第三章整式及其加减课后培优提升训练2025—2026学年北师大版数学七年级上册

第三章整式及其加减课后培优提升训练北师大版2025—2026学年七年级上册 一、选择题 1．在代数式x2+6，﹣1，x2﹣3x+4，π，，7x3中，整式的个数有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 2．下列各式中，运算正确的是（　　） A．3a2+2a2＝5a4 B．a2+a2＝a4 C．6a﹣5a＝1 D．3a2b﹣4ba2＝﹣a2b 3．已知a﹣b＝﹣3，c+d＝2，则（b+c）﹣（a﹣d）的值为（　　） A．﹣1 B．﹣5 C．5 D．1 4．已知多项式x|m|+（m﹣2）x﹣10是二次三项式，m为常数，则m的值为（　　） A．±2 B．﹣2 C．±3 D．3 5．小文在做多项式减法运算时，将减去2a2+3a﹣5误认为是加上2a2+3a﹣5，求得的答案是a2+a﹣4（其他运算无误），那么正确的结果是（　　） A．﹣a2﹣2a+1 B．3a2+4a﹣9 C．a2+a﹣4 D．﹣3a2﹣5a+6 6．已知关于x的多项式﹣2x3+6x2+9x+1﹣（3ax2﹣5x+3）化简后不含x2项，那么a的值是（　　） A．﹣3 B．3 C．﹣2 D．2 7．将8张长为a，宽为b（a＞b）的小长方形纸片，按图1和图2所示的两种方式放在长方形ABCD内（相邻的小长方形既无重叠，又不留空隙）．图1中两块阴影部分的周长和为C1，图2中阴影部分的周长为C2，若长方形ABCD的长比宽大（a﹣2b），则C1﹣C2的值为（　　） A．2a B．2a+2b C．2b D．3a+2b 8．已知a，b两数在数轴上对应的点的位置如图，则化简式子|b+2|﹣|a﹣2|的结果是（　　） A．a+b B．b﹣a+4 C．b﹣a D．a﹣b 9．若A＝﹣3m2﹣7m+7，B＝﹣4m2﹣7m+5，则A﹣B一定是（　　） A．大于0 B．小于0 C．等于0 D．等于2 10．一个有趣的游戏：首先发给A、B、C三个同学相同数量的扑克牌（假定发到每个同学手中的扑克牌数量为x，且数量足够多），然后依次完成以下三个步骤：第一步，A同学拿出三张扑克牌给B同学；第二步，C同学拿出五张张扑克牌给B同学；第三步，A同学手中此时有多少张扑克牌，B同学就拿出多少张扑克牌给A同学．请你确定，最终B同学手中剩余的扑克牌的张数为（　　） 二、填空题 11．数a，b，c在数轴上的位置如图所示，化简式子|a+b|﹣|c﹣a|+|c﹣b|的结果为 　 　 ． 12．某数学老师在课外活动中做了一个有趣的游戏：首先发给A、B、C三个同学相同数量的扑克牌（假定发到每个同学手中的扑克牌数量足够多），然后依次完成以下三个步骤： 第一步，A同学拿出二张扑克牌给B同学； 第二步，C同学拿出三张扑克牌给B同学； 第三步，A同学手中此时有多少张扑克牌，B同学就拿出多少张扑克牌给A同学． 请你确定，最终B同学手中剩余的扑克牌的张数为 　 　 ． 13．如果单项式﹣2xay4与8x3yb是同类项，那么b﹣a＝　 　 ． 14．多项式4x2﹣3x+7与多项式5x3+（m﹣2）x2﹣2x+3相减后，结果不含x2项，则常数m的值为 　 　 ． 三、解答题 15．先化简，再求值：3（x2﹣2xy）﹣[4x2﹣2y+2（﹣xy+y）]，其中x＝﹣4，y． 16．已知M＝5x2﹣2x﹣1，N＝3x2﹣2x﹣5． （1）求M﹣N； （2）当x＝﹣1时，求3M﹣（2M+3N）的值． 17．已知A＝x2+ax﹣y+b，B＝bx2﹣3x+6y﹣3． （1）当2A﹣B的值与x的取值无关，求a、b的值； （2）在（1）的条件下，求多项式3（a2﹣2ab﹣b2）﹣（3a2+ab+6b2）的值． 18．已知A＝2x2+3xy﹣2x﹣1，． （1）当（x+1）2+|y+2|＝0时，求4A﹣（3A﹣2B）的值； （2）若4A﹣（3A﹣2B）值与x的取值无关，求y的值． 19．【知识回顾】 七年级学习代数式求值时，遇到这样一类题：“代数式ax﹣y+6+3x﹣5y﹣1的值与x的取值无关，求a的值”．通常的解题方法是：把x，y看作字母，a看作系数合并同类项，因为代数式的值与x的取值无关，所以含x项的系数为0，即原式＝（a+3）x﹣6y+5，所以a+3＝0，则a＝﹣3． 【理解应用】 （1）若关于x的多项式（2x﹣3）m+2m2﹣3x的值与x的取值无关，则m的值为 　 ． （2）已知A＝2x2﹣（1﹣3n）x，B＝﹣x2+nx﹣1，且3A+6B的值与x的取值无关，求n的值． 【能力提升】 （3）有7张如图1的小长方形，长为a，宽为b，按照如图2的方式不重叠地放在大长方形ABCD内，大长方形中未被覆盖的两个部分（图中阴影部分），设右上角的面积为S1，左下角的面积为S2，设AB＝x，当AB的长变化时，3S1﹣4S2的值始终保持不变，求a与b的等量关系． 20．定义：多项式A，B，C，如果满足B2﹣A×C＝m，m为常数时，则称多项式A，B，C为一组和谐多项式．其中m是该组和谐多项式的和谐果． 例如：对于多项式A＝x+1，B＝x+3，C＝x+5，因为B2﹣A×C＝（x+3）2﹣（x+1）（x+5）＝4，所以多项式x+1，x+3，x+5是一组和谐多项式，4是该组和谐多项式的和谐果． （1）判断多项式A＝x+3，B＝x﹣6，C＝x﹣15是否为一组和谐多项式？若是，请求出该组和谐多项式的和谐果；若不是，请说明理由； （2）多项式A＝x+a，B＝x+b，C＝x+c（a，b，c是常数）是一组和谐多项式，求a，b，c之间的数量关系； （3）多项式A＝2x+1，B＝4x+5，C＝dx+e（d，e是常数）是一组和谐多项式，请直接写出该组和谐多项式的和谐果m的值． 参考答案 第三章整式及其加减课后培优提升训练北师大版2025—2026学年七年级上册 一、选择题 1．在代数式x2+6，﹣1，x2﹣3x+4，π，，7x3中，整式的个数有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【解答】解：在代数式x2+6，﹣1，x2﹣3x+4，π，，7x3中，其中x2+6，﹣1，x2﹣3x+4，π，7x3是整式，共有5个， 故选：D． 2．下列各式中，运算正确的是（　　） A．3a2+2a2＝5a4 B．a2+a2＝a4 C．6a﹣5a＝1 D．3a2b﹣4ba2＝﹣a2b 【解答】解：A、3a2+2a2＝5a2，故本选项错误； B、a2+a2＝2a2，故本选项错误； C、6a﹣5a＝a，故本选项错误； D、3a2b﹣4ba2＝﹣a2b，故本选项正确； 故选：D． 3．已知a﹣b＝﹣3，c+d＝2，则（b+c）﹣（a﹣d）的值为（　　） A．﹣1 B．﹣5 C．5 D．1 【解答】解：∵a﹣b＝﹣3，c+d＝2， ∴原式＝b+c﹣a+d＝﹣（a﹣b）+（c+d）＝3+2＝5， 故选：C． 4．已知多项式x|m|+（m﹣2）x﹣10是二次三项式，m为常数，则m的值为（　　） A．±2 B．﹣2 C．±3 D．3 【解答】解：根据题意可知，多项式x|m|+（m﹣2）x﹣10是二次三项式， 所以|m|＝2，即m＝±2， 又因为m﹣2≠0， 所以m＝﹣2． 故选：B． 5．小文在做多项式减法运算时，将减去2a2+3a﹣5误认为是加上2a2+3a﹣5，求得的答案是a2+a﹣4（其他运算无误），那么正确的结果是（　　） A．﹣a2﹣2a+1 B．3a2+4a﹣9 C．a2+a﹣4 D．﹣3a2﹣5a+6 【解答】解：设这个整式运算中的被减数为A， 由题意得：A+2a2+3a﹣5＝a2+a﹣4， 则A＝a2+a﹣4﹣2a2﹣3a+5 ＝﹣a2﹣2a+1， 所以正确的结果是A﹣（2a2+3a﹣5） ＝﹣a2﹣2a+1﹣（2a2+3a﹣5） ＝﹣a2﹣2a+1﹣2a2﹣3a+5 ＝﹣3a2﹣5a+6， 故选：D． 6．已知关于x的多项式﹣2x3+6x2+9x+1﹣（3ax2﹣5x+3）化简后不含x2项，那么a的值是（　　） A．﹣3 B．3 C．﹣2 D．2 【解答】解：﹣2x3+6x2+9x+1﹣（3ax2﹣5x+3） ＝﹣2x3+6x2+9x+1﹣3ax2+5x﹣3 ＝﹣2x3+（6﹣3a）x2+14x﹣2， ∵关于x的多项式﹣2x3+6x2+9x+1﹣（3ax2﹣5x+3）的取值不含x2项， ∴6﹣3a＝0， 解得：a＝2． 故选：D． 7．将8张长为a，宽为b（a＞b）的小长方形纸片，按图1和图2所示的两种方式放在长方形ABCD内（相邻的小长方形既无重叠，又不留空隙）．图1中两块阴影部分的周长和为C1，图2中阴影部分的周长为C2，若长方形ABCD的长比宽大（a﹣2b），则C1﹣C2的值为（　　） A．2a B．2a+2b C．2b D．3a+2b 【解答】解：将图1拆成两个长方形，可知，宽为a+5b， 则长为a+5b+a﹣2b＝2a+3b， 根据题意知， C1﹣C2＝2（2a+3b﹣a﹣3b）＝2a． 故选：A． 8．已知a，b两数在数轴上对应的点的位置如图，则化简式子|b+2|﹣|a﹣2|的结果是（　　） A．a+b B．b﹣a+4 C．b﹣a D．a﹣b 【解答】解：由数轴知b＜﹣1＜a＜2，|b|＜|a|， ∴b+2＞0，a﹣2＜0， ∴|b+2|﹣|a﹣2|＝b+2+（a﹣2）＝a+b， 故选：A． 9．若A＝﹣3m2﹣7m+7，B＝﹣4m2﹣7m+5，则A﹣B一定是（　　） A．大于0 B．小于0 C．等于0 D．等于2 【解答】解：∵A＝﹣3m2﹣7m+7，B＝﹣4m2﹣7m+5， ∴A﹣B＝﹣3m2﹣7m+7+4m2+7m﹣5＝m2+2≥2＞0， 则A﹣B一定是大于0． 故选：A． 10．一个有趣的游戏：首先发给A、B、C三个同学相同数量的扑克牌（假定发到每个同学手中的扑克牌数量为x，且数量足够多），然后依次完成以下三个步骤：第一步，A同学拿出三张扑克牌给B同学；第二步，C同学拿出五张张扑克牌给B同学；第三步，A同学手中此时有多少张扑克牌，B同学就拿出多少张扑克牌给A同学．请你确定，最终B同学手中剩余的扑克牌的张数为（　　） A．8 B．11 C．2x﹣8 D．11﹣2x 【解答】解：A、B、C三个同学相同数量的扑克牌，均为x张， 第一步后三人的牌数，A为x﹣3，B为x+3，C为x， 第二步后三人的牌数，A为x﹣3，B为x+3+5，C为x﹣5， 第三步后三人的牌数，A为2（x﹣3），B为x+3+5﹣（x﹣3），C为x﹣5， ∴B同学手中剩余的扑克牌的张数为x+3+5﹣（x﹣3）＝x+3+5﹣x+3＝11， 故选：B． 二、填空题 11．数a，b，c在数轴上的位置如图所示，化简式子|a+b|﹣|c﹣a|+|c﹣b|的结果为 　2a+2b﹣2c　 ． 【解答】解：由数轴得，a＜0＜c＜b，|b|＞|a|， ∴a+b＞0，c﹣a＞0，c﹣b＜0， ∴|a+b|﹣|c﹣a|+|c﹣b| ＝（a+b）﹣（c﹣a）+（b﹣c） ＝a+b﹣c+a+b﹣c ＝2a+2b﹣2c， 故答案为：2a+2b﹣2c． 12．某数学老师在课外活动中做了一个有趣的游戏：首先发给A、B、C三个同学相同数量的扑克牌（假定发到每个同学手中的扑克牌数量足够多），然后依次完成以下三个步骤： 第一步，A同学拿出二张扑克牌给B同学； 第二步，C同学拿出三张扑克牌给B同学； 第三步，A同学手中此时有多少张扑克牌，B同学就拿出多少张扑克牌给A同学． 请你确定，最终B同学手中剩余的扑克牌的张数为 　7　 ． 【解答】解：设每人有牌x张，B同学从A同学处拿来二张扑克牌，又从C同学处拿来三张扑克牌后， 则B同学有（x+2+3）张牌， A同学有（x﹣2）张牌， 那么给A同学后B同学手中剩余的扑克牌的张数为：x+2+3﹣（x﹣2）＝x+5﹣x+2＝7． 故答案为：7． 13．如果单项式﹣2xay4与8x3yb是同类项，那么b﹣a＝　1　 ． 【解答】解：由同类项的定义可知a＝3，b＝4， ∴b﹣a＝4﹣3＝1． 故答案为：1． 14．多项式4x2﹣3x+7与多项式5x3+（m﹣2）x2﹣2x+3相减后，结果不含x2项，则常数m的值为 　6　 ． 【解答】解：（4x2﹣3x+7）﹣[5x3+（m﹣2）x2﹣2x+3] ＝4x2﹣3x+7﹣5x3﹣（m﹣2）x2+2x﹣3 ＝﹣5x3+（﹣m+6）x2﹣x+4， ∵结果不含x2项， ∴﹣m+6＝0， 解得m＝6， 故答案为：6． 三、解答题 15．先化简，再求值：3（x2﹣2xy）﹣[4x2﹣2y+2（﹣xy+y）]，其中x＝﹣4，y． 【解答】解：3（x2﹣2xy）﹣[4x2﹣2y+2（﹣xy+y）] ＝3x2﹣6xy﹣（4x2﹣2y﹣2xy+2y） ＝3x2﹣6xy﹣4x2+2y+2xy﹣2y ＝3x2﹣4x2+2xy﹣6xy+2y﹣2y ＝﹣x2﹣4xy， 当， 原式 ＝﹣16+15 ＝﹣1． 16．已知M＝5x2﹣2x﹣1，N＝3x2﹣2x﹣5． （1）求M﹣N； （2）当x＝﹣1时，求3M﹣（2M+3N）的值． 【解答】解：（1）∵M＝5x2﹣2x﹣1，N＝3x2﹣2x﹣5， ∴M﹣N ＝（5x2﹣2x﹣1）﹣（3x2﹣2x﹣5） ＝5x2﹣2x﹣1﹣3x2+2x+5 ＝5x2﹣3x2+2x﹣2x+5﹣1 ＝2x2+4； （2）3M﹣（2M+3N） ＝3M﹣2M﹣3N ＝M﹣3N ＝5x2﹣2x﹣1﹣3（3x2﹣2x﹣5） ＝5x2﹣2x﹣1﹣9x2+6x+15 ＝5x2﹣9x2+6x﹣2x+15﹣1 ＝﹣4x2+4x+14， 当x＝﹣1时， 3M﹣（2M+3N） ＝﹣4×（﹣1）2+4×（﹣1）+14 ＝﹣4×1﹣4×1+14 ＝﹣4﹣4+14 ＝6． 17．已知A＝x2+ax﹣y+b，B＝bx2﹣3x+6y﹣3． （1）当2A﹣B的值与x的取值无关，求a、b的值； （2）在（1）的条件下，求多项式3（a2﹣2ab﹣b2）﹣（3a2+ab+6b2）的值． 【解答】解：（1）∵A＝x2+ax﹣y+b，B＝bx2﹣3x+6y﹣3， ∴2A﹣B＝2（x2+ax﹣y+b）﹣（bx2﹣3x+6y﹣3） ＝2x2+2ax﹣2y+2b﹣bx2+3x﹣6y+3 ＝（2﹣b）x2+（2a+3）x﹣8y+2b+3， ∵2A﹣B的值与x的取值无关， ∴2﹣b＝0，2a+3＝0， 解得：，b＝2； （2）原式＝3a2﹣6ab﹣3b2﹣3a2﹣ab﹣6b2 ＝（3a2﹣3a2）+（﹣6ab﹣ab）+（﹣3b2﹣6b2） ＝﹣7ab﹣9b2； 当，b＝2时， 原式． 18．已知A＝2x2+3xy﹣2x﹣1，． （1）当（x+1）2+|y+2|＝0时，求4A﹣（3A﹣2B）的值； （2）若4A﹣（3A﹣2B）值与x的取值无关，求y的值． 【解答】解：（1）4A﹣（3A﹣2B）＝4A﹣3A+2B＝A+2B 当A＝2x2+3xy﹣2x﹣1， ； ∵|x+1|+|y+2|＝0， ∴x＝﹣1，y＝﹣2， 当x＝﹣1，y＝﹣2， 原式； （2）因为4A﹣（3A﹣2B）＝4A﹣3A+2B＝A+2B 所以 ， 有条件可知4y﹣2＝0， 所以． 19．【知识回顾】 七年级学习代数式求值时，遇到这样一类题：“代数式ax﹣y+6+3x﹣5y﹣1的值与x的取值无关，求a的值”．通常的解题方法是：把x，y看作字母，a看作系数合并同类项，因为代数式的值与x的取值无关，所以含x项的系数为0，即原式＝（a+3）x﹣6y+5，所以a+3＝0，则a＝﹣3． 【理解应用】 （1）若关于x的多项式（2x﹣3）m+2m2﹣3x的值与x的取值无关，则m的值为 　　 ． （2）已知A＝2x2﹣（1﹣3n）x，B＝﹣x2+nx﹣1，且3A+6B的值与x的取值无关，求n的值． 【能力提升】 （3）有7张如图1的小长方形，长为a，宽为b，按照如图2的方式不重叠地放在大长方形ABCD内，大长方形中未被覆盖的两个部分（图中阴影部分），设右上角的面积为S1，左下角的面积为S2，设AB＝x，当AB的长变化时，3S1﹣4S2的值始终保持不变，求a与b的等量关系． 【解答】解：（1）（2x﹣3）m+2m2﹣3x ＝2mx﹣3m+2m2﹣3x ＝（2m﹣3）x+2m2﹣3m， ∵其值与x的取值无关， ∴2m﹣3＝0， 解得m， 答：当m时，多项式（2x﹣3）m+2m2﹣3x的值与x的取值无关； 故答案为：； （2）3A+6B＝3[2x2﹣（1﹣3n）x]+6（﹣x2+nx﹣1） ＝3（2x2﹣x+3nx）+6（﹣x2+nx﹣1） ＝6x2﹣3x+9nx﹣6x2+6nx﹣6 ＝（﹣3+9n+6n）x﹣6 ＝（15n﹣3）x﹣6， 由条件可知15n﹣3＝0，即n； （3）设AB＝x，由图可知S1＝a（x﹣3b），S2＝2b（x﹣2a）， ∴3S1﹣4S2＝3a（x﹣3b）﹣4×2b（x﹣2a）＝（3a﹣8b）x+7ab， ∵当AB的长变化时，3S1﹣4S2的值始终保持不变． ∴3S1﹣4S2取值与x无关， ∴3a﹣8b＝0， ∴3a＝8b． ∴． 20．定义：多项式A，B，C，如果满足B2﹣A×C＝m，m为常数时，则称多项式A，B，C为一组和谐多项式．其中m是该组和谐多项式的和谐果． 例如：对于多项式A＝x+1，B＝x+3，C＝x+5，因为B2﹣A×C＝（x+3）2﹣（x+1）（x+5）＝4，所以多项式x+1，x+3，x+5是一组和谐多项式，4是该组和谐多项式的和谐果． （1）判断多项式A＝x+3，B＝x﹣6，C＝x﹣15是否为一组和谐多项式？若是，请求出该组和谐多项式的和谐果；若不是，请说明理由； （2）多项式A＝x+a，B＝x+b，C＝x+c（a，b，c是常数）是一组和谐多项式，求a，b，c之间的数量关系； （3）多项式A＝2x+1，B＝4x+5，C＝dx+e（d，e是常数）是一组和谐多项式，请直接写出该组和谐多项式的和谐果m的值． 【解答】解：（1）多项式 A＝x+3，B＝x﹣6，C＝x﹣15 是一组和谐多项式，和谐果为81，理由如下： ∵A＝x+3，B＝x﹣6，C＝x﹣15， ∴B2﹣A×C＝（x﹣6）2﹣（x+3）（x﹣15）＝（x2﹣12x+36）﹣（x2﹣12x﹣45）＝81， ∴多项式 A＝x+3，B＝x﹣6，C＝x﹣15 是一组和谐多项式，和谐果为81； （2）∵A＝x+a，B＝x+b，C＝x+c， ∴B2﹣A×C＝（x+b）2﹣（x+a）（x+c） ＝（x2+2bx+b2）﹣（x2+ax+cx+ac） ＝（2b﹣a﹣c）x+b2﹣ac， ∵多项式 A＝x+a，B＝x+b，C＝x+c（a，b，c是常数）是一组和谐多项式， ∴2b﹣a﹣c＝0； （3）∵A＝2x+1，B＝4x+5，C＝dx+e， ∴B2﹣A×C＝（4x+5）2﹣（2x+1）（dx+e） ＝（16x2+40x+25）﹣（2dx2+2ex+dx+e） ＝（16﹣2d）x2+（40﹣2e﹣d）x+（25﹣e）， ∵多项式A＝2x+1，B＝4x+5，C＝dx+e（d，e是常数）是一组和谐多项式， ∴16﹣2d＝0，40﹣2e﹣d＝0， ∴d＝8，e＝16， ∴25﹣e＝9， ∴和谐果为9． 学科网（北京）股份有限公司 $$