第十五章 轴对称 综合与实践 最短路径问题 课件 2025-2026学年数学人教版八年级上册

综合与实践 最短路径问题 A C D E B F 　　1．从 A 地到 B 地有三条路可供选择，哪条路距离最短？ 　　两点的所有连线中，线段最短． D A C B 连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短． 　　2．在灌溉时需要把河 AB 中的水引到 C 处，如何挖渠能使渠道最短？ 引言 　　日常生活中经常会遇到最短路径问题，从数学的角度看，这类问题抽象为几何问题后，常常是求线段和的最小值问题．在前面的学习中，我们知道，“两点之间，线段最短”“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”等，接下来我们对最短路径问题进行探究． 活动一 牧民饮马问题 　任务1 如图，牧民从 A 地出发，到一条笔直的河边 l 饮马，然后到 B 地．牧民到河边的什么地方饮马可使所走的路径最短？ 活动一 牧民饮马问题 　任务1 如图，牧民从 A 地出发，到一条笔直的河边 l 饮马，然后到 B 地．牧民到河边的什么地方饮马可使所走的路径最短？ 提示：如图，从数学的角度看，如果把河边 l 近似地看成一条直线，问题就是要在直线 l 上找一点 C，使AC与CB的和最小． 　　思考1 如图，如果点 A，B 是直线 l 异侧的两个点，如何在 l 上找一点C，使 AC 与 CB 的和最小？ 活动一 牧民饮马问题 　　思考1 如图，如果点 A，B 是直线 l 异侧的两个点，如何在 l 上找一点C，使 AC 与 CB 的和最小？ 活动一 牧民饮马问题 A B l 　　分析：连接 AB，与直线 l 相交于一点 C，这个交点 C 即为所求． 　　两点之间，线段最短． C 　　思考2 如图，点 A，B 在直线 l 的同侧，你能利用轴对称，把这个问题转化为思考1中的问题吗？ 活动一 牧民饮马问题 　　分析：如果能把点 B 移到 l 的另一侧B′处，同时对直线 l 上的任一点 C，都保持 CB 与 CB′的长度相等，就可以把问题转化为“思考 1”的情况，从而使问题得到解决． 9 C 　　思考2 如图，点 A，B 在直线 l 的同侧，你能利用轴对称，把这个问题转化为思考1中的问题吗？ A 活动一 牧民饮马问题 B l 　　作法： 　　（1）作点 B 关于直线 l 的对称点 B′； B′ 　　（2）连接 AB′ 交直线 l 于点 C； 　　（3）则点 C 即为所求的点． 10 　　如图，当点 A，B 位于直线 l 的异侧时，连接 AB，与直线 l 的交点C，即为直线 l 上到点 A、点 B 距离之和最短的点． A l B C 　　结论1 两点在直线异侧的最短距离 活动一 牧民饮马问题 11 A B l B′ C 　　结论2 两点在直线同侧的最短距离 活动一 牧民饮马问题 　　如图，当点 A，B 位于直线 l 的同侧时，作点 B 关于直线 l 的对称点 B′，连接 AB′，与直线 l 的交点 C，即为直线 l 上到点 A、点B 距离之和最短的点． 12 　　任务2 证明你在任务1中得到的结论． 活动一 牧民饮马问题 　　任务2 证明你在任务1中得到的结论． 活动一 牧民饮马问题 观看动图，思考如何证明 AC＋CB 最短． 分析：设点 C 为河边 l 上使AC＋CB 最小的点，在 l 上另外任取一点 C′，证明AC＋CB＜AC′＋C′B． A B l B′ C 　　已知：如图，点 B′是点 B 关于直线 l 的对称点，连接 AB′交直线 l 于点 C，连接BC，在直线 l 上任取一点 C′（异于点 C），连接 AC′，BC′，B′C′． 　　求证：AC＋CB＜AC′＋C′B． C′ 　　证明：由轴对称的性质知， 　　CB＝CB′，BC′＝B′C′， 　　∴AC＋CB＝AC＋CB′＝AB′， 　　AC′＋BC′＝AC′＋B′C′． 活动一 牧民饮马问题 15 A B l B′ C C′ 　　由两点之间，线段最短可得， 　　AB′＜AC′＋B′C′， 　　∴AC＋CB′＜AC′＋C′B′． 　　即AC＋CB＜AC′＋C′B． 　　即 AC＋CB 最短． 活动一 牧民饮马问题 16 活动二 牧民饮马问题的拓展 　任务1 如图，牧民从 A 地出发，先到草地边某一处牧马，再到河边饮 马，最后回到 A 处．牧民怎样走可使所走的路径最短？ 提示：将河边和草地边分别近似地看成一条直线，分别作点 A 关于这两条直线的对称点，连接这两个对称点，此时与两条直线相交产生两个交点，将点 A 与这两个交点相连,即可得最短路径． 活动二 牧民饮马问题的拓展 　任务2 如图，牧民从 A 地出发，先到草地边某一处牧马，再到河边饮马，然后回到 B 处．牧民怎样走可使所走的路径最短？ 提示：将河边和草地边分别近似地看成一条直线，作点 A 关于草地边的对称点，点 B 关于河边的对称点，连接这两个对称点，与两条直线相交产生两个交点，将 A,B 两点与这两个交点相连，即可得最短路径． 活动二 牧民饮马问题的拓展 　任务3 如图，牧民每天从生活区的边沿 A 处出发，先到草地边的 B 处牧马，再到河边 C 处饮马，然后回到 A 处．如何确定 A，B，C 的位置，使从 A 处出发，到 B 处牧马，再到 C 处饮马，最后回到 A 处所走的路径最短？ 提示：设点 A 为生活区边沿的一个点，方法与任务1相同． 　　任务 如图，A，B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN．桥造在何处可使从 A 到 B 的路径 AMNB 最短？（假设河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直．） 活动三 造桥选址问题 提示：可以把河的两岸看成两条平行线，由于河宽固定，所以可以考虑将点 A（或 B）按与河岸垂直的方向平移河宽的距离，使问题转化为可以利用“两点之间，线段最短”解决的问题． M N a b A B 　　可以把河的两岸看成两条平行线 a 和 b（如图），N 为直线 b 上的一个动点，MN 垂直于直线 b，交直线 a 于点 M． 　　问题转化为：当点 N 在直线 b 的什么位置时，AM＋MN＋NB 最小？ 　　由于河岸宽度是固定的（MN 长度固定） 　　当 AM＋NB 最小时，AM＋MN＋NB 最小． M N a b A B 　　问题转化为：当点 N 在直线 b 的什么位置时，AM＋NB 最小？ 　　能否通过图形的变化将问题转化为研究过的问题呢？ M N a b A B B A N 　　将 AM 沿与河岸垂直的方向平移，点 M 移动到点 N，点 A 移动到点 A′， 　　问题转化为：当点 N 在直线 b 的什么位置时，A′N＋NB 最小？ M N a b A B A′ 则 AA′＝MN，AM＋NB＝A′N＋NB． 　　在连接 A′，B 两点的线中，线段 A′B 最短． 　　线段 A′B 与直线 b 的交点 N 的位置即为所求，即在点 N 处造桥 MN，所得路径 AMNB 是最短的． M′ N′ a b A B A′ N M 　　试着说一下作图过程． M 　　（3）过 N 作 NM⊥a 于M，线段 MN 即为桥的位置．此时从 A 到 B 的路径 AMNB 最短． 　　作法： 　　（1）将 A 沿与河岸垂直的方向平移到 A′，使 AA′ 的长度等于桥长； N a b A B A′ 　　你能试着证明一下吗？ 　　（2）连接 A′B，交直线 b 于点 N，点 N 即为所求； 　　由平移的性质可知， 　　AM＝A′N，AM′＝A′N′． 　　所以AM＋NB＝A′N ＋NB＝A′B， 　　AM′＋N′B＝A′N′＋N′B． 　　证明：在直线 b 上任取一点N′ ，过点 N′ 作N′M′⊥a，连接 AM′，A′N′，N′B， M N a b A A′ B M′ N′ M′ N′ M N a b B 　　由两点之间，线段最短可知，A′B＜A′N′＋N′B， 　　即AM＋NB＜AM′＋N′B， 　　即AM＋MN＋NB＜AM′＋M′N′＋N′B． A A′ 归纳 　　在解决最短路径问题时，我们通常利用轴对称、平移等变化把已知问题转化为容易解决的问题，从而作出最短路径的选择． B′ 　　作法（方法一）： 　　（1）作点 B 关于直线 a 的对称点 B′； 　　例1　如图，A，B 是两个蓄水池，都在河流 a 的同侧，为了方便灌溉作物，要在河边建一个抽水站，将河水送到 A，B 两地，问该站建在河边什么地方，可使所修的渠道最短，试在图中确定该点． A B a 　　（2）连接 AB′ 交直线 a 于点 C； 　　（3）则点 C 即为所求的点． C 　　（2）连接 BA′ 交直线 a 于点 C； A′ C 　　例1　如图，A，B 是两个蓄水池，都在河流 a 的同侧，为了方便灌溉作物，要在河边建一个抽水站，将河水送到 A，B 两地，问该站建在河边什么地方，可使所修的渠道最短，试在图中确定该点． A B a 　　作法（方法二）： 　　（1）作点 A 关于直线 a 的对称点 A′； 　　（3）则点 C 即为所求的点． 　　例2　如图，已知线段 a，点 A，B 在直线 l 的同侧，在直线 l 上求作两点 P，Q （点 P 在点 Q 的左侧）且 PQ＝a，使得四边形 APQB 的周长最小． 　　 a l A B l B A Q P 　　例2　如图，已知线段 a，点 A，B 在直线 l 的同侧，在直线 l 上求作两点 P，Q （点 P 在点 Q 的左侧）且 PQ＝a，使得四边形 APQB 的周长最小． 　　分析：先在直线 l 上取PQ＝a（如图）， 连接AP，QB，AB，此时在四边形 APQB中，线段PQ和线段AB的长度是固定的，所以当 AP＋QB最小时，四边形 APQB 的周长最小 ． a Q A′ 　　作法： 　　（1）将点 A 沿直线 l 的方向平移到 A′，使得 AA′＝a； l B A 　　（2）作 A′ 关于直线 l 的对称点 A′′ ； 　　（3）连接 A′′B，与直线 l 交于一点 Q，Q 即为所求点 ； P A″ 　　（4）在点 Q 左侧取点 P，使得 PQ＝a，P 即为所求点 ．连接AP，AB，所得四边形 APQB 的周长最小． a 最短路径问题 牧民饮马问题 造桥选址问题 两点在直线异侧的最短距离 两点在直线同侧的最短距离 两点之间，线段最短 利用轴对称、平移等变化，把已知问题转化为容易解决的问题 $