精品解析：山东省烟台市牟平区（五四制）2023-2024学年八年级下学期期末考试数学试题

2023－2024学年度第二学期期末质量检测 初三数学试题（120分钟，120分） 说明：解答全部在答题卡上完成，最后只交答题卡． 一、选择题：（本题共12个小题，每小题3分，满分36分．每小题都给出标号A、B、C、D的四个备选答案，其中只有一个是正确的，请将正确答案用2B铅笔在答题卡上涂黑．） 1. 下列命题中，假命题的是（ ） A. 分别有一个角是的两个等腰三角形相似 B. 有一条边相等的两个矩形相似 C. 有一个角相等的两个菱形相似 D. 若（，），则 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流（单位：A）与电阻（单位：）是反比例函数关系．下列反映电流与电阻之间函数关系的图象大致是（　　） A. B. C. D. 4. 下列四组线段中，不是成比例线段的是（　　） A. B. C. D. 5. 已知，是方程的两根，则的值是（ ） A. 0 B. C. D. 6 6. 下列选项中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，已知矩形与矩形是位似图形，是位似中心，若点坐标为，点的坐标为，则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，反比例函数的图象与过点的直线相交于、两点．已知点的坐标为，点为轴上任意一点．如果，那么点的坐标为（ ） A. B. C. 或 D. 或 9. 已知，则的值是（ ） A. 6 B. C. D. 4 10. 一次函数与反比例函数（a，b为常数且均不等于0）在同一坐标系内的图象可能是（ ） A. B. C D. 11. 关于的方程有两个实数根，则的取值范围为（ ） A. 且 B. C 且 D. 且 12. 操场上有一根竖直的旗杆，它的一部分影子（）落在水平地面上，另一部分影子（）落在对面的墙壁上，经测量，墙壁上的影高为，地面的影长为，同时测得一根高为的竹竿的影长是，请根据以上信息，则旗杆的高度是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每题3分，共18分） 13. 若=，则值为___________ 14. 若与最简二次根式能合并，则的值为______． 15. 某种商品原来每件售价为元，经过连续两次降价后，该种商品每件售价为元，设平均每次降价的百分率为，试根据题意求的值______． 16. 如果实数满足，则的值是______． 17. 如图，矩形的边平行于轴，反比例函数的图象经过点，，对角线的延长线经过原点，且，若矩形的面积是12，则的值为______． 18. 如图，在正方形中，点是的中点，点是上的一点，且，连接、、，下列结论：①；②；③；④，其中正确结论是______．（填写序号） 三、解答题（满分66分） 19. 计算或按要求解一元二次方程： （1） （2）（因式分解法） 20. 已知，先化简再求的值． 21. 如图，平面直角坐标系中，顶点分别为，和，与是以点为位似中心的位似图形，点，，都在格点上． （1）在图中确定出位似中心的位置，并写出点及点的对应点的坐标； （2）以原点为位似中心，在位似中心的同侧画出与位似的，使它与的相似比为，并写出点的对应点的坐标； （3）内部一点的坐标为，写出在中的对应点的坐标． 22. 已知若的一边长为，另外两边长为关于的方程的两个实数根，求的取值范围． 23. 如图，已知反比例函数的图像经过点，过作轴于点．点为该反比例函数图像上的一点，过点作轴于点，连接．直线与轴的负半轴交于点． （1）求反比例函数表达式； （2）若，判断四边形的形状，并说明理由． 24. 振华商厦准备在月月销售一种多功能手机专用包，计划从厂家以每个元的价格进货，经过市场营销调查发现当每个手机专用包的售价为元时，月均销量为个，售价每增长元，月均销量就相应减少个． （1）若使这种手机专用包的月均销量不低于个，每个手机专用包售价应不高于多少元？ （2）在（）的条件下，当这种手机专用包销售单价为多少元时，月销售利润是元？ 25. （综合探究）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别与轴、轴交于点、，与反比例函数的图象在第一象限相交于点．过点作轴的垂线，垂足为点，且． （1）求反比例函数表达式； （2）点在线段上． ①当时，直接写出满足且时的取值范围； ②过作轴的平行线，交双曲线于点，连接．若的面积等于，求点的坐标． 26. 【问题呈现】 （1）如图1，和是两个有公共顶点A的等边三角形，连接，．求的值． 【类比探究】 （2）如图2，和是两个有公共顶点A的等腰直角三角形，，连接，．求证：． （3）如图3，和是两个有公共顶点A的直角三角形，，连接，．若能，请直接写出此时与的数量关系． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023－2024学年度第二学期期末质量检测 初三数学试题（120分钟，120分） 说明：解答全部在答题卡上完成，最后只交答题卡． 一、选择题：（本题共12个小题，每小题3分，满分36分．每小题都给出标号A、B、C、D的四个备选答案，其中只有一个是正确的，请将正确答案用2B铅笔在答题卡上涂黑．） 1. 下列命题中，假命题的是（ ） A. 分别有一个角是的两个等腰三角形相似 B. 有一条边相等的两个矩形相似 C. 有一个角相等的两个菱形相似 D. 若（，），则 【答案】B 【解析】 【分析】根据相似三角形判定，相似多边形定义，比例和相似三角形的性质判断即可． 【详解】解：A、分别有一个角是的两个等腰三角形，其底角等于，所以有一个角是的两个等腰三角形相似是真命题，此选项不符合题意； B、根据矩形四个角等于90度，两矩形四个角对应相等，但四边不一定成比例关系，如：两个矩形都有一条边等于1，另一边分别是2，3，显然，所以有一条边相等的两个矩形不一定相似，所以有一条边相等的两个矩形相似是假命题，此选项符合题意； C、有一个角相等两个菱形，根据菱形对角相等，邻角互补，则两个菱形对应角相等，又因菱形四边相等，所以两菱形四条边成比例，所以有一个角相等的两个菱形相似是真命题，此选项不符合题意； D、∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴原命题是真命题，此选项不符合题意． 故选B． 【点睛】本题考查了命题真假的判定：判断一件事情的语句，叫做命题．正确的命题是真命题，错误的命题是假命题，判断一个命题是假命题可举反例说明． 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的加法、除法、乘法及二次根式的化简，掌握运算法则及性质是关键． 分别利用二次根式的加法、除法、乘法、二次根式的性质进行判断即可． 【详解】解：A、不是同类二次根式，不能合并，故错误； B、，故正确； C、，故错误； D、，故错误； 故选：B． 3. 已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流（单位：A）与电阻（单位：）是反比例函数关系．下列反映电流与电阻之间函数关系的图象大致是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据电流与电阻之间函数关系可知图象为双曲线，并且在第一象限，即可得到答案． 【详解】∵反比例函数的图象是双曲线，且，， ∴图象是第一象限双曲线的一支． 故选：D． 【点睛】本题考查了反比例函数的图象，并结合实际意义去判断图象，数形结合思想是关键． 4. 下列四组线段中，不是成比例线段的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了成立比例的线段，在四条线段中，如果其中的两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段．根据成比例线段的定义逐项分析即可. 【详解】解：A.∵，故选项A中的线段成比例； B.∵，故选项B中的线段成比例； C.∵，故选项C中的线段不成比例； D.∵，故选项D中的线段成比例； 故选：C． 5. 已知，是方程的两根，则的值是（ ） A. 0 B. C. D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程，根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的两个根，，满足，．根据一元二次方程根与系数的关系得出，，然后进行解答即可． 【详解】解∶∵，是方程的两根， ∴，， ∴ ， 故选∶A． 6. 下列选项中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了最简二次根式的定义，能熟记最简二次根式的定义是解此题的关键，满足下列两个条件的二次根式叫最简二次根式：①被开方数中的因数是整数，因式是整式，②被开方数中不含有能开得尽方的因数和因式．根据最简二次根式的定义逐个判断即可． 【详解】解：A．的被开方数含有分母，不是最简二次根式，故本选项不符合题意； B．是三次根式，故本选项不符合题意； C．是最简二次根式，故本选项符合题意； D．的被开方数中含有能开方的因数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意； 故选：C． 7. 如图，已知矩形与矩形是位似图形，是位似中心，若点的坐标为，点的坐标为，则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了位似变换：如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．注意：两个图形必须是相似图形；对应点的连线都经过同一点；对应边平行． 先证明，再根据相似三角形的性质得，则，然后写出点坐标． 【详解】解：∵点B的坐标为，点E的坐标为， ∴， ∵矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点坐标为， 故选B． 8. 如图，反比例函数的图象与过点的直线相交于、两点．已知点的坐标为，点为轴上任意一点．如果，那么点的坐标为（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】反比例函数的图象过点，可得，进而求得直线的解析式为，得出点的坐标，设，根据，解方程即可求解． 【详解】解：∵反比例函数的图象过点 ∴ ∴ 设直线解析式为， ∴， 解得：, ∴直线的解析式为， 联立， 解得：或， ∴， 设， ∵， 解得：或， ∴的坐标为或， 故选：D． 【点睛】本题考查了一次函数与反比例数交点问题，待定系数法求解析式，求得点的坐标是解题的关键． 9. 已知，则的值是（ ） A. 6 B. C. D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】变形为，将变形为，然后整体代入求值即可． 【详解】解：由得：， ∴ ， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了代数式求值，解题的关键是熟练掌握整式混合运算法则，将变形为． 10. 一次函数与反比例函数（a，b为常数且均不等于0）在同一坐标系内的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据一次函数图象确定a、b的符号，进而求出的符号，由此可以确定反比例函数图象所在的象限，看是否一致即可． 【详解】解：A、∵一次函数图象经过第一、二、三象限， ∴， ∴， ∴反比例函数的图象见过第一、三象限，这与图形不符合，故A不符合题意； B、∵一次函数图象经过第一、二、四象限， ∴， ∴， ∴反比例函数的图象见过第二、四象限，这与图形不符合，故B不符合题意； C、∵一次函数图象经过第一、三、四象限， ∴， ∴， ∴反比例函数的图象见过第二、四象限，这与图形不符合，故C不符合题意； D、∵一次函数图象经过第一、二、四象限， ∴， ∴， ∴反比例函数的图象见过第二、四象限，这与图形符合，故D符合题意； 故选D． 【点睛】本题主要考查了一次函数与反比例函数图象和性质，熟练掌握相关性质与函数图象的关系是解决本题的关键． 11. 关于的方程有两个实数根，则的取值范围为（ ） A. 且 B. C 且 D. 且 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件、一元二次方程根与判别式的关系等知识点，掌握一元二次方根的判别式点是解题的关键． 根据二次根式有意义的条件和一元二次方程根情况可得且，然后解不等式组即可． 【详解】解：根据题意得：解得：且． 故选C． 12. 操场上有一根竖直的旗杆，它的一部分影子（）落在水平地面上，另一部分影子（）落在对面的墙壁上，经测量，墙壁上的影高为，地面的影长为，同时测得一根高为的竹竿的影长是，请根据以上信息，则旗杆的高度是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】过点D作于点E，根据题意，，得到矩形,继而得到，根据同一时刻，物高与影长成正比，建立等式计算即可． 本题考查了矩形判定和性质，相似三角形的应用，熟练掌握解矩形的应用是解题的关键． 【详解】过点D作于点E，根据题意，得， ∴四边形为矩形， ∴， ∵，， ∴， 根据同一时刻，物高与影长成正比， ∴即， 解得， ∴． 故选C． 二、填空题（每题3分，共18分） 13. 若=，则的值为___________ 【答案】 【解析】 【分析】先将代数式化简，再把已知的值代入计算即可求解． 【详解】解： ， ， ∴， 故答案是： ． 【点睛】本题主要考查代数式的化简求值，解题的关键是掌握代数式的加减乘除的计算法则． 14. 若与最简二次根式能合并，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查最简二次根式与同类二次根式，解题关键是理解同类二次根式的概念．根据两个根式能够合并，化简后它们的被开方数相同解答即可． 【详解】解：∵，最简二次根式能与合并， ∴， 解得， 故答案为：． 15. 某种商品原来每件售价为元，经过连续两次降价后，该种商品每件售价为元，设平均每次降价的百分率为，试根据题意求的值______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程的应用，设平均每次降价的百分率为，根据题意列出一元二次方程，解方程即可求解，根据题意列出方程是解题的关键． 【详解】设平均每次降价的百分率为，依题意得：， 解得：，（不合题意，舍去）， 故答案为：． 16. 如果实数满足，则的值是______． 【答案】36 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，解一元二次方程，将看作一个整体是解答本题的关键．将原式变形为，求出，代入所给代数式计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴或（舍去）， ∴． 故答案为：36． 17. 如图，矩形的边平行于轴，反比例函数的图象经过点，，对角线的延长线经过原点，且，若矩形的面积是12，则的值为______． 【答案】9 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、反比例函数图象上点的坐标特征等知识点，灵活运用相似三角形的判定与性质是解题的关键． 如图：延长交x轴于点F，设，利用相似三角形判定与性质可求得矩形的长与宽，再由矩形的面积即可求和k的值． 【详解】解：如图：延长交x轴于点F， 由点D在反比例函数的图象上，则设， ∵矩形的边平行于轴，，， ∴轴，， 则， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵，即， ∴． 故答案为：9． 18. 如图，在正方形中，点是的中点，点是上的一点，且，连接、、，下列结论：①；②；③；④，其中正确结论是______．（填写序号） 【答案】①②③④ 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的性质，勾股定理，相似三角形的性质与判定等等，设正方形的边长为，则，据此得到，再由，可证明，得到，，进而证明，则可证明得到，，由勾股定理得到，则，可得，，可得，据此可得答案． 【详解】解：设正方形的边长为，则， ∵点是的中点，， ∴， ∴， 由正方形的性质可得， ∴，故①正确； ∴，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴，故②③正确； 在中，由勾股定理得， ∴， ∴， ∵， ∴，故④正确， 故答案为：①②③④． 三、解答题（满分66分） 19. 计算或按要求解一元二次方程： （1） （2）（因式分解法） 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的运算，解一元二次方程，解题的关键是∶ （1）利用二次根式的乘除法则，二次根式的性质化简计算即可； （2）利用因式分解法求解即可． 【小问1详解】 解∶原式 ； 【小问2详解】 解∶ ， ∴， ∴ ∴，即， ∴或， ∴，． 20. 已知，先化简再求的值． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的化简求值，非负数的性质，先根据非负数的性质求出，再根据二次根式乘除法法则把所给代数式化简，再把代入计算即可． 【详解】解：由题意得， 解得， 原式 ， 当，时， 原式 21. 如图，平面直角坐标系中，的顶点分别为，和，与是以点为位似中心的位似图形，点，，都在格点上． （1）在图中确定出位似中心的位置，并写出点及点的对应点的坐标； （2）以原点为位似中心，在位似中心的同侧画出与位似的，使它与的相似比为，并写出点的对应点的坐标； （3）内部一点的坐标为，写出在中的对应点的坐标． 【答案】（1）见解析，P（-5,-1）；（2）见解析，；（3） 【解析】 【分析】(1)连接O1O并延长与A1A的延长线相交，交点即为位似中心P，再根据平面直角坐标系写出点P和B1的坐标； (2)延长OA到A2，使AA2=OA，延长OB到B2，使BB2=OB，连接A2B2，再根据平面直角坐标系写出点B2的坐标； (3)根据位似比是2写出即可． 【详解】（1）点的位置如图所示， 点的坐标为， 点的坐标为 （2）如图所示， 的坐标为． （3）的坐标为 【点睛】本题考查了利用位似变换作图，熟练掌握位似变换的性质准确找出对应点的位置是解题的关键． 22. 已知若的一边长为，另外两边长为关于的方程的两个实数根，求的取值范围． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，利用公式法解方程，三角形的三边关系，由一元二次方程根的判别式得为任意实数，方程有两个实数根，利用公式法可得方程的解为，，最后根据三角形的三边关系即可求解，正确求出一元二次方程的根是解题的关键． 【详解】解：∵， 为任意实数，方程有两个实数根， 解方程得， ∴， ∴，， 根据三角形三边之间的关系得，， ． 23. 如图，已知反比例函数的图像经过点，过作轴于点．点为该反比例函数图像上的一点，过点作轴于点，连接．直线与轴的负半轴交于点． （1）求反比例函数表达式； （2）若，判断四边形的形状，并说明理由． 【答案】（1） （2）四边形为平行四边形 【解析】 【分析】（1）根据题意直接利用待定系数法将A点坐标代入即可得出答案． （2）由题意求出直线的解析式，可得E点坐标，求出，，，即可解决问题． 【小问1详解】 把，代入反比例函数的解析式得， 解得：， ∴反比例函数表达式为：． 【小问2详解】 反比例函数表达式为：， ∵，，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴点B的纵坐标为4，代入中，得，解得， ∵， ∵，设直线的解析式为：， 则有，解得， ∴直线的解析式为：，令，得，解得， ∴， ∴， ∵，，， ∴四边形为平行四边形． 【点睛】本题考查了反比例函数与几何综合，待定系数法，平行四边形的判定． 24. 振华商厦准备在月月销售一种多功能手机专用包，计划从厂家以每个元的价格进货，经过市场营销调查发现当每个手机专用包的售价为元时，月均销量为个，售价每增长元，月均销量就相应减少个． （1）若使这种手机专用包的月均销量不低于个，每个手机专用包售价应不高于多少元？ （2）在（）的条件下，当这种手机专用包销售单价为多少元时，月销售利润是元？ 【答案】（1）每个手机专用包售价应不高于元； （2）当该这种手机专用包销售单价为元时，销售利润是元． 【解析】 【分析】（）设每个手机专用包售价为元，根据题意列出，然后求解即可； （）由题意列方程，然后解方程检验即可； 本题主要考查了一元二次方程的应用，一元一次不等式的应用，明确题意，准确得到数量关系是解题的关键． 【小问1详解】 设每个手机专用包售价为元， 依题意得： 解得：， ∴的最大值为， ∴每个手机专用包售价应不高于元； 【小问2详解】 依题意得： 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， ∴当该这种手机专用包销售单价为元时，销售利润是元． 25. （综合探究）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别与轴、轴交于点、，与反比例函数的图象在第一象限相交于点．过点作轴的垂线，垂足为点，且． （1）求反比例函数表达式； （2）点在线段上． ①当时，直接写出满足且时的取值范围； ②过作轴的平行线，交双曲线于点，连接．若的面积等于，求点的坐标． 【答案】（1） （2）①；② 【解析】 【分析】（1）先求出点C和点D的坐标，利用相似三角形的性质求出点A的坐标，然后用待定系数法求解即可； （2）①分别求出当时x的值，结合图象即可求解； ②先表示出的长，然后利用三角形的面积公式求解即可． 【小问1详解】 解：当时，， ∴， ∴． 当时，，， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， 当时，， ∴， 即， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：①当时， 解得，， 解得，， ∴满足且时的取值范围是； ②将代入得，， 将代入得，， ∴， ∵的面积等于， ∴， ∴，（舍去）， 把代入得， ∴． 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的综合，待定系数法求反比例函数解析式，利用图象解不等式，相似三角形的判定与性质以及坐标与图形的性质，数形结合是解答本题的关键． 26. 【问题呈现】 （1）如图1，和是两个有公共顶点A的等边三角形，连接，．求的值． 【类比探究】 （2）如图2，和是两个有公共顶点A的等腰直角三角形，，连接，．求证：． （3）如图3，和是两个有公共顶点A的直角三角形，，连接，．若能，请直接写出此时与的数量关系． 【答案】（1）；（2）见解析；（3） 【解析】 【分析】（1）根据等边三角形的性质，证明，再根据全等三角形的性质即可解答即可； （2）根据等腰直角三角形的性质、直角边与斜边的关系可证明，再根据相似三角形的性质对应边的比等于相似比即可解答； （3）根据、，可证，可得，在中，求出，在中，求出，再证，根据相似三角形的性质即可求解． 【详解】解：（1）∵和都是等边三角形， ∴， ∴， ∴在和中，， ∴， ∴，即． （2）∵和是两个有公共顶点A的等腰直角三角形，， ∴， ∵， ∴，且， ∴， ∴， ∴． （3）∵，， ∴， ∴，即， ∴， 设， 在中，， 同理，在中，设，则， ∴，，即， ∴， ∴，即． 【点睛】本题主要考查等边三角形、等腰直角三角形、直角三角形、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识点，掌握三角形全等的判定和性质，相似三角形的判定和性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$