浙江省强基联盟2025-2026学年高三上学期返校联考数学试卷

浙江强基联盟2025年8月高三联考 数学试题参考答案 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1 2 3 4 5 6 7 8 A D B D 1.AA=(-2,-1),因此A∩B=(-2,-1).故选A. 2.D =1+21=2-i故选D. i 3.B由题意得22=8=g,解得g=2故选B g月=1gE-lgE,=1.5(M-M,)=lg1000=3,所以M-M,=2.故选C. 4.C lg 5.Ba=1,焦点F(十不，0)，渐近线方程：y=士6，相切条件：焦点到渐近线y=br的距离为的中E= √1+b b,由题意b=√，离心率：c=√十3=2，故e=C=2.故选B. 6.D平移后得到函数y=i如(2x看-2e)的图象，则晋+2g=kx(∈2)，解得g=音+经（∈Z),面9 >0因此9最小可取受故选D 7.B由题意得2cos(a十3)sina=sinB=sin(a十B)cosa-cos(a十B)sina,可得tan(a十B)=3tana,tanB 2≤5 tan(a+Ba)1十3tana,令t=tana,则tanp=2 3t+ <号，而B是锐角，则B=否故选B. 8.C由题可知A(-a,0),B(a,0),设点P(yo)可得x十a =3x6一a, 解得x。=9=-a, 8 yo=xo-axo, 由PA⊥PB得xi+=a,解得a=4 等故选C 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9 10 1 ABC BC ABD 9.ABC在正方体ABCD-A1BCD中，A1C1∥AC,A1C在平面ACD外，AC在平面ACD1内，因此AC ∥平面ACD,故A正确；BD⊥AC,BD⊥AD因此BD⊥平面ACD,故B正确：由等体积法可求得点D 到平面ACD,的距离为号，故C正确：设AB与平面ACD:所成的角为0，则smg=写，故D销误，故 选ABC 10.BC由题意得an≥n且数列{an}中的项两两不同，设a1=k,则aa,=ag=3,因此k≤3，若a1=1则1=a1= a1=3矛盾，若a1=3,则a,=a=3=a1矛盾，故a1=2,此时a2=a1=3,a3=a2=6,故A错误，B正确； a,=a=9,因此a:=7,a=8,因此S=26,故C正确：ae,=ag=15,a。=a1s=24,所以a1:<a1s=24,故D 错误.故选BC. 数学卷参考答案第1页（共4页） 1.ABD由题意得一轮中甲投中且乙投不中则甲获胜，概率为a(1-b),故A正确：X~B(6,号)，因此E(X) =2,故B正确：当a,b>号时，一轮中平局的概率实际为号十2xy(其中x=a-y=b-令)，显然大于 号，故C错误：一轮中甲获胜的概率为p=a1一a)<0.25,因此甲至少获胜2次的概率为f(p)=3p2(1- p)十)=一2p+3n,f(p)=-6p2十p,因此最大值为f0,25)=员，故D正确故选ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.13.6014.x+y-2=0或x-y-2=0 12.吾由正弦定理得sinC=0A=号，由于Ce(0,吾)，因此C=吾 13.60若四位数中没有2，共有2=16个；若四位数中有1个2，共有4×23=32个；若四位数中有2个2，共有 3×22=12个，因此共有60个. 14.x十y-2=0或x-y-2=0设直线l:x=ty+2,与抛物线方程联立可得y2-8ty-16=0,△=64(1十t) >0,y十y2=8t,y1y2=-16,因此M(4t+2,4t),MN:tx+y-4t3-6t=0,得N(4t+6,0),所以S△FwN -号·4(4#+6-2)=16，解得4=士1.因此直线1的方程为x十y-2=0或x一y一2=0， 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.解：(1)由频率分布直方图得10×(2a十0.04十0.03十0.02)=1，解得a=0.005,…3分 这100名学生比赛成绩的平均数为： 55×0.05十65×0.4+75×0.3+85×0.2+95×0.05=73分钟. 6分 (2)在区间[50,70)内的学生占频率0.45，在区间[50,80)内的学生占频率0.75， 因此中位数在区间[70,80)内，………。 …8分 设中位数为x,得工=70十0.50.45X1071,7.… 12分 0.3 平均数大于中位数，……………………13分 16.解：(1)在三角形ABO中，AB=√2，BO=1,AO=1, 可得：AO⊥BD.………2分 由于平面ABD⊥平面BCD,AO在平面ABD内，平面ABD∩平面BCD=BD, .AO⊥平面BCD.… 4分 (2)取BD中点E,连接CE,可得CE⊥BD, 又CP⊥BD,CP∩CE=C,.BD⊥平面CPE, 得EP⊥BD.…………………6分 在平面ABD内，由(1)知AO⊥BD,∴.AO∥PE. 7分 又0E=1,sD=2,因此0--合· 9分 (3)由上可得V=专Vn-c=子V-n 10分 由于平面ABD⊥平面BCD,平面ABD∩平面BCD=BD, 因此平面ABD⊥CE.… 11分 又AO⊥平面BCD,作OF⊥BC于点F,FO∩AO=O, 因此平面AFO⊥BC,AF⊥BC, 因此∠AFO即为二面角A一BC一D的平面角，……………………13分 数学卷参考答案第2页（共4页） ∠A0-号OF-9由勾散定理得，BF-由=得1CE1-厄， 所以V=专m=合××42×12 ………………………………………………………… 2 9· 15分 17.解：(1)由题意得2a2=4a3十2，a1=3a2十2，算得a2=13,a1=41. 4分 (2)由题意得n(n十1)am=(n十1)(n十2)a+1十2(n十1)，…6分 记bn=n(n+1)am,得bn+1-bn=-2(n十1)(n∈N*),b1=2a1=82, 累加可得6=-2.n-1）)2+2=-n2-n十84(m≥2)=-m-n十84(n∈N), 2 因此n(n十1)am十n2=84一n,故{n(n十1)am十n2}为等差数列.………………10分 (体现累加思想但推理有问题的可酌情给分) 12分 因此S,=84(1nn≤2m,… 14分 解得n≥27，所以满足题意的最小正整数n=27.… 15分 18.解：(1)f(x)=C0sx十1，… …1分 注意到f(0)=0,因此f(0)=1十1≤0，所以≤一1.…3分 另一方面，当1≤-1时，f(x)≤0， 故f(x)单调递减，f(x)≤f(0)=0成立： 综上所述，∈(-00，一1].…5分 (2)由(1)得当m=一1时函数f(x)=sinx一x,在[0，十o∞)单调递减，…7分 因此sinx一x≥sin3.x-3.x即sinx一sin3.x≥-2x成立.… 10分 (3)a.x≥|sinx-sin3x=2|cos2 rsinz,… 11分 令h(x)=2cos2 rsinr--ax(0≤x≤受），注意到h(0)=0, h(x)=2cos2xcox-4sin2 sinr-a(0Kx≤受) 因此h(0)=2一a≤0，即a≥2；…………… 13分 下面证明a≥2时|sinx-sin3x|≤a.x成立： 由(2)得sinx-sin3x≥一2x≥-ax,下面证明sinx-sin3.x2x, 即证明sinx十x≤sin3.x十3x,令g(x)=sinx十x(x≥0)，g'(x)=cosx+l≥0， 因此g(x)单调递增，g(3x)≥g(x)即sinx-sin3x≤2x成立. 16分 综上所述，a∈[2，十∞).…17分 19.解：(1)如图建立空间直角坐标系，则 Q(4cos千，4sin千，3cos千+20），… 1分 Q(4,0,23),Q(0,4,20),Q2(-4,0,17), Qo(Qa) 则QQ1=(-4,4,-3),Q2Q。=(8,0,6), 设平面QQ1Q2的一个法向量为n=(x,y,之)， 由 -4x十4y3之=0取x=3得n=（3,0,-4),…3分 8x十6x=0, 圆柱轴线的方向向量为a=(0,0,1),sin9= n·a …4分xP(P) (2)Qa=(4cos千，4sin年-4,3cos千），可知Qa·n=0, 数学卷参考答案第3页（共4页） 故曲线段上任意点Q均在平面a内，在平面。内取两点A(一号0，)，B(号0,19）)， (可同上方法验证这两点在平面α内)， …5分 算得1QA+QB1=√(5+3cos千)+√(5-3s千)=10. …7分 (3)由(2)得曲线段卷曲后形成了一个平面椭圆，标准方程为无十=1，Q。为长轴端点，不纺设其为左顶点 (5,0）,……………………… …………8分 肖w平布行：时glWa苦兰 IM 2 2 2 当MN不平行于x轴时，设直线MN:x=十m,与亏+若=1联立得 (16t2+25)y2+32tmy+16m2-400=0,△=402(16t2-m2+25)>0, -32tm y1+y:=16t+25 9分 yIy= 16m2-400 16t+25, 56a,=1m+5·y-l-20m+516t+25-元 ………………………………………… 2 16t2+25 11分 令u=√16t+25-m,则2≥max{0,25-m}. 当u=0时，△QMN不存在，舍去. 当u≠0时，SAaw 20|m+51 13分 utu u 若5≤m≤25即u≥√25-m且m≥√25-m, 2 则Sa,n=20m+5l≤10. m十5 utm2 ≤10(1+√2). 若m2>25即≥0，则SaQ,w-20m+5≤10. 1十5 <20.…14分 若m<空即>V25-m且1m<√5-m, 则Saw<20m十5/因7-专/5+m)(6-m≤155， 25 当且仅当：=0，m=号时等号成立. 而155>10(1十√2)，因此△QMN面积的最大值为15√5.…17分 数学卷参考答案第4页（共4页）浙江强基联盟2025年8月高三联考 数学试题 浙江强基联盟研究院 命制 器 考生注意： 1.本试卷满分150分，考试时间120分钟。 2.考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对 应题目的答案标号涂，黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答 题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。 军 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的， 1.已知集合A=(一2，-1)，B={xx≥一4}，则A∩B= A.(-2,-1) B.[-4,+o∞) C.[-4,-1) D.[-4,-2) 2.若复数之满足xi=1十2i,则之= K A.-1+2i B.-1-2i C.2+i D.2-i 3.在等比数列{an}中，已知a2=2,a3a4=32,则公比q= A.1 B.2 C.4 D.8 翼 4.尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究，已经对地震有所了解，例如，地震时 释放出的能量E(单位：尔格)与地震里氏震级M之间的关系为：lgE=1.5M十11.8，若第一 州 次地震释放出的能量是第二次的1000倍，则第一次地震的里氏震级比第二次高 A.4级 B.3级 C.2级 D.1级 5.设双曲线C:x2- y =1(b>0)的右焦点为F,以F为圆心，半径为√3的圆与双曲线C的渐近 线相切，则双曲线C的离心率为 A号 B.2 C.5 D.6 6.若函数y=sin2x 的图象向右平移(9>0)个单位后为一个奇函数的图象，则”的最 小值为 A是 B晋 c晋 D.2 7.已知锐角a,3满足2cos(a十3) sinE,则角B的最大值为 sin a A竞 B晋 C. D.晋 8.设A,B是函数f(x)=x3一a.x(a>0)的图象与x轴的两个交点（不同于原点），过A作曲线y =f(x)的切线，切点为P(异于点A,B),若PA·PB=0,则实数a的值为 4.2⑤ B.3 C.4③ 3 D. 3 3 数学第1页（共4页） 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符 合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.在棱长为1的正方体ABCD一A1B1CD中，下列说法正确的有 A.AC1∥平面ACD1 B.B1D⊥平面ACD1 C.点D到平面ACD:的距离为S D.AB与平面ACD1所成的角为30° l0.若正整数数列{an}满足下列条件：(1)当i<j时，有a:<a,(即数列严格递增)；(2)aa=3n (其中a。,表示数列的第an项).记数列{an}的前n项和为Sm.则下列判断正确的是 A.a1=3 B.a3=6 C.S5=26 D.a14>24 11.甲、乙两人在投篮比赛中每轮各投一次，若一方投中且另一方未中，则投中的一方获胜，否则 本轮平局.已知每轮中甲、乙投中的概率分别为a和b,且每轮中甲、乙投中与否互不影响， 各轮之间也互不影响，则 A.一轮中甲获胜的概率为a(1一b) B.若a=号，b=,则6轮比赛中，甲获胜次数X的数学期望为2 C若a,b>2,则一轮中平局的概率小于司 D若a=b,则3轮比赛中，甲至少获胜2次的概率的最大值为 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分 12.在△ABC中，设角A.B,C所对的边分别为a,b,已知a=2,A=c=2 ,则角C= 3 ▲ 13.用1,2,3三个数字的全体或部分构造四位数，但不允许有两个2相邻出现，则这样的四位数 有▲个.（用数字作答） 14.设抛物线y2=8x的焦点为F,过F的直线l交抛物线于A,B两点，且线段AB的垂直平分 线交AB于点M,交x轴于点N,若△FMN的面积为16，则直线1的方程为▲ 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(13分) 为积极参与马拉松比赛，某中学决定从3000名学生中随机抽取100名学生进行体能检测， 这100名学生进行了15公里的马拉松比赛，比赛成绩（分钟）的频率分布直方图如图示， 其中成绩分布区间是[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]. (1)求图中a的值，并估计这100名学生比赛成绩的平 ↑频率/组距 均数； 0.04 (2)根据频率分布直方图估计样本的中位数（结果保留一 0.03 位小数)，并比较中位数与平均数的大小. 0.02 5060708090100时间/分钟 数学第2页（共4页） 16.(15分) 如图，在三棱锥A一BCD中，CB=CD,AB=√2，平面ABD⊥平面 BCD,点O在BD上，且BO=1,OD=3,AO=1,点P在AD上，且满 足CP⊥BD B (1)求证：AO⊥平面BCD; 2)求品的值： (3)若二面角A一BC-D的大小为于，求四面体PABC的体积. 17.(15分) 对任意的正整数n,数列{an}满足nan=(n十2)am+1十2，且a3=6. (1)求a1,a2; (2)证明：{n(n十1)am十n2}是等差数列； (3)设数列{an}的前n项和为Sn,求使Sn≤2n的最小正整数n的值. 数学第3页（共4页） 18.(17分) 已知函数f(x)=sinx十mx(x≥0). (1)若函数f(x)的最大值为0，求m的取值范围； (2)证明：当x≥0时，有sinx-sin3x≥-2x; (3)若对任意x≥0，都有sinx一sin3x≤a.x成立，求实数a的取值范围. 19.(17分) 如图，某研学基地的篱笆墙是由三条满足QoP。⊥P。P3,QP3⊥P。P3的直线段QoP。,P。P3, Q3P3和一条余弦曲线段T构成的平面图形，其基准点P。到标记点P1,P2,P3的距离分别 为：P。P1=2π，P。P2=4π，P。P3=8π.曲线段T上任意一点Q的高度QP满足函数：之(t)= 3cos(年)十20(0≤1≤8x),其中，1为P,到P的距离. :的 Q3 Po P P2 Ps 现将篱笆墙卷曲在下底面中心为O,半径为4、高为23的圆柱侧面上，并使篱笆墙底部线段 P。P3刚好圈在圆柱底面圆周上.记经过Q。,Q1,Q2三点的平面为a. (1)求平面α与圆柱的轴线所成角的正弦值； (2)证明：Q∈平面a,且在平面a内存在两定点A,B,使得QA|十QB为定值； (3)设M,N是篱笆墙卷曲后曲线段T上的两点，求△Q。MN面积的最大值 数学第4页（共4页）