2.3 全称量词命题与存在量词命题 同步练习-2025-2026学年高一上学期数学苏教版必修第一册

2.3 全称量词命题与存在量词命题 同步练习 一、单项选择题 1. 下列命题中，是全称量词命题的是（ ） A. 存在一个实数x，使x²>0 B. 有些三角形是等腰三角形 C. 所有菱形的对角线互相垂直 D. 至少有一个整数是偶数 2. 下列全称量词命题中，为真命题的是（ ） A. ∀x∈R，x+1>0 B. ∀x∈N，x²≥1 C. ∀x∈R，x²≥0 D. ∀x∈Z，x³>x 3. 下列存在量词命题中，为假命题的是（ ） A. ∃x∈R，x²-2x-3=0 B. ∃x∈Z，x是偶数且x<3 C. ∃x∈R，x²<0 D. ∃x∈{1,2,3}，x能被2整除 4. 命题“∀x∈N*，x²≥x”的否定是（ ） A. ∃x∈N*，x²≥x B. ∃x∈N*，x²<x C. ∀x∈N*，x²<x D. ∀x∈N*，x²≠x 5. 若存在量词命题“∃x∈{x≤x≤4}，x²-ax+3=0”为真命题，则实数a的取值范围是（ ） A. [2√3, +∞) B. [4, 19/4] C. [2√3, 19/4] D. (4, 19/4] 6. 已知函数f(x)=x²-2x+a，若全称量词命题“∀x∈[2,5]，f(x)>0”为假命题，则实数a的取值范围是（ ） A. a<-15 B. a≤-15 C. a<-3 D. a≤-3 二、多项选择题 7. 下列说法正确的是（ ） A. “∀x∈R，x²+1>0”是全称量词命题，且为真命题 B. “∃x∈R，x²-2x=0”是存在量词命题，且为真命题 C. “所有的素数都是奇数”是全称量词命题，且为真命题 D. “存在一个矩形是正方形”是存在量词命题，且为真命题 8. 关于命题及其否定的真假判断，下列说法正确的是（ ） A. 原命题“∀x∈R，x³≥x”为假，则其否定“∃x∈R，x³<x”为真 B. 原命题“∃x∈R，x²+2x+2≤0”为假，则其否定“∀x∈R，x²+2x+2>0”为真 C. 原命题“∀x∈N，x≥1”为假，则其否定“∃x∈N，x<1”为真 D. 原命题“∃x∈Z，x²=2”为真，则其否定“∀x∈Z，x²≠2”为假 9. 已知集合A={xx≥1}，B={xx≤4}，若存在量词命题“∃x∈A∩B，x²-ax+2=0”有解，则实数a的可能取值为（ ） A. 2√2 B. 3 C. 4 D. 5 三、填空题 10. 命题“∀x∈{xx是锐角三角形}，x的内角和为180°”的否定是________________________． 11. 若存在量词命题“∃x∈A，ax²-2x+1=0”为真命题，其中集合A={xx>0}，则实数a的取值范围是________________________． 12. 若“∀x∈[1,3]，∃y∈[2,4]，x-y≥a”恒成立，则实数a的最大值为________________________． 四、解答题 13. 判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并判断其真假． （1）所有能被3整除的整数都是奇数； （2）存在一个实数x，使x²-4x+5=0． 14. 写出下列命题的否定，并判断原命题与否定的真假． （1）p：∀x∈{xx是平行四边形}，x的对边相等； （2）q：∃x∈R，x²-3x+3=0． 15. 已知集合A={x≤x≤5}，命题p：“∀x∈A，x²-mx+6≤0”为假命题，求实数m的取值范围． 16. 已知集合M={xm≤x≤m+2}，命题p：“∃x∈M，x²-4x+3≤0”为真命题，求实数m的取值范围． 17. 已知命题p：“∀x∈[1,4]，x²-3x+a≥0”，命题q：“∃x∈{xx是正整数}，x²-ax+2=0”．若p为真命题且q为真命题，求实数a的取值范围． 参考答案与解析 一、单项选择题 1. C . 2. C． 3. C ． 4. B． 5. C． 6. D． 二、多项选择题 7. ABD． 8. ABC． 9. AB． 三、填空题 10. ∃x∈{xx是锐角三角形}，x的内角和≠180° 解析：全称命题否定为存在命题，否定结论（注意保留集合限定条件）． 11. (-∞,1] 解析：分情况讨论： · 当a=0时，方程为-2x+1=0，x=1/2∈A，真； · 当a≠0时，方程有正根：若Δ=4-4a≥0（有实根），即a≤1，且两根之和2/a>0（正根），故a>0；若一根正一根负，两根之积1/a<0，即a<0，此时必有正根． 综上，a≤1． 12. -3 解析：“∀x∈[1,3]，∃y∈[2,4]，x-y≥a”恒成立，需x最小、y最大时仍满足：x=1，y=4时，x-y=-3，故a≤-3，最大值为-3． 四、解答题 13. 解： （1）含“所有”，是全称量词命题．6能被3整除但6是偶数，故为假命题． （2）含“存在”，是存在量词命题．Δ=(-4)²-4×1×5=16-20=-4<0，方程无实根，故为假命题． 14. 解： （1）¬p：∃x∈{xx是平行四边形}，x的对边不相等． 原命题p：平行四边形对边相等，为真命题；¬p与p矛盾，为假命题． （2）¬q：∀x∈R，x²-3x+3≠0． Δ=9-12=-3<0，原命题q无实根，为假命题；¬q与q矛盾，为真命题． 15. 解： p为假命题，则其否定“∃x∈A，x²-mx+6>0”为真命题（即[2,5]中至少有一个x满足不等式）． 分别代入区间端点及关键值： · x=2时，4-2m+6>0 ⇒ m<5； · x=3时，9-3m+6>0 ⇒ m<5； · x=5时，25-5m+6>0 ⇒ m<31/5=6.2； 只需存在一个x满足，故m<31/5（因x=5时m的上限最高，只要m<6.2，x=5必满足）． 综上，实数m的取值范围为(-∞, 31/5) ． 16. 解： 先求x²-4x+3≤0的解集：(x-1)(x-3)≤0 ⇒ 1≤x≤3，记为集合N=[1,3]． 命题p为真，即M∩N≠∅（M与N有公共元素）． 分情况讨论： · 若M∩N=∅，则m+2<1或m>3 ⇒ m<-1或m>3； · 故M∩N≠∅时，m≥-1且m≤3． 综上，实数m的取值范围为[-1,3] ． 17. 解： ① 求p为真时a的范围： p：∀x∈[1,4]，x²-3x+a≥0 ⇒ a≥-x²+3x． 令g(x)=-x²+3x，配方得g(x)=-(x-3/2)²+9/4（x∈[1,4]），g(x)在[1,3/2]递增、[3/2,4]递减，g(x)_max=9/4（x=3/2时），故a≥9/4． ② 求q为真时a的范围： q：∃正整数x，使x²-ax+2=0 ⇒ a=x+2/x（x为正整数）． 代入正整数x=1,2,3,...： · x=1时，a=3；x=2时，a=3；x=3时，a=3+2/3=11/3≈3.67；x=4时，a=4+2/4=4.5；... a的可能值为3,11/3,4.5,...，故a≥3． ③ p真且q真，取交集： a≥9/4（2.25）且a≥3 ⇒ a≥3． 综上，实数a的取值范围为[3,+∞) ． 学科网（北京）股份有限公司 $$