第4章 第3讲 圆周运动-【优化探究】2026高考物理一轮复习高考总复习配套课件（教科版）

该高中物理高考复习课件聚焦“圆周运动”专题，覆盖匀速圆周运动的描述、向心力来源、离心现象等高考核心考点，依据高考评价体系梳理了传动问题、多解问题、动力学分析（圆锥摆、转弯模型）等考查维度，通过近五年真题分析明确高频考点分布，归纳常考题型，体现备考针对性和实用性。 课件亮点在于“真题研析+模型建构+分层训练”，如2024辽宁卷“指尖转球”题解析同轴传动角速度关系，2024江苏卷圆锥摆模型培养科学推理素养，多解问题突破周期性分析技巧。分层训练夯实基础与能力提升结合，帮助学生掌握答题方法，教师可精准指导复习，提升备考效率。

第3讲　圆周运动 第四章　抛体运动与圆周运动 [学习目标]　1.掌握描述圆周运动的各物理量及其关系。2.会分析匀速圆周运动的周期性及多解问题。3.会分析圆周运动向心力的来源,并利用圆周运动的相关知识解决生活中的圆周运动。 基础知识　自主梳理 核心知识　典例研析 内容索引 考点一　圆周运动的运动学问题 考点二　圆周运动的动力学分析 分层训练　巩固提高 基础知识　自主梳理 一 4 一、匀速圆周运动及其描述 1.匀速圆周运动 (1)定义:做圆周运动的物体,如果在任意相等时间内通过的圆弧长度 ,就是匀速圆周运动。 (2)特点:加速度大小不变,方向始终指向 ,是变加速运动。 (3)条件:合力大小 、方向始终与 方向垂直且指向圆心。 都相等 圆心 不变 速度 2.描述匀速圆周运动的物理量及其关系 (1)线速度:描述物体圆周运动快慢的物理量。 v=。 (2)角速度:描述物体绕圆心转动快慢的物理量。 ω=。 (3)周期和频率:描述物体绕圆心 的物理量。 T=,T=。 转动快慢 (4)向心加速度:描述 变化快慢的物理量。 a=rω2。 (5)相互关系:①v= =r= 。 ②a=r=4π2f2r。 速度方向 ωr 2πrf 二、匀速圆周运动的向心力 1.向心力的来源 向心力是按力的作用效果命名的,可以是重力、弹力、摩擦力等各种力,也可以是几个力的 或某个力的 ,因此在受力分析中要避免再另外添加一个向心力。 2.向心力的公式 F=ma=mr。 合力 分力 三、离心现象 1.定义:做 运动时,由于合外力提供的 消失或不足,以致物体沿圆周运动的切线方向飞出或远离圆心而去的运动。 2.本质:做圆周运动的物体,由于本身的惯性,总有沿着圆周 飞出去的趋势。 3.受力特点 F为实际提供的向心力,如图所示。 (1)当F= 时,物体做匀速圆周运动。 (2)当F=0时,物体沿 方向飞出。 (3)当F< 时,物体逐渐远离圆心。 圆周 向心力 切线 mω2r 切线 mω2r 【基础检测·自我诊断】 1.(人教版必修第二册习题改编)如图所示,小物体A与水平圆盘保持相对静止,跟着圆盘一起做匀速圆周运动,则A受力情况是 (　　) A.重力、支持力 B.重力、向心力 C.重力、支持力、指向圆心的摩擦力 D.重力、支持力、向心力、摩擦力 C 解析：A受三个力作用,重力和支持力平衡,指向圆心的摩擦力充当向心力,故C正确。 BD 2.(教科版必修第二册习题改编)(多选)如图所示,有一皮带传动装置,A、B、C三点到各自转轴的距离分别为RA、RB、RC,已知RB=RC=,若在传动过程中,皮带不打滑,则(　　) A.A点与C点的角速度大小相等 B.A点与C点的线速度大小相等 C.B点与C点的角速度大小之比为2∶1 D.B点与C点的向心加速度大小之比为1∶4 解析：处理传动装置类问题时,对于同一根皮带连接的传动轮边缘的点,线速度大小相等,同轴转动的点,角速度相等。对于本题,显然vA=vC,ωA=ωB,选项B正确;根据vA=vC及关系式v=ωR,可得ωARA=ωCRC,又RC=,所以ωA=,选项A错误;根据ωA=ωB,ωA=,可得ωB=,即B点与C点的角速度大小之比为1∶2,选项C错误;根据ωB=及关系式a=ω2R,可得aB=,即B点与C点的向心加速度大小之比为1∶4,选项D正确。 3.(人教版必修第二册习题改编)如图所示,地球可以看成一个巨大的拱形桥,桥面半径R=6 400 km,地面上行驶的汽车中驾驶员受到的重力G=800 N,在汽车不离开地面的前提下,下列分析正确的是 (　　) A.汽车的速度越大,则汽车对地面的压力也越大 B.不论汽车的行驶速度如何,驾驶员对座椅压力大 小都等于800 N C.不论汽车的行驶速度如何,驾驶员对座椅压力大小都小于等于他自身所受重力 D.如果某时刻速度增大到使汽车对地面压力为0,则此时驾驶员会有超重的感觉 C 解析：汽车受到的重力和地面对汽车的支持力的合力提供向心力,则有G-N=m,重力是一定的,v越大,则N越小,故A、B错误;因为驾驶员的一部分重力用于提供驾驶员做圆周运动所需的向心力,所以驾驶员对座椅压力小于等于他自身的重力,故C正确;如果速度增大到使汽车对地面的压力为零,说明汽车和驾驶员所受重力全部用于提供做圆周运动所需的向心力,处于完全失重状态,此时驾驶员会有失重的感觉,故D错误。 二 核心知识　典例研析 15 考点一　圆周运动的运动学问题　 基础考点 1.对公式v=ωr的理解 当r一定时,v与ω成正比; 当ω一定时,v与r成正比; 当v一定时,ω与r成反比。 2.对a==ω2r的理解 在v一定时,a与r成反比; 在ω一定时,a与r成正比。 3.常见的三种传动方式 类型 图示 特点 同轴传动 绕同一转轴运转的物体,角速度相同,ωA=ωB,由v=ωr知v与r成正比 皮带传动 皮带与两轮之间无相对滑动时,两轮边缘线速度大小相等,即vA=vB 摩擦传动或齿轮传动 两轮边缘接触,接触点无打滑现象时,两轮边缘线速度大小相等,即vA=vB 考向1　圆周运动物理量的分析和计算 [典例1]　A、B两艘快艇在湖面上做匀速圆周运动,在相同的时间内,它们通过的路程之比是5∶4,运动方向改变的角度之比是4∶3,它们的向心加速度之比为(　　) A.15∶16　　　　　B.5∶3 C.3∶5 D.16∶15 [解析] 在相同的时间内,它们通过的路程之比是5∶4,运动方向改变的角度之比是4∶3,则根据v=可知,它们的线速度之比和角速度之比分别为5∶4和4∶3,根据向心加速度的公式a=vω可知,它们的向心加速度之比为5∶3,故选B。 B 考向2　圆周传动问题 [典例2]　(2024·辽宁卷) “指尖转球”是花式篮球表演中常见的技巧。如图,当篮球在指尖上绕轴转动时,球面上P、Q两点做 圆周运动的(　　) A.半径相等 B.线速度大小相等 C.向心加速度大小相等 D.角速度大小相等 D [解析] 由题意可知,球面上P、Q两点转动时属于同轴转动,故角速度大小相等,故D正确;由题图可知,球面上P、Q两点做圆周运动的半径的关系为rP<rQ,故A错误;根据v=rω可知,球面上P、Q两点做圆周运动的线速度的关系为vP<vQ,故B错误;根据a=rω2可知,球面上P、Q两点做圆周运动的向心加速度的关系为aP<aQ,故C错误。 考向3　圆周运动的多解问题 [典例3]　(多选)如图所示,在半径为R的水平圆盘中心轴正上方a点水平抛出一小球,圆盘以角速度ω匀速转动,当圆盘半径Ob方向恰好转到与小球初速度方向相同的位置时,将小球抛出,要使小球与圆盘只碰一次,且落点为b,重力加速度为g,则小球抛出点a距圆盘的高度h和小球的初速度v0可能满足 ( 　　) A.h=,v0= ,v0= C.h=,v0= ,v0= ABD [解析] 由题意可知,小球做平抛运动,在竖直方向上有h=gt2,水平方向上有R=v0t,对圆盘有t=(k=1,2,3,…),经上述分析可解得v0=(k=1,2,3,…),h=(k=1,2,3,…),根据k的取值不同,经计算可知,A、B、D正确,C错误。 考点二　圆周运动的动力学分析　 能力考点 1.向心力的确定 (1)确定圆周运动的轨道所在的平面,确定圆心的位置。 (2)分析物体的受力情况,所有的力沿半径方向指向圆心的合力,就是向心力。 2.常见匀速圆周运动中向心力的来源 运动模型 向心力的来源图示 汽车在水平路面转弯 水平转台(光滑) 运动模型 向心力的来源图示 圆锥摆式受力 模型　 圆锥摆 飞车走壁 飞机水平转弯 火车转弯 考向1　圆锥摆模型 [典例4]　(2024·江苏卷)如图所示,细绳穿过竖直的管子拴住一个小球,让小球在A高度处作水平面内的匀速圆周运动,现用力将细绳缓慢下拉,使小球在B高度处作水平面内的匀速圆周运动,不计一切摩擦,则(　　) A.线速度vA>vB B.角速度ωA>ωB C.向心加速度aA<aB D.向心力FA>FB C [解析] 设绳子与竖直方向的夹角为θ,对小球受力分析有F=mgtan θ= ma,由题图可看出小球从A高度到B高度θ增大,则由aA<aB,FA<FB,故C正确,D错误;再根据题图可看出,A、B位置在同一竖线上,则A、B位置的半径相同,则根据mgtan θ=m=mω2lsin θ,可得v=sin θ,因θ增大,l减小,h减小,则有ωA<ωB,线速度 大小无法判断,故A、B错误。 考向2　火车、汽车转弯模型 [典例5]　(多选)(2025·四川雅安高三诊断)火车速度的提高易使外轨受损,提速后为解决火车转弯时对外轨的磨损问题,下列可行的措施有(　　) A.增大弯道半径 B.减小弯道半径 C.适当减小内、外轨道的高度差 D.适当增大内、外轨道的高度差 AD [解析] 火车转弯时为减小外轨所受压力,可使外轨略高于内轨,使轨道形成斜面,若火车速度合适,内外轨均不受挤压。此时,重力与支持力的合力提供向心力,如图所示,F=mgtan θ=m,v=,当火车速度增大时,应适当增大转弯半径或增加内外轨道的高度差。 考向3　水平转台模型 [典例6]　如图所示,质量相同的物块A、B叠放在一起,放在水平转台上随圆盘一起匀速运动,它们和圆盘保持相对静止,以下说法正确的是 (　　) A.ω变大,A一定先发生相对滑动 B.图中A对B摩擦力是指向圆心的 C.两物块所受的合力大小不相等 D.圆盘对B的摩擦力的大小是B对A的摩擦力的2倍 D [解析] 图中A做圆周运动向心力是B对其向左的摩擦力提供的,所以A对B摩擦力是向右的,故B错误;两物块所受的合力提供向心力,而A、B向心力相同,故C错误;物块A所受摩擦力为fBA=mω2r,物块B所受转台提供的摩擦力和A对B的摩擦力的合力提供向心力f圆盘-fAB=mω2r,又fBA与fAB等大,所以f圆盘=2mω2r=2fBA,故D正确;当物块B所受转台的最大静摩擦力小于A与B之间的最大静摩擦力的2倍时,ω变大,B一定先发生相对滑动,故A错误。 圆周运动中动力学问题的分析思路 规律方法 分层训练　巩固提高 三 1.(2023·全国甲卷)一质点做匀速圆周运动,若其所受合力的大小与轨道半径的n次方成正比,运动周期与轨道半径成反比,则n等于(　　) A.1　　　　　　　B.2 C.3 D.4 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 A 夯实基础 C 解析：由题意知,F=krn ① T= ② 质点做匀速圆周运动,则有F=m·r ③ 联立①②③有krn=m·r3,令k=m,可得n=3 选项C正确。 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2.(多选)(2025·四川成都高三诊断)陶瓷是中华瑰宝,是中华文明的重要名片。在陶瓷制作过程中有一道工序叫利坯,如图(a)所示,将陶瓷粗坯固定在绕竖直轴转动的水平转台上,用刀旋削,使坯体厚度适当,表里光洁。对应的简化模型如图(b)所示,粗坯的对称轴与转台转轴OO'重合。当转台转速恒定时,关于粗坯上P、Q两质点,下列说法正确的是(　　) A.P的角速度大小比Q的大 B.P的线速度大小比Q的大 C.P的向心加速度大小比Q的大 D.同一时刻P所受合力的方向与Q的相同 BC 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 解析：由题意可知,粗坯上P、Q两质点属于同轴转动,故ωP=ωQ,即P的角速度大小跟Q的一样大,故A错误;根据v=rω,且rP>rQ,ωP=ωQ,所以vP>vQ,即P的线速度大小比Q的大,故B正确;根据a=rω2,且rP>rQ,ωP=ωQ,所以aP>aQ,即P的向心加速度大小比Q的大,故C正确;因为转台转速恒定,所以同一时刻P所受合力的方向与Q所受合力方向均指向中心轴,故合力方向不相同,故D错误。 3.(2024·广东卷)如图所示,在细绳的拉动下,半径为r的卷轴可绕其固定的中心点O在水平面内转动。卷轴上沿半径方向固定着长度为l的细管,管底在O点。细管内有一根原长为、劲度系数为k的轻质弹簧,弹簧底端固定在管底,顶端连接质量为m、可视为质点的插销。当以速度v匀速拉动细绳时,插销做匀速圆周运动。若v过大,插销会卡进固定的端盖。使卷轴转动停止。忽略摩擦力,弹簧在弹性限度内。要使卷轴转动不停止,v的最大值为 (　　) A.r C.r 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 A 解析：由题意可知当插销刚卡紧固定端盖时弹簧的伸长量为Δx=,根据胡克定律有F=kΔx=,插销与卷轴同轴转动,角速度相同,对插销由弹力提供向心力有F=mlω2,对卷轴有v=rω,联立解得v=r,故选A。 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 4.如图所示,直径为d的竖直圆筒绕中心轴线以恒定的转速匀速转动,一子弹以水平速度沿圆筒直径方向从左侧射入圆筒,从右侧射穿圆筒后发现两弹孔在同一竖直线上且相距为h,重力加速度为g,则下列说法错误的是 (　　) A.子弹在圆筒中的水平速度为d B.子弹在圆筒中的水平速度为2d C.圆筒转动的角速度可能为π D.圆筒转动的角速度可能为3π B 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 解析：子弹在圆筒中运动的时间与自由下落h高度的时间相同,即t=,则v0=,故A正确,B错误;在此段时间内圆筒转过的圈数为半圈的奇数倍,即ωt=(2n+1)π(n=0,1,2,…),所以ω==(2n+1)π(n=0,1,2,…),故C、D正确。 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 5.(2023·北京卷)在太空实验室中可以利用匀速圆周运动测量小球质量。如图所示,不可伸长的轻绳一端固定于O点,另一端系一待测小球,使其绕O点做匀速圆周运动。用力传感器测得绳上的拉力为F,用停表测得小球转过n圈所用的时间为t,用刻度尺测得O点到球心的距离为圆周运动的半径R。下列说法正确的是 (　　) A.圆周运动轨道可处于任意平面内 B.小球的质量为 C.若误将n-1圈记作n圈,则所得质量偏大 D.若测R时未计入小球半径,则所得质量偏小 A 解析：空间站内的物体都处于完全失重状态,可知圆周运动的轨道可处于任意平面内,故A正确;根据F=mω2R,ω=,解得小球质量m=,故B错误;若误将n-1圈记作n圈,则得到的质量偏小,故C错误;若测R时未计入小球的半径,则R偏小,所测质量偏大,故D错误。 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 6.(2025·四川广安模拟)钢架雪车是一项精彩刺激的冬奥会比赛项目,运动员起跑区推动雪车起跑后俯卧在雪车上,再经出发区、滑行区和减速区的一系列直道、弯道后到达终点,用时少者获胜。图(a)是比赛中一运动员在滑行区某弯道的图片,假设可视为质点的人和车的总质量m=90 kg,其在弯道上P处做水平面内圆周运动的模型如图(b),车在P处既无侧移也无切向加速度,速率v=30 m/s,弯道表面与水平面夹角θ=53°,不计摩擦力和空气阻力,重力加速度g取10 m/s2,sin 53°=0.8,则在P处(　　) A.车对弯道的压力大小为900 N B.人对车的压力大小为1 500 N C.人和车做圆周运动的半径为67.5 m D.人和车的加速度大小为7.5 m/s2 C 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 解析：对人和车受力分析,如图所示,根据几何关系有N==1 500 N,根据牛顿第三定律可得,车对弯道的压力大小为1 500 N,故A错误;由于不知道人的质量,所以无法确定人对车的压力,故B错误;根据牛顿第二定律可得mgtan θ=m=ma,解得r=67.5 m,a≈13.33 m/s2,故C正确,D错误。 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 7.(2025·四川乐山高三诊断)据史料记载,拨浪鼓最早出现在战国时期,宋代小型拨浪鼓已成为儿童玩具。现有一拨浪鼓上分别系有长度不等的两根轻绳,绳一端系着相同小球,另一端固定在关于手柄对称的鼓沿上。现使鼓绕竖直放置的手柄匀速转动,稳定后两球在水平面内做周期相同的匀速圆周运动。下列各图中两球的位置关系正确的是(图中轻绳与竖直方向的夹角α<θ<β) (　　) B 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 解析：小球做匀速圆周运动,角速度相同,受力分析如图所示,设绳长为L,拨浪鼓半径为R,根据牛顿第二定律得mgtan θ=mω2(Lsin θ+R),解得Lcos θ+,是常量,根据数学关系可知,角度越大,绳长越大;设绳的竖直分量为h,则由合力提供向心力得mgtan θ=mω2(htan θ+R),解得h+,可知,角度大的,竖直分量大。故选B。 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 8.如图所示,一根细线下端拴一个金属小球Q,细线穿过小孔(小孔光滑),另一端连接在金属块P上,P始终静止在水平桌面上,若不计空气阻力,小球在某一水平面内做匀速圆周运动(圆锥摆)。实际上,小球在运动过程中不可避免地受到空气阻力作用,因阻力作用,小球Q的运动轨迹发生缓慢的变化(可视为一系列半径不同的圆周运动)。下列判断正确的是 (　　) A.小球Q的位置越来越高 B.细线的拉力减小 C.小球Q运动的角速度增大 D.金属块P受到桌面的静摩擦力增大 B B 能力提升 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 解析：由于小球受到空气阻力作用,线速度减小,则所需要的向心力减小,小球做近心运动,因P始终静止在桌面上,即小孔下面细线长度不变,则小球的位置越来越低,故A项错误;设小孔下面细线与竖直方向的夹角为θ,细线的拉力大小为FT,细线的长度为L,当小球做匀速圆周运动时,由重力和细线的拉力的合力提供向心力,如图所示,则有FT=,mgtan θ=m=mω2Lsin θ,解得ω=,由于小 球受到空气阻力作用,线速度减小,θ减小,cos θ增大,因此 细线的拉力FT减小,角速度ω减小,故B项正确,C项错误;对 金属块P,由平衡条件知,P受到桌面的静摩擦力大小等于 细线的拉力大小,则静摩擦力减小,故D项错误。 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 9.拉球转身动作是篮球运动中的难点,如图甲所示为篮球爱好者拉球转身的一瞬间,由于篮球规则规定手掌不能上翻,我们将此过程理想化为如图乙所示的模型:薄长方体代表手掌,转身时球紧贴竖立的手掌,绕着转轴(中枢脚所在直线)做圆周运动。假设手掌和球之间的动摩擦因数为μ,最大静摩擦力等于滑动摩擦力,篮球质量为m,直径为D,手掌到转轴的距离为d,重力加速度为g,若要顺利完成此转身动作,下列说法正确的是 (　　) A.篮球线速度至少为 B.手掌和篮球之间的作用力至少为 C.若篮球的速度为,则篮球会和手掌分离 D.篮球的速度越大,手掌和篮球之间的摩擦力越大 A 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 解析：设手掌和篮球之间弹力的最小值为FN,竖直方向上摩擦力f=mg,此时f=μFN,解得FN=,由于手掌和篮球之间的作用力为弹力和摩擦力的合力,则手掌和篮球之间的作用力大于,B错误;水平方向上FN=,其中r=d-D,解得v=,A正确;由于,则篮球和手掌之间的弹力F'N>,篮球和手掌之间的最大静摩擦力增大,篮球不会和手掌分离,C错误;篮球竖直方向上处于平衡状态,始终有f=mg,D错误。 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 10.(多选)高速离心机用于快速沉淀或分离物质。如图所示,水平试管固定在高速离心机上,离心机的转速为n,在水平试管中有质量为m的某固体颗粒,某时刻颗粒到转轴的距离为r。已知试管中充满液体,颗粒与试管内壁不接触。下列说法正确的是 (　　) A.颗粒运动的角速度为2πn B.颗粒此时受到的合外力大小必为4π2mrn2 C.离转轴越远,分离沉淀效果越好 D.此款高速离心沉淀机,适用于任何颗粒,颗粒都会到试管底部沉淀 AC 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 解析：由ω=2πn得,颗粒运动的角速度为2πn,故A正确;由向心力公式确实可以算得F=mω2r=m(2πn)2r=4π2mrn2,但颗粒此时受到的合外力大小未必为4π2mrn2,一般都是小于这个值,正是因为合外力提供不了所需的向心力,故颗粒会沉淀,故B错误;离转轴越远,r越大,液体提供的“浮力”与颗粒在该处做匀速圆周运动所需向心力的差距越大,则分离沉淀效果越好,故C正确;只有颗粒的密度大于液体密度,颗粒才 会在试管底部沉淀,如果颗粒的密度小于液体密度,颗粒 会在试管管口“沉淀”,即漂浮在管口,故D错误。 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 11.(16分)(2024·江西卷)雪地转椅是一种游乐项目,其中心传动装置带动转椅在雪地上滑动。如图(a)、(b)所示,传动装置有一高度可调的水平圆盘,可绕通过中心O点的竖直轴匀速转动。圆盘边缘A处固定连接一轻绳,轻绳另一端B连接转椅(视为质点)。转椅运动稳定后,其角速度与圆盘角速度相等。转椅与雪地之间的动摩擦因数为μ,重力加速度为g,不计空气阻力。 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 (1)在图(a)中,若圆盘在水平雪地上以角速度ω1 匀速转动,转椅运动稳定后在水平雪地上绕O点 做半径为r1的匀速圆周运动。求AB与OB之间夹 角α的正切值。 解析：转椅做匀速圆周运动,设此时轻绳拉力为T,转椅质量为m,受力分析可知轻绳拉力沿切线方向的分量与转椅受到地面的滑动摩擦力平衡,沿径向方向的分量提供圆周运动的向心力,故可得 Tcos α=mr1 μmg=Tsin α 联立解得tan α=。 答案： (2)将圆盘升高,如图(b)所示。圆盘匀速转动,转椅 运动稳定后在水平雪地上绕O1点做半径为r2的匀 速圆周运动,绳子与竖直方向的夹角为θ,绳子在水 平雪地上的投影A1B与O1B的夹角为β。求此时圆 盘的角速度ω2。 解析：设此时轻绳拉力为T',沿A1B和垂直A1B竖直向上的分力分别为T1=T'sin θ,T2=T'cos θ 对转椅根据牛顿第二定律得T1cos β=mr2 沿切线方向T1sin β=f=μN 竖直方向N+T2=mg 联立解得ω2=。 答案： 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 $$