湖南省名校联考联合体2026届高三上学期第一次联考（暨入学检测）数学试题

名校联考联合体2026届高三第一次联考 (暨入学检测) 数学参考答案 一、二、选择题 题号 3 5 7 8 9 10 11 答案 c c A A B D D c AC BCD ABD 1.C【解析】因为A={-2,-1,0,1,2},B={x|-3<x≤0}，所以A∩B={一2，一1,0}. 2.C【解析】3-2i=√3+(-2)=√13，故选C 3.A【解析】因为在矩形ABCD中，E为CD的中，点， 所以D成=号D心-A, 所以AB+A市=D+AD=A应 4A【解折1os0=2ms号-1=2X(停)'-1=-号，收选入 5.B【解析】因为在分布列中，各变量的概率之和为1， 所以m=1一(0.2十0.5)=0.3，由数学期望的计算公式， 得4×0.3十a×0.2+9×0.5=6.9,解得a的值为6. 6.D【解折】由新概念可知，E的3型双南线的方程为兰-言-1（®>0，b>0),且后·后=3。 所以2=3d,即d+8=30,则=2d,所以E的3型双南线的渐近线为)=士号x=士号，故选D 7.D【解析】由正弦定理得sin Bsin C=√3 sin Ccos B,又sinC≠0，所以sinB=√3cosB,则tanB=√3， 由BE0得，B=吾由S=含0血B=x1释6号c,则a-26, 根搭余弦定理得，5-d+c-ac=a-6十ac,则=1+26，整理得36-25b-3=0, 解得b=√3（负值舍去），故选D. 8.C【解析】易知函数y=l0g(x一1十2)与y=e-“的图象都关于直线x=1对称，且均在（一o∞，1]上单调递减，所 以f(x)在（一o∞，1]上单调递减. 又b=f(e-1)=f(3-e),则0<1n2<1,0<3-e<1,0<ln3-1<1, 为便于比较ln2,3-e,ln3-1的大小，考虑比较ln2-2,3-e-2=1-e,ln3-1-2=ln3-3的大小 枸造函数h(x)=hx-x(x>1),则K(x)=1-1=1二<0，所以h(x)在(1，十o)上单调递减，又2<e<3,所以 h(2)>h(e)>h(3),则ln2-2>1-e>ln3-3,即ln2>3-e>ln3-1,所以f(n2)<f(3-e)<f(ln3-1),则a< b<c,故选C. 9.AC【解析】因为抛物线C=2pr的焦点F为（多，0），所以号=，解得=1，A正确； 易如C份准线方数为红=多向一号 ，解得一2'则D(-，-2)，B错送： 2x-y-1=0,y=-2, 由上可如y2红，装立方程担低1-0，类理得-6十1=0 设A国m),B(),则西十=受，因为F在直线1上，所以AB到=十十p=号，C正角， 又DF=√(-2-）+(-2-0)=5，且DB1<1DFl,所以BD1<5,D错误. 故选AC 10.BCD【解析】由等比数列的性质可知，aa6=a2a,又aa6=2as,所以a?=2,A错误； 设等比数列{a)的公比为g,由a=ag=寻，解得q=2,则a-g=4,所以a,=a11=4×(2）=2， 数学参考答案一1 B正确； 迪上可知，001=2·2=2”，设6==2，则生2t b 2一-4，所以发到是以4为公北的 等比数列，C正确； 设数列{}的清n项和为T,则工，=X望=云，D正确：故选D 1-4 1.ABD【解析1冷x=0y=号，则f[合)门}-f0)2)=0,即号-是f0)=0,解得f0)=1,A正确： 取y=0得，f{[f(x)]}-f(x)f(0)=0,所以f{f几f(x)]}=f(x), 取x=1,y=-t,则f{f兀f(1一t)]}-f1)f(-t)=t,所以f八f[f(1-t)]}=t, 令1-t=z,则t=1一z,所以f{f几f(x)]}=1一x,即ff[f(x)]}=1一x, 故f(x)=1一x, f(一2)=3，B正确； f(1一x)=一(1一x)+1=x为奇函数，C错误； f(1一x)=一(1一x)十1=x3为R上增函数，D正确，故选ABD. 三、填空题 l2.y=ex【解析】记f(x)=e,则f(x)=e,f(1)=e,所以曲线y=f(x)在点(1，e)处的切线方程为y一e=e(x 1),即y=ex, 13.8【解析】设圆柱的母线长为l,则圆柱的侧面积为2πrl=2πl, 易知球的表面积为4π×22=16π，所以2πl=16π，解得l=8. 1(得]u(,] 【解折】设T为f)的最小正周期，由题意可知，哥<音<工，即<登<，解得4<8， 由余弦函数的图象可知，两个相邻零点之间必有一条对称轴，即存在一个极值点 由f)=0得，ax+晋=x+受，∈Z,由xe[晋，受)得r+晋∈[纸+晋，受+晋) 又4<8，所以号≤7+号<号，号≤受+音<， +>2x, 则 或 5 7 5 解得得<<<w< 38 故实数w的取值范周为（得，]U(] 四、解答题 15.【解析】(1)设等差数列{a.}的公差为d, /a+3d=-8, 由题意可知，4a,+6d=20, (2分) 解得a1=2,d=2,… …(4分) 故an=@十(n-1)d=2n. (6分) 2)1得，S=2士20=a+1,所以发-十D-7市 1 1 11 (9分) 2 数到侵}的商n项和为1-)+（合一号）十+（日）=1 n 十n十 …(13分) 16.【解析】（们）零假设为H0:这种药品的级别与生产线无关。…(1分) 根据表中数据可得，X=100C35X20二30X15》-1≈1,099<3,841，…(4分 65×35×50×50 根据小概率值a=0.050的独立性检验，没有充分证据推断H。不成立，因此可以认为这种药品的级别与生产线无 关。…(6分） (2)设B=“任取一件药品为二级品”，A=“药品为甲生产线生产”，A2=“药品为乙生产线生产”，…(7分) 由题意可知，PA)=号，PA)=号，PBA)=器P(B1A,)=号， …(10分) 由全概率公式得，P(B)=P(A)P(B引A)十P(A2)P(B引A2)…(11分) =号×品+号×号-： …(12分） 数学参考答案一2 所以P(A2B)= P(A2B)P(A:)P(BA2) P(B) P(B) (13分) 25 (15分) 5 1 17.【解析】(1)取AC的中点O,连接OB,OS. .SA=SC,AB=CB,∴.AC⊥SO,AC⊥BO.… (2分) 又：平面SAC⊥平面ABC,且AC是平面SAC与平面ABC的交线，∴.SOL平面ABC, 如图所示建立空间直角坐标系O-xy贮， 则A(2,0,0),B(0,2√3,0)，C(-2,0,0),S(0,0,2√2)，D(1√3,0)，E(0,w3w2), ∴AC=(-4,0,0)SB=(0,2√5，-22)， AC.S3=(-4,0,0)·(0,23,-22)=0, AC⊥SB.… …(4分） (2)Ci=(25,2),Di=(-1,0W2),SC=(-2,0,-22).…(5分) 设平面ECD的法向量为n=(x,y,z), 则n·CE-0,n·DE=0, :2x+3y+2x=0, (7分) (-x+√2z=0, 令x=1,则x=2,y=一√6， (8分) 故n=(W2,一√6,1)为平面ECD的一个法向量， 则cos(m,Sd=n.S2 -42=_26 9 (9分) nl1SC13×2√5 直线SC与平面ECD所成角的正孩值为2⑤ 9· (10分) (3)由(2)可知n=(W2,一√6,1)为平面ECD的一个法向量， 而5=(0,0,22)为平面BCD的一个法向量.… (12分) 设二面角E-CD-B的大小为0， 易知二面角E-CD-B是锐角， .'.cos 0= n·O5 221 1n1053×2W23' (14分) 1 “二面角E-CD-B的余弦值等于 (15分) 18.【解析】(1)由题意可知，2a=√2X2b,则a=√2b,… (1分) 又2c=4,则c=2,所以a2一=C2=4,… (2分) 解得a=2√2，b=2,… (3分) 故椭圆C的方程为十=1. (4分) (②)①当直线AB的斜单不存在或为率时，围O:t+y=号内切于正方形ABCD,四个顶点为（土√/停，土√停）， 显然满足描国C的方程写十学-1，特合题意，此时四边形ABCD为菱形.… (5分) 当直线AB的斜率存在且不为零时，设其方程为y=kx十t(k≠0)，A(西，为)，B(x2,2), [y=kx+t, 管+￥-1，将1+202++2-8=0… 数学参考答案一3 则△=16k2-4(1+2k)(22-8)=8(8k2-2+4)>0, 4kt 2r-8 x1十x2= 1十2E原十224…… (7分) 所以⅓为=(k知十0(k+）=-8跳. 1+2k2 (8分) 因为圆O:十y=号内切于平行四边形ABCD,所以O到直线AB的距高为√号 则d= √丹√停，整理得=号1+)， 8 …(9分） 所以0.成=+为-录+年器-8 [a+) -8k2-8 1+2k 1+2k 0, …(10分) 则OA⊥OB,此时平行四边形ABCD为菱形. 综上可知，四边形ABCD为菱形.… (11分) (①由①知，当回边形ABCD为正方形时，Sm=2,√停×2√厚-号， (12分) 当四边形ABCD不为正方形为菱形时， 因为|AB|=√(1十k)儿(x1+x2)-4xx2J=2W2X (1+k)(8k-产+4) (1+2k)2 (13分) 所以△AOB的面积为Sm=号XAB×d=号×√ 1+k)(4k+1) (1+2k)2 ,……(14分) 令m=1+2k2,则m>1,2=m。1 2, 所以m号×+-（信》+ 2m2 m 当品-号，即m=2时，Sm取得最大值2厄。 …(16分） 因为茂形ABCD的面积等于4Sm,所以支形ABCD的面积的最大值为8区，周为8N巨>号，所以支形ABCD的 面积最大为82。…（们7分） 19.【解析11当a=-号时，y=2=lhx一号x的定义城为(0，十o),则y=是含-2经， 2=2z，…(1分) 当>2时，<0，y-f四单调递减：当0<<2时y>0,y=f巴单调递增，（3分) 所以ym=h2-1,故y=f四的最大值为1n2-1.…(4分) (2)由)可知，lhx壹xh2-1<0,即1nz<号，所以yx>0,h号，… (6分) 令g()=e-7(z>0),则g(z)=e无，…(7分） 设h(x)=e-x(x>0),则h'(x)=e-l>0,所以h(x)在(0，十o∞)上单调递增， 则h(x)>h(0)=1>0,即g(x)>0,所以g(x)在(0，十o∞)上单调递增，…(8分) 国光g>g0)=1>0,即e-22>0,所以x>0,2<C,…（9分 则yx>0,xlnx<72<C,故a=0时，f(x)<心.m (10分) (3)Hx∈(0，十o∞)，不等式f(x)≥x+2sin(x-1)恒成立， 设p(x)-f(x)-x-2sin(x-1)=xlnx十a.x2-x-2sin(x-1),则(x)≥0在(0，十∞)上恒成立， 由(1)≥0得，a≥1，…（们2分） 下面证明当a≥1时，p(x)≥0在(0，十∞)上恒成立. 当a>1时，gp(x)>xhx十x2-x-2sin(x-1),…(13分) 令m(x)-xlnx十x2-x-2sin(x-1),则m'(x)=2x+nx-2cos(x-1), 当zE0,1D时，u()=m)=2x+lnx一2os(x-1D,期d)=2+子+2sin(x-1D>0, 所以u(x)在(0,1)上单调递增，所以u(x)=m'(x)<u(1)=0,所以m(x)在(0,1)上单调递减： 所以m(x)≥m(1)=0成立，即p(x)≥0在(0,1)上恒成立. …(15分) 当x∈(1，十∞)时，因为2x≥2，-2cos(x-1)≥-2，lnx≥0，所以m'(x)=2x十lnx-2cos(x-1)≥0， 所以m(x)在[1，十∞)上单调递增，则m(x)≥m(1)=0,即(x)≥0在[1，十∞)上恒成立；…(16分) 综上可知，若Hx∈(0，十c∞)，不等式f(x)>≥x十2sin(x一1)恒成立，则实数a的取值范围为[1，十o∞).…(17分) 数学参考答案一4名校联考联合体2026届高三第一次联考 (暨人学检测) 数学 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改 动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试 卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的。 1.(★)已知集合A=(-2,一1,0,1,2)，B=(x-3<x≤0)，则A∩B= A.(-2,-1》 B.(-1,0》 C.(-2,-1,0】 D.(0,1,2} 2.设i为虚数单位，则|3一21= A.2 B.3 C.√13 D.5 3.(★)如图，在矩形ABCD中，E为CD的中点，那么向量)AB+AD= 中 A.AE B.AC C.DC D.AB 4.已知co 号=9，则0s= 2-1 A-号 B吉 c 5.(★)已知某一随机变量X的概率分布如下，且E(X)=6.9,则a的值为 X 4 9 毁 P 27m 0.2 0.5 A.5 B.6 C.7 D.8 6.若双曲线C与C2关于直线y=x对称，且C的离心率e与C2的离心率e2之积为常数m(m >1),则称C与C互为m型双曲线.已知双曲线E:号-带=1a>0,6>0),则E的3型双曲 线的渐近线为 A.y=士2x B.y=±√2x C.y=士x Dy- 数学试题第1页（共5页） 7.记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若bsin C=√3 ccos B,a一c=1,且边b上的高为 1,则b= A号 B.1 C.23 D.3 3 8.已知函数f(z)=log2(x-1川+2)+e-2,设a=f(n2),b=f(e-1),c=f(1n3-1),则 A.c<<a B.c<a<b C.a<< D.a<c<b 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.设抛物线C:y=2px的焦点为F(2,0),若直线：2x-y-1=0与C交于A,B两点，其中A 为第一象限内的点，L与C的准线交于点D,则 A.p=1 B.D(-1,-3) C.IABI-=号 D.BD>5 10.在等比数列a,)中，a=2aa=子，则 A.a2=1 B.an=23-m C数列1 是以4为公比的等比数列 D.数列 1 arantl 的前n项和为2 1.设函数fx)的定义域为R,且f[f(x+]》-fxf6)=-w,f2)=,f1)=0,则 A.f(0)=1 B.f(-2)=3 C.函数f(1一x)为偶函数 D.函数f(1一x)在(0，十o∞)上单调递增 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.曲线y=e在点(1，e)处的切线方程为 13.已知圆柱的底面直径与球的半径均为2，且圆柱的侧面积与球的表面积相等，则圆柱的母线长 为 14.已知函数f(x)=7os(如m+)(w>0)仅存在一个极值点和两个零点在区间[牙，受)内，则实 数ω的取值范围为 数学试题第2页共5页) 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分) 记Sn为等差数列{an)的前n项和，已知a4=8,S1=20. (1)求{a)的通项公式； (2)求数列 的前n项和， 16.(15分) 某药厂质监部门随机从甲、乙生产线生产的同一种药品中分别抽取50个样本进行检测，根据 检测指标，将这种药品分为“一级品”和“二级品”两个级别，统计结果如下表： 生产线 级别 合计 甲 乙 一级品 35 30 65 二级品 15 20 35 合计 50 50 100 (1)根据小概率值α=0.050的独立性检验，分析这种药品的级别是否与生产线有关？ (2)视频率为概率，现将甲、乙生产线生产的这种药品件数按3：4的比例混放一起，从混合药 品中随机抽取一件药品，若取到的药品是二级品，求它是取自乙生产线的产品的概率】 n(ad-bc)2 附：X=(a+bC+a)ao6+D其中n=a+6+c+d. P(X≥k) 0.050 0.010 0.005 3.841 6.635 7.879 数学试题第3页（共5页） 17.(★)(15分) 如图，在三棱锥S-ABC中，底面ABC是正三角形，AB=4,SA=SC=2√3，侧面SAC⊥底面 ABC,D,E分别为AB,SB的中点. (1)求证：AC⊥SB; (2)求直线SC与平面ECD所成角的正弦值； (3)求二面角E-CD-B的余弦值. 数学试题第4页（共5页） 18.(17分) 已知辅圆C:导+苦=1(a>6>0的长轴长为短轴长的，2倍，焦距为4 (1)求椭圆C的方程； (2)若坐标原点为O,平行四边形ABCD的四个顶点A,B,C,D均在椭圆C上，且圆O:x2十 y2=内切于四边形ABCD, (i)证明：四边形ABCD为菱形； (i)求四边形ABCD面积的最大值. 19.(17分) 已知函数f(x)=x(lnx十ax). (1)当a=一时，求y=f四的最大值； (2)当a=0时，证明：f(x)<e; (3)若Hx∈(0，十o∞)，不等式f(x)≥x十2sin(x一l)恒成立，求实数a的取值范围. 数学试题第5页（共5页）