第03讲 空间点、直线、平面之间的位置关系（高效培优讲义）（全国通用）2026年高考数学一轮复习高效培优系列

第03讲 空间点、直线、平面之间的位置关系 目录 01 考情研究 2 02 知识梳理· 3 03 探究核心考点 4 考点一：证明“点共面”、“线共面”或“点共线”及“线共点” 6 考点二：截面问题 29 考点三：异面直线的判定及所成角 9 考点四：平面的基本性质 13 考点五：等角定理 15 三阶段突破训练 基础训练· 51 能力提升 54 真题感知 55 一、5年真题考点分布 5年考情 考题示例 考点分析 考情分析 （1）基本事实的应用 （2）空间位置关系的判断 （3）异面直线所成的角 2025年天津卷第4题，5分 2024年甲卷（文）第11题，5分 2024年天津卷第5题，5分 2023年上海卷第15题，5分 2022年上海卷第15题，5分 2022年I卷第9题，5分 2021年乙卷（文）第10题，5分 本节内容是高考命题的热点，重点关注异面直线的判定和成角问题、空间点线面的位置关系问题．对于空间几何体的点、线、面 的位置关系，除了题目难度逐步提升，还增加了截面问题，对考生的空间想象能力要求有所提升，需要考生有更强大的逻辑推理能力． 二、课标要求 1.借助长方体，在直观认识空间点、直线、平面位置关系的基础上，抽象出空间点、直线、平面的位置关系的定义. 2.了解并能运用四个基本事实和一个定理、三个推论判断有关命题的真假，会解决一些简单的证明问题. 三、知识导图 1．与平面有关的基本事实及推论 （1）四个基本事实 基本事实1：过①_  _  一条直线上的三个点，有且只有一个平面. 基本事实2：如果一条直线上的②_  _  _  _  _  _  在一个平面内，那么这条直线在这个平面内. 基本事实3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有③_  _  过该点的公共直线. 基本事实4：平行于同一条直线的两条直线④_  _  . （2）三个推论 推论1：经过一条直线和这条直线外一点，有且只有⑤_  _  平面. 推论2：经过两条⑥_  _  直线，有且只有一个平面. 推论3：经过两条⑦_  _  直线，有且只有一个平面. 2．空间中直线与直线的位置关系 （1）位置 （2）等角定理：如果空间中两个角的两条边分别对应平行,那么这两个角⑨  . （3） 异面直线所成的角 ①定义：设,是两条异面直线,经过空间中任一点分别作直线，，我们把直线与所成的角叫做异面直线与所成的角（或夹角）. ②范围：⑩  . 3.空间中直线、平面的位置关系 类别 位置关系 符号 直线和平面 直线在平面内 直线在 平面外 直线与平面相交 直线与平面平行 平面和平面 两平面平行 两平面相交 考点一：证明“点共面”、“线共面”或“点共线”及“线共点” 典例1．如图，在直三棱柱中，，，E、F、G、H分别为、、、的中点，则下列说法中错误的是（    ） A． B．E、F、G、H四点共面 C．设，则平面截该三棱柱所得截面的周长为 D．、、三线共点 典例2．（2025·四川绵阳·模拟）如图，在直三棱柱中，，，E、F、G、H分别为AB、AC的中点，则下列说法中正确的是（   ） A． B．E、F、G、H四点共面 C．设，则平面截该三棱柱所得截面的周长为 D．EF、GH、三线共点 【方法技巧】 利用共面的判定，结合直线与平面的关系，作出平面与三棱柱截面的图形，是解决C选项的关键所在，需要有较强的推理能力. 跟踪训练1．， ，是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是 A．， B．， C．， ，共面 D．， ，共点 ， ，共面 跟踪训练2．（24-25高三上·湖南·期中）如图，在直三棱柱中，，，E，F，G，H分别为，，，的中点，则下列说法正确的是（    ） A． B．，，三线不共点 C．与平面所成角为 D．设，则多面体的体积为1 考点二：截面问题 典例1．（2025·海南儋州·模拟）用一个平面去截正方体，得到的截面图形可以是三角形，四边形，……，若得到的截面图形是四边形，那么这个截面四边形可能是（   ） A．平行四边形 B．菱形 C．梯形 D．对边都不平行的四边形 典例2．如图，在棱长为2的正方体中，已知分别是棱的中点，则平面截正方体所得的截面面积为 ，若为平面上的动点，且直线与直线的夹角为，则点的轨迹长度为 ．    【方法技巧】 （1）作截面应遵循的三个原则：①在同一平面上的两点可引直线；②凡是相交的直线都要画出它们的交点；③凡是相交的平面都要画出它们的交线． （2）作交线的方法有如下两种：①利用基本事实3作交线； ②利用线面平行及面面平行的性质定理去寻找线面平行及面面平行，然后根据性质作出交线． 跟踪训练1．（2025·浙江·三模）在棱长为的正方体中，、分别为、的中点，过直线的平面截该正方体所得截面，则当平面与平面的所成角为最小时，截面的面积为（   ） A． B． C． D． 跟踪训练2．（2025·江西·二模）（多选题）如图，在棱长为2的正方体中，点分别是棱的中点，是侧面内（含边界）的一动点，且满足平面，则下列说法正确的是（    ）    A．点的轨迹是一条长为的线段 B．平面截正方体所得截面的面积为 C．直线与平面所成角的正弦值的最大值为 D．过点作正方体外接球的截面，所得截面面积的最小值为 考点三：异面直线 典例1．（2025·上海·模拟预测）如图，是正四棱台，则下列各组直线中属于异面直线的是（   ）．    A．和； B．和； C．和； D．和． 典例2．（25-26高三上·江苏镇江·开学考试）在正方体中，点满足，则（    ） A．与一定是异面直线 B．与一定是异面直线 C． D．平面 【方法技巧】 1. 判断空间两条直线为异面直线的常用方法包括： （1）直接法：若平面外一点A与平面内一点B的连线，和平面内不经过点B的直线，则这两条直线为异面直线。 （2）间接法：若两条直线在平面上不可能共面（即不平行也不相交），则可推断它们为异面直线。 2. 在判定点、直线和平面的位置关系时，建议构建几何体模型（如长方体或正方体）辅助分析，其中正方体模型尤为常用。 3. 计算异面直线所成夹角的步骤分为三步： 一作：依据定义绘制平行线，以确定异面直线形成的夹角。 二证：验证所绘制的夹角确实为异面直线所成的角。 三求：通过解三角形的方法，求解该夹角的大小。 跟踪训练1．如图所示，在正方体中，点为线段上的动点，则下列直线中，始终与直线异面的是（ ） A． B． C． D． 跟踪训练2．如图，正方体的棱长为为与的交点，则下列判断正确的是（    ） A．直线与直线是异面直线 B．平面 C．直线与直线所成角是 D．在直线上存在点，使平面 考点四：平面的基本性质 典例1．（2025·广西南宁·模拟）以下选项正确的是（   ） A．空间中两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内. B．过空间中任意三点有且仅有一个平面. C．若空间两条直线不相交，则这两条直线平行. D．若直线平面，直线平面，则. 典例2．（2025·海南·模拟）已知正四面体棱长为4，所有与它四个顶点距离相等的平面截这个四面体所得的截面之和为（   ） A．4 B． C． D． 【方法技巧】 平面的基础性质包含三点核心内容：一、当任意三个点不共线时，它们能唯一地定义一个平面；二、任意两条平行直线可以唯一地确定一个平面；三、对于不在同一直线上的三个点，恰好存在一个平面通过它们。这些性质体现了平面作为二维空间的基本组成部分，其存在与确定的唯一性特征。 跟踪训练1．是两个不同的点，为两个不同的平面，下列推理错误的是（    ） A． B． C． D． 跟踪训练2．已知直线l与平面相交于点P，则（    ） A．内不存在直线与l平行 B．内有无数条直线与l垂直 C．内所有直线与l是异面直线 D．至少存在一个过l且与垂直的平面 考点五：等角定理 典例1．在空间中，下列说法正确的是（    ） A．若的两边分别与的两边平行，则 B．若二面角的两个半平面，分别垂直于二面角的两个半平面，，则这两个二面角互补 C．若直线平面，直线，则 D．到四面体的四个顶点A，B，C，D距离均相等的平面有且仅有7个 典例2．如图，在正方体中，是棱的中点，记平面与平面的交线为，平面与平面的交线为，若直线分别与所成的角为，则 ， . 【方法技巧】 在空间中，当两个角的两组边分别对应平行时，这两个角要么大小相等，要么互为补角（即它们的角度和等于180度）。 跟踪训练1．过正方形的顶点作直线，使得与直线，所成的角均为，则这样的直线的条数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 跟踪训练2．我们知道，平面几何中有些正确的结论在空间中不一定成立．下面给出的平面几何中的四个真命题， 在空间中仍然成立的有（    ） A．平行于同一条直线的两条直线必平行 B．垂直于同一条直线的两条直线必平行 C．一个角的两边分别平行于另一个角的两边，那么这两个角相等或互补 D．一个角的两边分别垂直于另一个角的两边，那么这两个角相等或互补 1．在空间中，下列命题是真命题的是（    ） A．三条直线最多可确定1个平面 B．三条直线最多可确定2个平面 C．三条直线最多可确定3个平面 D．三条直线最多可确定4个平面 2．过圆锥高的中点作平行于底面的截面，则截面分圆锥上部分圆锥与下部分圆台体积比为（    ） A． B． C． D． 3．下列说法中正确的是（    ） A．平行于同一直线的两个平面平行 B．垂直于同一平面的两个平面垂直 C．一块蛋糕3刀可以切成6块 D．一条直线上有两个点到一平面的距离相等，则这条直线在平面内 4．空间两个角α，β的两边分别对应平行，且α=60°，则β为（　　） A．60° B．120° C．30° D．60°或120° 5．空间中有三条两两异面的直线，为其中一条直线上一定点，过引直线使其与这三条异面直线都相交，则对于任意的定点，存在的直线有（     ）条. A． B． C． D．无数 6．在空间中，下列命题是真命题的是（    ） A．经过三个点有且只有一个平面 B．平行于同一平面的两直线相互平行 C．如果两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等 D．如果两个相交平面垂直于同一个平面，那么它们的交线也垂直于这个平面 7．平面过正方体ABCD—A1B1C1D1的顶点A，，，则m，n所成角的正切值为 A． B． C． D． 8．（2025·山东菏泽·一模）（多选题）若从正方体的八个顶点中任取四个顶点，则下列说法正确的有（   ） A．若这四点不共面，则这四点构成的几何体的体积都相等 B．这四点能构成三棱锥的个数为58 C．若正方体棱长为a，则这四点能构成的所有三棱锥中表面积的最大值为 D．若这四点分别记为A，B，C，D，则直线与所成的角不可以为30° 9．（2025·山西·三模）（多选题）如图，正方体的棱长为2，，分别是棱和的中点．则（   ） A． B．平面与侧面的交线长为 C．点到平面的距离为 D．与平面所成角的余弦值为 10．已知正三棱锥的底面边长为，，，分别是棱，，的中点，若是等腰直角三角形，则该三棱锥的外接球的表面积为 ． 1．（2025·江西·一模）如图，正方体的棱长为1，，分别为，的中点，在上，且，平面与棱所在直线交于点，则（   ）    A． B． C． D． 2．（2025·山东济南·三模）如图，下列正方体中，M，N，P，Q分别为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线MN和PQ为异面直线的是（   ） A． B． C． D． 3．（2025·江苏·模拟）已知正三棱锥的侧棱长为，为线段上一点，，．设三棱锥外接球为球，过点作球的截面，则截面面积的最小值为（   ） A． B． C． D． 4．（2025·内蒙古包头·模拟）如图，正方体的棱长为2，分别是棱的中点，点是底面内一动点，则下列结论正确的为（   ） A．不存在点，使得平面 B．过三点的平面截正方体所得截面图形是五边形 C．三棱锥的体积为4 D．三棱锥的外接球表面积为 5．（2025·江苏南通·三模）已知正三棱台，，点O为底面，的重心，过点O，，的截面将该三棱台分成两个几何体，则这两个几何体的体积之比为（   ） A． B． C． D． 6．（2025·安徽芜湖·二模）（多选题）如图，在正方体中，为过正方体的任意两个顶点的直线，则（   ） A．S有56个元素 B．若，则满足平面的概率为 C．S中有4个元素与正方体所有棱的夹角相等 D．若，则，为异面直线的概率为 7．（2025·山东潍坊·二模）（多选题）在正方体中，、分别为线段、的中点，则（   ） A．与异面 B．平面 C． D．平面 8．（2025·贵州贵阳·模拟预测）（多选题）已知E，F，G，H分别是正方体的棱的中点，，则（   ） A．直线与直线异面 B．直线交于同一点 C．过三点的平面截正方体所得截面图形的周长为 D．动点K在侧面内（含边界），且，则动点K的轨迹长度为 9．（2025·湖北·三模）（多选题）在棱长为2的正方体中，分别是棱的中点，动点在正方体表面运动，则（    ） A．与为异面直线 B．与所成的角为 C．平面截该正方体所得截面形状为等腰梯形 D．，则点轨迹长度为 10．（2025·山东青岛·一模）如图，在多面体中，，的中点为. (1)求证：四点共面； (2)若直线与平面所成角的正弦值为，求平面与平面夹角的大小. 1．（2021·新课标乙卷·理5题）在正方体中，P为的中点，则直线与所成的角为（    ） A． B． C． D． 2.（2020·山东卷·16题）已知直四棱柱ABCD–A1B1C1D1的棱长均为2，∠BAD=60°．以为球心，为半径的球面与侧面BCC1B1的交线长为________． 3.（2020·浙江卷·6题已知空间中不过同一点的三条直线m，n，l，则“m，n，l在同一平面”是“m，n，l两两相交”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 4．（2021·浙江·6题）如图已知正方体，M，N分别是，的中点，则（    ） A．直线与直线垂直，直线平面 B．直线与直线平行，直线平面 C．直线与直线相交，直线平面 D．直线与直线异面，直线平面 5．（2024·甲卷（文）·11题）设是两个平面，是两条直线，且.下列四个命题： ①若，则或          ②若，则 ③若，且，则       ④若与和所成的角相等，则 其中所有真命题的编号是（    ） A．①③ B．②④ C．①②③ D．①③④ 6．（2024·天津卷·5题）若为两条不同的直线，为一个平面，则下列结论中正确的是（   ） A．若，，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则与相交 7．（2025·天津卷·4题）若为直线，，为两个平面，则下列结论中正确的是　　 A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $ 第03讲 空间点、直线、平面之间的位置关系 目录 01 考情研究 2 02 知识梳理· 3 03 探究核心考点 4 考点一：证明“点共面”、“线共面”或“点共线”及“线共点” 6 考点二：截面问题 29 考点三：异面直线的判定及所成角 9 考点四：平面的基本性质 13 考点五：等角定理 15 三阶段突破训练 基础训练· 51 能力提升 54 真题感知 55 一、5年真题考点分布 5年考情 考题示例 考点分析 考情分析 （1）基本事实的应用 （2）空间位置关系的判断 （3）异面直线所成的角 2025年天津卷第4题，5分 2024年甲卷（文）第11题，5分 2024年天津卷第5题，5分 2023年上海卷第15题，5分 2022年上海卷第15题，5分 2022年I卷第9题，5分 2021年乙卷（文）第10题，5分 本节内容是高考命题的热点，重点关注异面直线的判定和成角问题、空间点线面的位置关系问题．对于空间几何体的点、线、面 的位置关系，除了题目难度逐步提升，还增加了截面问题，对考生的空间想象能力要求有所提升，需要考生有更强大的逻辑推理能力． 二、课标要求 1.借助长方体，在直观认识空间点、直线、平面位置关系的基础上，抽象出空间点、直线、平面的位置关系的定义. 2.了解并能运用四个基本事实和一个定理、三个推论判断有关命题的真假，会解决一些简单的证明问题. 三、知识导图 1．与平面有关的基本事实及推论 （1）四个基本事实 基本事实1：过①_  _  一条直线上的三个点，有且只有一个平面. 基本事实2：如果一条直线上的②_  _  _  _  _  _  在一个平面内，那么这条直线在这个平面内. 基本事实3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有③_  _  过该点的公共直线. 基本事实4：平行于同一条直线的两条直线④_  _  . （2）三个推论 推论1：经过一条直线和这条直线外一点，有且只有⑤_  _  平面. 推论2：经过两条⑥_  _  直线，有且只有一个平面. 推论3：经过两条⑦_  _  直线，有且只有一个平面. 【答案】不在； 两个点； 一条； 平行； 一个； 相交； 平行 2．空间中直线与直线的位置关系 （1）位置 （2）等角定理：如果空间中两个角的两条边分别对应平行,那么这两个角⑨  . （3） 异面直线所成的角 ①定义：设,是两条异面直线,经过空间中任一点分别作直线，，我们把直线与所成的角叫做异面直线与所成的角（或夹角）. ②范围：⑩  . 【答案】任何； 相等或互补； 3.空间中直线、平面的位置关系 类别 位置关系 符号 直线和平面 直线在平面内 直线在 平面外 直线与平面相交 直线与平面平行 平面和平面 两平面平行 两平面相交 考点一：证明“点共面”、“线共面”或“点共线”及“线共点” 典例1．如图，在直三棱柱中，，，E、F、G、H分别为、、、的中点，则下列说法中错误的是（    ） A． B．E、F、G、H四点共面 C．设，则平面截该三棱柱所得截面的周长为 D．、、三线共点 【答案】C 【解析】如图， 连接，由分别为中点，可得， 由可知，侧面为菱形， 所以，所以，故A正确； 连接，因为E、F、G、H分别为、、、的中点， 所以，，所以，所以E、F、G、H四点共面，故B正确； 延长交的延长线于点，连接，交于点，连接，， 设确定平面为，则，所以，所以， 则易知三棱柱的截面四边形为， 在中，， 在中，，而中，， 而，所以截面的周长大于，故C错误； 由B知，且，所以梯形的两腰、所在直线必相交于一点， 因为平面，平面， 又平面平面，所以，所以与重合， 即、、三线共点于，故D正确. 故选：C 典例2．（2025·四川绵阳·模拟）如图，在直三棱柱中，，，E、F、G、H分别为AB、AC的中点，则下列说法中正确的是（   ） A． B．E、F、G、H四点共面 C．设，则平面截该三棱柱所得截面的周长为 D．EF、GH、三线共点 【答案】ABD 【解析】如图， 连接，，由H，G分别为CA，中点，可得， 由可知，侧面为菱形， 所以，所以，故A正确； 连接HE，GF， 因为E、F、G、H分别为AB、AC的中点， 所以，，所以， 所以E、F、G、H四点共面，故B正确； 延长FE交的延长线于P点，连接，交AC于Q点，连接QE，， 设FE，确定平面为α，则P，，所以，所以，， 则易知三棱柱的截面四边形为，在中，， 在中，，而中，， 而，所以截面的周长大于，故C错误； 由B知，且，所以梯形的两腰EF、GH所在直线必相交于一点， 因为平面，平面，又平面平面， 所以，所以与P重合， 即EF、GH、三线共点于P，故D正确． 故选：ABD 【方法技巧】 利用共面的判定，结合直线与平面的关系，作出平面与三棱柱截面的图形，是解决C选项的关键所在，需要有较强的推理能力. 跟踪训练1．， ，是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是 A．， B．， C．， ，共面 D．， ，共点 ， ，共面 【答案】B 【解析】因为如果一条直线平行于两条垂线中的一条，必定垂直于另一条．选项A，可能相交．选项C中，可能不共面，比如三棱柱的三条侧棱，选项D，三线共点，可能是棱锥的三条棱，因此错误．选B. 跟踪训练2．（24-25高三上·湖南·期中）如图，在直三棱柱中，，，E，F，G，H分别为，，，的中点，则下列说法正确的是（    ） A． B．，，三线不共点 C．与平面所成角为 D．设，则多面体的体积为1 【答案】AC 【解析】 对于A，如图，连接，，由G，E分别为，的中点，可得， 由可知，侧面为正方形，所以，所以，故A正确； 对于B，如图，连接，，由题易知, 则，延长，相交于点P， 因为，平面，所以平面， 因为，平面，所以平面， 因为平面平面，所以， 所以，，三线共点，故B错误； 对于C，作于点M， 因为，，，平面，平面，所以平面， 因为平面，所以， 又，所以， 又，平面，平面，所以平面. 而，所以为与平面所成的角，等于，故C正确； 对于D，过点H作交于点D，过点D作，连接， 易知直三棱柱的底面是直角边长为1的等腰直角三角形， 柱高，则， 四棱锥的底面是边长为1的正方形，锥高， 则， 则多面体的体积为.故D错误. 故选:AC. 考点二：截面问题 典例1．（2025·海南儋州·模拟）用一个平面去截正方体，得到的截面图形可以是三角形，四边形，……，若得到的截面图形是四边形，那么这个截面四边形可能是（   ） A．平行四边形 B．菱形 C．梯形 D．对边都不平行的四边形 【答案】ABC 【解析】如下图，正方体中均为中点， 所以四边形为平行四边形，也是菱形，四边形为梯形，A、B、C对； 用任意平面截正方体，所得截面为四边形，必有一对边在一对平行的侧面上， 所以四边形必有一对边平行，D错. 故选：ABC 典例2．如图，在棱长为2的正方体中，已知分别是棱的中点，则平面截正方体所得的截面面积为 ，若为平面上的动点，且直线与直线的夹角为，则点的轨迹长度为 ．    【答案】 【解析】如图1，扩展过M,N,P三点的平面，    可知平面与正方体相交的截面即为正六边形，其边长为， 因此面积为． 由上可知，平面，且垂足H为的中点， 如图2，动直线是以为轴、直线与直线的夹角为的圆锥的母线， 点Q的轨迹为圆锥底面圆．           图2 因为，所以底面圆的半径， 所以点Q的轨迹长度为． 故答案为：； 【方法技巧】 （1）作截面应遵循的三个原则：①在同一平面上的两点可引直线；②凡是相交的直线都要画出它们的交点；③凡是相交的平面都要画出它们的交线． （2）作交线的方法有如下两种：①利用基本事实3作交线； ②利用线面平行及面面平行的性质定理去寻找线面平行及面面平行，然后根据性质作出交线． 跟踪训练1．（2025·浙江·三模）在棱长为的正方体中，、分别为、的中点，过直线的平面截该正方体所得截面，则当平面与平面的所成角为最小时，截面的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 则、，设平面交直线于点， 则，， 设平面的一个法向量为，则， 取，可得， 易知平面的一个法向量为， 设平面与平面的所成角为， ， 当且仅当时，取最大值，此时平面与平面所成角最小， 则， 设平面交棱于点，， 因为，则，解得，即点， 结合图形可知，平面分别交棱、于点、， 先证明射影面积法：设点在平面内的射影点为，如下图所示： 过点在平面内作，连接， 因为平面，平面，所以， 因为，，、平面，故平面， 因为平面，所以， 故为锐二面角的平面角， 在中，， 推广到其他多边形的面积也成立， 本题中，， 设截面的面积为，由射影面积法可得， 故. 故选：B. 跟踪训练2．（2025·江西·二模）（多选题）如图，在棱长为2的正方体中，点分别是棱的中点，是侧面内（含边界）的一动点，且满足平面，则下列说法正确的是（    ）    A．点的轨迹是一条长为的线段 B．平面截正方体所得截面的面积为 C．直线与平面所成角的正弦值的最大值为 D．过点作正方体外接球的截面，所得截面面积的最小值为 【答案】ACD 【解析】对于A，取分别为的中点，连接，所以， 因为分别是棱的中点，所以，所以， 又平面，平面，所以平面， 又易得且，所以四边形是平行四边形， 所以且，又且， 所以且，所以四边形是平行四边形， 所以，又平面，平面，所以平面， 又，平面，所以平面平面， 因为平面，所以平面，又是侧面内， 所以，又，所以点的轨迹是一条长为的线段，故A正确； 对于B，易证，又，所以， 所以平面截正方体所得截面截面为等腰梯形， 又，所以等腰梯形的高为， 所以截面面积为，故B错误；    对于C，因为平面，所以为直线与平面所成的角， 在中，，所以最小时，正弦值最大， 所以当点在线段中点时，最小，最小值为， 此时线面角的正弦值为，故C正确； 对于D，正方体的外接球的半径为， 当点在或处时，正方体的中心（即外接球球心）离点距离最远为， 此时以点为截面圆心，截面圆半径最小为，所以截面面积的最小值为，故D正确. 故选：ACD. 考点三：异面直线 典例1．（2025·上海·模拟预测）如图，是正四棱台，则下列各组直线中属于异面直线的是（   ）．    A．和； B．和； C．和； D．和． 【答案】D 【解析】因为是正四棱台，所以，故A错误， 侧棱延长交于一点，所以与相交，故B错误， 同理与也相交，所以四点共面，所以与相交，故C错误， 与是异面直线，故D正确. 故选：D 典例2．（25-26高三上·江苏镇江·开学考试）在正方体中，点满足，则（    ） A．与一定是异面直线 B．与一定是异面直线 C． D．平面 【答案】BCD 【解析】由，即在线段上， A：当为与的交点时，由，即共面， 此时平面，则与不是异面直线，错； B：由平面，平面，平面，且， 所以与一定是异面直线，对；    C：由平面，平面，则， 而，，且平面， 所以平面，平面，则， 同理可得，，且平面， 所以平面，平面，则，对； D：由且，即为平行四边形，即， 由平面，平面，则平面， 同理可证平面，而，平面， 所以平面平面，平面，则平面，对. 故选：BCD 【方法技巧】 1. 判断空间两条直线为异面直线的常用方法包括： （1）直接法：若平面外一点A与平面内一点B的连线，和平面内不经过点B的直线，则这两条直线为异面直线。 （2）间接法：若两条直线在平面上不可能共面（即不平行也不相交），则可推断它们为异面直线。 2. 在判定点、直线和平面的位置关系时，建议构建几何体模型（如长方体或正方体）辅助分析，其中正方体模型尤为常用。 3. 计算异面直线所成夹角的步骤分为三步： 一作：依据定义绘制平行线，以确定异面直线形成的夹角。 二证：验证所绘制的夹角确实为异面直线所成的角。 三求：通过解三角形的方法，求解该夹角的大小。 跟踪训练1．如图所示，在正方体中，点为线段上的动点，则下列直线中，始终与直线异面的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由正方体的性质易知当为的中点时，为的中点， 而，所以共面，则、在平面上，故A不符题意； 因为，即共面， 易知平面，而平面，，， 故与异面，故B符合题意； 当、重合时，易知， 则四边形是平行四边形，则此时，故C不符合题意； 当、重合时，显然，相交，故D不符合题意. 故选：B. 跟踪训练2．如图，正方体的棱长为为与的交点，则下列判断正确的是（    ） A．直线与直线是异面直线 B．平面 C．直线与直线所成角是 D．在直线上存在点，使平面 【答案】BD 【解析】对于A，由图可知直线与直线都在平面中，故A错误； 对于B，正方体的棱长为1，由图可知直线， 又平面，平面，所以平面，故B正确； 对于C，由正方体性质知， 所以直线与直线所成角为直线与直线所成角， 因为为正方形，所以，即直线与直线所成角是，故C错误 ； 对于D，连接，，，取的中点，连接，则， 因为平面，平面，所以， 又，，平面，所以平面， 所以平面，即在点处时，可使平面，故D正确． 故选：BD 考点四：平面的基本性质 典例1．（2025·广西南宁·模拟）以下选项正确的是（   ） A．空间中两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内. B．过空间中任意三点有且仅有一个平面. C．若空间两条直线不相交，则这两条直线平行. D．若直线平面，直线平面，则. 【答案】AD 【解析】对于A，可设与相交， 这两条直线确定的平面为；若与相交，则交点在平面内， 同理，与的交点也在平面内，所以，，即，故A正确； 对于B，若三点共线，则过这三个点的平面有无数个，故B错误； 对于C，空间中两条直线相交、平行或异面，故C错误； 对于D，若直线平面，则垂直于平面内所有直线， 直线平面，直线直线，故D正确. 故选：AD. 典例2．（2025·海南·模拟）已知正四面体棱长为4，所有与它四个顶点距离相等的平面截这个四面体所得的截面之和为（   ） A．4 B． C． D． 【答案】C 【解析】如图1，E，F，G分别为正四面体棱的中点，此时它的四个顶点到截面EFG的距离相等， 是边长为2的等边三角形，．这样的截面有4个； 如图2，E，F，M，N分别为正四面体棱的中点， 此时它的四个顶点到截面EFMN的距离相等， 四边形EFMN是边长为2的正方形，，这样的截面有3个， 所以满足条件的截面的面积之和为：． 故选：C．    【方法技巧】 平面的基础性质包含三点核心内容：一、当任意三个点不共线时，它们能唯一地定义一个平面；二、任意两条平行直线可以唯一地确定一个平面；三、对于不在同一直线上的三个点，恰好存在一个平面通过它们。这些性质体现了平面作为二维空间的基本组成部分，其存在与确定的唯一性特征。 跟踪训练1．是两个不同的点，为两个不同的平面，下列推理错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】A，直线上两个不同点在某个平面内，则直线在该平面内，故正确； B，两个不同点同时在两个不同平面内，则两点所在直线为两平面的交线，故正确； C，有两种情况，与相交或，其中与相交，且交点为A点，则C错误； D，直线在面内，则直线上的点都在面内，故结论正确； 故选：C. 跟踪训练2．已知直线l与平面相交于点P，则（    ） A．内不存在直线与l平行 B．内有无数条直线与l垂直 C．内所有直线与l是异面直线 D．至少存在一个过l且与垂直的平面 【答案】ABD 【解析】已知直线与平面相交于点，若α内存在直线n与l平行，则直线n与l确定一个平面， 由，，且，，则与重合， 有，与矛盾，故选项A正确. 设直线在平面内的射影为PO，根据三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和穿过这个平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直.所以平面内与射影PO垂直的直线，与直线垂直.又因为在平面内与直线平行的直线都与直线垂直，而在平面内与一条直线平行的直线有无数条，所以平面内有无数条直线与垂直，故选项B正确. 在平面内过点的直线，因为直线与直线都过点，根据相交直线的定义：两条直线有且只有一个公共点，则这两条直线相交，所以直线与直线相交，并非异面直线，故选项C错误. 如图，取直线上除斜足外一点，过该点作平面的垂线. 因为，且平面，平面，根据平面与平面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直，所以平面垂直于平面，即至少存在一个过且与垂直的平面，故选项D正确. 故选：ABD. 考点五：等角定理 典例1．在空间中，下列说法正确的是（    ） A．若的两边分别与的两边平行，则 B．若二面角的两个半平面，分别垂直于二面角的两个半平面，，则这两个二面角互补 C．若直线平面，直线，则 D．到四面体的四个顶点A，B，C，D距离均相等的平面有且仅有7个 【答案】D 【解析】根据等角定理知两角可能相等也可能互补则A不正确; 对于B根据条件可得两个二面角可能互补也可能相等则B不正确; 对于C直线或，则C不正确； 对于D距离四面体的四个顶点A，B，C，D距离均相等的平面 有平面一侧有一个顶点，另一侧有三个顶点，这样的平面有4个， 它们为各面上的高的中垂面（垂直平分高）. 平面两侧各有两个顶点， 它们分别过除一组对棱外的其余四条棱的中点，这样的平面有3个． 故共有7个满足条件的平面．故D正确. 故选：D 典例2．如图，在正方体中，是棱的中点，记平面与平面的交线为，平面与平面的交线为，若直线分别与所成的角为，则 ， . 【答案】 【解析】在正方体中，是棱的中点， 延长与延长线交于点，连接，则直线即为直线，， 由，得，又，于是， 由平面平面，平面平面，平面平面， 则，又，因此，， 所以. 故答案为：； 【方法技巧】 在空间中，当两个角的两组边分别对应平行时，这两个角要么大小相等，要么互为补角（即它们的角度和等于180度）。 跟踪训练1．过正方形的顶点作直线，使得与直线，所成的角均为，则这样的直线的条数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解析】因为，所以作直线，使得与直线，所成的角均为，即过点A在空间作直线l，使得与直线，所成的角均为.    因为，的外角平分线与所成的角相等，均为，所以在平面内有一条满足要求. 因为的角平分线与所成的角相等均为，将角平分线绕点D向上转动到与面垂直的过程中，存在两条直线与直线所成的角都等于. 故符合条件的直线有3条. 故选：C 跟踪训练2．我们知道，平面几何中有些正确的结论在空间中不一定成立．下面给出的平面几何中的四个真命题， 在空间中仍然成立的有（    ） A．平行于同一条直线的两条直线必平行 B．垂直于同一条直线的两条直线必平行 C．一个角的两边分别平行于另一个角的两边，那么这两个角相等或互补 D．一个角的两边分别垂直于另一个角的两边，那么这两个角相等或互补 【答案】AC 【解析】根据线线平行具有传递性可知A正确；空间中垂直于同一条直线的两条直线，位置关系可能是异面、相交、平行，故B错误；根据定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补可知C正确； 如图，且， 则但和的关系不确定， 故D错误. 故选：AC 1．在空间中，下列命题是真命题的是（    ） A．三条直线最多可确定1个平面 B．三条直线最多可确定2个平面 C．三条直线最多可确定3个平面 D．三条直线最多可确定4个平面 【答案】C 【解析】在空间中，三条直线最多可确定个平面，例如：三棱锥中的三个侧面. 故选：C 2．过圆锥高的中点作平行于底面的截面，则截面分圆锥上部分圆锥与下部分圆台体积比为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设截面圆半径为r，圆锥的高为h，圆锥的体积为,则圆台下底面圆的半径为2r，圆台的高为h，圆台的体积为，所以，，可得. 故选：D. 3．下列说法中正确的是（    ） A．平行于同一直线的两个平面平行 B．垂直于同一平面的两个平面垂直 C．一块蛋糕3刀可以切成6块 D．一条直线上有两个点到一平面的距离相等，则这条直线在平面内 【答案】C 【解析】对A，平行于同一直线的两个平面可以平行也可以相交，故A错误； 对于B，垂直同一个平面的两个平面不一定互相垂直，也可以相交、平行，故B错误. 对C，作蛋糕截面如图所示， 一个蛋糕切3刀可以切成块，故C正确； 对D，一条直线上有两个点到一平面的距离相等，则这条直线在平面内或该直线与平面平行或直线与平面相交，故D错误. 故选： C. 4．空间两个角α，β的两边分别对应平行，且α=60°，则β为（　　） A．60° B．120° C．30° D．60°或120° 【答案】D 【解析】根据等角定理，两个角的两边分别对应平行，则两个角相等或互补，所以为或，故选D. 5．空间中有三条两两异面的直线，为其中一条直线上一定点，过引直线使其与这三条异面直线都相交，则对于任意的定点，存在的直线有（     ）条. A． B． C． D．无数 【答案】A 【解析】如图：在正方体中，不妨设三条两两异面的直线为， 令，作平面过，则过与相交的直线都在平面内， 作平面过，则过与相交的直线都在平面内，. 平面与平面不平行且不重合，有且仅有一条公共直线， 所以直线只有1条. 故选：A. 6．在空间中，下列命题是真命题的是（    ） A．经过三个点有且只有一个平面 B．平行于同一平面的两直线相互平行 C．如果两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等 D．如果两个相交平面垂直于同一个平面，那么它们的交线也垂直于这个平面 【答案】D 【解析】当三点在一条直线上时，可以确定无数个平面，故A错误； 平行于同一平面的两直线可能相交，故B错误； 由等角定理可知，如果两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补，故C错误； 如果两个相交平面垂直于同一个平面，且，则在平面、内分别存在直线垂直于平面，由线面垂直的性质可知，再由线面平行的判定定理得，由线面平行的性质得出，则，故D正确； 故选：D 7．平面过正方体ABCD—A1B1C1D1的顶点A，，，则m，n所成角的正切值为 A． B． C． D． 【答案】A 【解析】如图，由正方体的性质可知为等边三角形， ，，， 由面面平行的性质，可得，， m，n所成角与相等，即m，n所成角为， 则m，n所成角的正切值为. 故选A. 8．（2025·山东菏泽·一模）（多选题）若从正方体的八个顶点中任取四个顶点，则下列说法正确的有（   ） A．若这四点不共面，则这四点构成的几何体的体积都相等 B．这四点能构成三棱锥的个数为58 C．若正方体棱长为a，则这四点能构成的所有三棱锥中表面积的最大值为 D．若这四点分别记为A，B，C，D，则直线与所成的角不可以为30° 【答案】BCD 【解析】如图： 对A：设，则，，所以A不正确； 对B：从正方体的8个顶点中任选4个的选法有中，其中不能构成三棱锥的有：①四个点在正方体的一个面上，即所选四点为：,，，，，共6个；②所选四个点在正方体的相对棱上，即所选的四点为：，，，，，，共6个. 所以所选的四个点可以构成三棱锥的个数为：个，故B正确； 对C：正方体棱长为a，从正方体的8个顶点中选3个，构成三角形，其中面积最大的就是象这样的等边三角形，其边长为，面积为，所以四点能构成的所有三棱锥中表面积的最大的就是三棱锥这样的正四面体，其表面积为，故C正确； 对D：在正方体的8个顶点中选4个，连成两条直线，所成的角最小的就是形如直线与的所成的角，设为，则，所以，故D正确. 故选：BCD 9．（2025·山西·三模）（多选题）如图，正方体的棱长为2，，分别是棱和的中点．则（   ） A． B．平面与侧面的交线长为 C．点到平面的距离为 D．与平面所成角的余弦值为 【答案】BC 【解析】因为与不垂直，又，所以与不垂直，故A错误； 由， 所以四点共面，平面， 所以平面与侧面的交线为，由正方体棱长为2，得，故B正确； 以为坐标原点，建立如图所示坐标系．则，，，，， 所以，，，， 设平面的一个法向量为，由得 令，则，，所以为平面的一个法向量， 所以点到平面的距离，故C正确； 设与平面所成角为，则，所以， 所以与平面所成角的余弦值为，故D错误． 故选：BC. 10．已知正三棱锥的底面边长为，，，分别是棱，，的中点，若是等腰直角三角形，则该三棱锥的外接球的表面积为 ． 【答案】 【解析】在正三棱锥中，，，分别是棱，，的中点， 则，，而是等腰直角三角形，即， 因此，，，即有正三棱锥的侧棱两两垂直， 以为棱的平行六面体是正方体，这个正方体与正三棱锥有相同的外接球， 因正三棱锥的底面边长为，则侧棱， 于是得正三棱锥外接球半径， 所以三棱锥的外接球的表面积为. 故答案为： 1．（2025·江西·一模）如图，正方体的棱长为1，，分别为，的中点，在上，且，平面与棱所在直线交于点，则（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【解析】    在正方体中，根据正方体的性质可得平面与平面平行， 利用面面平行的性质定理可得平面与它们的交线平行， 所以过点作直线的平行线与延长线交于一点， 此交点即为平面与棱所在直线交点，连接，如图所示. 所以四边形是平行四边形，所以， 又，分别为，的中点，所以， 因为，所以，所以， 又因为，所以，所以. 故选：. 2．（2025·山东济南·三模）如图，下列正方体中，M，N，P，Q分别为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线MN和PQ为异面直线的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】对于A，如图，，四点共面，A不是； 对于B，如图，，四点共面，B不是； 对于C，如图，，四点共面，C不是； 对于D，如图，平面，平面，平面，直线， 则与是异面直线，D是. 故选：D 3．（2025·江苏·模拟）已知正三棱锥的侧棱长为，为线段上一点，，．设三棱锥外接球为球，过点作球的截面，则截面面积的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】如图在正三棱锥中，平面，且为的中心，为中线，如图以点为原点，的平行线为轴，为轴，建立空间直角坐标系， 设，则所以， 由于，所以，则， 所以， 因为，则解得， 设，则，则，得，所以， 过点作球的截面，当时，截面面积的最小， ，所以截面圆半径为，则面积为. 故选：B 4．（2025·内蒙古包头·模拟）如图，正方体的棱长为2，分别是棱的中点，点是底面内一动点，则下列结论正确的为（   ） A．不存在点，使得平面 B．过三点的平面截正方体所得截面图形是五边形 C．三棱锥的体积为4 D．三棱锥的外接球表面积为 【答案】D 【解析】对于A，当为中点时，由三角形中位线定理可得， 因为平面，平面，所以平面．故A错误； 对于B，由中位线可得，在正方体中，易证，所以， 即就是一条截线，连，得截面，又因，所以截面为梯形，故B错误； 对于C，点到平面的距离为2， 故，故C错误； 对于D，因两两垂直， 则三棱锥的外接球可以补形成以这三边长为长、宽、高的长方体的外接球， 则外接球半径即该长方体的体对角线的一半，即， 故其表面积，故D正确． 故选：D. 5．（2025·江苏南通·三模）已知正三棱台，，点O为底面，的重心，过点O，，的截面将该三棱台分成两个几何体，则这两个几何体的体积之比为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 根据，不妨设上底面边长为2，下底面边长为3， 则在正三棱台，可知上表面面积，下表面面积， 过O作分别交AB，BC于点E，F， O为的重心，， 且，则四边形为平行四边形， 且 ，同理可得且，为三棱柱， 设此正棱台高为， 则台体体积， 棱柱的体积，另一部分体积， 两部分体积之比为， 故选：B． 6．（2025·安徽芜湖·二模）（多选题）如图，在正方体中，为过正方体的任意两个顶点的直线，则（   ） A．S有56个元素 B．若，则满足平面的概率为 C．S中有4个元素与正方体所有棱的夹角相等 D．若，则，为异面直线的概率为 【答案】BCD 【解析】在正方体中，共有8个顶点，任取两个顶点组合共有条直线，所以S有28个元素，故A错；满足平面的有，所以满足平面的概率为，故B正确；根据正方体性质易知四条体对角线与所有棱的夹角相等，故C正确；对应D，S有28个元素，12条棱，12条面对角线，4条体对角线，任取2条共有种，与棱异面的直线有：共12条，所以与棱异面的有；与面对角线异面有：共13条， 与面对角线异面的有； 与体对角线异面的有：共12条，所以与体对角线异面有；即任选2条异面的共有：种，概率，故D正确， 故选：BCD. 7．（2025·山东潍坊·二模）（多选题）在正方体中，、分别为线段、的中点，则（   ） A．与异面 B．平面 C． D．平面 【答案】AC 【解析】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 不妨设正方体的棱长为，则、、、、 、、， 对于A选项，、既不平行，也不相交，故与异面，A对； 对于B选项，，易知平面的一个法向量为， 则，故与平面不平行，B错； 对于C选项，，所以，，故，C对； 对于D选项，，所以，，所以，、不垂直， 故与平面不垂直，D错. 故选：AC. 8．（2025·贵州贵阳·模拟预测）（多选题）已知E，F，G，H分别是正方体的棱的中点，，则（   ） A．直线与直线异面 B．直线交于同一点 C．过三点的平面截正方体所得截面图形的周长为 D．动点K在侧面内（含边界），且，则动点K的轨迹长度为 【答案】BC 【解析】A选项，G，H分别是的中点，则，又，则，所以共面，所以A错误； B选项，取中点为M，延长交于点N，连接，如图1，因为且是的中点， 所以，且．同理，延长交于点T，则， 即点N与点T重合，直线交于同一点，所以B正确； C选项，延长交于点Q，连接交于点P，如图2，则同B选项，易证，P为的中点， 所以四边形为过点的截面，， 所以截面周长为，所以C正确；              图1                                    图2 D选项，因为平面，所以，即，所以， 因此K的轨迹是以A为圆心，为半径的圆，所以轨迹长度为，所以D错误. 故选：BC． 9．（2025·湖北·三模）（多选题）在棱长为2的正方体中，分别是棱的中点，动点在正方体表面运动，则（    ） A．与为异面直线 B．与所成的角为 C．平面截该正方体所得截面形状为等腰梯形 D．，则点轨迹长度为 【答案】ABD 【解析】对于A，由异面直线定义可知与不同在任何一个平面内，它们是异面直线，即A正确； 对于B，取的中点为，连接，如下图所示：    由正方体性质可知，又，所以， 因此与所成的角即为与所成的角，即或其补角， 易知，满足，即， 所以，因此与所成的角为，即B正确； 对于C，分别取的中点为，连接各中点，如下图所示：    易知，，即可知在同一平面内， 所以平面截该正方体所得截面即为六边形， 又，所以截面形状为正六边形，即C错误； 对于D，因为为的中点，所以， 由可知， 即，因此可知共线， 所以点轨迹为过点且与平行的线段， 取的中点为，连接，取的中点，连接，如下图所示：    由正方体性质易知，又为的中位线，所以，； 因此点轨迹即为线段，且，所以点轨迹长度为，可得D正确. 故选：ABD 10．（2025·山东青岛·一模）如图，在多面体中，，的中点为. (1)求证：四点共面； (2)若直线与平面所成角的正弦值为，求平面与平面夹角的大小. 【答案】(1)证明见解析(2) 【解析】（1） 连接，由为中点，得， 由，得，而平面， 则平面，同理平面， 又平面与平面有公共直线，所以四点共面； （2）由（1）知，是二面角的平面角， 设， 由，得， 则，，直线两两垂直， 以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图， 则， ， 设平面的法向量为，则， 取，得， 设直线与平面所成角为， 依题意，，即， 平方化简整理得，而,则， 即，又，则， 所以平面与平面夹角的大小为. 1．（2021·新课标乙卷·理5题）在正方体中，P为的中点，则直线与所成的角为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 如图，连接，因为∥， 所以或其补角为直线与所成的角， 因为平面，所以，又，， 所以平面，所以， 设正方体棱长为2，则， ，所以. 故选：D 2.（2020·山东卷·16题）已知直四棱柱ABCD–A1B1C1D1的棱长均为2，∠BAD=60°．以为球心，为半径的球面与侧面BCC1B1的交线长为________． 【答案】. 【解析】如图： 取的中点为，的中点为，的中点为， 因为60°，直四棱柱的棱长均为2，所以△为等边三角形，所以，， 又四棱柱为直四棱柱，所以平面，所以， 因为，所以侧面， 设为侧面与球面的交线上的点，则， 因为球的半径为，，所以， 所以侧面与球面的交线上的点到的距离为， 因为，所以侧面与球面的交线是扇形的弧， 因为，所以， 所以根据弧长公式可得. 故答案为：. 3.（2020·浙江卷·6题已知空间中不过同一点的三条直线m，n，l，则“m，n，l在同一平面”是“m，n，l两两相交”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】依题意是空间不过同一点的三条直线， 当在同一平面时，可能，故不能得出两两相交. 当两两相交时，设，根据公理可知确定一个平面，而，根据公理可知，直线即，所以在同一平面. 综上所述，“在同一平面”是“两两相交”的必要不充分条件. 故选：B 4．（2021·浙江·6题）如图已知正方体，M，N分别是，的中点，则（    ） A．直线与直线垂直，直线平面 B．直线与直线平行，直线平面 C．直线与直线相交，直线平面 D．直线与直线异面，直线平面 【答案】A 【解析】 连，在正方体中，M是的中点，所以为中点， 又N是的中点，所以，平面平面，所以平面. 因为不垂直，所以不垂直，则不垂直平面，所以选项B,D不正确； 在正方体中，，平面，所以， ，所以平面，平面，所以， 且直线是异面直线，所以选项C错误，选项A正确. 故选：A. 5．（2024·甲卷（文）·11题）设是两个平面，是两条直线，且.下列四个命题： ①若，则或          ②若，则 ③若，且，则       ④若与和所成的角相等，则 其中所有真命题的编号是（    ） A．①③ B．②④ C．①②③ D．①③④ 【答案】A 【解析】对①，当，因为，，则， 当，因为，，则， 当既不在也不在内，因为，，则且，故①正确； 对②，若，则与不一定垂直，故②错误； 对③，过直线分别作两平面与分别相交于直线和直线， 因为，过直线的平面与平面的交线为直线，则根据线面平行的性质定理知， 同理可得，则，因为平面，平面，则平面， 因为平面，，则，又因为，则，故③正确； 对④，若与和所成的角相等，如果，则，故④错误； 综上只有①③正确， 故选：A. 6．（2024·天津卷·5题）若为两条不同的直线，为一个平面，则下列结论中正确的是（   ） A．若，，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则与相交 【答案】C 【解析】对于A，若，，则平行或异面，故A错误. 对于B，若，则平行或异面或相交，故B错误. 对于C，，过作平面，使得， 因为，故，而，故，故，故C正确. 对于D，若，则与相交或异面，故D错误. 故选：C. 7．（2025·天津卷·4题）若为直线，，为两个平面，则下列结论中正确的是　　 A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【解析】对于，若，，则与可能平行也可能异面，故错误； 对于，若，，则，故错误； 对于，若，，则，正确； 对于，若，，则可能平行于，也可能与斜交，也可能垂直于，故错误． 故选：． 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $