第03讲 三角函数的图象与性质（高效培优讲义）（全国通用）2026年高考数学一轮复习高效培优系列

第03讲 三角函数的图象与性质 目录 考情探究 2 知识梳理 3 探究核心考点 5 考点一 正弦函数的图象与性质 5 考点二 余弦函数的图象与性质 7 考点三 正切函数的图象与性质 9 考点四 函数的图象变换 11 考点五 由图象确定三角函数的解析式 13 考点六 三角函数的应用 15 考点七 三角函数的零点问题 17 考点八 三角函数的最值问题 18 考点九 求的取值范围 19 考点十 三角函数新定义 21 三阶突破训练 23 基础过关 23 能力提升 25 真题感知 26 一、5年真题考点分布 5年考情 考题示例 考点分析 关联考点 2025年新I卷，第4题,5分 正切函数的性质 无 2025年北京卷，第8题,5分 三角函数的图象与性质 辅助角公式 2025年天津卷，第8题,5分 三角函数的图象与性质 无 2024年新I卷，第7题,5分 正弦函数的图象与性质 无 2024年新Ⅱ卷，第6题,5分 三角函数的图象与性质 函数奇偶性 2024年北京卷，第6题,5分 正弦型函数的性质 无 2024年天津卷，第7题,5分 正弦型函数的性质 无 2024年天津卷，第2题,5分 三角函数的性质 函数的奇偶性 2023年上海卷，第15题,5分 正弦函数的性质 无 2023年甲卷，第15题,5分 余弦型函数的图象与性质 三角函数的图象变换 2023年乙卷，第6题,5分 正弦型函数的图象与性质 无 2023年北京卷，第17题,12分 正弦型函数的图象与性质 辅助角公式 二、命题规律及备考策略 【命题规律】本节内容是新高考卷的常考内容，设题稳定，难度中等，分值为5分 【备考策略】1.理解、掌握三角函数的图象与性质，会求解其周期、单调性、对称性等； 2.掌握三角函数的图象变换规律，会求解变换后的函数解析式； 3.能根据给出的部分三角函数图象求出其解析式； 4.有应用意识，能够利用三角函数的性质处理实际问题。 【命题预测】本节内容是新高考卷的必考内容，考核三角函数的性质为主，特别要注意含参的问题，也可能会与三角恒等变换结合考核，难度有所上升。 1 正弦函数，余弦函数的图像与性质 注 表中的 图像 定义域 值域 最值 当 时， ； 当 时， . 当 时， ； 当 时， . 周期性 对称中心 对称轴 单调性 在 上是增函数； 在 上是减函数. 在 上是增函数； 在 上是减函数. 2正切函数的图像与性质 注 表中的 图像 定义域 值域 最值 周期性 对称中心 对称轴 单调性 在 上是增函数 3 对的影响 影响函数的 ，影响函数 ，影响函数 . 4 函数的变换 (1) 平移变换 ① 将图像沿轴向 平移 个单位(左加右减)； ②将图像沿轴向 平移 个单位(上加下减). (2) 伸缩变换 ① 将图像 不变，纵坐标 到原来的 倍(伸长，缩短). ② 将图像 不变，横坐标缩到原来的 倍(缩短，伸长). 考点一 正弦函数的图象与性质 典例1．（多选）（2025·湖北武汉·三模）已知函数，则（   ） A．的最小正周期为 B．在区间上单调递增 C．的一个对称中心为 D．图象上所有的点向左平移个单位长度后关于轴对称 典例2．（2025·江西·模拟预测）定义：闭区间[a，b]的长度为，已知函数同时满足以下3个条件：①在任意一个区间长度为的闭区间内，都不存在，使得；②；③是函数图象的一个对称中心，则实数的最大值为 . 典例3．（2025·河南·模拟预测）如图，是函数的3个相邻的零点，且，则（    ） A． B． C． D． 【总结】 1 理解熟记正弦函数的图象与性质； 2 解题的过程要注意整体思想和数形结合的使用； 3 求的最值或值域，令，由的范围得到的范围，再由正弦函数的性质求得最后的最值或值域，注意t的取值范围。 跟踪训练1．（2025·浙江嘉兴·二模）已知函数的最小正周期为，且，函数为奇函数，则（   ） A． B． C． D． 跟踪训练2．（多选）（2025·福建泉州·模拟预测）已知条件：①函数在单调递增；②函数的图象的相邻两条对称轴之间的距离为；③函数的一个零点为.若函数仅满足上述①②③中的两个，则可以是（   ） A． B． C． D． 跟踪训练3．（2025·浙江嘉兴·二模）已知函数的最小正周期为，且，函数为奇函数，则（   ） A． B． C． D． 跟踪训练4．（2025·天津北辰·三模）记为中的较大值，则关于函数有如下四个命题： ①的最小正周期为； ②的图象关于直线对称； ③的值域为； ④在区间上单调递增. 其中真命题的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 跟踪训练5．（2025·辽宁·三模）函数，其，若对于，都有恒成立，则的取值不可能是（   ） A． B．1 C． D．2 考点二 余弦函数的图象与性质 典例1．（多选）（2025·福建福州·模拟预测）已知函数的图象关于点中心对称，则（   ） A．在区间上单调递增 B．在区间上的最大值为1 C．直线是曲线的对称轴 D．当时，函数的图象恒在函数的图象上方 典例2．（2023·四川绵阳·模拟预测）已知函数在区间上的最小值恰为，则所有满足条件的的积属于区间（    ） A． B． C． D． 典例3．（多选）（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知函数（   ） A．是偶函数 B．最大值为 C．最小值为 D．在有两个零点 【总结】 1 理解熟记余弦函数的图象与性质； 2 解题的过程要注意整体思想和数形结合的使用； 3求的最值或值域，令，由的范围得到的范围，再由余弦函数的性质求得最后的最值或值域，注意t的取值范围。 跟踪训练1．（2025·湖北黄冈·模拟预测）已知函数的最小正周期为，则在上的最大值为（    ） A．1 B． C．2 D．3 跟踪训练2．（多选）（2025·山东枣庄·二模）已知函数的最小正周期为，则（    ） A． B． C．在区间上单调递减 D．的图象关于点对称 跟踪训练3．（2025·山东·二模）对于非空集合，定义函数 ，，若存在，使得，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 跟踪训练4．（2025·山西·模拟预测）已知函数的部分图象如图所示，A，B分别是相邻的最高点与最低点，直线AB的方程为，则（    ） A． B． C． D． 跟踪训练5．（2025·湖北武汉·模拟预测）已知函数的图象如图，点，B在的图象上，过A，B分别作x轴的垂线，垂足分别为C，D，若平行四边形的面积为，则（    ） A． B．1 C． D． 考点三 正切函数的图象与性质 典例1．（2023·河南·模拟预测）已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．为奇函数 B．在区间上单调递增 C．图象的一个对称中心为 D．的最小正周期为π 典例2．（2025·四川成都·二模）已知函数若方程在上恰有4个不同实根，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 典例3．（多选）（24-25高一下·山西·期中）已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．的定义域是 B．是奇函数 C．是的一个周期 D．是曲线的一个对称中心 【总结】 1 理解熟记正切函数的图象与性质，注意正切函数没有对称轴，对称中心是，不是； 2 解题的过程要注意整体思想和数形结合的使用； 跟踪训练1．（2025·广东揭阳·三模）函数的最小正周期是（    ） A． B． C． D． 跟踪训练2．（2025·江苏盐城·模拟预测）若函数的图象与直线的两个相邻交点之间的距离为，且为奇函数，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 跟踪训练3．（2023·陕西安康·一模）设函数的图象的一个对称中心为，则的一个最小正周期是（    ） A． B． C． D． 跟踪训练4．（多选）（2025·湖北·模拟预测）函数与，有个交点，坐标分别为，下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 考点四 函数的图象变换 典例1．（2025·云南红河·模拟预测）将函数的图象纵坐标不变，横坐标缩小为原来的，然后再向左平移个单位长度后，得到的图象关于轴对称，则的值可以为（ ） A． B． C． D． 典例2．（多选）（2025·河南新乡·模拟预测）将函数的图象向左平移个单位长度，然后纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，得到的图象，在下列四个结论不正确的选项是（   ） A．函数在区间上单调递减 B．将图象向右平移个单位后所得到函数图象必关于原点对称 C．点是函数图象的其中一个对称中心 D．若，则的最小正周期是且， 【总结】 1 平移变换 ① 将图像沿轴向左(右)平移个单位(左加右减)； ②将图像沿轴向上(下)平移个单位(上加下减). PS 向左平移个单位，得到的函数不是， 而是. 2 伸缩变换 ① 将图像横坐标不变，纵坐标伸长到原来的倍(伸长，缩短). ② 将图像纵坐标不变，横坐标缩到原来的倍(缩短，伸长)； 问题 怎么理解呢？例：若将图像纵坐标不变，横坐标缩到原来的倍，那得到的函数是呢？ 解析 我们把的图象想象成一条弹簧，若纵坐标不变，横坐标缩到原来的倍，那说明弹簧被压缩了，则周期变小，会变大(与成反比，即变换后的函数应该是. 跟踪训练1．（2025·河北石家庄·三模）将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则函数图象的一个对称中心是（    ） A． B． C． D． 跟踪训练2．（2025·江西新余·模拟预测）已知是函数图象的一条对称轴，则的图象可以由的图象向右平移（    ）个单位长度得到． A． B． C． D． 跟踪训练3．（2025·全国·模拟预测）已知函数在上单调， ，若将曲线向右平移个单位后恰好关于轴对称，则正数的最小值为（    ） A． B． C． D． 考点五 由图象确定三角函数的解析式 典例1．（2025•乌鲁木齐模拟）函数y＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）的部分图象如图所示，，则ω＝（　　） A． B．1 C． D．π 典例2．（2025•红桥区一模）已知函数f（x）＝Asin（ωx+φ）+B（A＞0，ω＞0，|φ|）的部分图像如图所示，则下列正确个数有（　　） （1）f（x）关于点（，3）对称 （2）f（x）关于直线x对称 （3）f（x）在区间[，]上单调递减 （4）f（x）在区间（，）上的值域为（1，3） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【总结】 由函数()的部分图象求解析式的方法 (1) 求：通过函数最值求解，得； (2) 求：根据图象求出周期，再利用求出； (3) 求：求出后代入函数图象一最值点，求出. 跟踪训练1．（2025•玉林模拟）已知f（x）＝Acos（ωx+φ）[A＞0，ω＞0，|φ|，x∈R]的部分图象如图所示，则f（x）的表达式是（　　） A．2cos B．2cos（x） C．2cos（2x） D．2cos（） 跟踪训练2．（2025•黑龙江模拟）函数y＝f（x）的部分图象如图所示，已知，若其解析式为，则（　　） A． B． C．0 D．1 跟踪训练3．（2025•青秀区模拟）在物理学中简谐运动可以用函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜π）来表示，其部分图象如图所示，则下列结论正确的是（　　） A．函数f（x）的图象关于点成中心对称 B．函数f（x）的解析式可以为 C．函数f（x）在[0，π]上的值域为[0，2] D．若把f（x）图象上所有点向右平移个单位，则所得函数是 考点六 三角函数的应用 典例1．（2024·浙江·一模）古代农耕常用水车作为灌溉引水的工具，是人类的一项古老的发明，也是人类改造自然的成果之一.如图是一个半径为的水车，以水车的中心为原点，过水车的中心且平行于水平面的直线为轴，建立平面直角坐标系，一个水斗从点出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时60秒.经过秒后，水斗旋转到点，设点的坐标为，其纵坐标满足，当秒时，（    ）    A． B． C． D．4 典例2．（2025·上海金山·二模）如图，现对某景区一长，宽的矩形空地进行建设.规划在边上分别取点修建人行步道（不考虑宽度），且满足点关于步道的对称点在边上.在内种植花卉，在内搭建娱乐设施，其余区域规划为露营区，则人行步道的最短距离为 .（结果精确到） 【总结】 1 对于三角函数在生活或物理中的应用中，求三角函数解析式时根据题意求出最值和周期，再通过某个时刻的取值求出最后解析式； 2 在几何的最值中，用代数法求解时引入某个角作为参数，要思考好到底哪个角适合。 跟踪训练1．（2025·陕西榆林·模拟预测）交流电的瞬时值随时间周期性变化，正负号表示电流方向的交替变化.电流强度（安）随时间（秒）变化的函数的图象如图所示，则当秒时，电流强度是（    ） A．安 B．5安 C．安 D．安 跟踪训练2．（2023·陕西咸阳·二模）如图，正方形的边长为1，、分别是边、边上的点，那么当的周长为2时，（    ） A． B． C． D． 跟踪训练3．（2025·上海松江·三模）如图，某水库有一个半径为1百米的半圆形小岛，其圆心为且直径平行坝面.坝面上点满足，且长度为3百米，为便于游客到小岛观光，打算从点到小岛修建三段栈道、与，在半圆小岛上再修建栈道、以及，水面上的点在线段上，且、均与圆相切，切点分别为、，其中栈道、、和小岛在同一个平面上.设，则需要修建的栈道总长度的最小值为 百米. 考点七 三角函数的零点问题 典例1．（2025•华安县模拟）设函数，若f（x）在[0，5π]内恰有3个零点，则φ的取值不可以为（　　） A．0 B． C． D． 典例2．（2025•宝安区模拟）已知a∈R，函数在区间上有且仅有两个零点x1，x2，则cos（x1﹣x2）﹣3a的最小值为（　　） A． B． C．﹣2 D． 【总结】 1 直接求某个具体函数的零点个数或方程的解个数，先把函数解析式或方程通过三角恒等变换的方法进行化简； 2 零点存在性问题，需要数形结合，结合周期性单调性进行分析。 跟踪训练1．（2025•鞍山模拟）已知函数f（x）＝cos2x﹣cosx，则函数f（x）在区间[0，2π]上的零点个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 跟踪训练2．（2025•辽宁模拟）设ω＞0，已知函数f（x）＝sin（ωsinx）在区间（0，π）内恰有2025个零点，则ω＝（　　） A．1010π B．1011π C．1012π D．1013π 跟踪训练3．（2025•安徽模拟）下列函数中，同时具有性质：①最小正周期为；②在区间单调递增；③在[0，π]有3个零点的一个函数f（x）是（　　） A．f（x）＝sin|3x| B． C． D． 考点八 三角函数的最值问题 典例1．（2025•西安模拟）已知函数，其最小正周期为，将f（x）的图象向左平移个单位长度后得到g（x）的图象，g（x）的图象关于点对称，则当时，f（x）的最大值为（　　） A．1 B．2 C． D． 典例2．（2025•宁德三模）若函数在区间[a，a+1]上的最小值为m，最大值为M，则（　　） A． B． C． D． 【总结】 1 求函数的最值时，往往把函数解析式通过三角恒等变换转化为的形式再求解，求解过程中往往用到换元法，此时要注意新变量的取值范围； 2 最值存在性问题，需要数形结合分析，同时结合三角函数的周期和单调性进行分析。 跟踪训练1．（2025•苏州模拟）已知函数f（x）＝2cos2ωx+sin2ωx﹣1（ω＞0）的图象关于直线对称，且f（x）在上有最大值没有最小值，则ω的值为（　　） A． B． C． D． 跟踪训练2．（2025•江西模拟）已知函数是偶函数，则g（x）＝sinx•sin（x+4θ）的最大值为（　　） A． B． C．1 D． 跟踪训练3．（2025•河南模拟）已知A＞0，ω＞0，函数f（x）＝Asinωx的图象与函数的图象相邻的三个交点分别为B，C，D，若△BCD是边长为12的等边三角形，则函数F（x）＝f（x）+g（x）的最大值为（　　） A．6 B． C．12 D． 跟踪训练4．（2024•龙凤区校级模拟）设，将f（x）的图像向右平移个单位，得到g（x）的图像，设h（x）＝f（x）+g（x），，则h（x）的最大值为（　　） A． B． C． D． 考点九 求的取值范围 典例1．（2024•青羊区校级模拟）已知函数的值域是[a，b]，则下列命题错误的是（　　） A．若，则ω不存在最大值 B．若，则ω的最小值是 C．若，则ω的最小值是 D．若，则ω的最小值是 典例2．（2025•李沧区一模）已知函数为f（x）的零点，为y＝f（x）图象的对称轴，且f（x）在（，）单调，则ω的最大值为（　　） A．11 B．9 C．7 D．5 【总结】 1 函数的最小正周期是，所以; 2 已知函数在上单调递增（或递减），求的取值范围 第一步：根据题意可知区间的长度不大于该函数最小正周期的一半； 第二步：以单调递增为例，利用，解得的范围， 第三步：结合第一步求出的的范围对进行赋值，从而求出的取值范围。 3题中含有k个对称轴或对称中心，结合三角函数图象分析出取到k个和k+1个对称轴（或对称中心）时的图象，从而得到关于的不等式。 4 结合零点个数求范围时，对于区间长度的定值的动区间，若区间上至少含有k个零点，需要确定含有k 个零点的区间长度，一般和周期相关，若在区间至多含有k个零点，需要确定含有k+1个零点的区间长度 的最小值。 跟踪训练1．（2025•青山湖区校级模拟）已知关于x的方程在（0，π）内恰有3个不相等的实数根，则ω的取值范围是（　　） A． B． C． D． 跟踪训练2．（2025•长沙校级一模）将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数g（x）的图象，若函数g（x）在区间上单调递减，则ω的最大值为（　　） A．6 B．5 C．3 D．2 跟踪训练3．（2025•牡丹江校级模拟）已知函数，为f（x）的零点，为y＝f（x）图象的对称轴，且f（x）在上单调，则ω的最大值为（　　） A．10 B．12 C．14 D．18 跟踪训练4．（2025•青秀区模拟）已知函数在区间上单调递增且存在零点，则ω的取值范围是（　　） A． B． C． D．[5，6] 考点十 三角函数新定义 典例1．．（2025·陕西咸阳·模拟预测）音乐喷泉曲线形似藤蔓上挂结的葫芦，也可称为“葫芦曲线”.它的性质是每经过相同的时间间隔，它的振幅就变化一次.如图所示，某条葫芦曲线的方程为，其中表示不超过的最大整数，如且，且经过点，则该条葫芦曲线与直线交点的纵坐标为（    ） A． B． C． D． 典例2．（多选）（2025·河南许昌·三模）如图，点是以为顶点的正方形边上的动点，角以Ox为始边，OP为终边，定义．则（    ） A． B． C．函数的图象关于点对称 D．函数的图象与轴围成封闭图形的面积为 跟踪训练1．（2025·浙江·二模）古人把正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数、正割函数、余割函数、正矢函数、余矢函数这八种三角函数的函数线合称为八线.其中余切函数，正割函数，余割函数，正矢函数，余矢函数.如图角始边为轴的非负半轴，其终边与单位圆交点，、分别是单位圆与轴和轴正半轴的交点，过点作垂直轴，作垂直轴，垂足分别为、，过点作轴的垂线，过点作轴的垂线分别交的终边于、，其中、、、为有向线段，下列表示正确的是（    ）    A． B． C． D． 跟踪训练2．（2025·安徽合肥·模拟预测）如图所示，在平面直角坐标系中，的终边与正方形交于点，我们定义的类余弦值，类正弦值.则下面叙述正确的是（    ） A．对任意的 B．对任意的 C．在区间上单调递增 D．对任意的 跟踪训练3．（2025·上海浦东新·三模）著名数学家傅立叶认为所有的乐声都能用一些形如的正弦型函数之和来描述，其中频率最低的一项是基本音，其余的为泛音．研究表明，所有泛音的频率都是基本音频率的整数倍，称为基本音的谐波．若对应于的泛音是对应于的基本音的一个谐波，则正整数的所有可能取值之和为 1（2025·山东青岛·三模）已知函数的图象关于点中心对称，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 2（2025·江苏扬州·三模）当时，曲线与的交点个数为（   ） A．3 B．4 C．6 D．8 3（2025·湖北武汉·模拟预测）将函数的图象向左平移个单位，得到函数的图象，若为奇函数，则的最小值是（    ） A． B．1 C．2 D． 4（2025·甘肃定西·模拟预测）若函数在区间上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5（2025·广东广州·三模）已知函数的部分图象如图所示，若A，B，C是直线与函数图象的从左至右相邻的三个交点，且，则（    ） A．1 B． C． D． 6（2025·上海闵行·二模）已知函数在区间上既有最大值1又有最小值，则关于实数的取值，以下不可能的是（   ）． A．2024 B．2025 C．2026 D．2027 7（2025·甘肃白银·模拟预测）如图，将函数的图象向左平移得到的图象，其中点A是图象上的最高点，分别是，的图象与x轴的相邻交点（如图所示），若，的面积为10，则（    ） A． B． C． D． 8（2025·黑龙江大庆·模拟预测）已知分别是轴正半轴上的两个动点，且，如图，以为边构造正方形，分别过点向轴做垂线，垂足依次为，当点由向左运动到原点的过程中，四边形面积的变化趋势可能为（    ） A． B． C． D． 9（多选）（2025·河北廊坊·模拟预测）“早潮才落晚潮来，一月周流六十回”，潮汐现象是海水受日月的引力而引起的周期性涨落现象，观察发现某港口的潮汐涨落规律为（其中（单位）为港口水深，（单位）为时间，）.若某轮船当水深大于时可以进出港口，根据表格中的观测数据，下列说法正确的是（    ） 时间 1 4 7 10 13 16 19 22 水深 11 12.5 14 12.5 11 12.5 14 12.5 A． B． C．该轮船9点可以进出港口 D．该轮船从0点到12点，在港口可停留的时间最长不超过4小时 10（多选）（2025·安徽合肥·模拟预测）对于函数和，下列正确的有（    ） A．与有相同零点 B．与有相同最大值 C．与有相同的最小正周期 D．与的图象有相同的对称轴 11（多选）（2025·江西·二模）在平面直角坐标系中，曲线C 由函数 和 的图象构成，则（    ） A．C关于直线 对称 B．C关于点 对称 C．直线被C 截得的线段长的最大值为 D．C围成的图形的面积大于 1（2025·福建宁德·三模）若函数在区间上的最小值为，最大值为，则（    ） A． B． C． D． 2（2025·天津红桥·模拟预测）设，函数，若函数在区间内恰有6个零点，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3（多选）（2025·四川成都·模拟预测）函数的图象向右平移个单位得到函数的图象，则下列说法正确的是（   ） A． B． C．当时， D．若，且，则 4（多选）（2025·浙江·二模）已知函数，则下列正确的是（    ） A．是的一个周期 B．的图象关于点对称 C．的图象关于直线对称 D．在区间上单调递减 5（多选）（2025·河北·模拟预测）已知函数，且．则（   ） A．当时， B．当时， C．当时，或 D．当时，或 6（多选）（2025·吉林·三模）已知函数，则下列说法正确的是（   ） A．的周期为 B．的图象关于对称 C．在上恰有3个零点 D．若在上单调递增，则的最大值为 7（2025·北京海淀·一模）如图所示，某游乐场有一款游乐设施，该设施由转轮和转轮组成，的圆心固定在转轮上的点处，某个座椅固定在转轮上的点处．的半径为10米，的半径为5米，的圆心距离地面竖直高度为20米．游乐设施运行过程中，与分别绕各自的圆心逆时针方向匀速旋转，旋转一周用时分钟，旋转一周用时分钟．当在正下方且在正下方时，开始计时，设在第分钟距离地面的竖直高度为米．给出下列四个结论： ①； ②最大值是35； ③在竖直方向上的速度大小低于40米/分钟； ④存在，使得时到的距离等于15米． 其中所有正确结论的序号为 ． 8（2023·山东潍坊·模拟预测）如图，一个直角走廊的宽分别为a，b，一铁棒与廊壁成θ角，该铁棒欲通过该直角走廊，则铁棒的长度L= （用含θ的表达式表示）；当a=b=2 m时，能够通过这个直角走的铁的长的最大值为 . 1（2025·全国一卷·高考真题）若点是函数的图像的一个对称中心，则a的最小值为（   ） A． B． C． D． 2（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）当时，曲线与的交点个数为（    ） A．3 B．4 C．6 D．8 3（2024·北京·高考真题）设函数.已知，，且的最小值为，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 4（2024·天津·高考真题）已知函数的最小正周期为．则在区间上的最小值是（   ） A． B． C．0 D． 5（2024·天津·高考真题）下列函数是偶函数的为（   ） A． B． C． D． 6（2025·北京·高考真题）设函数，若恒成立，且在上存在零点，则的最小值为（   ） A．8 B．6 C．4 D．3 7（2025·天津·高考真题），在上单调递增，且为它的一条对称轴，是它的一个对称中心，当时，的最小值为（   ） A． B． C．1 D．0 8（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）设函数，，当时，曲线与恰有一个交点，则（    ） A． B． C．1 D．2 9（2023·上海·高考真题）已知，函数在区间上最小值为，在区间上的最小值为变化时，下列不可能的是（    ） A．且 B．且 C．且 D．且 10（2023·全国甲卷·高考真题）函数的图象由函数的图象向左平移个单位长度得到，则的图象与直线的交点个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 11（2023·全国乙卷·高考真题）已知函数在区间单调递增，直线和为函数的图像的两条相邻对称轴，则（    ） A． B． C． D． 12（2023·北京·高考真题）设函数． (1)若，求的值． (2)已知在区间上单调递增，，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数存在，求的值． 条件①：； 条件②：； 条件③：在区间上单调递减． 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 2 / 25 学科网（北京）股份有限公司 $ 第03讲 三角函数的图象与性质 目录 考情探究 2 知识梳理 3 探究核心考点 5 考点一 正弦函数的图象与性质 5 考点二 余弦函数的图象与性质 10 考点三 正切函数的图象与性质 15 考点四 函数的图象变换 19 考点五 由图象确定三角函数的解析式 22 考点六 三角函数的应用 27 考点七 三角函数的零点问题 31 考点八 三角函数的最值问题 34 考点九 求的取值范围 39 考点十 三角函数新定义 43 三阶突破训练 47 基础过关 47 能力提升 54 真题感知 62 一、5年真题考点分布 5年考情 考题示例 考点分析 关联考点 2025年新I卷，第4题,5分 正切函数的性质 无 2025年北京卷，第8题,5分 三角函数的图象与性质 辅助角公式 2025年天津卷，第8题,5分 三角函数的图象与性质 无 2024年新I卷，第7题,5分 正弦函数的图象与性质 无 2024年新Ⅱ卷，第6题,5分 三角函数的图象与性质 函数奇偶性 2024年北京卷，第6题,5分 正弦型函数的性质 无 2024年天津卷，第7题,5分 正弦型函数的性质 无 2024年天津卷，第2题,5分 三角函数的性质 函数的奇偶性 2023年上海卷，第15题,5分 正弦函数的性质 无 2023年甲卷，第15题,5分 余弦型函数的图象与性质 三角函数的图象变换 2023年乙卷，第6题,5分 正弦型函数的图象与性质 无 2023年北京卷，第17题,12分 正弦型函数的图象与性质 辅助角公式 二、命题规律及备考策略 【命题规律】本节内容是新高考卷的常考内容，设题稳定，难度中等，分值为5分 【备考策略】1.理解、掌握三角函数的图象与性质，会求解其周期、单调性、对称性等； 2.掌握三角函数的图象变换规律，会求解变换后的函数解析式； 3.能根据给出的部分三角函数图象求出其解析式； 4.有应用意识，能够利用三角函数的性质处理实际问题。 【命题预测】本节内容是新高考卷的必考内容，考核三角函数的性质为主，特别要注意含参的问题，也可能会与三角恒等变换结合考核，难度有所上升。 1 正弦函数，余弦函数的图像与性质 注 表中的 图像 定义域 值域 最值 当 时， 1； 当 时， . 当 时， 1； 当 时， . 周期性 对称中心 对称轴 单调性 在 上是增函数； 在 上是减函数. 在 上是增函数； 在 上是减函数. 2正切函数的图像与性质 注 表中的 图像 定义域 值域 最值 既无最大值也无最小值 周期性 对称中心 对称轴 无对称轴 单调性 在 上是增函数 3 对的影响 影响函数的最值，影响函数周期()，影响函数水平位置. 4 函数的变换 (1) 平移变换 ① 将图像沿轴向左(右)平移个单位(左加右减)； ②将图像沿轴向上(下)平移个单位(上加下减). (2) 伸缩变换 ① 将图像横坐标不变，纵坐标伸长到原来的倍(伸长，缩短). ② 将图像纵坐标不变，横坐标缩到原来的倍(缩短，伸长). 考点一 正弦函数的图象与性质 典例1．（多选）（2025·湖北武汉·三模）已知函数，则（   ） A．的最小正周期为 B．在区间上单调递增 C．的一个对称中心为 D．图象上所有的点向左平移个单位长度后关于轴对称 【答案】ABC 【分析】由周期公式可判断A，通过代入可判断B，通过整体代入可判断C，通过平移结合诱导公式可判断D. 【详解】对于A，由周期公式可得最小正周期为，正确， 对于B，由，则，由正弦函数的单调性可知在区间上单调递增，正确； 对于C，当时，，正确； 对于D，图象上所有的点向左平移个单位长度后，得到，显然图像关于轴不对称，错误， 故选：ABC 典例2．（2025·江西·模拟预测）定义：闭区间[a，b]的长度为，已知函数同时满足以下3个条件：①在任意一个区间长度为的闭区间内，都不存在，使得；②；③是函数图象的一个对称中心，则实数的最大值为 . 【答案】 【分析】利用①得出，解得.数形结合，利用②中分析出取得最小值时所在的位置，最后利用③中解出的值,求出 【详解】当时，说明与一个取最小值，一个取最大值， 而要想在一个闭区间内能同时取得最小值和最大值，闭区间最少要为半个周期， 因此，若闭区间的长度小于半个周期，则一定不能同时取得最小值和最大值，所以，解得， 所以.不妨设，如图所示：    依次讨论对应为点C，A，D，E四种情况，且， 若对应为点（或点之后），则，即，不合题意； 若求的最大值，即的最小值，即与之间相位跨度最大， 若对应为点，则直线为图象的对称轴， 又是函数图象的一个对称中心，且， 则，解得，则. 所以取值的最大值为. 故答案为：. 典例3．（2025·河南·模拟预测）如图，是函数的3个相邻的零点，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】令，则为的解，结合正弦函数的性质可求，故可求的值. 【详解】的零点即为的解， 令，则为的解， 也就是与的某相邻三个交点的横坐标， 由得，故， 由正弦函数的性质可得，，故. 又，故. 由，得，故 故选：C. 【总结】 1 理解熟记正弦函数的图象与性质； 2 解题的过程要注意整体思想和数形结合的使用； 3 求的最值或值域，令，由的范围得到的范围，再由正弦函数的性质求得最后的最值或值域，注意t的取值范围。 跟踪训练1．（2025·浙江嘉兴·二模）已知函数的最小正周期为，且，函数为奇函数，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用周期可得，再利用奇函数的性质求出，进而求出函数值. 【详解】依题意，，由为奇函数， 得，且，解得， 由，得，解得，因此，， 所以. 故选：B 跟踪训练2．（多选）（2025·福建泉州·模拟预测）已知条件：①函数在单调递增；②函数的图象的相邻两条对称轴之间的距离为；③函数的一个零点为.若函数仅满足上述①②③中的两个，则可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】对每个选项中的函数，结合正弦型函数的基本性质逐个验证①②③即可.C 【详解】对于A选项，若，当时，， 此时函数在上不单调，①不满足， 函数的最小正周期为，则函数的图象的相邻两条对称轴之间的距离为，②不满足， 因为，即函数的一个零点为，③满足，故A不合乎要求； 对于B选项，若，当时，， 此时，函数在上单调递增，①满足， 函数的最小正周期为为，函数的图象的相邻两条对称轴之间的距离为，②不满足， 因为，即函数的一个零点为，③满足，故B合乎要求； 对于C选项，若，当时，， 此时，函数在上单调递减，①不满足， 函数的最小正周期为，函数的图象的相邻两条对称轴之间的距离为，②满足， 因为，即函数的一个零点为，③满足，故C合乎要求； 对于D选项，若，当时，， 此时，函数在上单调递增，①满足， 函数的最小正周期为，函数的图象的相邻两条对称轴之间的距离为，②满足， 因为，即函数的一个零点为，③满足，故D不合乎要求. 故选：BC. 跟踪训练3．（2025·浙江嘉兴·二模）已知函数的最小正周期为，且，函数为奇函数，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用周期可得，再利用奇函数的性质求出，进而求出函数值. 【详解】依题意，，由为奇函数， 得，且，解得， 由，得，解得，因此，， 所以. 故选：B 跟踪训练4．（2025·天津北辰·三模）记为中的较大值，则关于函数有如下四个命题： ①的最小正周期为； ②的图象关于直线对称； ③的值域为； ④在区间上单调递增. 其中真命题的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】利用辅助角公式化简函数，画出函数的图象，利用图象判断各个命题. 【详解】设，， 则， 函数的图象如下所示： 对于①，由图知，函数的最小正周期为，①正确； 对于②，由图知，为函数的对称轴，②正确； 对于③，，由图知，函数的值域为，③错误； 对于④，由图知，函数在区间上单调递减，④错误. 所以真命题的个数为2个. 故选：B 跟踪训练5．（2025·辽宁·三模）函数，其，若对于，都有恒成立，则的取值不可能是（   ） A． B．1 C． D．2 【答案】C 【分析】根据给定条件，可得在上单调，借助函数图象的对称轴建立不等式求出范围即可. 【详解】依题意，函数在上单调，函数图象对称轴为， ，解得， 由，解得，又，则或， 所以或，的取值不可能是. 故选：C 考点二 余弦函数的图象与性质 典例1．（多选）（2025·福建福州·模拟预测）已知函数的图象关于点中心对称，则（   ） A．在区间上单调递增 B．在区间上的最大值为1 C．直线是曲线的对称轴 D．当时，函数的图象恒在函数的图象上方 【答案】BD 【分析】先根据对称中心求出函数解析式，结合选项余弦函数的单调性及值域对称轴逐个验证即可. 【详解】因为的图象关于点对称，所以，即，； 因为，所以，即. 令，由可得， 因为，所以函数在区间上不是单调函数，故A不正确； 令，由可得，所以， 所以当，故B正确， ，所以函数的图象关于点对称，直线不是曲线的对称轴，故C不正确； 当时，函数，，； 当时，函数， 所以，函数的图象恒在函数的图象上方，故D正确. 故选：BD. 典例2．（2023·四川绵阳·模拟预测）已知函数在区间上的最小值恰为，则所有满足条件的的积属于区间（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数能否取到最小值进行分类讨论即可. 【详解】当时，因为此时的最小值为， 所以，即. 若，此时能取到最小值，即， 代入可得，满足要求； 若取不到最小值，则需满足，即， 在上单调递减，所以存在唯一符合题意； 所以或者，所以所有满足条件的的积属于区间， 故选：C 典例3．（多选）（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知函数（   ） A．是偶函数 B．最大值为 C．最小值为 D．在有两个零点 【答案】ABC 【分析】利用奇偶性的定义，即可判断A选项；分，，三种情况论可求得函数的值域判断CD，结合前面分类讨论和作出示意图可判断D． 【详解】对于A，，是偶函数，故A正确； 当时，， 因为，所以，所以， 所以， 当时，， 因为，所以，所以， 所以，， 又时，， 因为，所以，所以， 所以， 又时，， 所以当时，是以为周期的周期函数，又是偶函数， 所以函数的值域为，故BC正确； 当时，， 因为，所以，所以， 所以， 当时，， 因为，所以，得， 所以时，， 作出函数在的图象的示意如图所示， 故函数在有没有零点，故D错误. 故选：ABC. 【总结】 1 理解熟记余弦函数的图象与性质； 2 解题的过程要注意整体思想和数形结合的使用； 3求的最值或值域，令，由的范围得到的范围，再由余弦函数的性质求得最后的最值或值域，注意t的取值范围。 跟踪训练1．（2025·湖北黄冈·模拟预测）已知函数的最小正周期为，则在上的最大值为（    ） A．1 B． C．2 D．3 【答案】D 【分析】由周期公式求得，然后由换元法即可求解. 【详解】由题意，解得，， 所以的最大值为3. 故选：D. 跟踪训练2．（多选）（2025·山东枣庄·二模）已知函数的最小正周期为，则（    ） A． B． C．在区间上单调递减 D．的图象关于点对称 【答案】ACD 【分析】由同角三角函数的关系及正余弦二倍角公式得到，进而逐项判断即可. 【详解】. 因为的最小正周期为，所以，解得，故A正确； .因为，所以.而，故B错误； 当时，单调递减，故C正确； 令，得.令，可得图象的一个对称中心为点，故D正确. 故选：ACD 跟踪训练3．（2025·山东·二模）对于非空集合，定义函数 ，，若存在，使得，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先由余弦函数的性质求解集合，再根据题意得，则，再讨论的情况即可． 【详解】由得，，故， 因为，所以， 所以， 因为集合补集中一段区间的长为， 所以当时，一定成立， 当时，时，有， 解得，所以满足的范围是， 综上所述，， 故选：B． 跟踪训练4．（2025·山西·模拟预测）已知函数的部分图象如图所示，A，B分别是相邻的最高点与最低点，直线AB的方程为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意可得的坐标，即可得到函数周期，从而可得，再将点的坐标代入，即可得到. 【详解】因为是最高点，所以，将代入直线方程，可得， 所以， 因为是最低点，所以，将代入直线方程，可得， 所以， 则，则， 所以， 将代入，可得， 即，所以，解得， 又，当时，， 所以. 故选：B 跟踪训练5．（2025·湖北武汉·模拟预测）已知函数的图象如图，点，B在的图象上，过A，B分别作x轴的垂线，垂足分别为C，D，若平行四边形的面积为，则（    ） A． B．1 C． D． 【答案】D 【分析】由条件求，，由此确定函数的周期，列方程确定，再求结论. 【详解】由四边形为平行四边形，点，， 得，， 由平行四边形的面积为，得，解得， 由函数图象的对称性得函数的周期为，又，则， 由，得，即， 而图象在点处是上升的，则，，，， 又，则，因此， 所以 故选：D. 考点三 正切函数的图象与性质 典例1．（2023·河南·模拟预测）已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．为奇函数 B．在区间上单调递增 C．图象的一个对称中心为 D．的最小正周期为π 【答案】C 【分析】根据正切函数的定义域、对称中心、周期、单调性逐项判断即可得解. 【详解】因为，所以，解得， 即函数的定义域不关于原点对称，所以不是奇函数，故A错误； 当时，，此时无意义，故在区间上单调递增不正确，故B错误； 当时，，正切函数无意义，故为函数的一个对称中心，故C正确； 因为，故是函数的一个周期，故D错误. 故选：C 典例2．（2025·四川成都·二模）已知函数若方程在上恰有4个不同实根，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】解出方程的根，然后结合根的个数列不等式求解即可. 【详解】因为函数 所以当时，方程可化为，解得， 则当时， 当时，方程可化为， 解得， 则当时， 因为方程在上恰有4个不同实根， 所以这4个不同实根为，则. 故选：A 典例3．（多选）（24-25高一下·山西·期中）已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．的定义域是 B．是奇函数 C．是的一个周期 D．是曲线的一个对称中心 【答案】BCD 【分析】由函数的解析式有意义，结合有定义，求得函数的定义域，可得判定A错误；根据函数的奇偶性的判定方法，可判定B正确；求得，可判定C正确；求得，可判定D正确． 【详解】对于A中，由有定义，可得， 又由，可得，即， 所以函数的定义域是，且，所以A错误； 对于B中，因为，所以，即， 又因为定义域关于原点对称，所以是奇函数，所以B正确； 对于C中，由，即， 所以是的一个周期，所以C正确； 对于D中，函数的定义域关于点对称， 又由，可得， 即，所以曲线关于点中心对称，所以D正确． 故选：BCD． 【总结】 1 理解熟记正切函数的图象与性质，注意正切函数没有对称轴，对称中心是，不是； 2 解题的过程要注意整体思想和数形结合的使用； 跟踪训练1．（2025·广东揭阳·三模）函数的最小正周期是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合正切函数的图象求解即可. 【详解】因为函数的周期与的最小正周期一致，均为， 所以函数的最小正周期为. 故选：B. 跟踪训练2．（2025·江苏盐城·模拟预测）若函数的图象与直线的两个相邻交点之间的距离为，且为奇函数，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】依题意可得的最小正周期，即可求出，从而表示出的解析式，再根据其奇偶性求出． 【详解】因为函数的图象与直线的两个相邻交点之间的距离为， 所以的最小正周期，又，所以， 所以，则，又为奇函数且， 所以，所以， 所以的最小值为． 故选：B． 跟踪训练3．（2023·陕西安康·一模）设函数的图象的一个对称中心为，则的一个最小正周期是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由正切函数的对称中心得到，，再对各选项逐一检验分析即可. 【详解】根据题意得，，则， 又，则，， 对于A，若是的最小正周期，则，得，与矛盾，故A错误； 对于B，由得，满足条件，故B正确； 对于C，由得，与矛盾，故C错误； 对于D，由得，与矛盾，故D错误. 故选：B. 跟踪训练4．（多选）（2025·湖北·模拟预测）函数与，有个交点，坐标分别为，下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据同角三角函数基本关系解方程可判断A，利用正切函数与余弦函数图象可判断BCD. 【详解】因为，∴，故A正确； 作出函数与图象， 通过两个函数的图像可以得到图象有4个交点，故B选项正确； 且4个点两两关于点对称，所以， ，因此D选项正确，C选项错误. 故选：ABD 考点四 函数的图象变换 典例1．（2025·云南红河·模拟预测）将函数的图象纵坐标不变，横坐标缩小为原来的，然后再向左平移个单位长度后，得到的图象关于轴对称，则的值可以为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先根据变换规律得到图象变换后的函数解析式，再结合偶函数的特征，列式求解. 【详解】将图象纵坐标不变，横坐标缩小为原来倍，得 然后再向左平移个单位长度后，得， 又因为的图象关于轴对称，所以 ， 所以 ，当时，. 故选：B. 典例2．（多选）（2025·河南新乡·模拟预测）将函数的图象向左平移个单位长度，然后纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，得到的图象，在下列四个结论不正确的选项是（   ） A．函数在区间上单调递减 B．将图象向右平移个单位后所得到函数图象必关于原点对称 C．点是函数图象的其中一个对称中心 D．若，则的最小正周期是且， 【答案】BCD 【分析】首先求出函数图象变化后的的解析式，然后根据余弦函数的单调性、对称中心、最小正周期等性质对每个选项逐一计算判断. 【详解】将的图像向左平移个单位长度可得到图象， 然后纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍得. 对于选项A： ，则，根据复合函数单调性判定法则知， 函数在区间上单调递减，于是A选项正确； 对于选项B： 将图象向右平移个单位后所得到函数解析式为 ， 因为该函数为偶函数，其图象关于轴对称，于是B选项错误； 对于选项C： 令，解得，取，；，， 故不是图象的对称中心，故C选项错误； 对于选项D： 记，最小正周期为. 而的最小正周期为，二者的最小正周期最小公倍数为， 的最小正周期为，且，于是选项D错误. 综上所述，本题错误的选项为BCD. 故选：BCD. 【总结】 1 平移变换 ① 将图像沿轴向左(右)平移个单位(左加右减)； ②将图像沿轴向上(下)平移个单位(上加下减). PS 向左平移个单位，得到的函数不是， 而是. 2 伸缩变换 ① 将图像横坐标不变，纵坐标伸长到原来的倍(伸长，缩短). ② 将图像纵坐标不变，横坐标缩到原来的倍(缩短，伸长)； 问题 怎么理解呢？例：若将图像纵坐标不变，横坐标缩到原来的倍，那得到的函数是呢？ 解析 我们把的图象想象成一条弹簧，若纵坐标不变，横坐标缩到原来的倍，那说明弹簧被压缩了，则周期变小，会变大(与成反比，即变换后的函数应该是. 跟踪训练1．（2025·河北石家庄·三模）将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则函数图象的一个对称中心是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据乳香的平移变换可得函数的解析式，利用整体代换法即可求解函数图象的对称中心. 【详解】由题知. 令，解得，∴函数图象的对称中心. ∴当时，为函数图象的一个对称中心. 故选：A. 跟踪训练2．（2025·江西新余·模拟预测）已知是函数图象的一条对称轴，则的图象可以由的图象向右平移（    ）个单位长度得到． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意求出，再由诱导公式将的函数名变成与的函数名一致，再由平移变换求解即可. 【详解】由题可知，解得， 因为，所以时，， 所以， 因为， 设向右平移个单位得到， 则， 所以， 故，取得到， 故选：D． 跟踪训练3．（2025·全国·模拟预测）已知函数在上单调， ，若将曲线向右平移个单位后恰好关于轴对称，则正数的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用函数的单调区间长度可以估计周期的长度，再结合，可确定的取值，然后进行讨论检验即可得解. 【详解】因为函数， 又函数在上单调， 所以函数的最小正周期， 则，又，所以． 若，则由， 又因为，，所以此时无解． 若，则， 因为，所以．又，符合题意． 若，则， 又，，则此时无解． 综上，，所以函数图像向右平移个单位，， 由的图象关于轴对称， 所以有， 则正数的最小值为， 故选：D． 考点五 由图象确定三角函数的解析式 典例1．（2025•乌鲁木齐模拟）函数y＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）的部分图象如图所示，，则ω＝（　　） A． B．1 C． D．π 【答案】C 【分析】记BC与x轴的交点为M，连接AB，设AB＝a，则BC＝2a，在△ACB中，利用余弦定理可求得a，进而在△ACM中，求得AM，进而利用周期可求ω． 【解答】解：记BC与x轴的交点为M，连接AB， 由题意可得M在函数y＝Asin（ωx+φ）的图象上，且为一个对称中心， 设AB＝a，则BC＝2a，又AC＝2，∠ACB， 在△ACB中，由余弦定理得AC2＝AC2+BC2﹣2AC•BCcos， 即a24a2﹣2×22a，整理得3a2﹣12a+12＝0，解得a＝2， 在△ACM中，由余弦定理得AM2＝AC2+MC2﹣2AC•CMcos， 所以AM2＝12+4﹣2×224，解得AM＝2， 所以函数y＝Asin（ωx+φ）的最小正周期为T＝2AM＝4， 所以ω． 故选：C． 典例2．（2025•红桥区一模）已知函数f（x）＝Asin（ωx+φ）+B（A＞0，ω＞0，|φ|）的部分图像如图所示，则下列正确个数有（　　） （1）f（x）关于点（，3）对称 （2）f（x）关于直线x对称 （3）f（x）在区间[，]上单调递减 （4）f（x）在区间（，）上的值域为（1，3） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】由函数的图象的顶点坐标求出A和B，由特殊点的坐标求出 φ，由五点法作图求出ω的值，可得函数的解析式，再根据正弦函数的图象和性质，得出结论． 【解答】解：根据函数f（x）＝Asin（ωx+φ）+B（A＞0，ω＞0，|φ|）的部分图像， 可得B3，A2，故有f（x）＝2sin（ωx+φ）+3． 把点（0，2）代入，可得2sinφ+3＝2，即sinφ，φ，故有f（x）＝2sin（ωx）+3． 再根据五点法作图，可得ω×（），∴ω＝2，f（x）＝2sin（2x）+3． 令x，求得f（x）＝4，故f（x）不关于点（，3）对称，故（1）错误； 令x，求得f（x）＝5，为最大值，故f（x）关于直线x对称，故（2）正确； 当x∈[，]，2x∈[，]，f（x）单调递减，故（3）正确； 当x∈（，），2x∈（﹣π，0），sin（2x）∈[﹣1，0）， ∴函数f（x）的值域为[1，3），故（4）错误． 故选：B． 【总结】 由函数()的部分图象求解析式的方法 (1) 求：通过函数最值求解，得； (2) 求：根据图象求出周期，再利用求出； (3) 求：求出后代入函数图象一最值点，求出. 跟踪训练1．（2025•玉林模拟）已知f（x）＝Acos（ωx+φ）[A＞0，ω＞0，|φ|，x∈R]的部分图象如图所示，则f（x）的表达式是（　　） A．2cos B．2cos（x） C．2cos（2x） D．2cos（） 【答案】D 【分析】根据函数f（x）的部分图象求出A、T、ω和φ的值即可． 【解答】解：根据函数f（x）＝Acos（ωx+φ）的部分图象知，A＝2， 且T＝2×（）， 所以ω； 又x时，f（）＝2， 即φ＝2kπ，k∈Z， 解得φ＝2kπ，k∈Z； 又|φ|，所以φ； 所以f（x）＝2cos（x）． 故选：D． 跟踪训练2．（2025•黑龙江模拟）函数y＝f（x）的部分图象如图所示，已知，若其解析式为，则（　　） A． B． C．0 D．1 【答案】B 【分析】根据f（）＝f（π），可得x是函数图象的一条对称轴，结合f（π）建立关于ω、φ的方程组，解之可得f（x）的解析式，进而求出的值． 【解答】解：根据f（）＝f（π），可得f（x）的图象关于x对称， 结合f（）为函数的最大值可得φ2kπ（k∈Z）…①， 根据f（π），且x＝π在函数的增区间上， 可得ωπ+φ2kπ（k∈Z）…②， 结合，取k＝0，解得ω＝2，φ 所以，可得． 故选：B． 跟踪训练3．（2025•青秀区模拟）在物理学中简谐运动可以用函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜π）来表示，其部分图象如图所示，则下列结论正确的是（　　） A．函数f（x）的图象关于点成中心对称 B．函数f（x）的解析式可以为 C．函数f（x）在[0，π]上的值域为[0，2] D．若把f（x）图象上所有点向右平移个单位，则所得函数是 【答案】B 【分析】由三角函数的部分图象可得A，ω，φ的值，即求出函数f（x）的解析式，由函数的性质分别判断出所给命题的真假． 【解答】解：由函数图象的最高点的纵坐标可得A＝2，且， 可得T＝π，可得ω＝2， 又2•φ2kπ，k∈Z，|φ|＜π， 可得φ， 所以f（x）＝2sin（2x）， A中，因为2kπ，k∈Z，所以（，0）不是函数的对称中心，所以A不正确； B中，f（x）＝2sin（2x）＝2cos（2x）＝2cos（2x），所以B正确； C中，因为x∈[0，π]，所以2x∈[，]，所以sin（2x）∈[﹣1，1]，即f（x）∈[﹣2，2]，所以C不正确； D中，把f（x）图象上所有点向右平移个单位，则所得函数y＝2sin[2（x）]＝2sin（2x），所以D不正确． 故选：B． 考点六 三角函数的应用 典例1．（2024·浙江·一模）古代农耕常用水车作为灌溉引水的工具，是人类的一项古老的发明，也是人类改造自然的成果之一.如图是一个半径为的水车，以水车的中心为原点，过水车的中心且平行于水平面的直线为轴，建立平面直角坐标系，一个水斗从点出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时60秒.经过秒后，水斗旋转到点，设点的坐标为，其纵坐标满足，当秒时，（    ）    A． B． C． D．4 【答案】A 【分析】由点坐标求得半径，再由周期是60秒，经过45秒，就是旋转了个周期，由计算出图中（小于平角的那个），然后由勾股定理计算． 【详解】由已知，， 经过45秒后，即旋转了个周期，因此，如图， 所以， 故选：A．    典例2．（2025·上海金山·二模）如图，现对某景区一长，宽的矩形空地进行建设.规划在边上分别取点修建人行步道（不考虑宽度），且满足点关于步道的对称点在边上.在内种植花卉，在内搭建娱乐设施，其余区域规划为露营区，则人行步道的最短距离为 .（结果精确到） 【答案】 【分析】由题设有，设，根据图形中边角关系，结合三角函数可得，注意的范围，进而应用换元法并构造函数，利用导数求最值. 【详解】由题意，， 设，则， 在中，得， 则， 由于，解得， 则，解得， 令，，则. 令，则， 令，则，函数单调递增； 令，则，函数单调递减； 所以， 所以， 即人行步道的最短距离为. 故答案为：. 【总结】 1 对于三角函数在生活或物理中的应用中，求三角函数解析式时根据题意求出最值和周期，再通过某个时刻的取值求出最后解析式； 2 在几何的最值中，用代数法求解时引入某个角作为参数，要思考好到底哪个角适合。 跟踪训练1．（2025·陕西榆林·模拟预测）交流电的瞬时值随时间周期性变化，正负号表示电流方向的交替变化.电流强度（安）随时间（秒）变化的函数的图象如图所示，则当秒时，电流强度是（    ） A．安 B．5安 C．安 D．安 【答案】D 【分析】通过函数的图象求出，然后利用周期公式求出，将点代入表达式，即可求出的值，得到函数解析式，代入秒，即可求出电流强度. 【详解】由图象得，电流的最大值和最小值分别为10和，可得. 由周期得， 再将点代入，得， 所以 . 因为，所以时， ，所以. 将代入得，. 故选：D. 跟踪训练2．（2023·陕西咸阳·二模）如图，正方形的边长为1，、分别是边、边上的点，那么当的周长为2时，（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，，，，则，，且的周长为2，即，利用三角函数的和差角公式计算即可. 【详解】解：设，，，，则，， 于是， 又的周长为2，即，变形可得， 于是， 又，所以， . 故选：B. 跟踪训练3．（2025·上海松江·三模）如图，某水库有一个半径为1百米的半圆形小岛，其圆心为且直径平行坝面.坝面上点满足，且长度为3百米，为便于游客到小岛观光，打算从点到小岛修建三段栈道、与，在半圆小岛上再修建栈道、以及，水面上的点在线段上，且、均与圆相切，切点分别为、，其中栈道、、和小岛在同一个平面上.设，则需要修建的栈道总长度的最小值为 百米. 【答案】 【分析】连接CD，CE，设，建立出需要修建的栈道的函数关系式，利用导数求出最小值. 【详解】连接CD，CE，由半圆半径为1得：. 由对称性，可设，又，， 所以，， 易知，所以的长为. 又，故，故， 令且，则，， 所以. 当时，，函数在上单调递减， 当时，，函数在上单调递增， 所以栈道总长度最小值. 故答案为：. 考点七 三角函数的零点问题 典例1．（2025•华安县模拟）设函数，若f（x）在[0，5π]内恰有3个零点，则φ的取值不可以为（　　） A．0 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正弦函数的性质解方程f（x）＝0，结合题意建立关于φ的不等式，然后对各项中φ值逐一检验，即可得到本题的答案． 【解答】解：由题意，f（x）＝0即sin（x+φ）， 可得f（x）在[0，+∞）上的零点依次满足x+φ、、、、…， 当x∈[0，5π]时，x+φ∈[φ，φ]， 当φ＝0时，[φ，φ]＝[0，]，根据、、均在区间内，可知A项符合题意； 当φ时，[φ，φ]＝[，]，根据、、均在区间内，可知B项符合题意； 当φ时，[φ，φ]＝[，]，只有、在区间内，可知C项不符合题意； 当φ时，[φ，φ]＝[，]，根据、、均在区间内，可知D项符合题意． 故选：C． 典例2．（2025•宝安区模拟）已知a∈R，函数在区间上有且仅有两个零点x1，x2，则cos（x1﹣x2）﹣3a的最小值为（　　） A． B． C．﹣2 D． 【答案】A 【分析】根据三角函数的图像与性质，可得，再结合二次函数的图像性质可求得最小值． 【解答】解：由， 得， 又，得， 又， 所以，且，所以，故， 故 2（a）2，又， 所以当时，cos（x1﹣x2）﹣3a取得最小值为． 故选：A． 【总结】 1 直接求某个具体函数的零点个数或方程的解个数，先把函数解析式或方程通过三角恒等变换的方法进行化简； 2 零点存在性问题，需要数形结合，结合周期性单调性进行分析。 跟踪训练1．（2025•鞍山模拟）已知函数f（x）＝cos2x﹣cosx，则函数f（x）在区间[0，2π]上的零点个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】由二倍角余弦公式结合求解一元二次方程得到[0，2π]上的零点即可． 【解答】解：f（x）＝cos2x﹣cosx＝2cos2x﹣cosx﹣1＝（2cosx+1）（cosx﹣1）， 由f（x）＝0，得，cosx＝1， 即或，x＝2kπ，k∈Z． 所以函数f（x）在区间[0，2π]的零点是共4个． 故选：D． 跟踪训练2．（2025•辽宁模拟）设ω＞0，已知函数f（x）＝sin（ωsinx）在区间（0，π）内恰有2025个零点，则ω＝（　　） A．1010π B．1011π C．1012π D．1013π 【答案】D 【分析】根据题意由正弦函数的零点结合图象可得． 【解答】解：令f（x）＝sin（ωsinx）＝0，得ωsinx＝kπ，k∈Z，所以，k∈Z， 又x∈（0，π），所以0＜sinx≤1，所以，k∈Z， 所以ω≥kπ，k∈N*， 由题可得方程有2025个根， 即曲线y＝sinx与直线，k∈N*在区间（0，π）内共有2025个交点． 当k＝1时，， 当k＝2时，， 当k＝3时，，…， 由题意方程分别有两个不同实根，且各根均不同， 所以需，所以ω＝1013π． 故选：D． 跟踪训练3．（2025•安徽模拟）下列函数中，同时具有性质：①最小正周期为；②在区间单调递增；③在[0，π]有3个零点的一个函数f（x）是（　　） A．f（x）＝sin|3x| B． C． D． 【答案】B 【分析】根据三角函数的相关性质确定各函数的最小正周期、区间单调性，结合周期性得区间零点个数判断各项的正误即可． 【解答】解：对于A：由于函数，作出简图①，可得其不是周期函数，不满足性质①，故A错误； 对于B：的最小正周期． 当时，，则在单调递增， 由，得， 所以f（x）在[0，π]上的零点有，共3个，故B正确； 对于C：的最小正周期为， 作出简图②，易得f（x）满足性质②． 由得，所以f（x）在[0，π]上的零点有，共2个，故C错误； 由正弦函数性质得的最小正周期， 当时，，则在单调递增． 由3x＝kπ，k∈Z，得，所以f（x）在[0，π]的零点有，共4个，故D错误． 故选：B． 考点八 三角函数的最值问题 典例1．（2025•西安模拟）已知函数，其最小正周期为，将f（x）的图象向左平移个单位长度后得到g（x）的图象，g（x）的图象关于点对称，则当时，f（x）的最大值为（　　） A．1 B．2 C． D． 【答案】B 【分析】根据正弦函数的图象与性质以及三角函数图象的平移变换可得，结合正弦函数性质计算即可求解． 【解答】解：由题意可得，，ω＞0， 所以ω＝3，f（x）＝2sin（3x+φ）． 将f（x）的图象向左平移个单位长度得g（x）的图象，则． 因为g（x）的图象关于点对称， 所以，解得． 又，则，． 当时，， 所以当，即时，f（x）取得最大值2． 故选：B． 典例2．（2025•宁德三模）若函数在区间[a，a+1]上的最小值为m，最大值为M，则（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】AB选项，，其中，数形结合得到m的最小值为﹣2，最大值为，得到B正确，CD选项，同理可得． 【解答】解：函数在区间[a，a+1]上的最小值为m，最大值为M， AB选项，x∈[a，a+1]时，， 显然m的最小值为﹣2，只需内有即可， 当时，m取得最大值，最大值为， 故，A错误，B正确； CD选项，同理M的最大值为2，只需内有即可， 当时，M取得最小值，最小值为， 故，CD错误． 故选：B． 【总结】 1 求函数的最值时，往往把函数解析式通过三角恒等变换转化为的形式再求解，求解过程中往往用到换元法，此时要注意新变量的取值范围； 2 最值存在性问题，需要数形结合分析，同时结合三角函数的周期和单调性进行分析。 跟踪训练1．（2025•苏州模拟）已知函数f（x）＝2cos2ωx+sin2ωx﹣1（ω＞0）的图象关于直线对称，且f（x）在上有最大值没有最小值，则ω的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用三角函数降幂公式以及辅助角公式整理函数解析式，根据整体思想，结合正弦函数的单调性以及对称性，建立不等式与方程，可得答案． 【解答】解：f（x）＝2cos2ωx+sin2ωx﹣1＝2•sin2ωx﹣1＝cos2ωx+sin2ωxsin（2ωx），x∈（0，）， 所以2ωx∈（，）， 因为f（x）在（0，）有最大值没有最小值，所以，解得ω， 又因为f（x）的图象关于直线x对称，所以kπ，k∈Z， 解得ω，k∈Z，所以当k＝1时，ω符合要求． 故选：D． 跟踪训练2．（2025•江西模拟）已知函数是偶函数，则g（x）＝sinx•sin（x+4θ）的最大值为（　　） A． B． C．1 D． 【答案】B 【分析】利用偶函数定义f（x）＝f（﹣x）化简f（x）解出θ得值，将θ得值代入g（x），通过三角恒等式展开并化简，利用余弦函数的有界性求出最大值． 【解答】解：由是偶函数， 得sin（x+2θ）+cos（x+4θ）＝sin（﹣x+2θ）+cos（﹣x+4θ）， 展开并整理得：cos2θ＝sin4θ＝2sin2θcos2θ， 整理得：，结合，得， 代入，，则， 因为， 化简得：， 当时，g（x）取得最大值． 故选：B． 跟踪训练3．（2025•河南模拟）已知A＞0，ω＞0，函数f（x）＝Asinωx的图象与函数的图象相邻的三个交点分别为B，C，D，若△BCD是边长为12的等边三角形，则函数F（x）＝f（x）+g（x）的最大值为（　　） A．6 B． C．12 D． 【答案】B 【分析】运用两角和与差的正弦公式化简f（x）＝g（x），可得sin（ωx）＝0，结合|BD|＝12，解出ω，且B点的坐标为（2+6k，Asin（kπ）），k∈Z，然后根据B、C两点纵坐标差的绝对值等于6，列式算出A＝6，可得F（x）＝6sin6sin（），进而运用三角恒等变换公式与正弦函数的性质算出F（x）的最大值． 【解答】解：由f（x）＝g（x），可得Asinωx＝Asin（ωx）， 即sinωxsinωxcosωx，可得sinωxcosωx＝0， 所以sin（ωx）＝0，可得ωxkπ（k∈Z），x（k∈Z）， 因为f（x）的图象与g（x）的图象相邻的三个交点分别为B、C、D， 且△BCD是边长为12的等边三角形，所以|BD|12，解得ω， 可得B点横坐标xB＝2+6k（k∈Z），纵坐标yB＝Asin[（2+6k）]＝Asin（kπ），k∈Z， 由等边三角形的性质，可知2|yB|12，即2Asin6，解得A＝6， 所以f（x）＝6sin，g（x）＝6sin（）， F（x）＝f（x）+g（x）＝6sin3sincossin（）， 所以当2mπ（m∈Z）时，即x＝2+12m（m∈Z）时，F（x）取得最大值． 故选：B． 跟踪训练4．（2024•龙凤区校级模拟）设，将f（x）的图像向右平移个单位，得到g（x）的图像，设h（x）＝f（x）+g（x），，则h（x）的最大值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平移得到g（x）的解析式，根据h（x）＝f（x）+g（x）得到h（x）的解析式，根据三角变换公式以及h（x）的增减性最后得到h（x）的最大值． 【解答】解：∵将f（x）的图像向右平移个单位，得到g（x）的图像， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 令，， ∴， 易知在单调递增， 即在单调递增， ∴h（x）在单调递减， ∴当时，h（x）最大值为， 故选：B． 考点九 求的取值范围 典例1．（2024•青羊区校级模拟）已知函数的值域是[a，b]，则下列命题错误的是（　　） A．若，则ω不存在最大值 B．若，则ω的最小值是 C．若，则ω的最小值是 D．若，则ω的最小值是 【答案】D 【分析】由已知结合正弦函数的最值取得条件，周期性及单调性检验各选项即可判断． 【解答】解：A选项：当b﹣a＝2，φ时，解得a＝﹣1，b＝1，所以函数的解析式为， 当ω足够大时，包含完整周期，故A正确； B选项：为使ω更小，[，π]只包含一个最大值点， 所以，解得， 所以k＝1时，ω，验证成立，故B正确； C选项：当时，，当a+β＝0时取等号， 所以，， 所以至少占个周期， 则，得，故C正确； D选项：当时，，当α+β＝0时取等号， 所以，故D错误． 故选：D． 典例2．（2025•李沧区一模）已知函数为f（x）的零点，为y＝f（x）图象的对称轴，且f（x）在（，）单调，则ω的最大值为（　　） A．11 B．9 C．7 D．5 【答案】B 【分析】直接利用正弦型函数的性质的应用求出ω和φ的值，进一步利用ω和φ的值，利用函数的单调性判断结果． 【解答】解：由于函数的零点的横坐标，是函数的对称轴； 所以满足，（k1，k2∈Z）， 整理得，ω＝2（k2﹣k1）+1（k1，k2∈Z）． 由于， 所以． 由于函数f（x）在（，）单调， 故，整理得， 整理得ω≤12． 由于ω＞0， 所以0＜ω≤12． 当φ时，则k1+k2＝0，ω＝4k2+1，所以ω＝1，5，9； 当φ时，则k1+k2＝﹣1，ω＝4k2+3，所以ω＝3，7，11； 若ω＝1，5时函数在（，）不单调，故不符合题意； 当ω＝9时，函数f（x）＝sin（9x）在（，）单调，符合题意， 当ω＝11时，函数f（x）＝sin（11x）在（，）单调递增，在（）上单调递减，不符合题意， 综上所述则ω的最大值为9． 故选：B． 【总结】 1 函数的最小正周期是，所以; 2 已知函数在上单调递增（或递减），求的取值范围 第一步：根据题意可知区间的长度不大于该函数最小正周期的一半； 第二步：以单调递增为例，利用，解得的范围， 第三步：结合第一步求出的的范围对进行赋值，从而求出的取值范围。 3题中含有k个对称轴或对称中心，结合三角函数图象分析出取到k个和k+1个对称轴（或对称中心）时的图象，从而得到关于的不等式。 4 结合零点个数求范围时，对于区间长度的定值的动区间，若区间上至少含有k个零点，需要确定含有k 个零点的区间长度，一般和周期相关，若在区间至多含有k个零点，需要确定含有k+1个零点的区间长度 的最小值。 跟踪训练1．（2025•青山湖区校级模拟）已知关于x的方程在（0，π）内恰有3个不相等的实数根，则ω的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由已知可得，根据方程有3个不相等的实数根可得，求解即可． 【解答】解：因为， 所以， 所以， 所以， 由x∈（0，π），可得， 因为方程有3个不相等的实数根， 所以由正弦函数的图像可得， 解得， 所以ω的取值范围为． 故选：B． 跟踪训练2．（2025•长沙校级一模）将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数g（x）的图象，若函数g（x）在区间上单调递减，则ω的最大值为（　　） A．6 B．5 C．3 D．2 【答案】B 【分析】根据“左加右减，上加下减”求出函数g（x）的解析式，再利用函数的单调性即可求出ω的最大值． 【解答】解：将函数的图象向右平移个单位长度后得到， 当时，． 因为g（x）在区间上单调递减， 所以，所以0＜ω≤5，即ω的最大值为5． 故选：B． 跟踪训练3．（2025•牡丹江校级模拟）已知函数，为f（x）的零点，为y＝f（x）图象的对称轴，且f（x）在上单调，则ω的最大值为（　　） A．10 B．12 C．14 D．18 【答案】C 【分析】由已知结合函数零点及对称轴可得ω≤18，再利用单调性分析求得ω的最大值． 【解答】解：函数， ∵为f（x）的零点，为y＝f（x）图象的对称轴， ∴ω•（）+φ＝k1π（k1∈Z）①， ω•φ＝k2π（k2∈Z）②， ∴②﹣①得，ω＝4（k2﹣k1）+2（k1，k2∈Z），即ω为偶数． ∵f（x）在上单调，∴，得ω≤18， 当ω＝18时，由①得，φ，此时f（x）在上不单调， 当ω＝14时，由①得，φ，此时f（x）在上单调递减． ∴ω的最大值为14． 故选：C． 跟踪训练4．（2025•青秀区模拟）已知函数在区间上单调递增且存在零点，则ω的取值范围是（　　） A． B． C． D．[5，6] 【答案】C 【分析】根据f（x）在区间上单调递增，得到0＜ω≤6，换元法得到，根据f（x）的性质得到不等式组，求出或，得到答案． 【解答】解：因为f（x）在区间上单调递增， 所以，解得，所以0＜ω≤6， 令，则当时，， 因为f（x）在区间上单调递增且存在零点， 所以，k∈Z，解得，k∈Z， 又0＜ω≤6， 所以或， 所以ω的取值范围是． 故选：C． 考点十 三角函数新定义 典例1．．（2025·陕西咸阳·模拟预测）音乐喷泉曲线形似藤蔓上挂结的葫芦，也可称为“葫芦曲线”.它的性质是每经过相同的时间间隔，它的振幅就变化一次.如图所示，某条葫芦曲线的方程为，其中表示不超过的最大整数，如且，且经过点，则该条葫芦曲线与直线交点的纵坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将点代入葫芦曲线的方程可得，再代入即可得解. 【详解】将点代入葫芦曲线的方程可得，即， 由，，可得，因此曲线方程为， 当时，可得， 所以交点的纵坐标为. 故选：C. 典例2．（多选）（2025·河南许昌·三模）如图，点是以为顶点的正方形边上的动点，角以Ox为始边，OP为终边，定义．则（    ） A． B． C．函数的图象关于点对称 D．函数的图象与轴围成封闭图形的面积为 【答案】BCD 【分析】由题意可得到，从而可得的表达式，直接代入化简求值，可判断AB；根据函数的对称性可判断C，判断函数的对称性，由此可求上图象与x轴围成的图形面积，即可判断D. 【详解】由题意得 ， 化简得 ， 对于A， ，故A错误； 对于B， ，故B正确； 对于，， 而 ， 故 ， 故的图象关于点对称，故C正确， 对于D， ， 而 ， 故的图象关于点对称， 而 ， 即关于对称，且设在内与轴围成封闭图形的面积为， 故所求在内与轴围成封闭图形的面积为4A， 当时，， 且 ， 在上的图象关于点对称， 在的图象与轴围成图形面积等于以为直角边的直角三角形面积， 故，则，故D正确． 故选：BCD． 跟踪训练1．（2025·浙江·二模）古人把正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数、正割函数、余割函数、正矢函数、余矢函数这八种三角函数的函数线合称为八线.其中余切函数，正割函数，余割函数，正矢函数，余矢函数.如图角始边为轴的非负半轴，其终边与单位圆交点，、分别是单位圆与轴和轴正半轴的交点，过点作垂直轴，作垂直轴，垂足分别为、，过点作轴的垂线，过点作轴的垂线分别交的终边于、，其中、、、为有向线段，下列表示正确的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用单位圆以及三角函数的定义可知，，，然后结合新定义简单计算可判断各个选项. 【详解】根据题意，易得， 对于A，因为，即，故A错误； 对于B，根据三角函数定义结合相似三角形相似比可得，，故B错误； 对于C，，故C正确； 对于D，根据三角函数定义结合相似三角形相似比可得，故D错误. 故选：C. 【点睛】关键点睛：本题属于新定义题，解题关键是读懂题意，根据新定义，利用三角函数定义结合相似三角形相似比求解，注意有向线段. 跟踪训练2．（2025·安徽合肥·模拟预测）如图所示，在平面直角坐标系中，的终边与正方形交于点，我们定义的类余弦值，类正弦值.则下面叙述正确的是（    ） A．对任意的 B．对任意的 C．在区间上单调递增 D．对任意的 【答案】D 【分析】根据给定的定义，举例说明判断ABC；利用轴对称性推理判断D. 【详解】对于AB，当时，，，AB错误； 对于C，，C错误； 对于D，正方形关于直线对称，和的终边也关于直线对称， 则和的终边和正方形的交点也关于直线对称，所以，D正确. 故选：D 跟踪训练3．（2025·上海浦东新·三模）著名数学家傅立叶认为所有的乐声都能用一些形如的正弦型函数之和来描述，其中频率最低的一项是基本音，其余的为泛音．研究表明，所有泛音的频率都是基本音频率的整数倍，称为基本音的谐波．若对应于的泛音是对应于的基本音的一个谐波，则正整数的所有可能取值之和为 【答案】12 【分析】由所有泛音的频率都是基本音频率的整数倍，可得到，，代入分析整数解，可得到有限个正整数的解，一一验证，即可得到符合条件的. 【详解】因为所有泛音的频率都是基本音频率的整数倍，所以，, ，两式相加得：，， 又，且，，的可能值为：1，2，4，5，10，20， 一一代入式中能同时使，为整数的值即为正解； 经检验：的值为和； 所以正整数的所有可能取值之和为. 故答案为：. 1（2025·山东青岛·三模）已知函数的图象关于点中心对称，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】由三角函数图象的对称性可得结果. 【详解】由题意，可得，且，即， 所以，解得：，， 函数， 所以. 故选：C. 2（2025·江苏扬州·三模）当时，曲线与的交点个数为（   ） A．3 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】根据五点法作图，在同一坐标系中画出函数图形，判断交点个数. 【详解】作图像，列表： 0 0 1 0 0 1 0 0 作图像，列表： 0 0 2 0 0 2 0 在同一坐标系中画出图形，如下图所示， 则两个函数在上有4个交点. 故选：B. 3（2025·湖北武汉·模拟预测）将函数的图象向左平移个单位，得到函数的图象，若为奇函数，则的最小值是（    ） A． B．1 C．2 D． 【答案】B 【分析】利用平移思想，结合正切函数平移都是奇函数，可得的取值可能，从而可得最小值. 【详解】函数的图象向左平移个单位， 得到函数, 由为奇函数，则， 因为，所以的最小值是， 故选：B. 4（2025·甘肃定西·模拟预测）若函数在区间上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由正切函数单调性、复合函数单调性可列不等式即可求解. 【详解】当时，，由在区间上单调递增， 得，解得. 故选：C. 5（2025·广东广州·三模）已知函数的部分图象如图所示，若A，B，C是直线与函数图象的从左至右相邻的三个交点，且，则（    ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】由三角函数的性质得出的周期，求出的值，再根据题意代入自变量求解 【详解】由题意可得，所以最小正周期，所以，解得， 所以，由图象过点，所以， 所以，所以，所以， 又，所以，所以， 因为A，B，C是直线与函数图象的从左至右相邻的三个交点，且， 所以，所以，所以， 所以. 故答案为：B. 6（2025·上海闵行·二模）已知函数在区间上既有最大值1又有最小值，则关于实数的取值，以下不可能的是（   ）． A．2024 B．2025 C．2026 D．2027 【答案】D 【分析】由余弦函数的周期和最值点的分布，以及区间内包含最值点的条件逐项判断即可. 【详解】由题意可得函数的周期为， 最大值点满足，解得， 最小值点满足，解得， 因为函数在区间上既有最大值又有最小值，区间的长度为9， 对于A，若，当时，最大值点为，最小值点为2032，此时位于区间内，故A正确； 对于B，若，当时，最大值点为，最小值点为2032，此时位于区间内，故B正确； 对于C，若，当时，最大值点为，最小值点为2032，此时位于区间内，故C正确； 对于D，若，当时，最大值点为，当时，最大值点为2038，此时不位于区间内，故D错误. 故选：D 7（2025·甘肃白银·模拟预测）如图，将函数的图象向左平移得到的图象，其中点A是图象上的最高点，分别是，的图象与x轴的相邻交点（如图所示），若，的面积为10，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设图象向左平移最小个单位，得到，再结合三角形的面积及，列出等式求解即可. 【详解】函数的图象向左平移最小个单位得到， 则， 又， 所以，即， 所以， 三角形的面积， 即， 又函数的周期为， 所以，联立， 解得：， 所以， 故选：A 8（2025·黑龙江大庆·模拟预测）已知分别是轴正半轴上的两个动点，且，如图，以为边构造正方形，分别过点向轴做垂线，垂足依次为，当点由向左运动到原点的过程中，四边形面积的变化趋势可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用三角函数表达四边形的面积，然后利用三角函数变换公式化简，进而根据三角函数的单调性做出判定.. 【详解】当点由向左运动到原点的过程中，设,从到变化. 作于点，于. 则, 所以， ， , 所以 ,其中. ∵， 所以当时随着的增大而增大；当时随着的增大而减小. 因此当点由向左运动到原点的过程中，从到变化，四边形面积的变化趋势是先增大，后减小， 结合图象，只有C正确. 故选：C. 9（多选）（2025·河北廊坊·模拟预测）“早潮才落晚潮来，一月周流六十回”，潮汐现象是海水受日月的引力而引起的周期性涨落现象，观察发现某港口的潮汐涨落规律为（其中（单位）为港口水深，（单位）为时间，）.若某轮船当水深大于时可以进出港口，根据表格中的观测数据，下列说法正确的是（    ） 时间 1 4 7 10 13 16 19 22 水深 11 12.5 14 12.5 11 12.5 14 12.5 A． B． C．该轮船9点可以进出港口 D．该轮船从0点到12点，在港口可停留的时间最长不超过4小时 【答案】BC 【分析】根据表中数据求出可判断A B C；求出时，轮船从0点到12点在港口可停留的时间，结合的单调性可判断时停留的时间比时停留的时间长可判断D. 【详解】对于A，由表格数据可得，故A错误； 对于B，由表格数据可得，解得，， 所以，因为点在函数图象上， 所以，即，又因为， 所以，故B正确； 对于C，当时，，故C正确； 对于D，由，得， 由得， 即，当时，，， 因为得该轮船从0点到12点，在港口可停留的时间最长超过4小时，故D错误. 故选：BC. 10（多选）（2025·安徽合肥·模拟预测）对于函数和，下列正确的有（    ） A．与有相同零点 B．与有相同最大值 C．与有相同的最小正周期 D．与的图象有相同的对称轴 【答案】BCD 【分析】求出两函数的零点判断A；根据最大值判断B；求出两函数的最小正周期判断C；求出两函数的对称轴判断D. 【详解】令，解得：；令，解得：； 所以与零点不相同，故A错误； 与有相同最大值1，故B正确； 与与的最小正周期都是， 所以函数和最小正周期都为，故C正确； 与有相同的对称轴为，故D正确. 故选：BCD. 11（多选）（2025·江西·二模）在平面直角坐标系中，曲线C 由函数 和 的图象构成，则（    ） A．C关于直线 对称 B．C关于点 对称 C．直线被C 截得的线段长的最大值为 D．C围成的图形的面积大于 【答案】AC 【分析】根据函数的图象判断A，B，结合三角函数值域判断C，应用割补法判断D. 【详解】画出 C 的图象，由图可知 A 正确，B错误； 直线 被 C 截的弦长为故 C正确； 当 时，如图，4个阴影部分面积相等，区域②的面积小于区域①的面积，区域③的面积小于区域④的面积. 利用割补法知曲线C在 上围成的图形的面积小于以 为宽、2为高的矩形ABCD的面积，即曲线C围成的图形的面积小于，故D 错误. 故选 :AC. 1（2025·福建宁德·三模）若函数在区间上的最小值为，最大值为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】AB选项，，其中，数形结合得到的最小值为-2，最大值为，得到B正确，CD选项，同理可得. 【详解】AB选项，时，， 其中， 显然的最小值为-2，只需内有即可， 当时，取得最大值，最大值为， 故，A错误，B正确； CD选项，同理的最大值为2，只需内有即可， 当时，取得最小值，最小值为， 故，CD错误； 故选：B 2（2025·天津红桥·模拟预测）设，函数，若函数在区间内恰有6个零点，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由二次函数最多两个零点，讨论在区间分别取4、5、6个零点时的的取值范围，再讨论在区间分别取0、1、2个零点时的的取值范围，最后进行组合即可. 【详解】⸪函数在区间内恰有6个零点，且二次函数最多两个零点， ⸫当时，至少有四个根， 令，则 解得：，⸪，⸫，即， 当时，， ①若有4个零点，此时，即； ②若有5个零点，此时，即； ③若有6个零点，此时，即； 当时，， 令，解得：， ①若，没有零点；②若，，有1个零点； ③若，，且对称轴， 当时，即，有2个零点； 当时，即，有1个零点 综上所述，函数在区间内恰有6个零点需要满足， 或或 解得 故选：A. 3（多选）（2025·四川成都·模拟预测）函数的图象向右平移个单位得到函数的图象，则下列说法正确的是（   ） A． B． C．当时， D．若，且，则 【答案】BCD 【分析】对于选项A，根据图象平移前后的三角函数化简可求得的值；对于选项B，直接根据正切公式化简即可求得；对于选项C，D，根据正弦函数的性质进行求解即可. 【详解】对于A：的图象向右平移得. 又， 且，，A错误. 对于B：由于，，B正确. 对于C：由得， 从而，C正确. 对于D： ，且得， 从而. 则，D正确. 故选：BCD. 4（多选）（2025·浙江·二模）已知函数，则下列正确的是（    ） A．是的一个周期 B．的图象关于点对称 C．的图象关于直线对称 D．在区间上单调递减 【答案】ACD 【分析】通过三角恒等式化简函数表达式为，利用函数周期性的定义可判断A选项；利用函数对称性的定义可判断B,C选项；利用复合函数的单调性可判断D选项. 【详解】 ， 因为,是函数的一个周期，故A正确； 因为,   不恒为0，故B错误； 因为,   所以的图象关于直线对称，故C正确； 当时，,则在时单调递增，且 又单调递减，由复合函数的单调性可得在区间上单调递减，故D正确. 故选：ACD. 5（多选）（2025·河北·模拟预测）已知函数，且．则（   ） A．当时， B．当时， C．当时，或 D．当时，或 【答案】BD 【分析】对于选项中的每个的值进行验证，求出函数的最小正周期，分析可知直线为函数的一条对称轴，利用正弦型函数的对称性结合的取值范围，求出的可能取值，再结合验证即可. 【详解】对于A选项，当时，， 此时函数的最小正周期为， 因为，则直线为函数的一条对称轴， 所以，可得， 因为，所以或， 当时，，此时， ，满足， 当时，，此时， ，满足， 综上所述，当时，或，A错； 对于B选项，当时，， 此时函数的最小正周期为， 因为，则直线为函数的一条对称轴， 所以，可得， 因为，所以，此时，则，合乎题意，B对； 对于C选项，当时，， 函数的最小正周期为， 因为，则直线为函数的一条对称轴， 所以，可得， 因为，所以或， 当时，，则， ，满足， 当时，，则， ， 满足， 故当时，或，C错； 对于D选项，当时，， 函数的最小正周期为， 因为，则直线为函数的一条对称轴， 所以，可得， 因为，所以或， 当时，，则， ，满足， 当时，，则， ，满足， 故当时，或，D对. 故选：BD. 6（多选）（2025·吉林·三模）已知函数，则下列说法正确的是（   ） A．的周期为 B．的图象关于对称 C．在上恰有3个零点 D．若在上单调递增，则的最大值为 【答案】ABD 【分析】对于A，根据周期函数的定义判断即可；对于B，通过计算判断方程是否成立即可；对于C，根据的函数解析式以及函数图象即可判断；对于D，根据的图象和单调性可求的最大值. 【详解】①当时，， ②当时，， ③当时，， ④当时，， 因此，，. 所以函数的图象，如图所示： A选项：因为 ，所以的周期为，故A正确； B选项：因为 ， 所以的图象关于对称，故B正确； C选项：由的函数解析式以及函数图像可知： 当时，，当时，，当时，， 所以在上有无数个零点，故C错误； D选项：由，，得， 因为在上单调递增，所以由的图象可知， 解得，则的最大值为，故D正确； 故选：ABD. 7（2025·北京海淀·一模）如图所示，某游乐场有一款游乐设施，该设施由转轮和转轮组成，的圆心固定在转轮上的点处，某个座椅固定在转轮上的点处．的半径为10米，的半径为5米，的圆心距离地面竖直高度为20米．游乐设施运行过程中，与分别绕各自的圆心逆时针方向匀速旋转，旋转一周用时分钟，旋转一周用时分钟．当在正下方且在正下方时，开始计时，设在第分钟距离地面的竖直高度为米．给出下列四个结论： ①； ②最大值是35； ③在竖直方向上的速度大小低于40米/分钟； ④存在，使得时到的距离等于15米． 其中所有正确结论的序号为 ． 【答案】①③ 【分析】根据题意，可求得在第分钟距离地面的竖直高度为，逐项判断即可求解. 【详解】转轮与转轮分别绕各自的圆心逆时针方向匀速旋转，旋转一周用时分钟，旋转一周用时分钟，可得最小正周期，，所以，， 又的半径为10米，的圆心距离地面竖直高度为20米， 所以第分钟，点距离地面的高度为：， 第分钟，距离地面的竖直高度为：， 化简得， 所以，故①正确； 当，即时，得最大值，为，故②错误； 若到的距离等于15米，则点Q在线段PM上，则需, 所以不存在，使得时到的距离等于15米．故④错误； 因为旋转一周用时分钟，旋转一周用时分钟，所以可得点在圆周上的速度为，同理可得点在圆周上的速度为，所以点在竖直方向上的速度大小低于40米/分钟，故③正确. 故答案为：①③. 8（2023·山东潍坊·模拟预测）如图，一个直角走廊的宽分别为a，b，一铁棒与廊壁成θ角，该铁棒欲通过该直角走廊，则铁棒的长度L= （用含θ的表达式表示）；当a=b=2 m时，能够通过这个直角走的铁的长的最大值为 . 【答案】 【分析】第一空：根据示意图及三角函数定义，即可得长度L的表达式； 第二空：根据第一空的表达式，化简可得，令，根据范围，可得t的范围，根据二次函数性质，可得L的最小值，即可得答案. 【详解】作出示意图，铁棒，， 在中，， 在中，， 所以； 当时， 令，因为，， 所以，， 所以，且在上单调递增， 所以当时，即时，L的最小值为， 所以能够通过这个直角走廊的铁棒的长度的最大值为. 故答案为：； 1（2025·全国一卷·高考真题）若点是函数的图像的一个对称中心，则a的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正切函数的对称中心的结论求解. 【详解】根据正切函数的性质，的对称中心横坐标满足， 即的对称中心是， 即， 又，则时最小，最小值是， 即. 故选：B 2（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）当时，曲线与的交点个数为（    ） A．3 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【分析】画出两函数在上的图象，根据图象即可求解 【详解】因为函数的最小正周期为， 函数的最小正周期为， 所以在上函数有三个周期的图象， 在坐标系中结合五点法画出两函数图象，如图所示： 由图可知，两函数图象有6个交点. 故选：C 3（2024·北京·高考真题）设函数.已知，，且的最小值为，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据三角函数最值分析周期性，结合三角函数最小正周期公式运算求解. 【详解】由题意可知：为的最小值点，为的最大值点， 则，即， 且，所以. 故选：B. 4（2024·天津·高考真题）已知函数的最小正周期为．则在区间上的最小值是（   ） A． B． C．0 D． 【答案】D 【分析】结合周期公式求出，得，再整体求出当时，的范围，结合正弦三角函数图象特征即可求解. 【详解】因为函数的最小正周期为，则，所以， 即，当时，， 所以当，即时， 故选：D 5（2024·天津·高考真题）下列函数是偶函数的为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据偶函数的判定方法一一判断即可. 【详解】对A，设，函数定义域为，但，，则，故A错误； 对B，设，函数定义域为， 且，则为偶函数，故B正确； 对C，设，， ，则不是偶函数，故C错误； 对D，设，函数定义域为， 因为，且不恒为0， 则不是偶函数，故D错误. 故选：B. 6（2025·北京·高考真题）设函数，若恒成立，且在上存在零点，则的最小值为（   ） A．8 B．6 C．4 D．3 【答案】C 【分析】由辅助角公式化简函数解析式，再由正弦函数的最小正周期与零点即可求解. 【详解】函数， 设函数的最小正周期为T，由可得， 所以，即； 又函数在上存在零点，且当时，， 所以，即； 综上，的最小值为4. 故选：C. 7（2025·天津·高考真题），在上单调递增，且为它的一条对称轴，是它的一个对称中心，当时，的最小值为（   ） A． B． C．1 D．0 【答案】A 【分析】利用正弦函数的对称性得出，根据单调性得出，从而确定，结合对称轴与对称中心再求出，得出函数解析式，利用整体思想及正弦函数的性质即可得解. 【详解】因为函数在上单调递增，且为它的一条对称轴， 所以时函数取最大值， 又因为是它的一个对称中心， 所以，， 设的最小正周期为，由正弦函数的对称性可知， 即， 又在上单调递增，则， ∴，则，， ∵，∴时，，∴， 当时，， 由正弦函数的单调性可知. 故选：A 8（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）设函数，，当时，曲线与恰有一个交点，则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】D 【分析】解法一：令，分析可知曲线与恰有一个交点，结合偶函数的对称性可知该交点只能在y轴上，即可得，并代入检验即可；解法二：令，可知为偶函数，根据偶函数的对称性可知的零点只能为0，即可得，并代入检验即可. 【详解】解法一：令，即，可得， 令， 原题意等价于当时，曲线与恰有一个交点， 注意到均为偶函数，可知该交点只能在y轴上， 可得，即，解得， 若，令，可得 因为，则，当且仅当时，等号成立， 可得，当且仅当时，等号成立， 则方程有且仅有一个实根0，即曲线与恰有一个交点， 所以符合题意； 综上所述：. 解法二：令， 原题意等价于有且仅有一个零点， 因为， 则为偶函数， 根据偶函数的对称性可知的零点只能为0， 即，解得， 若，则， 又因为当且仅当时，等号成立， 可得，当且仅当时，等号成立， 即有且仅有一个零点0，所以符合题意； 故选：D. 9（2023·上海·高考真题）已知，函数在区间上最小值为，在区间上的最小值为变化时，下列不可能的是（    ） A．且 B．且 C．且 D．且 【答案】C 【分析】根据给定条件，举例说明，结合正弦函数的性质排除不可能的选项作答. 【详解】因为函数的最小正周期是，因此只需考查离原点最近的右侧一个周期内的区间即可， 当时，，，而，， 因此在上的最小值，在上的最小值，A可能； 当时，，， 因此在上的最小值，在上的最小值，B可能； 当时，，， 因此在上的最小值，在上的最小值，D可能； 对于C，若，则， 若，则区间的长度，并且且， 即且与矛盾，所以C不可能. 故选：C 【点睛】结论点睛：闭区间上的连续函数既有最大值，又有最小值. 10（2023·全国甲卷·高考真题）函数的图象由函数的图象向左平移个单位长度得到，则的图象与直线的交点个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】先利用三角函数平移的性质求得，再作出与的部分大致图像，考虑特殊点处与的大小关系，从而精确图像，由此得解. 【详解】因为向左平移个单位所得函数为，所以， 而显然过与两点， 作出与的部分大致图像如下，    考虑，即处与的大小关系， 当时，，； 当时，，； 当时，，； 所以由图可知，与的交点个数为. 故选：C. 11（2023·全国乙卷·高考真题）已知函数在区间单调递增，直线和为函数的图像的两条相邻对称轴，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意分别求出其周期，再根据其最小值求出初相，代入即可得到答案. 【详解】因为在区间单调递增， 所以，且，则，， 当时，取得最小值，则，， 则，，不妨取，则， 则， 故选：D. 12（2023·北京·高考真题）设函数． (1)若，求的值． (2)已知在区间上单调递增，，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数存在，求的值． 条件①：； 条件②：； 条件③：在区间上单调递减． 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 【答案】(1). (2)条件①不能使函数存在；条件②或条件③可解得，. 【分析】（1）把代入的解析式求出，再由即可求出的值； （2）若选条件①不合题意；若选条件②，先把的解析式化简，根据在上的单调性及函数的最值可求出，从而求出的值；把的值代入的解析式，由和即可求出的值；若选条件③：由的单调性可知在处取得最小值，则与条件②所给的条件一样，解法与条件②相同． 【详解】（1）因为 所以， 因为，所以. （2）因为， 所以，所以的最大值为，最小值为. 若选条件①：因为的最大值为，最小值为，所以无解，故条件①不能使函数存在； 若选条件②：因为在上单调递增，且， 所以,所以,, 所以， 又因为，所以， 所以， 所以，因为，所以. 所以，； 若选条件③：因为在上单调递增，在上单调递减， 所以在处取得最小值，即. 以下与条件②相同． 2 / 25 学科网（北京）股份有限公司 $