】解：∵函数的图象经过点和， ∴有， ∴， 故答案为：0． 12. 如图，传送带的一个转动轮的半径为，转动轮转，传送带上的物品被传送，则______． 【答案】108 【解析】 【分析】根据传送的距离等于转动了的圆弧的长，进而即可求得． 【详解】 解得． 故答案为：． 【点睛】本题考查了弧长的公式的应用，牢记弧长公式是解题的关键． 13. 如图，四边形是矩形，以点为圆心，任意长为半径作弧分别交和于点；分别以点为圆心、大于的长为半径作弧，两弧相交于点；作射线交边于点；作射线，交于点，交射线于点，连接．若，，则=_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，角平分线的作法和性质，相似三角形的性质与判定等，利用矩形和角平分线的定义可得，即得，得到，进而由得，再根据即可求解，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，，， ∵， ∴， 由作图可知，是的角平分线， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题（本大题共5个小题，共48分） 14. （1）； （2）解不等式组． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）先化简二次根式、绝对值，计算零指数幂、负整数指数幂，求特殊角的三角函数值，再计算加减即可； （2）先求出每一个不等式的解集，根据“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则得到不等式组的解集即可． 【详解】解：（1） ； （2）， 解不等式得， 解不等式得， 不等式组的解集为． 15. 睡眠管理作为“五项管理”中的重要内容之一，也是学校教育重点关注的内容．某校为了解学生平均每天睡眠时间，随机抽取该校部分学生进行问卷调查，并将结果进行了统计和整理，绘制成如下统计表和不完整的统计图． 学生类别 学生平均每天睡眠时间（单位：小时） （1）本次抽取调查的学生共有______人，扇形统计图中表示类学生平均每天睡眠时间的扇形的圆心角度数为______． （2）请补全条形统计图． （3）被抽取调查的类4名学生中有2名女生，2名男生．从这4人中随机抽取2人进行电话回访，请用画树状图或列表的方法，求恰好抽到2名男生的概率． 【答案】（1）50； （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】本题主要考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适用于两步完成是事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．也考查了条形统计图和扇形统计图． （1）根据类人数和人数占比即可求出本次被调查的学生人数；用360度乘以类的人数占比即可求出类学生平均每天睡眠时间的扇形的圆心角度数； （2）根据（1）所求，求出类的人数即可补全统计图； （3）先画出树状图得到所有的等可能性的结果数，再找到所选的2人恰好都是男生的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． 【小问1详解】 解：（人）； ； 故答案为：50；； 【小问2详解】 解：类的人数为（人）， 补全条形统计图，如图， 【小问3详解】 解：画树状图如下： 共有12种等可能结果，其中两人恰好是2名男生的结果有2种． ． 16. 如图，图1为《天工开物》记载的一种原始的汲水工具——桔槔（jié gāo），俗称“吊杆”、“秤杆”．如图2所示的是桔槔工作时的示意图，是垂直于水平地面的支撑杆，点M在地面上，米，，当点A位于最低点时，此时距离地面为1.1米，．当点A位于最低点时，求A，B两点的水平距离．（参考数据：，，） 【答案】当点A位于最低点时，A，B两点的水平距离为米． 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用．过点作于点，延长交于点，在中，由可得，进而求出，在中，由即可求出A，B两点的水平距离． 【详解】解：过点作于点，延长交于点， ∴， ∵， ∴， 由题意知，在中，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中， ， 答：当点A位于最低点时，A，B两点的水平距离为米． 17. 如图，在中，点D是上一点，经过B，C，D三点的与相交于点E，点F为上一点，与点C在直线异侧，连接与相交于点G，． （1）求证：； （2）若点F是中点，为的直径，，，求和的长． 【答案】（1）见解析 （2）的长是，的长是． 【解析】 【分析】（1）由，，得，则，因为，所以，则； （2）连接、，作于点L，由是的直径，得，因为，所以，则，由，得，求得，，则，所以，可证明，所以，则，再证明，得，则，则，求得，由，求得． 【小问1详解】 证明：∵，， ∴， ∵，且， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：连接、，作于点L，则， ∵为的直径， ∴， ∵点F是的中点， ∴， ∴， ∴， 由（1）得， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴或（不符合题意，舍去）， ∴， ∴， ∴的长是，的长是． 【点睛】此题重点考查圆内接四边形的对角互补、同角的补角相等、圆周角定理、等腰三角形的判定、勾股定理、相似三角形的判定与性质、解直角三角形等知识，正确地添加辅助线是解题的关键． 18. 如图，在平面直角坐标系中，直线与y轴正半轴交于点A，与x轴正半轴交于点B，与双曲线的交点为，D（C在D的左边），且C，D恰好是线段的三等分点． （1）求a，k的值； （2）P是线段上一点，连接． ①若将的面积分成两部分，求点P的坐标； ②将直线沿直线进行翻折，与双曲线交于另一点E，连接，若，求点P的坐标． 【答案】（1）， （2）①或；② 【解析】 【分析】（1）过点C作轴于点M，把代入求得，证明，得，求得，进而得，再分别把点代入、求解即可； （2）①把代入求得，进而求得，由题意进行分类讨论：当时，，当时，，进行求解即可； ②直线沿直线进行翻折后点P的对应点为点Q，连接，过点E作轴于点F，证明是等腰直角三角形，则，由折叠的性质得是线段的垂直平分线，得，进而得是等腰三角形，则，由此得，根据平行线分线段定理得，则，进而得，则，设点，得，再根据，可得，解得，进而求解即可． 【小问1详解】 解：过点C作轴于点M， 把代入得，， ∴， ∴， ∵点C，D恰好是线段的三等分点， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∵直线经过点， ∴，解得， ∵双曲线经过点， ∴； 【小问2详解】 解：由（1）得，直线的解析式为， 把代入得，， 解得， ∴， ①∴， ∵将的面积分成两部分，， 当时，， 解得， ∴， 当时，， 解得， ∴； ②直线沿直线进行翻折后点P的对应点为点Q，连接，过点E作轴于点F，如图， ， 是等腰直角三角形， ， 由折叠的性质得，，， ∴是线段的垂直平分线， ， 是等腰三角形， ， ， ， 轴， ，， ， ， 轴，轴，轴， ， 根据平行线分线段定理得，， 由（1）得，反比例函数表达式为，， ， ， ， ， 即， ， ∴点E的横坐标为20， ∵点E在反比例函数图象上， ， ， 设点P的坐标为， ， ， ， ， 整理得，， ， 由，解得， ， 由，解得， ∴， 此时沿翻折后与双曲线没有交点，故不符合题意，舍去， ． 【点睛】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题、折叠的性质、平行线分线段定理、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、一次函数与坐标轴的交点，熟练掌握图形的翻折变换与性质、相似三角形的判定与性质及三角形的面积公式是解题的关键． B卷（共50分） 一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 19. 已知，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，解题的关键是通过分式的运算化简代数式，再代入已知条件求值． 先对括号内的分式进行通分相加，再将分子因式分解，通过约分简化代数式；最后将已知条件整体代入化简后的式子计算结果． 【详解】解：原式 ∵， ∴原式的值为． 故答案为：． 20. 如图，在中，，将沿着射线的方向平移2个单位长度后，得到，连接，则的长为________． 【答案】4 【解析】 【分析】本题主要考查平移的性质，等边三角形的判定和性质，熟练掌握平移的性质是解题的关键．根据平移的性质得到，，证明是等边三角形，即可得到答案． 【详解】解：根据平移的性质得到，， ， ， 是等边三角形， ． 故答案为：． 21. 新定义：如果一个正整数能表示为两个正整数m，n的立方差，且，则称这个正整数为“立方差友好数”例如：，56就是一个立方差友好数．若将“立方差友好数”从小到大排列，则第5个“立方差友好数”是______；第28个“立方差友好数”是_____． 【答案】 ①. 117 ②. 665 【解析】 【分析】本题考查规律型，整式乘法的应用，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 根据定义，得出，取的值和对应符合题意的的值分别计算，通过观察规律，可以发现第 5 个“立方差友好数”和第 28 个“立方差友好数”． 【详解】解：根据题意，满足且，是正整数， 则， 当时，只有符合， 此时，； 当时，只有符合， 此时，； 当时，只有符合， 此时，； 当时，只有符合， 此时，； 当时，只有符合， 此时，； 当时，只有符合， 此时，； 当时，只有符合， 此时，； 当时，只有符合， 此时，； 当时，只有符合， 此时，； 当时，只有符合， 此时，； 将以上所有“立方差友好数”汇总，并按从小到大的顺序排列（重复的数只记一次）得到：观察可知，第5个“立方差友好数”是，第28个“立方差友好数”是， 故答案为：117，665． 22. 在平面直角坐标系中，已知点和是抛物线上的两个点，且恒成立，则的取值范围为_____． 【答案】或 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数点的坐标特征、二次函数的图象和性质等内容，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 依据题意，分别表示出和，再利用作差法可得，进而代入建立关于的不等式求解即可； 【详解】解：∵和在抛物线上， ， ， ， ， ， ， ， 或， 或， 故答案为：或． 23. 在中，，点E、F分别是边上的动点，满足，． ①当E为中点时，若，则______； ②的取值范围是_____． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】①过点D作，交的延长线于点G，过点E作于点H，设，则，由，可得，，，，再证得，推出，据此列方程求解即可； ②过点D作，交的延长线于点G，过点E作于点H，设，，由，可得，，，再由，推出，，，，，由点E，F分别是边上的动点，可得，，据此列不等式即可求得答案． 【详解】解：①过点D作，交的延长线于点G，过点E作于点H，如图1， 则， 设， ∵E为中点， ∴ ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴ ∵， ∴ ∵， ∴， ∵， ∴ 则， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴ 解得： 故答案为：； ②过点D作，交的延长线于点G，过点E作于点H，如图2， 设，， 则， ∴ ∴，，， 则， 由①知：， ∴ ∴，， ∴，，， ∵点E，F分别是边上的动点， ∴，， 即， ∴， ∴ ∵ 故答案为： 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等，解不等式组，正确添加辅助线构造相似三角形解决问题是解题的关键． 二、解答题（本大题共3个小题，共30分） 24. 小明观察到一个水龙头因损坏而不断地向外滴水，为探究其漏水造成的浪费情㫛，小明用一个带有刻度的量筒放在水龙头下面装水，每隔一分钟记录量筒中的总水量，但由于操作延误，开始计时的时候量筒中已经有少量水，因而得到如下表的一组数据： 时间t（单位：分钟） 1 2 3 4 5 … 总水量（单位：毫升） 7 12 17 22 27 … （1）通过分析数据，小明发现可以用一次函数来刻画总水量（毫升）与时间（分钟）之间的关系，求与的函数关系式； （2）根据以上数据，解决下列问题： ①求小明在第20分钟测量时量筒中的总水量； ②一个人一天大约饮用1500毫升水，请你直接写出这个水龙头一个月（按30天计）的漏水量可供一人饮用_____________天． 【答案】（1） （2）①102毫升；②144 【解析】 【分析】本题考查一次函数的应用，根据变量的变化规律写出y与t之间的函数关系式是解题的关键． （1）根据变量的变化规律写出y与t之间的函数关系式； （2）①将代入y与t之间的函数关系式，求出对应y的值即可； ②计算30天有多少分钟，将它作为x的值代入y与t之间的函数关系式，求出对应y的值，再根据一个人一天的饮水量计算即可． 【小问1详解】 解：由表格可知，时间增加1分钟，量筒中总水量增加5毫升， ， ∴y与t之间的函数关系式为， 【小问2详解】 ①当时，， 答：小明在第20分钟测量时量筒中的总水量为102毫升； ②（分钟）， 当时，， （天）． 答：这个水龙头一个月（按30天计）的漏水量可供一人饮用144天． 25. 在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），其对称轴交x轴于点C，P为抛物线第四象限上一点，连接交y轴于点E． （1）求点C的坐标及线段的长； （2）当时，若点E将线段分成两部分，求点E的坐标； （3）Q为线段中点，直线交y轴于点F，现将抛物线L绕平面内一点旋转得到抛物线，使得点A，P都落在抛物线上，记抛物线与y轴相交于G．当时，试探究是否存在a的值，使是以为斜边的直角三角形？若存在，请求出a的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）点C的坐标为； （2）E的坐标为或 （3）存在a的值，使是以为斜边的直角三角形，此时 【解析】 【分析】（1）利用抛物线的对称轴公式即可求得点的坐标，令，解出点的坐标即可求解的长； （2）过点作轴，垂足为点，由此可知，当时，，由（1）可知，再分为①，②，两种情况分别讨论，利用相似比分别求解出的长，即可求解出点E的坐标； （3）设点P为，由于点P在第四象限，则，，即，由中点坐标公式可得点Q的坐标为，设直线的表达式为，将点C和点Q坐标代入求解出直线的表达式为，由此可得点的坐标与的长，设直线的表达式为，将点和点的坐标代入求解出直线的表达式为，由此可得点的坐标与的长，由，可解得，即可分别得出点的坐标，由题意可知的顶点与L的顶点关于旋转中心对称，且开口方向相反，则设的表达式为，将点A，P的坐标代入可得的表达式为，由此可求解出点的坐标，再求解出的长利用勾股定理即可解答． 【小问1详解】 解：由题意得：对称轴为x， 点C的坐标为， 当y时， ， 解得：，， 即点A坐标为，点B坐标为， ； 【小问2详解】 如图，过点作轴，垂足为点， ， 当时，， 由（1）可知， 由于点E将线段分成两部分，则 ①当时， ， ， 则点的横坐标为3， ， ， 则， ， 则点E的坐标为； ②当时， 同理可得：， ， 此时，点的横坐标为， ， ， 则， ， 则点E的坐标为； 综上，点E的坐标为或； 【小问3详解】 存在a的值，使是以为斜边的直角三角形，理由如下： 由题意知设点P为 由于点P在第四象限，则，， 即， ， 则的中点Q的坐标为， 由（1）可知，点C的坐标为， 设直线的表达式为， 将点C和点Q坐标代入得： ， ， 化简得：， ， 则直线表达式为， ∴点坐标为， 则，， 设直线的表达式为， 将点和点的坐标代入得： ， 解得：，， 则直线的表达式为， 令,则， ∴点的坐标为， 则， 由，可得：， 解得：， ， ， ， 抛物线L绕平面内一点旋转得到抛物线， 则顶点与L的顶点关于旋转中心对称，且开口方向相反， 所以设的表达式为， 因为点A，P都落在抛物线上， 则， 解得：，， 则的表达式为， 令，则， ∴点G的坐标为， 因为是以为斜边的直角三角形， 由勾股定理可得：， 而， ， ， 代入可得：， 化简得：， ， ， 综上，存在a的值，使是以为斜边的直角三角形，此时． 【点睛】本题主要考查了抛物线的性质，旋转的性质，中点坐标公式，待定系数法求函数表达式、勾股定理、相似三角形的判定与性质、抛物线对称轴公式等，熟练掌握相关知识，灵活运用抛物线与旋转的性质是解题的关键． 26. 在中，，，点D，E分别在边，上（不与A，B，C重合），将线段绕点E顺时针旋转得到线段． （1）如图1，当点F与点C重合时，求证：； （2）如图2，当点F在边时，作，交于点G，试说明与有何数量关系，并证明； （3）如图3，若点E为中点，，，连接、，当为直角三角形时，求的面积． 【答案】（1）证明见解析 （2），证明见解析 （3）或或 【解析】 【分析】（1）证明，从而； （2）以为圆心，长为半径圆弧，交于，取的中点，连接，可证得，从而，从而，进而得出，从而，从而得出结果； （3）作的垂直平分线，交于，连接，可求得，分两种情形：当时，即点在上时，作于，可得出，设，则，可得出，进而根据得方程，求得的值，进一步得出结果；当时，构造＂一线三等角＂得出，从而，，设，则，从而，根据得出的方程，根据勾股定理得方程，从而求得的值，进一步得出结果． 【小问1详解】 如图，连接， 由题意得， ； 【小问2详解】 ，理由如下： 以为圆心，长为半径画弧，交于，取的中点，连接， ； 【小问3详解】 如图， 作的垂直平分线，交于，连接， 则， ∴， ∴， ∵， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∴， ∴． （i）如图， 当时，即点在上时，作于， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∵点是的中点， ∴， 由得，， ∴， ∴， ； （ii）当时， 作于，作于，作交于，作，交于， ∵， ∴， ∴， ，， ， ， ， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∴， 由得，①， 取的中点，作于， 则，四边形是矩形， ∴， ∴， 由勾股定理得，②， 由①②得，， 当时，， 当时，， 综上所述：或或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 四川省成都市武侯区西川中学2024~2025学年度下期中考模拟监测试题九年级数学 注意事项： 1．全卷分A卷和B卷，A卷满分100分，B卷满分50分；考试时间120分钟． 2．在作答前，考生务必将自己的姓名、准考证号涂写在试卷和答题卡规定的地方．考试结束，监考人员将试卷和答题卡一并收回． 3．选择题部分必须使用2B铅笔填涂：非选择题部分必须使用0.5毫米黑色签字笔书写，字体工整、笔迹清楚． 4．请按照题号在答题卡上各题目对应的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题均无效． 5．保持答题卡清洁，不得折叠、污染、破损等． A卷（共100分） 第Ⅰ卷（选择题，共32分） 一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求） 1. 的相反数是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，是由三个相同的小正方体组成的几何体，该几何体的俯视图是（　　） A. B. C. D. 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 若点和点关于轴对称，则的值为（ ） A B. C. D. 5. 为贯彻落实教育部《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》精神，把劳动教育纳入人才培养全过程，某校组织学生周末赴劳动教育实践基地开展锄地、除草、浇水、剪枝、捉鱼、采摘六项实践活动，已知六个项目参与人数（单位：人）分别是：35，38，40，42，42，43．则这组数据的众数和中位数分别是（ ） A. 38，39 B. 42，40 C. 42，41 D. 42，42 6. 如图，菱形的对角线、，交于点，则下列结论错误的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. 7. 《九章算术》中有这样一个数学问题：“今有五雀、六燕，集称之衡，雀俱重，燕俱轻，一雀一燕交而处，衡适平．并燕、雀重一斤．问燕、雀一枚各重几何？”翻译为：“今有五只雀、六只燕，分别称重时，五只雀比六只燕重；若交换一只雀和一只燕，两边重量相等．五只雀和六只燕共重1斤．问每只雀、燕各重多少斤？”（注意：古代1斤=16两）设每只雀x斤，每只燕y斤，根据题意可列方程组为（ ） A. B. C. D. 8. 鹰眼系统能够追踪、记录和预测球的运动轨迹，如图为足球比赛中某一时刻的鹰眼系统预测画面，足球的飞行轨迹可看成抛物线．若把对应的抛物线的函数表达式设为，画二次函数的图像时，列表如下： x … 1 2 3 4 … y … 0 1 0 … 关于此函数下列说法不正确的是（ ） A. 函数图像开口向下 B. 当时，该函数有最大值 C. 当时， D. 若在函数图像上有两点，则 第Ⅱ卷（非选择题，共68分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 9 分解因式：______． 10. 分式方程解是______． 11. 在平面直角坐标系中，若函数的图象经过点和，则的值是___________. 12. 如图，传送带的一个转动轮的半径为，转动轮转，传送带上的物品被传送，则______． 13. 如图，四边形是矩形，以点为圆心，任意长为半径作弧分别交和于点；分别以点为圆心、大于的长为半径作弧，两弧相交于点；作射线交边于点；作射线，交于点，交射线于点，连接．若，，则=_______． 三、解答题（本大题共5个小题，共48分） 14. （1）； （2）解不等式组． 15. 睡眠管理作为“五项管理”中的重要内容之一，也是学校教育重点关注的内容．某校为了解学生平均每天睡眠时间，随机抽取该校部分学生进行问卷调查，并将结果进行了统计和整理，绘制成如下统计表和不完整的统计图． 学生类别 学生平均每天睡眠时间（单位：小时） （1）本次抽取调查的学生共有______人，扇形统计图中表示类学生平均每天睡眠时间的扇形的圆心角度数为______． （2）请补全条形统计图． （3）被抽取调查类4名学生中有2名女生，2名男生．从这4人中随机抽取2人进行电话回访，请用画树状图或列表的方法，求恰好抽到2名男生的概率． 16. 如图，图1为《天工开物》记载的一种原始的汲水工具——桔槔（jié gāo），俗称“吊杆”、“秤杆”．如图2所示的是桔槔工作时的示意图，是垂直于水平地面的支撑杆，点M在地面上，米，，当点A位于最低点时，此时距离地面为1.1米，．当点A位于最低点时，求A，B两点的水平距离．（参考数据：，，） 17. 如图，在中，点D是上一点，经过B，C，D三点的与相交于点E，点F为上一点，与点C在直线异侧，连接与相交于点G，． （1）求证：； （2）若点F是的中点，为的直径，，，求和的长． 18. 如图，在平面直角坐标系中，直线与y轴正半轴交于点A，与x轴正半轴交于点B，与双曲线的交点为，D（C在D的左边），且C，D恰好是线段的三等分点． （1）求a，k的值； （2）P是线段上一点，连接． ①若将的面积分成两部分，求点P的坐标； ②将直线沿直线进行翻折，与双曲线交于另一点E，连接，若，求点P的坐标． B卷（共50分） 一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 19. 已知，则的值为______． 20. 如图，在中，，将沿着射线的方向平移2个单位长度后，得到，连接，则的长为________． 21. 新定义：如果一个正整数能表示为两个正整数m，n的立方差，且，则称这个正整数为“立方差友好数”例如：，56就是一个立方差友好数．若将“立方差友好数”从小到大排列，则第5个“立方差友好数”是______；第28个“立方差友好数”是_____． 22. 在平面直角坐标系中，已知点和是抛物线上的两个点，且恒成立，则的取值范围为_____． 23. 在中，，点E、F分别是边上的动点，满足，． ①当E为中点时，若，则______； ②的取值范围是_____． 二、解答题（本大题共3个小题，共30分） 24. 小明观察到一个水龙头因损坏而不断地向外滴水，为探究其漏水造成的浪费情㫛，小明用一个带有刻度的量筒放在水龙头下面装水，每隔一分钟记录量筒中的总水量，但由于操作延误，开始计时的时候量筒中已经有少量水，因而得到如下表的一组数据： 时间t（单位：分钟） 1 2 3 4 5 … 总水量（单位：毫升） 7 12 17 22 27 … （1）通过分析数据，小明发现可以用一次函数来刻画总水量（毫升）与时间（分钟）之间的关系，求与的函数关系式； （2）根据以上数据，解决下列问题： ①求小明在第20分钟测量时量筒中的总水量； ②一个人一天大约饮用1500毫升水，请你直接写出这个水龙头一个月（按30天计）的漏水量可供一人饮用_____________天． 25. 在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），其对称轴交x轴于点C，P为抛物线第四象限上一点，连接交y轴于点E． （1）求点C的坐标及线段的长； （2）当时，若点E将线段分成两部分，求点E的坐标； （3）Q为线段中点，直线交y轴于点F，现将抛物线L绕平面内一点旋转得到抛物线，使得点A，P都落在抛物线上，记抛物线与y轴相交于G．当时，试探究是否存在a的值，使是以为斜边的直角三角形？若存在，请求出a的值；若不存在，请说明理由． 26. 在中，，，点D，E分别在边，上（不与A，B，C重合），将线段绕点E顺时针旋转得到线段． （1）如图1，当点F与点C重合时，求证：； （2）如图2，当点F边时，作，交于点G，试说明与有何数量关系，并证明； （3）如图3，若点E为中点，，，连接、，当为直角三角形时，求的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $