第14章全等三角形（单元测试）数学人教版2024八年级上册

2025-2026学年八年级上册数学单元检测卷 第十四章全等三角形（参考答案） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 D B D A C A B A B C 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11．13 12．5 13．11:4 14．15 15．①②③④ 三、解答题（共9小题，共75分） 16．（6分） 【详解】解：， ，即， 在和中， ． 17．（6分） 【详解】（1）证明：∵，分别是两个钝角和的高， ∴， 在和中, ， ∴， ∴； （2）证明：在和中, ， ∴， ∴， 由（）得， ∴， 即． 18．（7分） 【详解】（1）解：如图，以点B为圆心，BA长为半径画弧交BC于点D，连接AD，即可； （2）解：如（1）图所示：射线BM即为∠ABD的角平分线． 【点睛】本题考查了作图——复杂作图，解决本题的关键是掌握基本作图方法． 19．（7分） 【详解】证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ， 在和中， ∵ ∴， ∴， ∵， ∴平分． 20．（8分） 【详解】（1）解：于点，于点， ， ， ， 又， ， 在和中， ， ， ， ， ； （2）（1）中结论不成立，理由如下： ， ， ， ， 又， ， 在和中， ， ， ， ， ． 则不成立． 21．（8分） 【详解】（1）证明：， ， ． 在和中， ， ． （2）解：由，得． E为的中点， ∴． ， ， ． 22．（10分） 【详解】（1）证明：， ， ， ， 在和中， ． ∴； （2）证明：连接， 由（1）证明可得， ， 在和中， ． ， ， ． 23．（11分） 【详解】（1）解：如图，将沿折叠，则点C刚好落在边上的点E处，由折叠的性质可得：，，， ， ， ， ， ， ； （2）解：， 证明：如图，在上截取，连接， ，平分， ， 在和中， ， ， ，， ，， ， ， ， ， ， ， ， ； （3）解：如图，在上截取，连接， 平分， ， 在和中， ， , ，， ， ， ， ， ， 由得，， ， ， ， ， 为等边三角形， ， ， 故答案为：18． 【点睛】本题主要考查了角平分线的定义、三角形全等的判定与性质、三角形外角的定义及性质、等边三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、折叠的性质等知识点，熟练掌握以上知识点，添加适当的辅助线是解此题的关键． 24．（12分） 【详解】（1）解： 理由：延长至点，使得，连接， ∵将沿着斜边翻折得到， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：； （2）解：在上截取，连接， ∵将沿着斜边翻折得到， ， ∴， ∴， ∴， ， ， ， ， ∵， ∴， ∴； 故答案为： ； （3）当点在线段上时， 如图， 的周长为： ； 当点在线段的延长线上时，如图， 的周长为：， 故答案为：或 ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年八年级上册数学单元检测卷 第十四章全等三角形 建议用时：120分钟，满分：120分 1、 选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．如图，若，，则等于（　　） A． B． C． D． 2．如图，小谊将两根长度不等的木条的中点连在一起，记中点为，即．测得两点之间的距离后，利用全等三角形的性质，可得花瓶内壁上两点之间的距离．图中与全等的依据是（    ） A． B． C． D． 3．如图，将两张全等的矩形（非正方形）纸片先后放在同一个正方形中，按如图1呈轴对称方式放置，按如图2呈中心对称方式放置，若已知图形⑤的周长，则一定能求出（    ） A．图形①与③的周长和 B．图形②与③的周长差 C．图形①与③的周长差 D．图形②与③的周长和 4．如图所示，亮亮书上的三角形被墨迹污染了一部分，很快他就根据所学知识画出一个与书上完全一样的三角形，那么这两个三角形完全一样的依据是（   ） A． B． C． D． 5．如图，已知和一条长度为的线段，作一个以为底角，为腰长的等腰三角形的方法是：①连接；②以点为圆心，的长为半径画弧，交射线于点；③在的两边上截取；④画射线，以点为圆心，的长为半径画弧，在射线上截取，并以点为圆心，的长为半径画弧，两弧交于点．以上画法正确的顺序是（　　） A．③④①② B．④③②① C．③④②① D．④③①② 6．如图，在中，平分交于点D．若，则的面积是（   ） A．0.6 B．1.2 C．2 D．2.6 7．如图，在平面直角坐标系中，点在第一象限，点B，A分别在x轴正半轴和y轴正半轴上，，则等于（   ） A．m B． C． D． 8．如图所示，为的角平分线，且，，，则的大小是（   ） A． B． C． D． 9．如图是个边长相等的小正方形组合成的图形，则的度数之和为（   ） A． B． C． D． 10．如图，和都是等腰直角三角形，，的顶点A在的斜边上，下列说法中正确的有（    ） ①；②；③；④ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2、 填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11．一个三角形的三条边长分别为4、7、x，另一个三角形的三条边分别为y、4、6，若这两个三角形全等，则＝ ． 12．如图，在中，，以为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点，，再分别以，为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点，作射线，交于点，已知，，则的面积为 ． 13．如图，，平分，平分，若，则 ． 14．如图，边长为的正方形的中心与正方形的顶点E重合，且与边，分别相交于点M，N，图中阴影部分的面积记为，两条线段，的长度之和记为，将正方形绕点E逆时针转动适当角度，则有 ． 15．如图，中，、的角平分线、交于点，延长、，于，于，则下列结论：①平分；②；③；④．其中正确结论序号是 ． 三、解答题（共9小题，共75分） 16．如图：和中，；试说明． 17．如图，已知，分别是两个钝角和的高，如果，． 求证： (1) (2) 18．按下列要求画图，并回答问题．如图，已知． (1)在射线上戳取，连接； (2)画的平分线交线段于点． 19．如图，在中，，D、F分别为上的点，连接，过点D作于点E，．求证：平分． 20．如图，在等腰中，，直线经过点，且于点，于点． (1)如图①，当直线在外部时，可得，请说明理由； (2)如图②，当直线经过内部且点在内部时，判断（1）中结论是否成立？并说明理由． 21．如图，在和中，，E是的中点，，垂足为F，且． (1)求证：； (2)若，求的长． 22．如图①，四边形中，，连接，且，点在边上，连接，过点作，垂足为，若． (1)求证：； (2)如图②，连接，且是的角平分线，求证：． 23．（1）【感悟】如图1，是的高线，，若，，求的长．小明同学的解法是：将沿折叠，则点C刚好落在边上的点E处．请你画出图形并写出完整的解题过程； （2）【探究】如图2，，为的外角的平分线，交的延长线于点D，则线段、、又有怎样的数量关系？请写出你的猜想并证明； （3）【拓展】如图3，在四边形中，平分，，，，则的长为__________． 24．如图，在中，，将沿着斜边翻折得到，点E、F分别是射线、射线上的点，且． (1)初步探索：如图1，点在线段上，试探究线段、、之间的数量关系． 小华同学探究此问题的思路是：延长至点，使得，连接，先证明，再证明，请你根据该思路探究、、之间的数量关系，并说明理由； (2)探索延伸：如图2，点在线段的延长线上，、、之间的数量关系是 ． (3)灵活运用：在中，若，，，，则的周长为 ． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025-2026学年八年级上册数学单元检测卷 第十四章全等三角形 建议用时：120分钟，满分：120分 1、 选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．如图，若，，则等于（　　） A． B． C． D． 2．如图，小谊将两根长度不等的木条的中点连在一起，记中点为，即．测得两点之间的距离后，利用全等三角形的性质，可得花瓶内壁上两点之间的距离．图中与全等的依据是（    ） A． B． C． D． 3．如图，将两张全等的矩形（非正方形）纸片先后放在同一个正方形中，按如图1呈轴对称方式放置，按如图2呈中心对称方式放置，若已知图形⑤的周长，则一定能求出（    ） A．图形①与③的周长和 B．图形②与③的周长差 C．图形①与③的周长差 D．图形②与③的周长和 4．如图所示，亮亮书上的三角形被墨迹污染了一部分，很快他就根据所学知识画出一个与书上完全一样的三角形，那么这两个三角形完全一样的依据是（   ） A． B． C． D． 5．如图，已知和一条长度为的线段，作一个以为底角，为腰长的等腰三角形的方法是：①连接；②以点为圆心，的长为半径画弧，交射线于点；③在的两边上截取；④画射线，以点为圆心，的长为半径画弧，在射线上截取，并以点为圆心，的长为半径画弧，两弧交于点．以上画法正确的顺序是（　　） A．③④①② B．④③②① C．③④②① D．④③①② 6．如图，在中，平分交于点D．若，则的面积是（   ） A．0.6 B．1.2 C．2 D．2.6 7．如图，在平面直角坐标系中，点在第一象限，点B，A分别在x轴正半轴和y轴正半轴上，，则等于（   ） A．m B． C． D． 8．如图所示，为的角平分线，且，，，则的大小是（   ） A． B． C． D． 9．如图是个边长相等的小正方形组合成的图形，则的度数之和为（   ） A． B． C． D． 10．如图，和都是等腰直角三角形，，的顶点A在的斜边上，下列说法中正确的有（    ） ①；②；③；④ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2、 填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11．一个三角形的三条边长分别为4、7、x，另一个三角形的三条边分别为y、4、6，若这两个三角形全等，则＝ ． 12．如图，在中，，以为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点，，再分别以，为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点，作射线，交于点，已知，，则的面积为 ． 13．如图，，平分，平分，若，则 ． 14．如图，边长为的正方形的中心与正方形的顶点E重合，且与边，分别相交于点M，N，图中阴影部分的面积记为，两条线段，的长度之和记为，将正方形绕点E逆时针转动适当角度，则有 ． 15．如图，中，、的角平分线、交于点，延长、，于，于，则下列结论：①平分；②；③；④．其中正确结论序号是 ． 三、解答题（共9小题，共75分） 16．如图：和中，；试说明． 17．如图，已知，分别是两个钝角和的高，如果，． 求证： (1) (2) 18．按下列要求画图，并回答问题．如图，已知． (1)在射线上戳取，连接； (2)画的平分线交线段于点． 19．如图，在中，，D、F分别为上的点，连接，过点D作于点E，．求证：平分． 20．如图，在等腰中，，直线经过点，且于点，于点． (1)如图①，当直线在外部时，可得，请说明理由； (2)如图②，当直线经过内部且点在内部时，判断（1）中结论是否成立？并说明理由． 21．如图，在和中，，E是的中点，，垂足为F，且． (1)求证：； (2)若，求的长． 22．如图①，四边形中，，连接，且，点在边上，连接，过点作，垂足为，若． (1)求证：； (2)如图②，连接，且是的角平分线，求证：． 23．（1）【感悟】如图1，是的高线，，若，，求的长．小明同学的解法是：将沿折叠，则点C刚好落在边上的点E处．请你画出图形并写出完整的解题过程； （2）【探究】如图2，，为的外角的平分线，交的延长线于点D，则线段、、又有怎样的数量关系？请写出你的猜想并证明； （3）【拓展】如图3，在四边形中，平分，，，，则的长为__________． 24．如图，在中，，将沿着斜边翻折得到，点E、F分别是射线、射线上的点，且． (1)初步探索：如图1，点在线段上，试探究线段、、之间的数量关系． 小华同学探究此问题的思路是：延长至点，使得，连接，先证明，再证明，请你根据该思路探究、、之间的数量关系，并说明理由； (2)探索延伸：如图2，点在线段的延长线上，、、之间的数量关系是 ． (3)灵活运用：在中，若，，，，则的周长为 ． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025-2026学年八年级上册数学单元检测卷 第十四章全等三角形 建议用时：120分钟，满分：120分 1、 选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．如图，若，，则等于（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用全等三角形的对应角相等，以及三角形的内角和定理，即可得解． 【详解】解：∵，， ∴ ∴． 故选D． 【点睛】本题考查全等三角形的性质，解答本题的关键是明确题意，找准对应角，利用数形结合的思想解答． 2．如图，小谊将两根长度不等的木条的中点连在一起，记中点为，即．测得两点之间的距离后，利用全等三角形的性质，可得花瓶内壁上两点之间的距离．图中与全等的依据是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定，由即可判定求解，掌握全等三角形的 判定方法是解题的关键． 【详解】在与， ∵， ∴， ∴与全等的依据是， 故选：． 3．如图，将两张全等的矩形（非正方形）纸片先后放在同一个正方形中，按如图1呈轴对称方式放置，按如图2呈中心对称方式放置，若已知图形⑤的周长，则一定能求出（    ） A．图形①与③的周长和 B．图形②与③的周长差 C．图形①与③的周长差 D．图形②与③的周长和 【答案】D 【分析】根据题意设矩形较长的一边为x，较短的一边为y，正方形的边长为a，用字母分别表示出图形①、②、③、⑤的周长，进行计算即可得出正确的选项． 【详解】解：设矩形较长的一边为x，较短的一边为y，正方形的边长为a， 图形①的周长为， 图形②的周长， 图形③的周长， 图形⑤的周长为， ∴图形①与图形③的周长和， 故A选项不符合题意； ∴图形②与图形③的周长差， 故选项B不符合题意； 图形①与③的周长差， 故选项C不符合题意； 图形②与③的周长和， 即图形②与③的周长和为图形⑤的周长的2倍， 故选项D符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查整式混合运算的应用,还考查了全等图形的性质，解题的关键是用字母表示出各个图形的周长． 4．如图所示，亮亮书上的三角形被墨迹污染了一部分，很快他就根据所学知识画出一个与书上完全一样的三角形，那么这两个三角形完全一样的依据是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的应用． 图中三角形没被污染的部分有两角及夹边，根据全等三角形的判定方法解答即可． 【详解】解：由图可知，可以通过画出与书上完全一样的三角形， 故选：A． 5．如图，已知和一条长度为的线段，作一个以为底角，为腰长的等腰三角形的方法是：①连接；②以点为圆心，的长为半径画弧，交射线于点；③在的两边上截取；④画射线，以点为圆心，的长为半径画弧，在射线上截取，并以点为圆心，的长为半径画弧，两弧交于点．以上画法正确的顺序是（　　） A．③④①② B．④③②① C．③④②① D．④③①② 【答案】C 【分析】本题考查了尺规作图和等腰三角形的作图，解决本题的关键是理解等腰三角形的作图过程，根据尺规作等腰三角形的过程逐项判断即可解答． 【详解】解：已知和一条长度为的线段，作一个以为底角，为腰长的等腰三角形的方法是： ③在的两边上截取； ④画射线，以点为圆心，的长为半径画弧，在射线上截取，并以点为圆心，的长为半径画弧，两弧交于点； ②以点为圆心，的长为半径画弧，交射线于点； ①连接． 即为所求作的三角形． 画法正确的顺序是③④②①， 故选C． 6．如图，在中，平分交于点D．若，则的面积是（   ） A．0.6 B．1.2 C．2 D．2.6 【答案】A 【分析】本题考查的是角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质是解题关键，作于点E，求出，进而求出面积即可． 【详解】解：作于点E， 平分， 的面积是， 故选：A． 7．如图，在平面直角坐标系中，点在第一象限，点B，A分别在x轴正半轴和y轴正半轴上，，则等于（   ） A．m B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系中点的坐标，全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定和性质． 过点作轴，交轴于点，过点作轴，交轴于点，通过点的坐标和条件证明，即可得出答案． 【详解】解：如图，过点作轴，交轴于点，过点作轴，交轴于点， ∴， ∵， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， , ∴， 故选：B． 8．如图所示，为的角平分线，且，，，则的大小是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了角平分线的定义，全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，先证明，得到，即得，最后根据三角形内角和定理即可求解，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】解：∵为的角平分线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：． 9．如图是个边长相等的小正方形组合成的图形，则的度数之和为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形两锐角互余，先证明，得到，进而由得到，即可求解，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】解：如图，在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：． 10．如图，和都是等腰直角三角形，，的顶点A在的斜边上，下列说法中正确的有（    ） ①；②；③；④ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质、角平分线的性质等知识，根据等腰直角三角形的性质逐个判断即可． 【详解】∵和都是等腰直角三角形， ∴，， ①， 故①正确； ②∵，，，， ∴， 故②正确； ③如图，连接，作于M，于N． ∵，， ∴， ∴， ∴当时才有； 故③错误； ④∵，，， ∴， ∴， 即， 故④正确； 综上所述，正确的有①②④， 故选：C． 2、 填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11．一个三角形的三条边长分别为4、7、x，另一个三角形的三条边分别为y、4、6，若这两个三角形全等，则＝ ． 【答案】13 【分析】本题考查全等三角形的性质、代数式求值，根据全等三角形的对应边相等求得x、y值，进而相加即可求解． 【详解】解：∵三条边长分别为4、7、x的三角形与三条边分别为y、4、6的三角形全等， 当，， ∴． 当，时两个三角形不全等，舍去． 故答案为：13． 12．如图，在中，，以为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点，，再分别以，为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点，作射线，交于点，已知，，则的面积为 ． 【答案】5 【分析】本题考查了角平分线的性质定理，熟练掌握角平分线的性质定理是解题关键．过点作于点，先根据角平分线的性质定理可得，再根据三角形的面积公式求解即可得． 【详解】解：如图，过点作于点， ∵在中，， ∴， 由题意可知，平分， ∴（角平分线的性质定理）， ∵， ∴的面积为， 故答案为：5． 13．如图，，平分，平分，若，则 ． 【答案】 【分析】过点作于，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得，然后证明，根据全等三角形的面积相等可得，同理可得：，设，，表示出，然后求解即可． 【详解】如图，过点作于，      ∵， ∴， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 同理：， ∵ 设，， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】此题考查了角平分线的性质定理，全等三角形的判定与性质，熟记性质并作辅助线构造出全等三角形是解题的关键． 14．如图，边长为的正方形的中心与正方形的顶点E重合，且与边，分别相交于点M，N，图中阴影部分的面积记为，两条线段，的长度之和记为，将正方形绕点E逆时针转动适当角度，则有 ． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的性质，三角形全等的判定和性质，熟练掌握正方形的性质，三角形全等的判定和性质是解题的关键． 根据正方形的对角线，相交于点E，得到，，，，证明，得到，,继而得到，解答即可． 【详解】解：如答图，连接． 边长为的正方形的中心与正方形的顶点重合，即点是正方形的中心， ， ∴． 又， ， ． 在和中， ， ， ，， ． 故答案为：． 15．如图，中，、的角平分线、交于点，延长、，于，于，则下列结论：①平分；②；③；④．其中正确结论序号是 ． 【答案】①②③④ 【分析】过点作于点，根据角平分线的性质和判定可判断①，通过证明和可得，，即可判断②，根据三角形外角的性质可判断③，通过全等三角形的面积相等可判断④． 【详解】解：过点作于点， ∵、分别是、的角平分线， ∴，， ∴， 又∵，， ∴平分，故①正确； ∵，， ∴， ∴， ∵在和中，、 ∴， ∴， 同理可得：， ∴， ∴， ∴，故②正确； ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴，故③正确； ∵由②可知：， ∴，， ∴，故④正确， 故答案为：①②③④． 【点睛】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，熟记角平分线上的点到角两边的距离相等是解答本题的关键． 三、解答题（共9小题，共75分） 16．如图：和中，；试说明． 【答案】证明见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，由，可得，根据SSS即可证明．本题的关键是得到． 【详解】解：， ，即， 在和中， ． 17．如图，已知，分别是两个钝角和的高，如果，． 求证： (1) (2) 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了直角三角形的全等判定与性质，属于简单题，用的特殊方法证明三角形全等是解题关键． （）证明，即可求证； （）证明得，由（）得，即可求证． 【详解】（1）证明：∵，分别是两个钝角和的高， ∴， 在和中, ， ∴， ∴； （2）证明：在和中, ， ∴， ∴， 由（）得， ∴， 即． 18．按下列要求画图，并回答问题．如图，已知． (1)在射线上戳取，连接； (2)画的平分线交线段于点． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（）以点为圆心，长为半径画弧交于点，连接； （）射线即为的角平分线，交于点． 【详解】（1）解：如图，以点B为圆心，BA长为半径画弧交BC于点D，连接AD，即可； （2）解：如（1）图所示：射线BM即为∠ABD的角平分线． 【点睛】本题考查了作图——复杂作图，解决本题的关键是掌握基本作图方法． 19．如图，在中，，D、F分别为上的点，连接，过点D作于点E，．求证：平分． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的判定，熟练掌握全等三角形的判定与性质，角平分线的判定是解题的关键． 先证明，得到，再根据角平分线的判定即可证明． 【详解】证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ， 在和中， ∵ ∴， ∴， ∵， ∴平分． 20．如图，在等腰中，，直线经过点，且于点，于点． (1)如图①，当直线在外部时，可得，请说明理由； (2)如图②，当直线经过内部且点在内部时，判断（1）中结论是否成立？并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)不成立，见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，垂线性质，熟练掌握相关性质定理为解题关键． （1）根据垂线性质得到，证明，得到，进而得出结论； （2）通过证明，得到，结合，得到，从而得出（1）中结论不成立． 【详解】（1）解：于点，于点， ， ， ， 又， ， 在和中， ， ， ， ， ； （2）（1）中结论不成立，理由如下： ， ， ， ， 又， ， 在和中， ， ， ， ， ． 则不成立． 21．如图，在和中，，E是的中点，，垂足为F，且． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． （1）先证，进而证明，可得； （2）由，得．再结合E是的中点，即可求解． 【详解】（1）证明：， ， ． 在和中， ， ． （2）解：由，得． E为的中点， ∴． ， ， ． 22．如图①，四边形中，，连接，且，点在边上，连接，过点作，垂足为，若． (1)求证：； (2)如图②，连接，且是的角平分线，求证：． 【答案】(1)详见解析 (2)详见解析 【分析】（1）根据题意证明，进而根据证明，即可求解； （2）连接，由（1）证明可得，，证明，得出，进而即可得证． 【详解】（1）证明：， ， ， ， 在和中， ． ∴； （2）证明：连接， 由（1）证明可得， ， 在和中， ． ， ， ． 23．（1）【感悟】如图1，是的高线，，若，，求的长．小明同学的解法是：将沿折叠，则点C刚好落在边上的点E处．请你画出图形并写出完整的解题过程； （2）【探究】如图2，，为的外角的平分线，交的延长线于点D，则线段、、又有怎样的数量关系？请写出你的猜想并证明； （3）【拓展】如图3，在四边形中，平分，，，，则的长为__________． 【答案】（1）见解析；（2），见解析；（3）18 【分析】（1）根据题意画出图形，由折叠的性质可得：，，，由可得，再由三角形外角的定义及性质可得，推出，进而得到，最后进行计算即可得到答案； （2）在上截取，连接，证明得到，，证明，再由得到，再根据三角形外角的定义及性质得出，进而得到，即可得证； （3）在上截取，连接，证明，得到，，从而得到，进而，再由即可得证；由得，结合可得，从而推出是等边三角形，得出，最后由即可得到答案． 【详解】（1）解：如图，将沿折叠，则点C刚好落在边上的点E处，由折叠的性质可得：，，， ， ， ， ， ， ； （2）解：， 证明：如图，在上截取，连接， ，平分， ， 在和中， ， ， ，， ，， ， ， ， ， ， ， ， ； （3）解：如图，在上截取，连接， 平分， ， 在和中， ， , ，， ， ， ， ， ， 由得，， ， ， ， ， 为等边三角形， ， ， 故答案为：18． 【点睛】本题主要考查了角平分线的定义、三角形全等的判定与性质、三角形外角的定义及性质、等边三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、折叠的性质等知识点，熟练掌握以上知识点，添加适当的辅助线是解此题的关键． 24．如图，在中，，将沿着斜边翻折得到，点E、F分别是射线、射线上的点，且． (1)初步探索：如图1，点在线段上，试探究线段、、之间的数量关系． 小华同学探究此问题的思路是：延长至点，使得，连接，先证明，再证明，请你根据该思路探究、、之间的数量关系，并说明理由； (2)探索延伸：如图2，点在线段的延长线上，、、之间的数量关系是 ． (3)灵活运用：在中，若，，，，则的周长为 ． 【答案】(1)，见解析 (2) (3)16或 【分析】本题属于几何变换综合题，考查了全等三角形的判定与性质，折叠的性质，三角形的周长，解决本题的关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质. （1）延长至点， 使得， 连接，证明，得出， ， 证明， 得出； （2）在上截取， 连接， 证明，得出， ， 证明， 得出； （3）分两种情况，由（1）（2）的结论可得出答案． 【详解】（1）解： 理由：延长至点，使得，连接， ∵将沿着斜边翻折得到， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：； （2）解：在上截取，连接， ∵将沿着斜边翻折得到， ， ∴， ∴， ∴， ， ， ， ， ∵， ∴， ∴； 故答案为： ； （3）当点在线段上时， 如图， 的周长为： ； 当点在线段的延长线上时，如图， 的周长为：， 故答案为：或 ． 学科网（北京）股份有限公司1 / 21 学科网（北京）股份有限公司 $$