第一章 有理数 单元提优试卷 2025—2026学年人教版七年级数学上册

人教版（2024） 2025—2026学年度七年级数学上学期单元提优试卷 第一章 有理数 （考试时间：90 分钟 满分：120 分 ） 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分） 1. （2025・河南中考模拟）若向东走 5 米记为 + 5 米，则向西走 3 米可记为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 2. （教材 P6 变式）下列各数中，既是正数又是整数的是（ ） A. B. C. 3 D. 3. （2024・山东聊城中考）在有理数 ，0，，2 中，最小的数是（ ） A. B. 0 C. D. 2 4. （教材 P10 变式）数轴上表示 - 2 和 5 的两点之间的距离是（ ） A. 3 B. C. 7 D. 5. （2025・江苏苏州模拟）的相反数是（ ） A. B. C. D. 6. （教材 P12 变式）若，则 a 的值为（ ） A. 4 B. C. 4 或 D. 以上都不对 7. （2024・四川成都中考）在数轴上，点 A 表示的数为，点 B 表示的数为 3，点 C 在数轴上，且 ，则点 C 表示的数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 4 8. （教材 P15 变式）下列说法正确的是（ ） A. 正数和负数统称有理数 B. 绝对值等于本身的数是负数 C. 相反数等于本身的数是正数 D. 绝对值最小的有理数是 0 9. （2025・湖北武汉模拟）若 a 为有理数，且 ，则 a 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 10. （教材 P17 变式）已知 ，，且 | a|>|b|，则 的值为（ ） A. 1 B. C. 5 D. 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 4 分，共 24 分） 11. （2024・浙江杭州中考）如果收入 100 元记作 + 100 元，那么支出 80 元记作____元. 12. （教材 P5 变式）把有理数，0，，按从小到大的顺序排列： . 13. （2025・广东广州模拟）数轴上，与表示 的点距离为 2 的点表示的数是 ． 14. （教材 P9 变式）若 m 的相反数是 ，则 ；若，则 ． 15. （2024・湖南长沙中考）已知，则 x 的值为______． 16. （教材 P16 变式）若 a 是最大的负整数，b 是绝对值最小的有理数，则 ______． 三、解答题（本大题共 7 小题，共 66 分） 17. （8 分）（教材 P4 变式）把下列各数填入相应的集合内： ，0，，，8，，102 （1）正数集合：{ }； （2）负数集合：{ }； （3）整数集合：{ }； （4）有理数集合：{ }． 18. （8 分）（2025・安徽合肥模拟）在数轴上表示下列各数，并把它们按从大到小的顺序排列：，3，0，，4.5 19. （10 分）（教材 P11 变式）计算下列各数的绝对值，并比较大小： （1）与； （2）与； （3）与|． 20. （10 分）（2024・陕西西安中考）已知 a 是有理数，且，求 a 的值． 21. （10 分）（教材 P14 变式）已知数轴上有 A，B 两点，A 点表示的数为，B 点表示的数为 6，动点 P 从 A 点出发，以每秒 2 个单位长度的速度向 B 点运动，设运动时间为 t 秒． （1）当 时，求点 P 表示的数； （2）当点 P 到 A 点的距离等于到 B 点的距离时，求 t 的值． 22. （10 分）（2025・福建福州模拟）已知，且 ，求 的值． 23. （10 分）（教材 P18 变式）定义一种新运算：对于任意有理数 m，n，规定 m⊗n=|m+n| - |m-n|． （1）计算 的值； （2）若 ，求 x 的值． 附加题（10 分，不计入总分） （2025・全国名校联考改编）已知数轴上有 A，B，C 三点，分别表示有理数 a，b，c，其中 b 是最小的正整数，且 a 与 b 满足，点 C 在数轴上，且点 C 到点 A 的距离是点 C 到点 B 距离的 2 倍． （1）求 a，b 的值； （2）求点 C 表示的数 c． 参考答案 一、选择题 1. B 2. C 3. A 4. C 5. A 6. C 7. B 8. D 9. D 10. B 二、填空题 11. 12. 13. 1 或 14. 3； 15. 2 16. 三、解答题 17. 解： （1）正数集合：{，8，102…}； （2）负数集合：{，，…}； （3）整数集合：{，0，8，102…}； （4）有理数集合：{，0，，，8，，102…}． 18. 解：数轴表示略 从大到小排列：． 19. 解： （1），∵，∴； （2），，∵，∴； （3），，∵，∴． 20. 解：∵，∴ 或， 当 时，；当 时，， ∴a 的值为 5 或． 21. 解： （1）当 时，点 P 运动的距离为 ， ∵A 点表示 ，∴点 P 表示的数为； （2）当点 P 到 A、B 距离相等时，点 P 为 AB 中点， AB 的距离为 6 - (-4)=10，∴， 则（秒）． 22. 解：∵，∴；∵，∴， 又∵，∴当 时，，不符合；当 时， 且 ，符合， ∴， 时，；， 时，， ∴的值为 或 ． 23. 解： （1） （2） ， ①当 时， 原式 ，等式恒成立，∴； ②当 时，， 原式 ，解得 （舍去，不满足）； ③当 时，， 原式 ，无解； 综上，x 的取值范围是 ． 附加题 解： （1）∵b 是最小的正整数，∴， 又∵，即， ∴ 或， 解得 或； （2）分情况讨论： ①当 时，点 A 表示 ，点 B 表示 1， 设点 C 表示的数为 c，由题意得 即， 当 时，，解得 ； 当 时，，解得 ； 当 时，，解得（舍去，不满足 ）； ②当 时，点 A 表示，点 B 表示 1， 设点 C 表示的数为 c，由题意得， 即 ， 当 时，，解得 ； 当 时，，解得； 当时，，解得（舍去，不满足 ）； 综上，点 C 表示的数 c 为 3、、5 或． 细目表 题号 考查知识点 考查层次 1 正数与负数的实际意义（相反意义的量） 理解 2 有理数的分类（正数、整数的交集） 理解 3 有理数大小比较（负有理数、0、正有理数） 掌握 4 数轴上两点间距离（绝对值的几何意义） 掌握 5 相反数的概念（分数的相反数） 理解 6 绝对值的性质（绝对值等于正数的数） 理解 7 数轴与中点问题（AC=BC 的几何意义） 运用 8 有理数、相反数、绝对值的概念辨析 理解 9 绝对值与有理数符号 理解 10 绝对值与有理数加法（已知绝对值关系求和） 运用 11 正数与负数的实际应用（收支记录） 理解 12 有理数大小比较（负小数、0、正分数） 掌握 13 数轴上两点距离（已知距离求点表示的数） 运用 14 相反数与绝对值（已知相反数 / 绝对值求原数） 理解 15 绝对值的应用 运用 16 有理数概念综合（最大负整数、绝对值最小有理数） 了解 17 有理数分类（正数、负数、整数、有理数集合） 掌握 18 数轴表示与大小比较（多个数的数轴表示 + 排序） 运用 19 绝对值计算与大小比较（分三组计算 + 比较） 掌握 20 绝对值方程 掌握 21 数轴动点问题（动点位置计算 + 中点问题） 运用 22 绝对值与有理数加法综合 运用 23 新定义与绝对值综合（新运算计算 + 新运算方程求解） 运用 附加 数轴、绝对值综合（特殊数确定 + 距离倍数关系） 运用 — 1 — 学科网（北京）股份有限公司 $$— 5— 参考答案 一、选择题 1. B 2. C 3. A 4. C 5. A 6. C 7. B 8. D 9. D 10. B 二、填空题 11. 80 12. 3 105.23  13. 1或 3 14. 3； 5 15. 2 16. 1 三、解答题 17. 解： （1）正数集合：{ 5 2 ，8，102…}； （2）负数集合：{ 3 ， 6.0 ， 3 1  …}； （3）整数集合：{ 3 ，0，8，102…}； （4）有理数集合：{ 3 ，0， 5 2 ， 6.0 ，8， 3 1  ，102…}． 18. 解：数轴表示略 从大到小排列： 2 2 1035.4  ． 19. 解： （1） 33,55  ，∵ 35  ，∴ 35  ； （2） 2 1 2 1  ， 3 1 3 1  ，∵ 3 1 2 1  ，∴ 3 1 2 1  ； （3） 00  ， 22  ，∵ 20  ，∴ 20  ． 20. 解：∵ 32 a ，∴ 32 a 或 32 a ， 当 32 a 时， 5a ；当 32 a 时， 1a ， ∴a的值为 5或 1 ． 21. 解： （1）当 2t 时，点 P运动的距离为 422  ， — 6— ∵A点表示 4 ，∴点 P表示的数为 044  ； （2）当点 P到 A、B距离相等时，点 P为 AB中点， AB的距离为   1046  6 - (-4)=10，∴ 5AP ， 则 5.225 t （秒）． 22. 解：∵ 5a ，∴ 5a ；∵ 3b ，∴ 3b ， 又∵ ba  ，∴当 5a 时， 35  ，不符合；当 5a 时， 35  且 35  ，符 合， ∴ 5a ， 3b 时， 2 ba ； 5a ， 3b 时， 8 ba ， ∴ ba  的值为 2 或 8 ． 23. 解： （1）       4323232  （2） 2111  xxx ， ①当 1x 时， 11,11  xxxx 原式     211  xx ，等式恒成立，∴ 1x ； ②当 11  x 时， xxxx  11,11 ， 原式     2211  xxx ，解得 1x （舍去，不满足 11  x ）； ③当 1x 时， xxxx  11,11 ， 原式     2211  xx ，无解； 综上，x的取值范围是 1x ． 附加题 解： （1）∵b是最小的正整数，∴ 1b ， 又∵ ba  2 ，即 12 a ， ∴ 12 a 或 12 a ， 解得 1a 或 3a ； （2）分情况讨论： — 7— ①当 1a 时，点 A表示 1 ，点 B表示 1， 设点 C表示的数为 c，由题意得   ,121  cc 即 121  cc ， 当 1c 时，  121  cc ，解得 3c ； 当 11  c 时，  cc  121 ，解得 3 1 c ； 当 1c 时，  cc  121 ，解得 3c （舍去，不满足 1c ）； ②当 3a 时，点 A表示 3 ，点 B表示 1， 设点 C表示的数为 c，由题意得   123  cc ， 即 123  cc ， 当 1c 时，  123  cc ，解得 5c ； 当 13  c 时，  cc  123 ，解得 3 1 c ； 当 3c 时，  cc  123 ，解得 5c （舍去，不满足 3c ）； 综上，点 C表示的数 c为 3、 3 1 、5或 3 1  ． 细目表 — 8— 题号 考查知识点 考查层次 1 正数与负数的实际意义（相反意义的量） 理解 2 有理数的分类（正数、整数的交集） 理解 3 有理数大小比较（负有理数、0、正有理数） 掌握 4 数轴上两点间距离（绝对值的几何意义） 掌握 5 相反数的概念（分数的相反数） 理解 6 绝对值的性质（绝对值等于正数的数） 理解 7 数轴与中点问题（AC=BC 的几何意义） 运用 8 有理数、相反数、绝对值的概念辨析 理解 9 绝对值与有理数符号 理解 10 绝对值与有理数加法（已知绝对值关系求和） 运用 11 正数与负数的实际应用（收支记录） 理解 12 有理数大小比较（负小数、0、正分数） 掌握 13 数轴上两点距离（已知距离求点表示的数） 运用 14 相反数与绝对值（已知相反数 / 绝对值求原数） 理解 15 绝对值的应用 运用 16 有理数概念综合（最大负整数、绝对值最小有理数） 了解 17 有理数分类（正数、负数、整数、有理数集合） 掌握 18 数轴表示与大小比较（多个数的数轴表示 + 排序） 运用 — 9— 19 绝对值计算与大小比较（分三组计算 + 比较） 掌握 20 绝对值方程 掌握 21 数轴动点问题（动点位置计算 + 中点问题） 运用 22 绝对值与有理数加法综合 运用 23 新定义与绝对值综合（新运算计算 + 新运算方程求解） 运用 附加 数轴、绝对值综合（特殊数确定 + 距离倍数关系） 运用 — 1— 人教版（2024） 2025—2026 学年度七年级数学上学期单元提优试卷 第一章有理数 （考试时间：90 分钟 满分：120 分 ） 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分） 1. （2025・河南中考模拟）若向东走 5米记为 + 5米，则向西走 3米可记为（ ） A. 8 米 B. 3 米 C. 8 米 D. 8 米 2. （教材 P6变式）下列各数中，既是正数又是整数的是（ ） A. 5.0 B. 2 1 C. 3 D. 2 3. （2024・山东聊城中考）在有理数 3 ，0， 2 1 ，2中，最小的数是（ ） A. 3 B. 0 C. 2 1 D. 2 4. （教材 P10变式）数轴上表示 - 2和 5的两点之间的距离是（ ） A. 3 B. 7 C. 7 D. 3 5. （2025・江苏苏州模拟） 3 2  的相反数是（ ） A. 3 2 B. 3 2  C. 2 3 D. 2 3  6. （教材 P12变式）若 4a ，则 a的值为（ ） A. 4 B. 4 C. 4或 4 D.以上都不对 7. （2024・四川成都中考）在数轴上，点 A表示的数为 1 ，点 B表示的数为 3，点 C 在数轴上，且 BCAC  ，则点 C表示的数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 4 8. （教材 P15变式）下列说法正确的是（ ） A.正数和负数统称有理数 B. 绝对值等于本身的数是负数 — 2— C.相反数等于本身的数是正数 D.绝对值最小的有理数是 0 9. （2025・湖北武汉模拟）若 a为有理数，且 aa  ，则 a的取值范围是（ ） A. 0a B. 0a C. 0a D. 0a 10. （教材 P17变式）已知 3a ， 2b ，且 ba  | a|>|b|，则 ba  的值为（ ） A. 1 B. 1 C. 5 D. 5 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 4 分，共 24 分） 11. （2024・浙江杭州中考）如果收入 100元记作 + 100元，那么支出 80元记作____元. 12. （教材 P5变式）把有理数 5.2 ，0， 3 ， 3 1 按从小到大的顺序排列： . 13. （2025・广东广州模拟）数轴上，与表示 1 的点距离为 2 的点表示的数 是 ． 14. （教材 P9变式）若 m的相反数是 3 ，则 m ；若 5n ，则 n ． 15. （2024・湖南长沙中考）已知 02 x ，则 x的值为______． 16. （教材 P16 变式）若 a 是最大的负整数， b 是绝对值最小的有理数，则  ba ______． 三、解答题（本大题共 7 小题，共 66 分） 17. （8分）（教材 P4变式）把下列各数填入相应的集合内： 3 ，0， 5 2 ， 6.0 ，8， 3 1  ，102 （1）正数集合：{ }； （2）负数集合：{ }； （3）整数集合：{ }； （4）有理数集合：{ }． 18. （8分）（2025・安徽合肥模拟）在数轴上表示下列各数，并把它们按从大到小的 顺序排列： 2 ，3，0， 2 1  ，4.5 — 3— 19. （10分）（教材 P11变式）计算下列各数的绝对值，并比较大小： （1） 5 与 3； （2） 2 1  与 3 1  ； （3） 0 与 2 |． 20. （10分）（2024・陕西西安中考）已知 a是有理数，且 32 a ，求 a的值． 21. （10分）（教材 P14变式）已知数轴上有 A，B两点，A点表示的数为 4 ，B点 表示的数为 6，动点 P从 A点出发，以每秒 2个单位长度的速度向 B点运动，设 运动时间为 t秒． （1）当 2t 时，求点 P表示的数； （2）当点 P到 A点的距离等于到 B点的距离时，求 t的值． 22. （10分）（2025・福建福州模拟）已知 3,5  ba ，且 ba  ，求 ba  的值． — 4— 23. （10分）（教材 P18变式）定义一种新运算：对于任意有理数 m，n，规定 nmnmnm  m⊗ n=|m+n| - |m-n|． （1）计算  32  的值； （2）若 21x ，求 x的值． 附加题（10 分，不计入总分） （2025・全国名校联考改编）已知数轴上有 A，B，C三点，分别表示有理数 a， b，c，其中 b是最小的正整数，且 a与 b满足  02  bba ，点 C在数轴上，且 点 C到点 A的距离是点 C到点 B距离的 2倍． （1）求 a，b的值； （2）求点 C表示的数 c． — 5— 参考答案 一、选择题 1. B 2. C 3. A 4. C 5. A 6. C 7. B 8. D 9. D 10. B 二、填空题 11. 80 12. 3 105.23  13. 1或 3 14. 3； 5 15. 2 16. 1 三、解答题 17. 解： （1）正数集合：{ 5 2 ，8，102…}； （2）负数集合：{ 3 ， 6.0 ， 3 1  …}； （3）整数集合：{ 3 ，0，8，102…}； （4）有理数集合：{ 3 ，0， 5 2 ， 6.0 ，8， 3 1  ，102…}． 18. 解：数轴表示略 从大到小排列： 2 2 1035.4  ． 19. 解： （1） 33,55  ，∵ 35  ，∴ 35  ； （2） 2 1 2 1  ， 3 1 3 1  ，∵ 3 1 2 1  ，∴ 3 1 2 1  ； （3） 00  ， 22  ，∵ 20  ，∴ 20  ． 20. 解：∵ 32 a ，∴ 32 a 或 32 a ， 当 32 a 时， 5a ；当 32 a 时， 1a ， ∴a的值为 5或 1 ． 21. 解： （1）当 2t 时，点 P运动的距离为 422  ， — 6— ∵A点表示 4 ，∴点 P表示的数为 044  ； （2）当点 P到 A、B距离相等时，点 P为 AB中点， AB的距离为   1046  6 - (-4)=10，∴ 5AP ， 则 5.225 t （秒）． 22. 解：∵ 5a ，∴ 5a ；∵ 3b ，∴ 3b ， 又∵ ba  ，∴当 5a 时， 35  ，不符合；当 5a 时， 35  且 35  ，符 合， ∴ 5a ， 3b 时， 2 ba ； 5a ， 3b 时， 8 ba ， ∴ ba  的值为 2 或 8 ． 23. 解： （1）       4323232  （2） 2111  xxx ， ①当 1x 时， 11,11  xxxx 原式     211  xx ，等式恒成立，∴ 1x ； ②当 11  x 时， xxxx  11,11 ， 原式     2211  xxx ，解得 1x （舍去，不满足 11  x ）； ③当 1x 时， xxxx  11,11 ， 原式     2211  xx ，无解； 综上，x的取值范围是 1x ． 附加题 解： （1）∵b是最小的正整数，∴ 1b ， 又∵ ba  2 ，即 12 a ， ∴ 12 a 或 12 a ， 解得 1a 或 3a ； （2）分情况讨论： — 7— ①当 1a 时，点 A表示 1 ，点 B表示 1， 设点 C表示的数为 c，由题意得   ,121  cc 即 121  cc ， 当 1c 时，  121  cc ，解得 3c ； 当 11  c 时，  cc  121 ，解得 3 1 c ； 当 1c 时，  cc  121 ，解得 3c （舍去，不满足 1c ）； ②当 3a 时，点 A表示 3 ，点 B表示 1， 设点 C表示的数为 c，由题意得   123  cc ， 即 123  cc ， 当 1c 时，  123  cc ，解得 5c ； 当 13  c 时，  cc  123 ，解得 3 1 c ； 当 3c 时，  cc  123 ，解得 5c （舍去，不满足 3c ）； 综上，点 C表示的数 c为 3、 3 1 、5或 3 1  ． 细目表 — 8— 题号 考查知识点 考查层次 1 正数与负数的实际意义（相反意义的量） 理解 2 有理数的分类（正数、整数的交集） 理解 3 有理数大小比较（负有理数、0、正有理数） 掌握 4 数轴上两点间距离（绝对值的几何意义） 掌握 5 相反数的概念（分数的相反数） 理解 6 绝对值的性质（绝对值等于正数的数） 理解 7 数轴与中点问题（AC=BC 的几何意义） 运用 8 有理数、相反数、绝对值的概念辨析 理解 9 绝对值与有理数符号 理解 10 绝对值与有理数加法（已知绝对值关系求和） 运用 11 正数与负数的实际应用（收支记录） 理解 12 有理数大小比较（负小数、0、正分数） 掌握 13 数轴上两点距离（已知距离求点表示的数） 运用 14 相反数与绝对值（已知相反数 / 绝对值求原数） 理解 15 绝对值的应用 运用 16 有理数概念综合（最大负整数、绝对值最小有理数） 了解 17 有理数分类（正数、负数、整数、有理数集合） 掌握 18 数轴表示与大小比较（多个数的数轴表示 + 排序） 运用 — 9— 19 绝对值计算与大小比较（分三组计算 + 比较） 掌握 20 绝对值方程 掌握 21 数轴动点问题（动点位置计算 + 中点问题） 运用 22 绝对值与有理数加法综合 运用 23 新定义与绝对值综合（新运算计算 + 新运算方程求解） 运用 附加 数轴、绝对值综合（特殊数确定 + 距离倍数关系） 运用