江苏省镇江市2026届高三上学期期初考试数学考前模拟练习试卷

参考答案与解析 一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 A B B B C C A D BCD BC ACD 二、填空题 12． 13. 1 14. 三、解答题 15．（1）由已知得青年用户的人数为， 则，解得， （2分） 列联表如下： 组别 应用体验 合计 良好 不良好 青年用户 120 30 150 中年用户 60 90 150 合计 180 120 300 零假设为：这两组不同年龄段的用户对该软件的应用体验不存在差异，（3分） 根据表中的数据，计算得到， 根据小概率值的独立性检验，推断不成立，（6分） 即认为这两组不同年龄段的用户对该软件的应用体验存在差异，此推断犯错误的概率不大于0.001.（7分） （2）由已知得分层抽样比为，（8分） 则在这15名青年用户中，应用体验为良好的有人，为不良好的有人， （10分） 所以从中随机抽取3人，恰有2人的应用体验为不良好的概率是.（13分） 16．（1）以为原点，的方向分别为轴的正方向，建立空间直角坐标系． （1分） 不妨设，则． 设，则， 可得，（3分） 由题意可得，（5分） 整理可得，解得， 所以点为棱的中点．（8分） （2）由（1）可得：， 设平面的法向量为，则， 令，则，可得．（11分） 设直线与平面所成角为， 则，（14分） 所以直线与平面所成角的正弦值为．（15分） 17．（1）假设函数具有性质， 且的定义域为， 又满足存在，对任意的，都有， 所以， 又，所以满足，此方程无解， 所以数不具有性质（3分） （2）若函数具有性质，且函数定义域为， 所以存在，对任意的，都有， 即，（5分） 所以，故为定值，（8分） （3）因为函数具有性质， 定义域为，所以， 所以存在，对任意的，都有， 即， 所以，（10分） 即， 所以，（12分） 令，所以或， 又，所以，所以， 即，所以， 当且仅当，即时，等号成立， 故的最小值为4.（15分） 18．（1）取AD中点O，连接，BO，因为， 所以为正三角形．    所以，又，所以， 因为，平面， 所以平面，因为平面，所以，（4分） （2）若选①③： （i）在四棱柱中，点G在棱上， 因为，DG平面，平面， 所以平面，由（1）可知：AD⊥平面， 所以， 所以，即，OA⊥OB，（7分） 以O为坐标原点，为一组正交基底建立空间直角坐标系，（8分） 则， 所以，， 所以，    所以，， 设平面的一个法向量为， 则令， 则（11分） 因为平面的一个法向量为， 由二面角的余弦值为得： ，（12分） 即，因为，所以．（13分） （ii）方法1： 因为，平面的一个法向量为， 设直线GB与平面所成的角为θ， 则，（16分） 所以直线GB与平面所成的角的正弦值为．（17分） （ii）方法2： 因为点G为棱中点，连接OG、，因为平面ABCD， 又平面ABCD，所以，又，，平面， ，所以BO⊥平面，    所以为直线GB与平面所成的角，（15分） 在中，，所以．（16分） 所以直线GB与平面所成角的正弦值为．（17分） 若选②③： （i）因为，在中，由余弦定理得， 因为四边形是平行四边形，所以， 在中，由余弦定理得， 因为，所以， 所以，即，，（7分） 下同（i）的解法. 若选①②，则点G的位置不确定，与题意不符合，仅得第（1）问的分数。 19．（1）当时，，则， 所以，， 则曲线在点处的切线方程为， 整理得：．（3分） （2）函数的定义域为，且， ① 当时，易得，在上单调递减，则无极小值，不合题意；（5分） ② 当时，由，得，即在上单调递增； 由，得时，即在上单调递减， 所以的极小值为：，（7分） 因为的极小值小于，所以，即． 令，则， 所以当时，，当时，， 则在上单调递增，在上单调递减， 因为，所以由可得.（10分） （3）． 令，得， 令，则与有相同的零点， 且． 令，则， 因为，则，所以在区间上单调递增， 又，，所以，使得。（12分） 所以当时，，即；当时，，即， 所以在单调递减，在单调递增， 所以的最小值为． 由，得， 即.， 令，，则，则在单调递增． 因为，所以，则， 所以，从而，， 所以的最小值．（15分） 当趋近于0时，趋近于0或时，趋近于， 又因，所以， 所以有2个零点，故有2个零点．（17分） 选择题、填空题解析 1．由可得，则， ， 所以. 故选：A. 2．样本数据的中位数为． 故选：B. 3．因为，所以， 所以，所以， 所以， 当且仅当时取等号，又，所以当且仅当时取等号. 故选：B. 4．是分段函数，根据的正负写出分段函数的解析式，， 时，图象与在第一象限的图象一样是增函数， 时，图象与的图象关于轴对称. 故选：B． 5．如图，以点为原点建立空间直角坐标系，设正方体边长为1， 则， 故， 所以， 所以异面直线与所成角的余弦值为.    故选：C. 6．如下图所示，对集装箱进行编号， 则可知1号箱子一定在2号箱子前被取走，2号箱子一定在3号箱子前被取走， 4号箱子一定在5号箱子前被取走，5号箱子一定在6号箱子前被取走， 根据定序问题用除法得到不同取法的种数为， 故选：C.    7．令是三棱锥P-ABC外接球的球心，是在平面上的射影.，分别为的中点，则∥. ∵，∴. ∵平面平面，平面平面，平面， ∴平面 ∵是等边三角形，∴，是的重心. 以为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系. ∵，，则， ∴，. 设，由,得， 化简得解得. ∴三棱锥外接球的表面积为. 故选：A. 8．如图所示，取，设三点都在函数的图象上，且三点的横坐标为， 记点关于原点的对称点为点， 则，，， 其中分别表示直线的斜率， 由图可知，故排除C， 现在我们说明当时，有，即可说明D正确， 如图所示，当时，有， 如图所示，当时，有， 故D正确； 对于AB，如图所示，当时，有，排除AB. 故选：D. 9．对于A：因为第6项与第7项的二项式系数相等，所以，则，故A不正确， 对于B：因为，所以展开式的二项式系数和为，故B正确； 对于C：令，得，所以C正确； 对于D：令，得，令，得， 所以，故D正确. 故选：BCD 10．由题意可得，故C正确， ，则，故B正确，A错误， ，故D错误， 故选：BC 11．由，， 令，则或；令，则， 所以函数在单调递增，在单调递减. 在上单调递减. 对于A，当时，， 函数在单调递减，故A正确； 对于B，当时，函数在单调递减，在单调递增，在单调递减，，所以函数直线与曲线恰有3个交点，则B错误. 对于C，当时，函数在单调递减，在单调递增，在单调递减， 则函数有3个极值点，故C正确； 对于D，当时，，， 所以当时，根据上面对函数单调性的判断可知函数有最大值2，故D正确； 故选：ACD. 12．由题意可知，，， 将代入，得，解得， 所以. 当时，预测值，则. 故答案为：. 13．由题意得，， 因为函数在处有极值， 所以，得． 当时，， 得或；得， 则的单调递增区间为，，单调递减区间为， 满足在处有极大值． 故答案为：1． 14．设这三个正整数分别为，则题意可得， 所以随机变量可能取值为1和2， 用隔板法可求得：事件总情况为种， 当时，分两种情况：①三个数中只有一个1，有种； ②三个数中有两个1，有种， 所以时，； 当时，也分两种情况：①三个数中只有一个2，有种； ②三个数中有两个2，有种， 所以时，， 所以. 故答案为： 学科网（北京）股份有限公司 $$第 1 页 共 4 页 镇江市高三期初考试考前模拟试卷 数学试题 2025.8 试卷说明：本试卷为自制模拟试卷，结合本次考试范围、24 与 25 两届同期试卷、25 年全 国 I 卷制作。本试卷供查漏补缺、模拟检测、巩固提高所用，不可等同于正式考试。 一、选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的。 1．设集合  2 4,xA x x    N ，  1 2B x x    N ，则 A B 等于 A． 0,1 B． 2x x  C． 1 2x x   D． 1 2．样本数据 1，2，4，4，5，7，8，8的中位数为 A．4 B． 9 2 C．5 D．6 3．若随机变量      2~ 2, 1 2 3X N P X x P X y     ， ， ，则 1 22x y 的最小值为 A．4 B．9 C．18 D．32 4．函数  1 xxay a x   图像的大致形状为 A． B． C． D． 5．正方体 1 1 1 1ABCD ABC D 中，点 ,M N分别为正方形 1111 DCBA 及 1 1ABB A 的中心，则异面 直线 BD与MN所成角的余弦值为 A．0 B． 3 4 C． 12 D． 3 2 6．如图所示，某码头有两堆集装箱，一堆 3个，另一堆也是 3个，现需要全部装运，每 次只能从其中一堆取最上面的一个集装箱，则在装运过程中不同取法的种数是 A．12 B．16 C． 20 D． 24 7．已知三棱锥 P-ABC中，平面 PBC 平面 ABC，且平面 ABC是边长为 2 3的等边三角 形， PB BC ， 2BC PC ，则三棱锥 P-ABC外接球的表面积为 A．52π B．39π C．26π D．13π 第 2 页 共 4 页 8．已知函数    ln 1f x x  ，对于实数 1x ， 2x ，已知 1 21 x x  ，设    2 1 2 1 f x f x M x x    ，    2 1 2 1 1 1 f x f x P x x      ，    1 2 1 2 f x f x Q x x    ，则 A． 1 2x  时，有M Q P  B． 1 2x  时，有 P M Q  C． 11 2x  时，有P Q M  D． 11 2x  时，有M P Q  二、选择题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18分。在每小题给出的选项中，有多项符 合题目要求。全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分。 9．已知 20 1 2 12 2 n n nx a a x a x a x            ，且第 6项与第 7项的二项式系数相等，则 A． 13n  B．展开式的二项式系数和为 112 C．展开式的各项系数和为 113 2       D． 1 22 1 2 2 2 1024 n n aa a     10．某校开展“强国有我，筑梦前行”主题演讲比赛，共有 6位男生，4位女生进入决赛.现 通过抽签决定出场顺序，记事件 A表示“第一位出场的是女生”，事件 B表示“第二位出场 的是女生”，则 A．   3 5 P AB  B．   1 3 |P B A  C．    P A P B D．   4 5 P A B  11．已知函数   3 3 , , , , x x x a f x x a x a         ．则下列结论中正确的是 A．当 0a  时，函数  f x 在  1,  单调递减 B．当 0a  时，直线 y x a  与曲线  y f x 恰有 2个交点 C．当 3a  时，函数  f x 有 3个极值点 D．当 1 2a   时，函数  f x 有最大值 2 三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分。 12．已知变量 x y、 满足线性相关关系，一组观测值如下表，且经验回归方程为  0.8y x a  . 现有一对观测数据为  20,n ，若该数据的残差为 0.6 ，则 n  . x 21 23 25 27 y 15 18 19 20 13．已知函数   3 22 1f x ax x x    在 1x   处有极值，则 a  ． 14．已知三个正整数的和为 8，用 X 表示这三个数中最小的数，则 X 的期望 E(X)= . 第 3 页 共 4 页 四、解答题：本题共 5小题，共 77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.（13分） 随着我国人工智能（AI）的突破性发展，近期许多优秀的人工智能（AI）应用软件发 布并上线.这些软件凭借强大的创新功能和极具吸引力的用户体验，在社交媒体上引发了广 泛的讨论，产生了显著的社会效应.某科技公司新开发了一款人工智能（AI）应用软件，为 了测试青年人和中年人对该软件的应用体验是否良好，某机构从中青年用户中随机调查了 300人，得到如下列联表： 组别 应用体验 合计 良好 不良好 青年用户 3m n 2m n 中年用户 m n 2m n 150 合计 300 （1）求出 ,m n的值，并依据小概率值 0.001  的独立性检验，请判断这两组不同年龄 段的用户对该软件的应用体验是否存在差异； （2）先按应用体验用分层抽样的方法在上述接受调查的青年用户中抽取 15人，再从这 15人中随机抽取 3人提出进一步改良的建议，求恰有 2人的应用体验为不良好的概率. 附：        2 2 n ad bc a b c d a c b d        ， n a b c d    .  0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 x 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 16.（15分） 如图，在四棱锥 P ABCD 中， PA 底面 ,ABCD ABCD为矩形， 2 2 AB AD PD  ， 点 E在棱 PB上，且直线 PD与CE所成的角为 π 6 ． （1）证明：点 E为棱 PB的中点； （2）求直线CD与平面 ACE所成角的正弦值． 第 4 页 共 4 页 17.（15分） 对于定义域为 A的函数  y f x ，如果存在 Rk ，对任意的 x A ，都有    f kx f x k  ，那么称函数  y f x 具有性质  P k . （1）判断函数 y x 是否具有性质  P k ，并说明理由； （2）若函数 log (0 1)ay x a   具有性质  P k ，求证： logkk a为定值； （3）若函数  log log 1, 1a by x x a b    具有性质  2P ，求 ab的最小值. 18.（17分） 已知四棱柱 1 1 1 1ABCD ABC D 的各棱长均为 2， 2BD  ， 1 π 3 A AD  ， 1DG DD   ，  0,1 ． （1）证明： 1AD AB ； （2）请从下列条件①，条件②，条件③中选出两个作为已知条件，使得点 G的位置确 定． （i）求λ的值； （ii）求直线 GB与平面 1 1ADD A所成的角的正弦值． 条件①：三棱锥 1G A AB 的体积为 1； 条件②： 1 10AB  ； 条件③：二面角 1A AG B  的余弦值为 21 7 ． 19.（17分） 已知函数    1 ln 1f x m x x    ． （1）当 2m  时，求曲线  y f x 在点   1, 1f 处的切线方程； （2）若  f x 的极小值小于 1 ，求 m的取值范围； （3）当 1m  时，证明：     exg x f x x m   有 2个零点． 镇江市高三期初考试考前模拟试卷 数学试题 2025.8 试卷说明：本试卷为自制模拟试卷，结合本次考试范围、24与25两届同期试卷、25年全国I卷制作。本试卷供查漏补缺、模拟检测、巩固提高所用，不可等同于正式考试。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．设集合，，则等于 A． B． C． D． 2．样本数据1，2，4，4，5，7，8，8的中位数为 A．4 B． C．5 D．6 3．若随机变量，则的最小值为 A．4 B．9 C．18 D．32 4．函数图像的大致形状为 A．   B．   C．   D．   5．正方体中，点分别为正方形及的中心，则异面直线与所成角的余弦值为 A． B． C． D． 6．如图所示，某码头有两堆集装箱，一堆3个，另一堆也是3个，现需要全部装运，每次只能从其中一堆取最上面的一个集装箱，则在装运过程中不同取法的种数是    A． B． C． D． 7．已知三棱锥P-ABC中，平面平面，且平面ABC是边长为的等边三角形，，，则三棱锥P-ABC外接球的表面积为 A．52π B．39π C．26π D．13π 8．已知函数，对于实数，，已知，设，，，则 A．时，有 B．时，有 C．时，有 D．时，有 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．已知，且第6项与第7项的二项式系数相等，则 A． B．展开式的二项式系数和为 C．展开式的各项系数和为 D． 10．某校开展“强国有我，筑梦前行”主题演讲比赛，共有6位男生，4位女生进入决赛.现通过抽签决定出场顺序，记事件A表示“第一位出场的是女生”，事件B表示“第二位出场的是女生”，则 A． B． C． D． 11．已知函数．则下列结论中正确的是 A．当时，函数在单调递减 B．当时，直线与曲线恰有2个交点 C．当时，函数有3个极值点 D．当时，函数有最大值2 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知变量满足线性相关关系，一组观测值如下表，且经验回归方程为.现有一对观测数据为，若该数据的残差为，则 . 13．已知函数在处有极值，则 ． 14．已知三个正整数的和为8，用表示这三个数中最小的数，则的期望 E(X)= . 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.（13分） 随着我国人工智能（AI）的突破性发展，近期许多优秀的人工智能（AI）应用软件发布并上线.这些软件凭借强大的创新功能和极具吸引力的用户体验，在社交媒体上引发了广泛的讨论，产生了显著的社会效应.某科技公司新开发了一款人工智能（AI）应用软件，为了测试青年人和中年人对该软件的应用体验是否良好，某机构从中青年用户中随机调查了300人，得到如下列联表： 组别 应用体验 合计 良好 不良好 青年用户 中年用户 150 合计 300 （1）求出的值，并依据小概率值的独立性检验，请判断这两组不同年龄段的用户对该软件的应用体验是否存在差异； （2）先按应用体验用分层抽样的方法在上述接受调查的青年用户中抽取15人，再从这15人中随机抽取3人提出进一步改良的建议，求恰有2人的应用体验为不良好的概率. 附：，. 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 16.（15分） 如图，在四棱锥中，底面为矩形，，点在棱上，且直线与所成的角为． （1）证明：点为棱的中点； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 17.（15分） 对于定义域为A的函数，如果存在，对任意的，都有，那么称函数具有性质. （1）判断函数是否具有性质，并说明理由； （2）若函数具有性质，求证：为定值； （3）若函数具有性质，求的最小值. 18.（17分） 已知四棱柱的各棱长均为2，，，，． （1）证明：； （2）请从下列条件①，条件②，条件③中选出两个作为已知条件，使得点G的位置确定． （i）求λ的值； （ii）求直线GB与平面所成的角的正弦值． 条件①：三棱锥的体积为1； 条件②：； 条件③：二面角的余弦值为． 19.（17分） 已知函数． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若的极小值小于，求m的取值范围； （3）当时，证明：有2个零点． 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $$