专题1.1.1 集合的概念与表示重难点题型讲义（2个知识点+10大题型+3大拓展训练+自我检测）-2025-2026学年高一数学上册重难点专题提升精讲精练（北师大版必修第一册）

专题1.1.1 集合的概念与表示重难点题型专训 （2个知识点+10大题型+3大拓展训练+自我检测） 题型一 判断元素能否构成集合 题型二 判断元素与集合的关系 题型三 根据元素与集合的关系求参数 题型四 利用集合元素的互异性求参数 题型五 描述法表示集合 题型六 列举法表示集合 题型七 根据集合中元素的个数求参数 题型八 集合元素互异性的应用 题型九 利用集合中元素的性质求集合元素个数 题型十 列举法求集合中元素的个数 拓展训练一 集合求参数问题 拓展训练二 常见的集合表示方法 拓展训练三 求集合中元素个数 知识点一：元素与集合 1、元素与集合的关系： 一般地，我们把研究对象称为元素，把一些元素组成的总体称为集合，简称集．元素一般用小写字母a，b，c表示，集合一般用大写字母 A，B，C表示，两者之间的关系是属于与不属于关系，符号表示如：a∈A或a∉A． 2、集合中元素的三大特征： （1）确定性：集合中的元素是确定的，即任何一个对象都说明它是或者不是某个集合的元素，两种情况必居其一且仅居其一，不会模棱两可，例如“著名科学家”，“与2接近的数”等都不能组成一个集合． （2）互异性：一个给定的集合中，元素互不相同，就是在同一集合中不能出现相同的元素．例如不能写成{1，1，2}，应写成{1，2}． （3）无序性：集合中的元素，不分先后，没有如何顺序．例如{1，2，3}与{3，2，1}是相同的集合，也是相等的两个集合． 3、集合相等 若，且，则. ①若，且，则. ②欲证，只需证，且. 【即时训练】 1．（24-25高一上·湖南长沙·阶段练习）下列说法正确的是（ ） A．我校很喜欢足球的同学能组成一个集合 B．联合国安理会常任理事国能组成一个集合 C．数组成的集合中有7个元素 D．由不大于4的自然数组成的集合的所有元素为 2．（24-25高一上·上海嘉定·阶段练习）集合，则 .（用“”或“”连接） 知识点二：集合的表示方法 ① 列举法  把集合中的元素一一列举出来，并用花括号括起来表示集合的方法叫列举法. ② 描述法  用集合所含元素的共同特征表示集合的方法，称为描述法.  方法：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征. 一般格式：.  用符号描述法表示集合时应注意：  弄清元素所具有的形式(即代表元素是什么)是数还是点、还是集合、还是其他形式？  元素具有怎么的属性？当题目中用了其他字母来描述元素所具有的属性时，要去伪存真，而不能被表面的字母形式所迷惑.  Eg 集合 元素 化简结果 方程的解 不等式的解集 函数中取值范围(定义域) 函数中取值范围(值域) 函数的图像上的点 ---- 看集合先看元素类型. 【即时训练】 1．（2025·甘肃张掖·模拟预测）方程组的解集是（    ） A．，或 B． C． D． 2．（24-25高一上·上海·阶段练习）用列举法表示集合 . 【经典例题一 判断元素能否构成集合】 【例1】（24-25高一·上海·假期作业）下列各对象可以组成集合的是（　　） A．与1非常接近的全体实数 B．新学期2025～2026学年度第一学期全体高一学生 C．高一年级视力比较好的同学 D．中国著名的数学家 【例2】（24-25高一上·全国·课前预习）看下面的几个例子，观察并讨论它们有什么共同特点？ （1）1～10之间的所有偶数； （2）某中学今年入学的全体高一学生； （3）所有正方形； （4）到直线l的距离等于定长d的所有点； （5）方程的所有实数根； （6）地球上的四大洋. 1．（24-25高一上·北京·阶段练习）关于的方程的解集可能是（    ） A．空集 B．单元素集合 C． D． 2．（多选题）（2024高一上·全国·专题练习）(多选题)下列各组对象能组成集合的是（    ） A．大于6的所有整数 B．高中数学的所有难题 C．被3除余2的所有整数 D．函数图象上所有的点 3．（22-23高一上·上海浦东新·期末）请将下列各组对象能组成集合的序号填在后面的横线上 . ①上海市2022年入学的全体高一年级新生； ②在平面直角坐标系中，到定点的距离等于1的所有点； ③影响力比较大的中国数学家； ④不等式的所有正整数解. 4．（24-25高一上·上海·课后作业）判断下列各组对象是否能组成集合．若能组成集合，判断组成的集合是有限集、无限集还是空集；若不能组成集合，请说明理由． (1)所有大于0且小于25的偶数； (2)不等式的解集； (3)两条平行直线的交点； (4)古今中外的所有伟大的人． 【经典例题二 判断元素与集合的关系】 【例1】（2025高一·全国·专题练习）已知集合，则（   ） A． B． C． D． 【例2】（24-25高一上·全国·课后作业）设集合中的所有元素均为整数． (1)若，求集合A； (2)试判断4是不是集合A中的元素，并证明结论． 1．（23-24高一上·四川·阶段练习）已知，则（    ） A． B． C． D． 2．（多选题）（2025·河南新乡·三模）已知非空数集M具有如下性质：①若，则；②若，则.下列说法中正确的有（    ）. A．. B．. C．若，则. D．若，则. 3．（24-25高一上·湖北·阶段练习）记数集中的最小元素与最大元素的算术平均数为集合的“均值”，特别地，集合的“均值”为．已知集合，对于集合任意一个非空子集，记其“均值”为，则所有这样的的算术平均数为 ． 4．（24-25高一上·上海·课堂例题）已知集合． (1)若为整数，试判断是否为集合中的元素； (2)求证：若，则． 【经典例题三 根据元素与集合的关系求参数】 【例1】（24-25高一上·全国·随堂练习）已知关于x的不等式的解集为A，若且，则（ ） A． B． C． D． 【例2】（23-24高一·上海·课堂例题）已知集合，且.求实数的值. 1．（24-25高三上·北京通州·期中）设集合，则（    ） A．对任意实数a， B．对任意实数a， C．当且仅当时， D．当且仅当时， 2．(多选题)（23-24高一上·江苏南京·阶段练习）设非空集合满足:当时,有,下列命题中,正确的有（    ） A．若,则 B．的取值范围为 C．若,则 D． 3．（24-25高一上·山东·期中）设集合，，已知且，则a的取值集合为 . 4．（23-24高一上·江苏镇江·阶段练习）已知集合中的元素全为实数，且满足：若，则． (1)若，求出中其他所有元素． (2)0是不是集合中的元素？请你取一个实数，再求出中的元素． 【经典例题四 利用集合元素的互异性求参数】 【例1】（23-24高三上·全国·阶段练习）已知，集合，，若，且的所有元素和为12，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 【例2】（24-25高一·全国·课后作业）含有三个实数的集合可表示为{a，，1}，也可表示为{a2，a＋b，0}．求a＋a2＋a3＋…＋a2011＋a2012的值． 1．（24-25高一上·全国·课后作业）由实数－a，a，|a|，所组成的集合最多含有的元素个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（2024高一·全国·专题练习）集合{x–1，x2–1，2}中的x不能取得值是 A．2 B．3 C．4 D．5 3．（24-25高一上·浙江·开学考试）若由，，1组成的集合A与由，，组成的集合B相等，则的值为 ． 4．（23-24高一上·江苏·课后作业）若，求的取值范围． 【经典例题五 描述法表示集合】 【例1】（24-25高一上·山东威海·阶段练习）给出下列说法： ①在直角坐标平面内，第一、三象限内的点组成的集合为； ②所有奇数组成的集合为； ③集合与是同一集合． 其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．0个 【例2】（24-25高一上·全国·课堂例题）用描述法表示下列集合： (1)不等式的解组成的集合； (2)正偶数组成的集合； (3)函数的图像上所有的点组成的集合． 1．（24-25高三上·江苏·期末）已知集合，集合，则（   ） A． B． C． D． 2．（23-24高一·全国·课后作业）由大于﹣3且小于11的偶数所组成的集合是 A．{x|﹣3＜x＜11，x∈Q} B．{x|﹣3＜x＜11} C．{x|﹣3＜x＜11，x=2k，k∈N} D．{x|﹣3＜x＜11，x=2k，k∈Z} 3．（24-25高一上·上海·课堂例题）已知集合，在下列集合中： （1）； （2）； （3）； （4）； 与相同的集合有 ．（填序号） 4．（23-24高一上·全国·课后作业）说明下列各集合表示的含义． (1)； (2) ； (3)； (4) ． 【经典例题六 列举法表示集合】 【例1】（2025·辽宁沈阳·一模）集合，则集合（    ） A． B． C． D． 【例2】（24-25高一上·全国·随堂练习）用列举法表示下列集合： (1)方程的实数根组成的集合； (2)大于10而小于20的合数组成的集合； (3)方程组的解集组成的集合． 1．（2024高一·全国·竞赛）已知集合，则集合等于（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·浙江·期末）已知集合，集合，则（    ） A． B． C． D． 3．（22-23高一上·上海浦东新·阶段练习）设集合，试用列举法表示集合 . 4．（23-24高一上·上海长宁·阶段练习）设集合. （1）将集合中的元素进行从小到大的排列，求最小的六个元素组成的子集； （2）对任意的，判定和是否是集合中的元素？并证明你的结论. 【经典例题七 根据集合中元素的个数求参数】 【例1】（24-25高一上·福建龙岩·阶段练习）若集合中有且只有一个元素，则值的集合是（   ） A． B． C． D． 【例2】（24-25高一上·全国·课前预习）已知集合． (1)若中只有一个元素，求的值； (2)若中至多有一个元素，求的取值范围； (3)若中至少有一个元素，求的取值范围． 1．（24-25高一下·河北保定·阶段练习）已知集合，，记非空集合S中元素的个数为，已知，记实数a的所有可能取值构成集合是T，则（    ） A．5 B．3 C．2 D．1 2．（多选题）（23-24高一上·河北石家庄·阶段练习）已知集合，则满足A中有8个元素的m的值可能为（    ） A．6 B． C．9 D． 3．（24-25高一上·上海宝山·期中）已知为实数，，，记集合，，若集合的元素个数为3，则集合的元素个数一定有 个. 4．（24-25高一上·江苏镇江·阶段练习）已知集合. (1)当时，中只有一个元素，求的值； (2)当时，中至多有一个元素，求的取值范围. 【经典例题八 集合元素互异性的应用】 【例1】（24-25高一上·四川达州·阶段练习）若为集合的四个元素，则以为边长的四边形可能为（    ） A．等腰梯形 B．菱形 C．直角梯形 D．矩形 【例2】（24-25高一上·安徽阜阳·阶段练习）设数集由实数构成，且满足：若(且)，则. （1）若，试证明中还有另外两个元素； （2）集合是否为双元素集合，并说明理由. 1．（23-24高三上·上海浦东新·阶段练习）集合中的三个元素分别表示某一个三角形的三边长度，那么这个三角形一定不是（　　） A．等腰三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形 2．（多选题）（22-23高一上·云南·阶段练习）已知集合，，若，则的值可能为（    ） A． B．2 C． D．12 3．（23-24高一·上海·课后作业）已知若且，则 4．（23-24高一·全国·课后作业）由，，4所组成的集合记为A. （1）是否存在实数a，使得A中只含有一个元素？若存在，求出a的值，若不存在，说明理由； （2）若A中只含有两个元素，求a的值. 【经典例题九 利用集合中元素的性质求集合元素个数】 【例1】（23-24高一上·新疆昌吉·阶段练习）已知a，b均为非零实数，集合，则集合的真子集的个数为（    ） A．2 B．4 C．3 D．8 【例2】（24-25高一上·上海·阶段练习）已知集合A的元素为实数，满足①且；②若，则. (1)若，求A； (2)集合A有没有可能是单元素集? (3)若，证明：. 1．（23-24高一上·北京·阶段练习）设非空数集同时满足条件：①中不含元素；②若，则.则下列结论正确的是（    ） A．集合中至多有2个元素 B．集合中至多有3个元素 C．集合中至少有4个元素 D．集合中至少有5个元素 2．（多选题）（24-25高一上·江苏扬州·阶段练习）设，，为实数，，记集合，，若、分别表示集合、的元素的个数，则下列结论能成立的是（    ） A．， B．， C．， D．， 3．（23-24高一上·重庆九龙坡·阶段练习）设 ，用 表示不超过 的最大整数，如 .则如 构成的集合元素的个数为 . （用数字作答） 4．（23-24高一上·上海浦东新·阶段练习）设非空集合具有如下性质：①元素都是正整数；②若则． （1）请你写出符合条件，且分别含有一个、二个、三个元素的集合各一个； （2）是否存在恰有6个元素的集合？若存在，写出所有的集合；若不存在，请说明理由； （3）满足条件的集合S总共有多少个？ 【经典例题十 列举法求集合中元素的个数】 【例1】（24-25高一上·湖北随州·阶段练习）已知集合且，则集合中的元素个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【例2】（23-24高一·全国·课后作业）已知 （1）求满足条件的整数对组成的集合； （2）求满足条件的整数对组成的集合； （3）求集合为奇数中的元素个数. 1．（22-23高一上·湖北十堰·阶段练习）若集合，则集合的元素个数为（    ） A． B． C． D． 2．（多选题）（23-24高一·全国·课后作业）下列四个命题中正确的是（　　） A． B．由实数所组成的集合最多含2个元素 C．集合中只有一个元素 D．集合是有限集 3．（24-25高一上·全国·课后作业）已知为非零实数，代数式的值所组成的集合是，则中元素个数为 ． 4．（23-24高一·全国·课后作业）现定义一种运算，当m，n都是正偶数或都是正奇数时，；当m，n中一个为正奇数，另一个为正偶数时，．求中元素的个数． 【拓展训练一 集合求参问题】 【例1】（24-25高一上·上海·期中）已知为非零实数，代数式的值所组成的集合是M，则下列判断正确的是（   ） A． B． C． D． 【例2】（23-24高一上·新疆·阶段练习）举例说明：设集合M中含有三个元素3，，： (1)求实数，应满足的条件； (2)若，求实数的值. 1．（23-24高一上·北京·期中）对于集合，给出如下三个结论：①如果，那么；②如果，那么；③如果，，那么.其中正确结论的个数是 A．0 B．1 C．2 D．3 2．（多选题）（24-25高一上·江苏镇江·阶段练习）设非空集合满足：当x∈S时，有x2∈S.给出如下命题，其中真命题是（    ） A．若m=1，则 B．若，则≤n≤1 C．若，则 D．若n=1，则 3．（24-25高一上·山东青岛·期中）已知，，，，，，，是在集合中的不同数，则的最小值为 . 4．（2023高一·江苏·专题练习）已知集合中的元素满足，. (1)若，求实数的值； (2)若为单元素集合，求实数的值； (3)若为双元素集合，求实数的取值范围. 【拓展训练二 常见的集合表示方法】 【例1】（23-24高一·全国·课后作业）设集合，集合且，则（    ） A． B． C． D． 【例2】（24-25高一上·上海·阶段练习）（1）求关于的方程的解集：； （2）已知集合，若关于的方程存在两个不相等实根且，求与集合． 1．（23-24高一·全国·课后作业）已知集合，，，且，，，若，则． A． B． C． D．且 2．（多选题）（23-24高一上·江苏南通·阶段练习）下列四个命题中正确的是（   ） A．由所确定的实数集合为 B．同时满足的整数解的集合为 C．集合可以化简为 D．中含有三个元素 3．（23-24高一·全国·课后作业）已知，则集合用列举法表示为 . 4．（22-23高一上·陕西安康·阶段练习）表示下列集合： (1)请用列举法表示方程的解集； (2)请用描述法表示平面直角坐标系内所有第一、三象限内的点组成的集合； (3)请用描述法表示被5除余3的正整数组成的集合； (4)请用描述法表示二次函数的图象上所有点的纵坐标组成的集合． 【拓展训练三 求集合中元素个数】 【例1】（24-25高一上·湖北荆州·阶段练习）由1，2，3抽出一部分或全部数字所组成的没有重复数字的自然数集合有（      ）个元素 A．15 B．16 C．17 D．18 【例2】（24-25高一上·上海·阶段练习）对正整数，记. (1)用列举法表示集合； (2)求集合中元素的个数； 1．（2024·陕西西安·模拟预测）已知，.定义集合，则的元素个数满足（    ） A． B． C． D． 2．（多选题）（24-25高一上·全国·课后作业）（多选）下列四个命题中正确的是（    ） A．方程的解集为 B．同时满足的整数解的集合为 C．由实数所组成的集合最多含2个元素 D．中含有3个元素 3．（24-25高一上·河南商丘·阶段练习）已知集合，，则集合B中的元素个数为 ． 4．（24-25高一上·上海·单元测试）已知为一个数集，集合． (1)设，求集合A的元素个数； (2)设，证明：若，则． 1．（22-23高一上·上海普陀·阶段练习）已知集合．若，且对任意，，均有，则集合中元素个数的最大值为（    ）． A． B． C． D． 2．（多选题）（23-24高一上·江苏常州·阶段练习）下列四个命题中正确的是（    ） A．方程的解集为 B．由所确定的实数集合为 C．集合可以化简为 D．中含有三个元素 3．（24-25高一上·北京·期中）非空有限数集满足：若，则必有．请写出一个满足条件的二元数集S＝ ． 4．（23-24高一上·全国·课后作业）对正整数n，记，，求集合中元素的个数. 1．（23-24高一上·安徽安庆·阶段练习）设是整数集的一个非空子集，对于，如果，且，那么是的一个“孤立元”，给定，由的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有（    ）个. A．0 B．2 C．4 D．6 2．（23-24高一上·辽宁沈阳·阶段练习）下列关于集合相等的说法正确的有（    ） ①； ②； ③； ④ A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 3．（24-25高一上·四川达州·期中）如果集合 中只有一个元素，则实数m的值为（    ） A．1 B．2 C．0或2 D．1或2 4．（22-23高一上·全国·课后作业）已知集合A的元素满足条件:若a∈A，则∈A(a≠1)，当∈A时，则集合A中元素的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 5．（24-25高一上·辽宁大连·阶段练习）已知集合，则集合等于（    ） A． B． C． D． 6．（多选题）（24-25高一上·安徽马鞍山·阶段练习）对于集合，给出如下结论，其中正确的结论是（   ） A．如果，那么 B．若，对于任意的，则 C．如果，，那么 D．，使 7．（多选题）（23-24高一上·江苏盐城·阶段练习）已知集合，，则a的值为（   ）. A． B． C．1 D． 8．（多选题）（24-25高一上·全国·课后作业）（多选）下列四个命题中正确的是（    ） A．方程的解集为 B．同时满足的整数解的集合为 C．由实数所组成的集合最多含2个元素 D．中含有3个元素 9．（多选题）（22-23高一上·辽宁锦州·期末）关于的方程的解集中只含有一个元素，则的可能取值是（    ） A． B．0 C．1 D．5 10．（多选题）（2024高三·江苏·专题练习）已知时，集合中有且只有个整数，则数的值可能为（    ） A．0 B． C．-1 D．1 11．（23-24高一上·上海青浦·期中）已知集合.若且，则满足条件的正整数的个数为 . 12．（24-25高一上·云南昭通·阶段练习）已知集合，若，则 ． 13．（23-24高一上·江苏淮安·开学考试）若，，用列举法表示 ． 14．（24-25高一上·福建泉州·期中）设是4个正整数，从中任取3个数求和所得的集合为，则这4个数中最小的数为 15．（23-24高一上·上海金山·期中）设集合，，集合，则中元素的个数为 . 16．（2024高一上·全国·专题练习）已知集合A是由元素x组成的，其中，m，． (1)设，，，试判断，与A之间的关系； (2)任取，试判断，与A之间的关系． 17．（24-25高一上·云南曲靖·阶段练习）设且. (1)当有4个元素时，应当满足什么关系式； (2)若有3个元素，试求：当满足什么关系式时，以中元素为顶点的三角形恰为等边三角形. 18．（23-24高一上·上海徐汇·期中）已知非空实数集，满足：任意，均有；任意，均有． (1)直接写出中所有元素之积的所有可能值； (2)若由四个元素组成，且所有元素之和为3，求； (3)若非空，且由5个元素组成，求的元素个数的最小值． 19．（24-25高一·全国·课后作业）设数集由实数构成，且满足：若（且），则 ． （1）若，试证明集合中有元素，； （2）判断集合中至少有几个元素，并说明理由； （3）若集合中的元素个数不超过8，所有元素的和为，且集合中有一个元素的平方等于所有元素的积，求集合． 20．（23-24高一·江苏·单元测试）设数集由实数构成，且满足：若（且），则. (1)若，试证明中还有另外两个元素； (2)集合是否为双元素集合，并说明理由； (3)若中元素个数不超过8个，所有元素的和为，且中有一个元素的平方等于所有元素的积，求集合. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题1.1.1 集合的概念与表示重难点题型专训 （2个知识点+10大题型+3大拓展训练+自我检测） 题型一 判断元素能否构成集合 题型二 判断元素与集合的关系 题型三 根据元素与集合的关系求参数 题型四 利用集合元素的互异性求参数 题型五 描述法表示集合 题型六 列举法表示集合 题型七 根据集合中元素的个数求参数 题型八 集合元素互异性的应用 题型九 利用集合中元素的性质求集合元素个数 题型十 列举法求集合中元素的个数 拓展训练一 集合的求参问题 拓展训练二 常见的集合表示方法 拓展训练三 求集合中元素个数 知识点一：元素与集合 1、元素与集合的关系： 一般地，我们把研究对象称为元素，把一些元素组成的总体称为集合，简称集．元素一般用小写字母a，b，c表示，集合一般用大写字母 A，B，C表示，两者之间的关系是属于与不属于关系，符号表示如：a∈A或a∉A． 2、集合中元素的三大特征： （1）确定性：集合中的元素是确定的，即任何一个对象都说明它是或者不是某个集合的元素，两种情况必居其一且仅居其一，不会模棱两可，例如“著名科学家”，“与2接近的数”等都不能组成一个集合． （2）互异性：一个给定的集合中，元素互不相同，就是在同一集合中不能出现相同的元素．例如不能写成{1，1，2}，应写成{1，2}． （3）无序性：集合中的元素，不分先后，没有如何顺序．例如{1，2，3}与{3，2，1}是相同的集合，也是相等的两个集合． 3、集合相等 若，且，则. ①若，且，则. ②欲证，只需证，且. 【即时训练】 1．（24-25高一上·湖南长沙·阶段练习）下列说法正确的是（ ） A．我校很喜欢足球的同学能组成一个集合 B．联合国安理会常任理事国能组成一个集合 C．数组成的集合中有7个元素 D．由不大于4的自然数组成的集合的所有元素为 【答案】B 【分析】根据题意，利用集合的定义逐一判断，即可得到结果. 【详解】对于A，因为很喜欢足球的同学没有明确的标准，不符合集合的确定性，所以不能组成一个集合，故A错误； 对于B，因为联合国安理会常任理事国有明确的标准，符合集合的确定性，所以能组成一个集合，故B正确； 对于C，因为存在，所以组成的集合中不可能有7个元素，故C错误； 对于D，由不大于4的自然数组成的集合的所有元素为，故D错误； 故选：B. 2．（24-25高一上·上海嘉定·阶段练习）集合，则 .（用“”或“”连接） 【答案】 【分析】根据元素与集合的关系，若，求出m、n的值，验证是否符合条件即可. 【详解】当时，有，满足. 所以. 故答案为： 知识点二：集合的表示方法 ① 列举法  把集合中的元素一一列举出来，并用花括号括起来表示集合的方法叫列举法. ② 描述法  用集合所含元素的共同特征表示集合的方法，称为描述法.  方法：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征. 一般格式：.  用符号描述法表示集合时应注意：  弄清元素所具有的形式(即代表元素是什么)是数还是点、还是集合、还是其他形式？  元素具有怎么的属性？当题目中用了其他字母来描述元素所具有的属性时，要去伪存真，而不能被表面的字母形式所迷惑.  Eg 集合 元素 化简结果 方程的解 不等式的解集 函数中取值范围(定义域) 函数中取值范围(值域) 函数的图像上的点 ---- 看集合先看元素类型. 【即时训练】 1．（2025·甘肃张掖·模拟预测）方程组的解集是（    ） A．，或 B． C． D． 【答案】D 【分析】解方程组，用集合表示即可判断. 【详解】由方程组，解得，所以该方程组的解集为， 而. 故选：D. 2．（24-25高一上·上海·阶段练习）用列举法表示集合 . 【答案】 【分析】根据，对列举求解即可. 【详解】， ， ， 故答案为：. 【经典例题一 判断元素能否构成集合】 【例1】（24-25高一·上海·假期作业）下列各对象可以组成集合的是（　　） A．与1非常接近的全体实数 B．新学期2025～2026学年度第一学期全体高一学生 C．高一年级视力比较好的同学 D．中国著名的数学家 【答案】B 【分析】根据集合的元素必须具有确定性，逐个判断各个选项即可． 【详解】对于A：其中元素不具有确定性，故选项A错误； 对于B：对于任何一个学生可以判断其在高一学生这个集合中，故选项B正确； 对于C：其中元素不具有确定性，故选项C错误； 对于D：其中元素不具有确定性，故选项D错误. 故选：B． 【例2】（24-25高一上·全国·课前预习）看下面的几个例子，观察并讨论它们有什么共同特点？ （1）1～10之间的所有偶数； （2）某中学今年入学的全体高一学生； （3）所有正方形； （4）到直线l的距离等于定长d的所有点； （5）方程的所有实数根； （6）地球上的四大洋. 【答案】答案见解析 【分析】由集合的基本概念即可得出答案. 【详解】以上例子中指的都是“所有的”，即把某种研究对象放在一起， 研究对象可以是数、点、代数式，也可以是现实生活中各种各样的事物或人等. 1．（24-25高一上·北京·阶段练习）关于的方程的解集可能是（    ） A．空集 B．单元素集合 C． D． 【答案】C 【分析】根据条件，得到，再结合选项分析判断，即可求解. 【详解】由，得到，解得，所以选项A和B错误， 当时，或，所以选项C正确， 由，得到，但，所以选项D错误， 故选：C. 2．（多选题）（2024高一上·全国·专题练习）(多选题)下列各组对象能组成集合的是（    ） A．大于6的所有整数 B．高中数学的所有难题 C．被3除余2的所有整数 D．函数图象上所有的点 【答案】ACD 【分析】根据集合中元素的确定性逐项判断即可得解. 【详解】选项A、C、D中的元素符合集合中元素的确定性；而选项B中，“难题”没有标准，不符合集合中元素的确定性，不能构成集合． 故选：ACD 3．（22-23高一上·上海浦东新·期末）请将下列各组对象能组成集合的序号填在后面的横线上 . ①上海市2022年入学的全体高一年级新生； ②在平面直角坐标系中，到定点的距离等于1的所有点； ③影响力比较大的中国数学家； ④不等式的所有正整数解. 【答案】①②④ 【分析】根据集合的概念即可判断. 【详解】解：对于①，“上海市2022年入学的全体高一年级新生”，研究对象是明确的，符合集合的定义，能构成集合； 对于②，“在平面直角坐标系中，到定点的距离等于1的所有点”，研究对象是明确的，符合集合的定义，能构成集合； 对于③，“影响力比较大的中国数学家”，其中影响力比较大的没有明确的定义，故不能构成集合； 对于④，“不等式的所有正整数解”，研究对象是明确的，符合集合的定义，能构成集合. 故答案为：①②④. 4．（24-25高一上·上海·课后作业）判断下列各组对象是否能组成集合．若能组成集合，判断组成的集合是有限集、无限集还是空集；若不能组成集合，请说明理由． (1)所有大于0且小于25的偶数； (2)不等式的解集； (3)两条平行直线的交点； (4)古今中外的所有伟大的人． 【答案】(1)能组成集合，为有限集 (2)能组成集合，为无限集 (3)能组成集合，为 (4)不能组成集合，理由见解析 【分析】根据对象是否确定判断能否构成集合，由元素的个数判断集合类型. 【详解】（1）所给对象确定，能组成集合，为有限集. （2）所给对象确定，能组成集合，为无限集. （3）所给对象确定，能组成集合，为空集. （4）所给对象不确定，不能组成集合. 【经典例题二 判断元素与集合的关系】 【例1】（2025高一·全国·专题练习）已知集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】解方程，结合，化简集合即可求解. 【详解】因为，所以或. 又，所以，，故. 故选：C. 【例2】（24-25高一上·全国·课后作业）设集合中的所有元素均为整数． (1)若，求集合A； (2)试判断4是不是集合A中的元素，并证明结论． 【答案】(1) (2)不是，证明见解析 【分析】（1）根据题意代入即可得结果； （2）假设成立，分或，代入检验即可得出矛盾，进而分析说明. 【详解】（1）若，则，所以集合． （2）4不是集合A中的元素，理由如下： 若，则有或； 当时，，不满足题意； 当时，解得，不满足题意； 综上所述，4不是集合中的元素． 1．（23-24高一上·四川·阶段练习）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】集合为一个点集，根据元素与集合的关系得到答案. 【详解】因为，故当时，，从而点在抛物线上，即. 故选:C. 2．（多选题）（2025·河南新乡·三模）已知非空数集M具有如下性质：①若，则；②若，则.下列说法中正确的有（    ）. A．. B．. C．若，则. D．若，则. 【答案】BC 【分析】用特殊值代入判断A，D，C,列举法根据性质性质①②，判断B. 【详解】对于，若，令，则，令，则，令，不存在，即，矛盾，所以，故错误， 对于，由于集合非空，取任意元素，根据性质①，得，再根据性质②，得，进而，故正确， 对于，因为，所以，因为，所以，故正确， 对于，若，则，故错误， 故选：. 3．（24-25高一上·湖北·阶段练习）记数集中的最小元素与最大元素的算术平均数为集合的“均值”，特别地，集合的“均值”为．已知集合，对于集合任意一个非空子集，记其“均值”为，则所有这样的的算术平均数为 ． 【答案】 【分析】对的非空子集进行分类讨论，即分满足和满足讨论即可得解. 【详解】可设的非空子集为， 又把这样的子集分为两类： （1）一类满足，这样的非空子集的“均值”的算术平均数为； （2）另一类满足，此时可把两个非空集合与 配对， 易知这是两个不同的集合，且都是的非空子集， 它们的最大数与最小数之和是， 所以此时非空子集的“均值”的算术平均数为. 综上，的所有非空子集的“均值”的算术平均数为， 故答案为： 4．（24-25高一上·上海·课堂例题）已知集合． (1)若为整数，试判断是否为集合中的元素； (2)求证：若，则． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据集合的表示方法，以及元素与集合的关系，即可求解. （2）若，则，，且，计算 的形态，从而确定它与集合的关系. 【详解】（1）是．∵，∴，其中，，∴整数． （2）证明：∵， ∴可设，，且， ∴ ． 又，， ∴． 【经典例题三 根据元素与集合的关系求参数】 【例1】（24-25高一上·全国·随堂练习）已知关于x的不等式的解集为A，若且，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意列出不等式组即可求出结果. 【详解】由题可知且 解得. 故选：C. 【例2】（23-24高一·上海·课堂例题）已知集合，且.求实数的值. 【答案】或0 【分析】利用元素与集合的关系得到关于的方程，再进行检验即可得解. 【详解】因为，， 所以或，解得或或， 当时，，不满足集合中元素的互异性，舍去； 当或，或，满足题意； 综上，实数的值为或0. 1．（24-25高三上·北京通州·期中）设集合，则（    ） A．对任意实数a， B．对任意实数a， C．当且仅当时， D．当且仅当时， 【答案】C 【分析】利用的取值，反例判断是否成立即可． 【详解】对A，若，则， 将代入不全部满足，此时可知，故A错误； 对B，当时，则， 将代入全部满足，此时可知，故B错误； 对C，若，，解之可得，所以C正确； 对D，当，则，将代入不全满足， 所以，故D错误. 故选：C 2．(多选题)（23-24高一上·江苏南京·阶段练习）设非空集合满足:当时,有,下列命题中,正确的有（    ） A．若,则 B．的取值范围为 C．若,则 D． 【答案】ACD 【分析】对于A,当时,,此时,分类讨论判断正误;对于B,由题意得,则,所以判断B的正误;对C,若,,此时,则求出范围判断即可;对于D,因为,则,所以,将转化为求解即可. 【详解】对于A,当时,,此时.若,则,满足题意;若,则,综上,若,则,故A正确; 对于B,因为,则,所以,解得或,故B错误; 对于C,若,,此时,则,解得,综上,故C正确; 对于D,因为,则,所以,所以,故D正确. 故选:ACD. 3．（24-25高一上·山东·期中）设集合，，已知且，则a的取值集合为 . 【答案】 【分析】利用元素与集合的关系，分类讨论与两种情况，结合集合的相关性质进行检验即可得解. 【详解】因为，，且， 若，解得或， 当时，此时， 此时，不满足集合元素的互异性，舍去； 当时，此时， 此时，不满足集合元素的互异性，舍去； 若，，解得或， 前面已经分析不满足要求， 当时，此时， 此时集合，，满足集合元素的性质， 综上，，所以的取值集合为. 故答案为：. 4．（23-24高一上·江苏镇江·阶段练习）已知集合中的元素全为实数，且满足：若，则． (1)若，求出中其他所有元素． (2)0是不是集合中的元素？请你取一个实数，再求出中的元素． 【答案】(1)中其他所有元素为，，2； (2)0不是的元素，当，中的元素是：3，，，． 【分析】（1）根据定义直接计算即可得到中其他所有元素； （2）先假设，依定义判断即可；取，根据定义直接计算即可得到中其他所有元素． 【详解】（1）由题意可知：， 则，，，， 所以中其他所有元素为，，2． （2）假设，则， 而当时，不存在，假设不成立， 所以0不是的元素， 取，则，，，， 所以当，中的元素是：3，，，． 【经典例题四 利用集合元素的互异性求参数】 【例1】（23-24高三上·全国·阶段练习）已知，集合，，若，且的所有元素和为12，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】A 【分析】先确定集合中可能的元素，根据两集合中元素的和求出的值，再根据集合中元素的互异性取值. 【详解】集合中的元素可能为：，， 因为，. 若，则，，则，元素和不为12； 若，则，，则，元素和不为12； 当时，，因为中所有的元素和为12， 所以，解得或（舍去）. 综上：. 故选：A 【例2】（24-25高一·全国·课后作业）含有三个实数的集合可表示为{a，，1}，也可表示为{a2，a＋b，0}．求a＋a2＋a3＋…＋a2011＋a2012的值． 【答案】0 【分析】先由互异性求出a、b，即可求出a＋a2＋a3＋…＋a2011＋a2012的值. 【详解】由题可知a≠0，b＝0， 即{a，0，1}＝{a2，a，0}， 所以a2＝1⇒a＝±1， 当a＝1时，集合为{1，1，0}，不合题意，应舍去； 当a＝－1时，集合为{－1，0，1}，符合题意． 故a＝－1， ∴a＋a2＋a3＋…＋a2011＋a2012＝0． 1．（24-25高一上·全国·课后作业）由实数－a，a，|a|，所组成的集合最多含有的元素个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】结合互异性,根据题意,分a＝0和a≠0分类讨论,得出答案. 【详解】当a＝0时，这四个数都是0，所组成的集合只有一个元素0.当a≠0时，＝|a|＝所以一定与a或－a中的一个一致.故组成的集合中有两个元素. 故选:B. 【点睛】本题考查集合中元素的特征，其中互异性即集合中元素要求互不相同考查较多，解题时，注意分类讨论． 2．（2024高一·全国·专题练习）集合{x–1，x2–1，2}中的x不能取得值是 A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【详解】当x=2时，x–1=1，x2–1=3，满足集合元素的互异性，集合表示正确； 当x=3时，x-1=2，集合中元素重复，不满足互异性，集合表示错误； 当x=4时，x–1=3，x2–1=15，满足集合元素的互异性，集合表示正确； 当x=5时，x–1=4，x2–1=24，满足集合元素的互异性，集合表示正确； 故选B． 3．（24-25高一上·浙江·开学考试）若由，，1组成的集合A与由，，组成的集合B相等，则的值为 ． 【答案】 【分析】根据集合相等，对应元素相同，即可求解 【详解】由于集合等于集合，所以， 此时可得，则，可得， 当，不满足集合元素互异性,故舍， 所以， 所以， 故答案为： 4．（23-24高一上·江苏·课后作业）若，求的取值范围． 【答案】 【分析】由集合的特性列出不等式组，求解得出的取值范围． 【详解】 ，得 综上，且 即的取值范围为 【经典例题五 描述法表示集合】 【例1】（24-25高一上·山东威海·阶段练习）给出下列说法： ①在直角坐标平面内，第一、三象限内的点组成的集合为； ②所有奇数组成的集合为； ③集合与是同一集合． 其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．0个 【答案】A 【分析】根据集合元素的特征，即可判断选项. 【详解】第一象限内的点的坐标，即，第三象限内的点的坐标，即，故①正确； 所有奇数组成的集合为，故②错误； 集合是点集，集合表示数集，不是同一集合，故③错误. 故选：A 【例2】（24-25高一上·全国·课堂例题）用描述法表示下列集合： (1)不等式的解组成的集合； (2)正偶数组成的集合； (3)函数的图像上所有的点组成的集合． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】利用集合的描述法来表示集合. 【详解】（1）集合中的元素是数，设代表元素为x， 则x满足，所以，即． （2）正偶数组成的集合是； （3）函数的图像上所有的点组成的集合是 1．（24-25高三上·江苏·期末）已知集合，集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据为集合中的元素，先求，再根据，进行验证，即可求解. 【详解】当，得，，满足条件， ，得，，不满足条件， ，得，，满足条件， ，得，，不满足条件， 所以. 故选：C 2．（23-24高一·全国·课后作业）由大于﹣3且小于11的偶数所组成的集合是 A．{x|﹣3＜x＜11，x∈Q} B．{x|﹣3＜x＜11} C．{x|﹣3＜x＜11，x=2k，k∈N} D．{x|﹣3＜x＜11，x=2k，k∈Z} 【答案】D 【详解】试题分析：先确定集合元素的范围是﹣3＜x＜11，同时再确定偶数的形式，利用描述法表示集合． 解：因为所求的数为偶数，所以可设为x=2k，k∈z，又因为大于﹣3且小于11，所以﹣3＜x＜11． 即大于﹣3且小于11的偶数所组成的集合是{x|﹣3＜x＜11，x=2k，k∈Z}． 故选D． 点评：本题的考点是利用描述法表示集合．比较基础． 3．（24-25高一上·上海·课堂例题）已知集合，在下列集合中： （1）； （2）； （3）； （4）； 与相同的集合有 ．（填序号） 【答案】（1）（2）（3） 【分析】（1）中变形得到，故，，一一对应，（1）正确，同理判断（2）和（3）；对于（4），可举出反例. 【详解】对于（1），由，可得，，一一对应， 则，故（1）符合； 对于（2），由，可得，，一一对应， 则，故（2）符合； 对于（3），由， 可得，， 一一对应，则，故（3）符合； 对于（4），，但方程无实数解， 则与不相同，（4）不符合. 故答案为：（1）（2）（3） 4．（23-24高一上·全国·课后作业）说明下列各集合表示的含义． (1)； (2) ； (3)； (4) ． 【答案】(1) (2)B表示直线y＝x－3上所有点组成的集合 (3)C表示一个单元素集，是一个实数对，是以一个点的坐标为元素的集合 (4)D是一个单元素集 【分析】根据集合中元素的特点得出各集合表示的含义． 【详解】（1）A表示y的取值集合，由反比例函数的图象，知． （2）B中的元素是点，B表示直线上所有点组成的集合． （3）C表示一个单元素集，是一个实数对，是以一个点的坐标为元素的集合． （4）D表示一个实数对集，即方程组的解，解方程组得其解为，D是一个单元素集． 【经典例题六 列举法表示集合】 【例1】（2025·辽宁沈阳·一模）集合，则集合（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先解绝对值不等式再结合自然数定义计算即可. 【详解】集合. 故选：B. 【例2】（24-25高一上·全国·随堂练习）用列举法表示下列集合： (1)方程的实数根组成的集合； (2)大于10而小于20的合数组成的集合； (3)方程组的解集组成的集合． 【答案】(1)； (2)； (3). 【分析】（1）（2）（3）根据描述及方程确定集合元素，列举法写出集合即可. 【详解】（1）因为方程的实数根为，集合表示为. （2）大于10而小于20的合数有12，14，15，16，18，集合表示为； （3）由，得，方程组的解集可表示为. 1．（2024高一·全国·竞赛）已知集合，则集合等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据的取值分情况讨论，代入计算即可. 【详解】，时，， 时，，或或或时，，或或或时，， 故. 故选：D. 2．（24-25高一上·浙江·期末）已知集合，集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据集合，求解中的元素，即可求出集合. 【详解】因为，所以. 故选：C. 3．（22-23高一上·上海浦东新·阶段练习）设集合，试用列举法表示集合 . 【答案】 【分析】根据，可得可取，分布求出对应的，即可得解. 【详解】解：因为，所以可取， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 所以. 故答案为：. 4．（23-24高一上·上海长宁·阶段练习）设集合. （1）将集合中的元素进行从小到大的排列，求最小的六个元素组成的子集； （2）对任意的，判定和是否是集合中的元素？并证明你的结论. 【答案】（1）；（2）存在或存在，一定是集合中的元素，证明见解析. 【分析】（1）从0依次令为自然数，计算可得集合B； （2）举例，但，.设，，计算，可得结论. 【详解】解：（1）当时，； 当，或时，； 当时，； 当时，； 当，或时，； 当时，； 所以最小的六个元素组成的子集； （2）存在或存在，一定是集合中的元素. 如：，但，. 一定是集合中的元素. 设，， 则，且， 所以. 【经典例题七 根据集合中元素的个数求参数】 【例1】（24-25高一上·福建龙岩·阶段练习）若集合中有且只有一个元素，则值的集合是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意可得只有一个解，由求解即可. 【详解】解：因为集合中有且只有一个元素， 所以方程只有一个解， 所以，解得. 故选：D. 【例2】（24-25高一上·全国·课前预习）已知集合． (1)若中只有一个元素，求的值； (2)若中至多有一个元素，求的取值范围； (3)若中至少有一个元素，求的取值范围． 【答案】(1)或 (2)或 (3) 【分析】（1）分和进行求解； （2）中至多含有一个元素，即中有一个元素或没有元素，进行求解； （3）中至少有一个元素，即中有一个或两个元素，进行求解. 【详解】（1）当时，原方程变为， 此时，符合题意； 当时，方程为一元二次方程， ，即， 原方程的解为，符合题意． 故当或时，原方程只有一个解，此时中只有一个元素． （2）中至多含有一个元素，即中有一个元素或没有元素． 当，即时，原方程无实数解． 结合（1）知，当或时中至多有一个元素． （3）中至少有一个元素，即中有一个或两个元素， 当时，原方程变为，此时，符合题意； 当时，方程为一元二次方程，由得． 综上可知当时，中至少有一个元素． 1．（24-25高一下·河北保定·阶段练习）已知集合，，记非空集合S中元素的个数为，已知，记实数a的所有可能取值构成集合是T，则（    ） A．5 B．3 C．2 D．1 【答案】A 【分析】先得出，再分类讨论或，因，若，则；若，则问题转化为讨论方程的根个数，分两种情况，，但根异于，或，但一根为即可求出. 【详解】对于，有，所以； 因为，则或， 而是方程的根， 当时，故，而不是方程的根， 故是方程的唯一根，则， 经检验，当时满足； 当时，则方程有三个不同根， 则当满足，即， 当，则满足；当，则满足； 当满足，即， 必有为方程的根，即，得， 当时，则满足； 当，则满足； 则，故. 故选：A. 2．（多选题）（23-24高一上·河北石家庄·阶段练习）已知集合，则满足A中有8个元素的m的值可能为（    ） A．6 B． C．9 D． 【答案】AB 【分析】根据题意依次讨论当为6，，9，时，集合中的元素个数． 【详解】当时，满足的有6，3，2，1，，，，，即集合中有8个元素，符合题意，故A可选， 当时，满足的有6，3，2，1，，，，，即集合中有8个元素，符合题意，故B可选， 当时，满足的有9，3，1，，，，即集合中有6个元素，不符合题意，故C不可选， 当时，满足的有9，3，1，，，，即集合中有6个元素，不符合题意，故D不可选， 故选：AB． 3．（24-25高一上·上海宝山·期中）已知为实数，，，记集合，，若集合的元素个数为3，则集合的元素个数一定有 个. 【答案】3 【分析】利用一元二次方程根的判别式，结合函数的表达式,通过集合的元素个数为3，得到 关系即可判断； 【详解】若集合的元素个数为3，则方程有三个不等实根, 则有, 所以方程一定有这一个根，且不是方程的根， 又，所以有两个不等于的根， 所以集合的元素个数也一定为3. 故答案为：3 【点睛】关键点睛：解决本题的关键是依据集合的元素个数为3，列出关于方程的正确约束条件，进而根据约束条件即可判断方程的解的情况. 4．（24-25高一上·江苏镇江·阶段练习）已知集合. (1)当时，中只有一个元素，求的值； (2)当时，中至多有一个元素，求的取值范围. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）借助根与系数的关系计算即可得； （2）分及进行讨论，若，可计算出结果，若，则需借助根与系数的关系计算. 【详解】（1）当时，， 由中只有一个元素，则有，解得； （2）当时，， 由中至多有一个元素，故中可能没有元素或个元素， 当时，，符合要求； 当时，对有： ，解得； 综上所述：或. 【经典例题八 集合元素互异性的应用】 【例1】（24-25高一上·四川达州·阶段练习）若为集合的四个元素，则以为边长的四边形可能为（    ） A．等腰梯形 B．菱形 C．直角梯形 D．矩形 【答案】C 【分析】利用集合的互异性结合排除法求解即可. 【详解】因为为集合的四个元素，所以这四个元素均不相等， 而等腰梯形的两腰相等，菱形的四条边都相等，矩形的两组对边分别相等， 故该四边形不可能是等腰梯形，菱形，矩形，即A，B，D错误，C正确. 故选：C 【例2】（24-25高一上·安徽阜阳·阶段练习）设数集由实数构成，且满足：若(且)，则. （1）若，试证明中还有另外两个元素； （2）集合是否为双元素集合，并说明理由. 【答案】（1）证明见解析；（2）不是双元素集合，理由见解析. 【解析】（1）根据，则，由求解. （2）根据，，进行递推求解. 【详解】（1）∵若，则， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴中另外两个元素分别为-1，. （2）∵，， ∴，且，，， 所以集合中至少有3个元素， 所以集合A不是双元素集合. 1．（23-24高三上·上海浦东新·阶段练习）集合中的三个元素分别表示某一个三角形的三边长度，那么这个三角形一定不是（　　） A．等腰三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形 【答案】A 【分析】根据集合中元素的互异性可得答案. 【详解】根据集合中元素的互异性得， 故三角形一定不是等腰三角形. 故选：A. 2．（多选题）（22-23高一上·云南·阶段练习）已知集合，，若，则的值可能为（    ） A． B．2 C． D．12 【答案】ABD 【分析】根据，得到或，分类讨论得到的值，根据元素的互异性，舍去不合要求的解，求出的值. 【详解】因为，所以或. ①当时，，， 所以或，得或4. 当时，不合题设，舍去. 当时，，，此时. ②当时，，， 所以或，解得：或或 当时，不合题设，舍去. 当时，，此时. 当时，，此时. 故选：ABD 3．（23-24高一·上海·课后作业）已知若且，则 【答案】 【分析】由且得到，再结合集合元素的互异性求得可解. 【详解】因为若且，所以， 当时，，此时不符合集合元素的互异性， 当时，或，此时也不符合集合元素的互异性， 当时，， 由 得 ， ，此时 符合集合元素的互异性. （为奇数）， （为偶数） 故答案为 【点睛】本题考查集合元素的互异性质，属于基础题. 4．（23-24高一·全国·课后作业）由，，4所组成的集合记为A. （1）是否存在实数a，使得A中只含有一个元素？若存在，求出a的值，若不存在，说明理由； （2）若A中只含有两个元素，求a的值. 【答案】（1）存在，（2）或 【解析】(1)由题意可利用即可求得满足条件的实数； (2)由题意可得，或，或，分别解得即可得出答案. 【详解】(1)存在，理由如下：由题意知若A中只含有一个元素，则这三个数相等，即， 由解得. 此时，所以符合条件. 故当时，A中只有一个元素. （2）由题意可知，这三个数中必有两个数相等即有，或，或 若，解得； 若，解得； 若，无解； 综上可得，当或时，集合A中只含有两个元素. 【点睛】本题考查了集合元素性质的应用，属于一般难度的题. 【经典例题九 利用集合中元素的性质求集合元素个数】 【例1】（23-24高一上·新疆昌吉·阶段练习）已知a，b均为非零实数，集合，则集合的真子集的个数为（    ） A．2 B．4 C．3 D．8 【答案】CC 【分析】通过对、正负的讨论，利用绝对值的定义去掉绝对值，然后进行计算，从而求出集合A的元素，由此得解. 【详解】因为， 当，时，， 当，时，，， 当，时，，， 当，时，，， 故的所有值构成的集合为，则集合A的真子集的个数为3个. 故选：C. 【例2】（24-25高一上·上海·阶段练习）已知集合A的元素为实数，满足①且；②若，则. (1)若，求A； (2)集合A有没有可能是单元素集? (3)若，证明：. 【答案】(1)； (2)没有可能； (3)证明见解析. 【分析】（1）利用定义依次计算即得. （2）假定是，结合定义计算导出矛盾即可. （3）利用给定的定义计算推理即得. 【详解】（1）当时，即，则，， ，，所以. （2）假设集合是单元素集， 由，则，得，整理得与实数平方为非负数矛盾， 所以集合不可能是单元素集. （3）由，得且，，于是， ，所以. 1．（23-24高一上·北京·阶段练习）设非空数集同时满足条件：①中不含元素；②若，则.则下列结论正确的是（    ） A．集合中至多有2个元素 B．集合中至多有3个元素 C．集合中至少有4个元素 D．集合中至少有5个元素 【答案】C 【分析】由题意可求出都在中，然后计算这些元素是否相等，继而判断的元素个数的特点. 【详解】因为若，则，所以，， 则， 当时，4个元素中，任意两个元素都不相等， 所以集合中至少有4个元素， 故选：C 2．（多选题）（24-25高一上·江苏扬州·阶段练习）设，，为实数，，记集合，，若、分别表示集合、的元素的个数，则下列结论能成立的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】ACD 【解析】方程的解的个数取决于，至少有一个；方程的解得个数取决于及，分情况讨论举例可得答案. 【详解】A：当时，方程无实根，所以，或； 当时，，由得，此时； 当，时，，由得，此时；故存在A成立； B：当时，方程有三个根，所以，，，设为的一个根，即，则，且，故为方程的根，故有三个根，即时，必有，故不可能是，；故B错； C：当时，由得或； 由得或；只需，即可满足，；故存在C成立； D：当时，由得，即；由得；即；故存在D成立； 故选：ACD. 【点睛】本题考查了集合中元素的个数及集合元素的特征，同时考查了二次方程的解，属于中档题． 3．（23-24高一上·重庆九龙坡·阶段练习）设 ，用 表示不超过 的最大整数，如 .则如 构成的集合元素的个数为 . （用数字作答） 【答案】1962 【分析】计算得出接近2023整数倍的平方数，结合定义计算即可. 【详解】易知， 故， 又， 故， 设，则的结果有两种可能， ①若，不妨设， 则，显然，即； ②若，则， 综上当时，恒成立， 易知中有2023个数，其中前44个数为0，第45个数至第63个数为1，其余均不相同， 故中有个数， 故答案为：1962. 4．（23-24高一上·上海浦东新·阶段练习）设非空集合具有如下性质：①元素都是正整数；②若则． （1）请你写出符合条件，且分别含有一个、二个、三个元素的集合各一个； （2）是否存在恰有6个元素的集合？若存在，写出所有的集合；若不存在，请说明理由； （3）满足条件的集合S总共有多少个？ 【答案】（1）答案见详解；（2）存在，且共有个，答案见详解；（3）个. 【解析】（1）当集合中只有一个元素，则，得出集合即可；有两个元素时，只需两个元素之和为即可；当有三个元素时，只需其中两个元素之和为，另外一个元素为； （2）只需选对和为的正整数即可； （3）集合中元素的个数可以为，，，，，，，，个，先计算出当集合的元素个数为偶数时的个数，同理可得中元素个数为奇数的个数，然后则可得出符合条件的的总个数. 【详解】解：（1）若集合中只有一个元素，则只需满足，故，则； 若集合中有两个元素，则符合条件； 若集合中有三个元素，则符合条件. （2）存在，一共有四个： 或或或. （3）由题意可知，集合中元素的个数可以为，，，，，，，，个， 当集合中元素的个数为偶数时： 含有个元素时，只需在，，，这四对中任选一对，则共有个； 含有个元素时，只需，，，这四对中任选两对，则共有6个； 含有个元素时，只需，，，这四对中任选三对，则共有个； 含有个元素时，则共有个， 所以当集合中元素的个数为偶数时，满足条件的集合共有个， 同理可知，当中元素个数分别为时，符合条件的集合也为个； 由（1）可知，当中只有一个元素时，只有一个， 综上所述，符合条件的共有个. 【点睛】本题考查集合的新定义问题，考查学生获取新知识、应用新知识的能力，理解题意是关键. 【经典例题十 列举法求集合中元素的个数】 【例1】（24-25高一上·湖北随州·阶段练习）已知集合且，则集合中的元素个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】根据，判断的值可能为即可. 【详解】因，，故的值可能为， 故，集合有4个元素. 故选：C 【例2】（23-24高一·全国·课后作业）已知 （1）求满足条件的整数对组成的集合； （2）求满足条件的整数对组成的集合； （3）求集合为奇数中的元素个数. 【答案】（1）； （2）；（3）个. 【分析】（1）根据题意求得的范围，再用列举法即可求得结果； （2）根据题意求得的范围，再用列举法即可求得结果； （3）根据（1）（2）所求，归纳总结，即可求得元素个数. 【详解】（1）因为且， 故可得或， 故所有元素构成的集合为； （2）因为且， 故可得或或或， 故所有元素构成的集合为： . （3）因为集合为为奇数， 显然不为时，其取值可以为到的所有整数以及0，再考虑其相反数， 故的取值共有个； 而对于每个的取值，对应的都有个， 故满足题意的元素个数为：； 再考虑到当时，；当时，，共有2个元素； 综上所述，该集合的元素个数为：个. 【点睛】本题考查利用列举法求集合中的元素，属基础题. 1．（22-23高一上·湖北十堰·阶段练习）若集合，则集合的元素个数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由已知可得，对是偶数和奇数进行分类讨论，对的可能取值进行列举，即可得出集合的元素的个数. 【详解】由题意，， 若为偶数，为奇数， 若，则， 以此类推，，，，，共个，每个对应一个； 同理，若为奇数，为偶数，此时、、、，共个，每个对应一个. 于是，共有个，每一个对应一个满足题意. 故选：B. 2．（多选题）（23-24高一·全国·课后作业）下列四个命题中正确的是（　　） A． B．由实数所组成的集合最多含2个元素 C．集合中只有一个元素 D．集合是有限集 【答案】BCD 【分析】根据集合的定义，以及集合的性质，即可判断选项. 【详解】对于A，，故A错误， 对于B，∵，，， ∴不论取何值，最多只能写成两种形式：，， 故该集合最多含2个元素，故B正确， 对于C，集合，只有一个元素，故C正确， 对于D，集合，为有限集，故D正确． 故选：BCD 3．（24-25高一上·全国·课后作业）已知为非零实数，代数式的值所组成的集合是，则中元素个数为 ． 【答案】3 【分析】针对x，y，z中，三个为正、两个为正、一个为正、全为负四种情况进行分类讨论即可. 【详解】当都为正数时，， 当中有两个正数时，不妨设，则 ， 当中有一个正数时，不妨设，则 ， 当都为负数时，， 所以， 所以M中元素个数为3． 故答案为：3 4．（23-24高一·全国·课后作业）现定义一种运算，当m，n都是正偶数或都是正奇数时，；当m，n中一个为正奇数，另一个为正偶数时，．求中元素的个数． 【答案】17个 【分析】分别列举当都是正偶数或都是正奇数时,及当中一个为正奇数,另一个为正偶数时的元素,从而得到元素的个数 【详解】解:当a,b都是正偶数时,可以是,,,,,,,共7个； 当a,b都是正奇数时,可以是,,,,,,,,共8个； 当a,b中一个为正奇数,一个为正偶数时,可以是,,共2个 所以满足题意的元素的个数为17 【点睛】本题考查元素的个数,考查列举法的应用,考查对新定义的理解 【拓展训练一 集合求参问题】 【例1】（24-25高一上·上海·期中）已知为非零实数，代数式的值所组成的集合是M，则下列判断正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】讨论的正负数分布情况判断对应代数式的值，即可确定集合M，进而确定正确的选项. 【详解】当均为负数时，代数式的值为； 当一负一正时，代数式的值为； 当均为正数时，代数式的值为； ∴，故只有B正确. 故选：B. 【例2】（23-24高一上·新疆·阶段练习）举例说明：设集合M中含有三个元素3，，： (1)求实数，应满足的条件； (2)若，求实数的值. 【答案】(1)且且且且； (2)或或. 【分析】（1）根据集合元素的互异性列出不等式组，解不等式组即可； （2）若，则或，进而求解即可得答案. 【详解】（1）据集合中元素的互异性，可知， 即且且且且； （2）若，则或，解得：或或， 若，则，满足题意； 若，则，满足题意； 若，则，满足题意； 故或或. 1．（23-24高一上·北京·期中）对于集合，给出如下三个结论：①如果，那么；②如果，那么；③如果，，那么.其中正确结论的个数是 A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】①根据，得出，即； ②根据，证明，即； ③根据，，证明． 【详解】解：集合，，， 对于①，，， 则恒有， ，即，，则，①正确； 对于②，，， 若，则存在，使得， ， 又和同奇或同偶， 若和都是奇数，则为奇数，而是偶数； 若和都是偶数，则能被4整除，而不能被4整除， ，即，②正确； 对于③，，， 可设，，、； 则 那么，③正确． 综上，正确的命题是①②③． 故选． 【点睛】本题考查了元素与集合关系的判断、以及运算求解能力和化归思想，是难题． 2．（多选题）（24-25高一上·江苏镇江·阶段练习）设非空集合满足：当x∈S时，有x2∈S.给出如下命题，其中真命题是（    ） A．若m=1，则 B．若，则≤n≤1 C．若，则 D．若n=1，则 【答案】BC 【分析】先由非空集合满足：当x∈S时，有x2∈S，判断出或，，对照四个选项分别列不等式组，解出不等式进行一一验证即可 【详解】∵非空集合满足：当x∈S时，有x2∈S. ∴当m∈S时，有m2∈S，即，解得：或； 同理：当n∈S时，有n2∈S，即，解得： . 对于A: m=1,必有m2=1∈S，故必有解得：，所以，故A错误； 对于B: ,必有m2=∈S，故必有，解得：，故B正确； 对于C: 若，有，解得：，故C正确； 对于D: 若n=1，有，解得：或，故D不正确. 故选：BC 【点睛】方法点睛：新定义题（创新题）解答的关键：对新定义的正确理解. 3．（24-25高一上·山东青岛·期中）已知，，，，，，，是在集合中的不同数，则的最小值为 . 【答案】 【分析】记，根据条件将所求式子表示为，先分析的可行性，然后确定出最小值即可. 【详解】不妨设， 因为， 所以， 所以， 若要值最小，则， 下面分析的可能性： 当时，则四个数全为偶数，或全为奇数，或两奇两偶， 若四个数全为偶数，则和的结果为，不满足要求； 若四个数全为奇数，则和的结果为，不满足要求； 若四个数两奇两偶，其中两个奇数之和可能为 ，两个偶数之和可能为， 此时两奇两偶的四个数之和不可能等于， 所以不成立， 所以当时，此时取值最小，最小值为， 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：解答本题的关键点有两个，一方面是对所给表达式能利用已知关系进行化简变形，将双变量转化为单变量；另一方面是对于二次函数取最小值的可行性分析，此处无法直接确定成立. 4．（2023高一·江苏·专题练习）已知集合中的元素满足，. (1)若，求实数的值； (2)若为单元素集合，求实数的值； (3)若为双元素集合，求实数的取值范围. 【答案】(1)2 (2)0或 (3)且 【分析】（1）将代入方程解得答案. （2）考虑和两种情况，根据得到答案. （3）考虑且，计算得到答案. 【详解】（1），故，解得. （2）当时，方程变为，得，满足题意； 当时，要使为单元素集合，则方程有两个相等的实数根， ，解得； 综上所述：或时为单元素集合. （3）若为双元素集合，则方程有两个不相等的实数根， 故且，解得且. 【拓展训练二 常见的集合表示方法】 【例1】（23-24高一·全国·课后作业）设集合，集合且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】对A中元素进行讨论，若满足且则此元素是B集合中的元素. 【详解】集合，集合， 当时，可得； 当时，可得； 当时，可得. 综上. 故选：C 【点睛】本题考查集合的含义与表示，属于基础题. 【例2】（24-25高一上·上海·阶段练习）（1）求关于的方程的解集：； （2）已知集合，若关于的方程存在两个不相等实根且，求与集合． 【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析 【分析】（1）分、、讨论，解方程可得答案； （2）利用韦达定理求出，再分、讨论求出集合即可. 【详解】（1）由得， 当时，解得， 当时，，方程无解， 当时，解得， 综上所述，当时，原方程的解为； 当时，原方程无解； 当时，原方程的解为， （2）因为关于的方程存在两个不相等实根, 所以，得，或， 且， 所以， 解得， 当时，由解得，或，所以集合； 当时，由解得， 所以方程无解，所以集合； 综上所述，当时，集合； 当时，集合. 1．（23-24高一·全国·课后作业）已知集合，，，且，，，若，则． A． B． C． D．且 【答案】B 【分析】设，得到，结合集合的表示，即可求解，得到答案． 【详解】由题意，设，，，，，， 则， 令，则，且，， 则，故选B． 【点睛】本题主要考查了集合的表示方法及其应用，其中解答中根据集合的元素形式，合理运算，结合集合表示方法求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题． 2．（多选题）（23-24高一上·江苏南通·阶段练习）下列四个命题中正确的是（   ） A．由所确定的实数集合为 B．同时满足的整数解的集合为 C．集合可以化简为 D．中含有三个元素 【答案】BC 【分析】利用绝对值的意义，去绝对值符号，即可判定A；解不等式得到x的取值范围，用列举法表示出整数解的集合即可判定B；由，，，用列举法可判定C；用试根的方式找出满足条件的元素可判断D. 【详解】解：对于选项A， 当都是正数时，原式 当都是负数时，原式 当两正一负时，原式 当两负一正时，原式故A错误； 对于选项B，由，得， 所以符合条件的整数解的集合为，故B正确； 对于选项C，由，，， 可以得到符合条件的数对有，，，故C正确； 对于选项D，当时，；当时， 当时，；当时，； 当时，；当时，， 所以集合A含有四个元素2，1，0，，故D错误. 故选：BC. 3．（23-24高一·全国·课后作业）已知，则集合用列举法表示为 . 【答案】 【分析】根据题中已知条件对的正负进行分类讨论即可得出结果. 【详解】由可得或， 当时， 若，则， 若，则； 当时， 若，则， 若，则； 根据集合元素的互异性可知，列举法表示为. 故答案为： 4．（22-23高一上·陕西安康·阶段练习）表示下列集合： (1)请用列举法表示方程的解集； (2)请用描述法表示平面直角坐标系内所有第一、三象限内的点组成的集合； (3)请用描述法表示被5除余3的正整数组成的集合； (4)请用描述法表示二次函数的图象上所有点的纵坐标组成的集合． 【答案】(1) (2) (3)， (4) 【分析】根据题意逐项代入分析即可求解. 【详解】（1）方程的解集为. （2）用描述法表示平面直角坐标系内所有第一、三象限内的点组成的集合为. （3）用描述法表示被5除余3的正整数组成的集合为，. （4）用描述法表示二次函数的图象上所有点的纵坐标组成的集合为． 【拓展训练三 求集合中元素个数】 【例1】（24-25高一上·湖北荆州·阶段练习）由1，2，3抽出一部分或全部数字所组成的没有重复数字的自然数集合有（      ）个元素 A．15 B．16 C．17 D．18 【答案】A 【分析】根据取出的数字个数进行分类，每一类中一一列举出来计数即可. 【详解】只取一个元素组成的没有重复数字的自然数：共3个； 只取两个元素组成的没有重复数字的自然数：有12，21，13，31，23，32共6个； 取三个元素组成的没有重复数字的自然数：有123，132，213，231，312，321共6个； 共有种方法，即由1，2，3抽出一部分或全部数字所组成的没有重复数字的自然数集合有15个元素， 故选：A 【例2】（24-25高一上·上海·阶段练习）对正整数，记. (1)用列举法表示集合； (2)求集合中元素的个数； 【答案】(1); (2)46 【分析】（1）根据集合和的定义，将代入，通过列举，时的所有可能值来得到； （2）计算集合中元素个数时，需要分别考虑取不同值时的情况，找出重复的元素个数，再根据总计算个数减去重复个数得到中元素个数. 【详解】（1）已知，当时，. 对于，当，时，； 当，时，；当，时，. 当，时，；当，时，； 当，时，. 当，时，；当，时，； 当，时，. 综上，. （2）当时，，此时中有个元素，分别为. 当时，，此时又有个不同的元素， 因为（）与时的元素不同. 当时，同理，又得到个不同元素. 当时，，这里面有个数1,2,3与时中的数重复. 当时，，得到个不同元素，因为（）与前面的元素都不同. 当时，，得到个不同元素，因为（）与前面的元素都不同. 当时，，得到个不同元素，因为（）与前面的元素都不同. 计算中元素个数，总共种的组合，但是时与前面重复了个元素，所以中元素个数为. 1．（2024·陕西西安·模拟预测）已知，.定义集合，则的元素个数满足（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】先理解题意，然后分①当,时,②当,时, ③当,时,三种情况讨论即可. 【详解】解:由，, ①当,时, , , 此时的元素个数为个, ②当,时, , , 这种情况和第①种情况除外均相同,故新增个, ③当,时, , ,这种情况与前面重复,新增0个, 综合①②③可得: 的元素个数为个, 故选:A. 【点睛】本题考查了元素与集合关系的判断，重点考查了计数原理的应用，属中档题. 2．（多选题）（24-25高一上·全国·课后作业）（多选）下列四个命题中正确的是（    ） A．方程的解集为 B．同时满足的整数解的集合为 C．由实数所组成的集合最多含2个元素 D．中含有3个元素 【答案】BC 【分析】对于A，解方程求解集即可；对于B，解不等式组并结合整数解的概念即可；对于C，化简，得在，中，当时，，当时，，当时，，三者中至少有两个相等，所以由集合中元素的互异性判断元素个数即可；对于D，结合6的因数并对讨论即可. 【详解】对于A，由二次根式和绝对值的非负性可得方程的解为解集为，故A错误； 对于B，由得，所以整数解组成的集合为，故B正确； 对于C，由于，且在，，中， 当时，，当时，，当时，， 三者中至少有两个相等，所以由集合中元素的互异性可知，该集合中最多含2个元素，故C正确； 对于D，当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 所以集合含有4个元素，故D错误， 故选：BC． 3．（24-25高一上·河南商丘·阶段练习）已知集合，，则集合B中的元素个数为 ． 【答案】13 【分析】由题列举出集合B，即得. 【详解】将x，y及的值列表如下，去掉重复的值，可知集合中的元素个数为13． 1 2 3 4 6 1 1 2 3 4 6 2 1 2 3 3 1 2 4 1 6 1 故答案为：13 4．（24-25高一上·上海·单元测试）已知为一个数集，集合． (1)设，求集合A的元素个数； (2)设，证明：若，则． 【答案】(1)8个； (2)证明见解析． 【分析】（1）需要对的取值进行分类讨论，然后计算出，再根据元素的互异性求解； （2）设，计算出，即可证明． 【详解】（1）时，； ，； ，； ，时，； ，时，； ，时，； ，时，； ，时，； ，时，； 所以，它有8个元素； （2）因为， 所以设，． ，所以得证． 1．（23-24高一上·安徽安庆·阶段练习）设是整数集的一个非空子集，对于，如果，且，那么是的一个“孤立元”，给定，由的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有（    ）个. A．0 B．2 C．4 D．6 【答案】D 【分析】我们用列举法列出满足条件的所有集合，即可得到答案． 【详解】若不是孤立元，. 设另一元素为， 假设，此时，不合题意，故. 据此分析满足条件的集合为，共有6个. 故选：D 2．（23-24高一上·辽宁沈阳·阶段练习）下列关于集合相等的说法正确的有（    ） ①； ②； ③； ④ A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】根据集合的描述法，转化为集合的列举法，或者化简描述法集合，逐一判断即可. 【详解】因为，所以①正确； 因为，，所以②不正确； 因为，，故③正确； ，故④错误. 故选：C 3．（24-25高一上·四川达州·期中）如果集合 中只有一个元素，则实数m的值为（    ） A．1 B．2 C．0或2 D．1或2 【答案】C 【分析】分两种情况讨论集合中方程根的情况，从而确定实数m的值. 【详解】当时,方程变为，解得，满足集合有且只有一个元素. 当时，方程是一元二次方程. 因为集合有且只有一个元素， 所以.解得. 综上，实数的值为或. 故选：C. 4．（22-23高一上·全国·课后作业）已知集合A的元素满足条件:若a∈A，则∈A(a≠1)，当∈A时，则集合A中元素的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】列举出满足集合描述的元素，即可得答案. 【详解】∵∈A，∴=2∈A.∵2∈A，∴∈A.∵∈A，∴∈A. ∵∈A，∴∈A.∴集合A中有四个元素. 故选：D 5．（24-25高一上·辽宁大连·阶段练习）已知集合，则集合等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据的取值分情况讨论，代入计算即可. 【详解】，时，， 时，， 或或或时，， 或或或时，， 故. 故选：D. 6．（多选题）（24-25高一上·安徽马鞍山·阶段练习）对于集合，给出如下结论，其中正确的结论是（   ） A．如果，那么 B．若，对于任意的，则 C．如果，，那么 D．，使 【答案】ACD 【分析】对于A：令，，可知对任意，均有，所以，即可判断A；说明，即可判断B；设，则，进而分析判断C；利用特殊值判断D. 【详解】对于A：令，，则， 即对任意，均有，所以，故A正确； 对于B：因为，不妨设， 若，则； 若，则为奇数； 若，则； 综上可知：，但是，故B错误； 对于C：因为，，设， 则， 因为，则， 所以，故C正确； 对于D：因为，，即，所以，使，故D正确. 故选：ACD 7．（多选题）（23-24高一上·江苏盐城·阶段练习）已知集合，，则a的值为（   ）. A． B． C．1 D． 【答案】BD 【分析】由题意可得或或，求出对应的a值，结合集合的特征依次验证即可. 【详解】，集合， 得或或， 解得或或， 当时，，，不符合集合中元素的互异性，故舍去； 当时，，，，满足题意； 当时，，，，满足题意. 故选：BD. 8．（多选题）（24-25高一上·全国·课后作业）（多选）下列四个命题中正确的是（    ） A．方程的解集为 B．同时满足的整数解的集合为 C．由实数所组成的集合最多含2个元素 D．中含有3个元素 【答案】BC 【分析】对于A，解方程求解集即可；对于B，解不等式组并结合整数解的概念即可；对于C，化简，得在，中，当时，，当时，，当时，，三者中至少有两个相等，所以由集合中元素的互异性判断元素个数即可；对于D，结合6的因数并对讨论即可. 【详解】对于A，由二次根式和绝对值的非负性可得方程的解为解集为，故A错误； 对于B，由得，所以整数解组成的集合为，故B正确； 对于C，由于，且在，，中， 当时，，当时，，当时，， 三者中至少有两个相等，所以由集合中元素的互异性可知，该集合中最多含2个元素，故C正确； 对于D，当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 所以集合含有4个元素，故D错误， 故选：BC． 9．（多选题）（22-23高一上·辽宁锦州·期末）关于的方程的解集中只含有一个元素，则的可能取值是（    ） A． B．0 C．1 D．5 【答案】ABD 【分析】由方程有意义可得且，并将方程化为；根据方程解集中仅含有一个元素可分成三种情况，由此可解得所有可能的值. 【详解】由已知方程得：，解得：且； 由得：； 若的解集中只有一个元素，则有以下三种情况： ①方程有且仅有一个不为和的解，，解得：， 此时的解为，满足题意； ②方程有两个不等实根，其中一个根为，另一根不为； 由得：，，此时方程另一根为，满足题意； ③方程有两个不等实根，其中一个根为，另一根不为； 由得：，，此时方程另一根为，满足题意； 综上所述：或或. 故选：ABD 10．（多选题）（2024高三·江苏·专题练习）已知时，集合中有且只有个整数，则数的值可能为（    ） A．0 B． C．-1 D．1 【答案】AB 【分析】可先根据题目条件分析出在集合中，再根据区间长度确定当中有且只有3个整数时的取值范围. 【详解】因为，所以，所以必在集合中. 若区间端点均为整数，则，得，则集合中有三个整数，所以符合题意； 若区间端点不为整数，则区间长度，解得，此时，集合中有三个整数，所以符合题意， 综上，实数的取值范围是， 故选：AB. 【点睛】本题考查利用集合中元素的个数求参数的取值范围问题，难度一般. 11．（23-24高一上·上海青浦·期中）已知集合.若且，则满足条件的正整数的个数为 . 【答案】669 【分析】根据题意，，进而结合且求解即可. 【详解】根据题意，集合表示的是位进制数的集合， 位进制数中，最小的位进制数为，，即， 最大的位进制数为，， 即， 所以集合， 因为且， 所以， 所以满足条件的正整数的个数为. 故答案为：669 12．（24-25高一上·云南昭通·阶段练习）已知集合，若，则 ． 【答案】 【分析】根据集合元素的互异性分别讨论集合中三个元素分别为1时的值，再计算即可； 【详解】因为， 若时，，不符合元素的互异性； 若，即或2时： 当时，集合，不符合元素的互异性； 当时，，不符合元素的互异性； 若，即或2时： 当时，由以上可知不符合题意； 当时，，符合； 所以，所以， 故答案为：. 13．（23-24高一上·江苏淮安·开学考试）若，，用列举法表示 ． 【答案】 【分析】由集合的性质求解即可. 【详解】因为，， 所以. 故答案为： 14．（24-25高一上·福建泉州·期中）设是4个正整数，从中任取3个数求和所得的集合为，则这4个数中最小的数为 【答案】 【分析】从个数中选个数求和共有种取法，四个式子相加得到，根据的倍数，得到，从而计算得到这四个数，得到最小的数. 【详解】从个数中选个数求和共有种取法， 即，① 将①中个式子相加得， 因为是4个正整数，所以一定是的倍数， 所得的结果的集合为，由集合元素的互异性，这四个结果中中必有一个数重复， 注意到是的倍数，而四个数的和也是的倍数， 所以①中的个和为， 则，则 又因为，所以这个数分别为， 故这个数中最小的数为. 故答案为：. 15．（23-24高一上·上海金山·期中）设集合，，集合，则中元素的个数为 . 【答案】46 【分析】分，列举出集合对应的元素，除去重复的计算即得解 【详解】由题意，集合 当时，，故对应，有7个数； 当时，，故对应，有7个数； 当时，，故对应，有7个数； 当时，，对应，其中有3个数1，2，3与时重复； 当时，，故对应，有7个数； 当时，，故对应，有7个数； 当时，，故对应，有7个数； 故中元素的个数为 故答案为：46 16．（2024高一上·全国·专题练习）已知集合A是由元素x组成的，其中，m，． (1)设，，，试判断，与A之间的关系； (2)任取，试判断，与A之间的关系． 【答案】(1)，，． (2)，． 【分析】（1）利用分母有理化和完全平方公式进行化简即可； （2）设,，然后将，表示出来，进行判断即可. 【详解】（1）∵，∴． ∵,∴． ∵，∴． 综上，，，． （2） 任取，设，， 则， 其中，，∴． ∵， 其中，，∴． 综上，，． 17．（24-25高一上·云南曲靖·阶段练习）设且. (1)当有4个元素时，应当满足什么关系式； (2)若有3个元素，试求：当满足什么关系式时，以中元素为顶点的三角形恰为等边三角形. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意可得到有关于的两个一元二次方程，再根据有四个元素可得到两个二次方程均有两个实数根可求得结果； （2）根据（1）中的不等式可得到只能让有一解，让有两个解，即可得到之间的关系. 【详解】（1）有4个元素，即等价于与分别有两个不同实数根， 因为， 于是要求即可； （2）由于有3个元素，因此仅有一解，可以得到， 设是方程的两个解，于是得到， 可解得， 由于点到直线的距离为3，因此三个点构成的三角形为等边三角形， 所以. 18．（23-24高一上·上海徐汇·期中）已知非空实数集，满足：任意，均有；任意，均有． (1)直接写出中所有元素之积的所有可能值； (2)若由四个元素组成，且所有元素之和为3，求； (3)若非空，且由5个元素组成，求的元素个数的最小值． 【答案】(1)或 (2) (3) 【分析】（1）根据集合中的元素构成可得集合中的元素是以的形式，三个数为一组出现，从而可得结论； （2）根据集合中的元素构成可得集合中的元素是以的形式，四个数为一组出现，从而可得结论； （3）由（1）（2）可得集合的元素个数分别是以和为最小正周期循环，从而根据得元素个数，可确定的元素个数的最小值． 【详解】（1）已知非空实数集满足：任意，均有，且在实数范围内无解，所以， 所以，又 则集合中的元素是以的形式，三个数为一组出现，组和组不相交，且， 又，则S中所有元素之积的所有可能值为或； （2）已知非空实数集满足：任意，均有，且 所以，且，又 则集合中的元素是以的形式，四个数为一组出现，组和组不相交，且， 若由四个元素组成，则，且所有元素之和为3 所以，整理得 解得或 当或或或时， 综上，； （3）由（1）（2）集合的元素个数分别是以和为最小正周期循环， 且当时，同一周期内其余元素不相等， 因而和互素，所以和中的各组最多只能有一个公共元素， 因为有五个元素，若要使的元素个数最小，要使相同的元素尽量在同一个周期内， 若，此时从中选出5个元素属于，此时T包含20个元素，中包含， 若，此时从中选出5个元素属于，此时S包含15个元素，中包含， 所以的元素个数最小值为. 【点睛】关键点点睛：本题考查集合中元素的性质，综合性强.解题关键是确定集合中元素的构成以及元素个数关系，例如本题中集合中的元素是以的形式，三个数为一组出现，集合中的元素是以的形式，四个数为一组出现，组和组不相交. 19．（24-25高一·全国·课后作业）设数集由实数构成，且满足：若（且），则 ． （1）若，试证明集合中有元素，； （2）判断集合中至少有几个元素，并说明理由； （3）若集合中的元素个数不超过8，所有元素的和为，且集合中有一个元素的平方等于所有元素的积，求集合． 【答案】（1）证明见解析；（2）至少有3个元素．理由见解析（3） 【分析】（1）由，可得，从而，由此得到结论； （2）由，可推得，，，，，即可得到集合中至少有3个元素； （3）由集合中所有元素的积为1，从而得出，进而求得的值，由此能求得集合． 【详解】（1）由题意，因为，可得． 因为，则．所以集合中有元素，． （2）由题意，可知若（且）， 则，，且，，， 故集合中至少有3个元素． （3）由集合中的元素个数不超过8，所以由（2）知中有6个元素． 设，，且，且， 因为集合中所有元素的积为1， 不妨设，或，或． 当时，（舍去）或；若，则． ∵集合中所有元素的和为，∴， ∴，即， 即，即， ∴或3或，∴． 当或时，同理可得． 综上，． 【点睛】本题主要考查了集合定义、集合的表示方法，以及集合中元素的个数的求法等知识的综合应用，着重考查了运算与求解能力，属于中档试题． 20．（23-24高一·江苏·单元测试）设数集由实数构成，且满足：若（且），则. (1)若，试证明中还有另外两个元素； (2)集合是否为双元素集合，并说明理由； (3)若中元素个数不超过8个，所有元素的和为，且中有一个元素的平方等于所有元素的积，求集合. 【答案】(1)证明见解析； (2)不是，理由见解析； (3). 【分析】（1）利用集合与元素之间的关系证明即可； （2）根据条件求出元素间的规律即可； （3）先利用求出集合中元素个数，再根据所有元素和求解即可. 【详解】（1）由题意得若，则； 又因为，所以； 即集合中还有另外两个元素和. （2）由题意，若（且），则，则，若则； 所以集合中应包含，故集合不是双元素集合. （3）由（2）得集合中的元素个数应为3或6， 因为且中有一个元素的平方等于所有元素的积， 所以中应有6个元素，且其中一个元素为， 由结合条件可得， 又因为，所以剩余三个元素和为，即， 解得， 故. 学科网（北京）股份有限公司 $$