第十五章轴对称 培优专练 2025-2026学年 人教版（2024）八年级数学上册

第十五章　轴对称 考点1　轴对称及画轴对称的图形 1．如图，点P(－2，1)与点Q关于直线l(直线l上各点的纵坐标都为－1)对称，则点Q的坐标为(　　) A．(－2，－3) B．(－2，－1) C．(－2，－2) D．(－2，－4) 第1题图　　　 　第2题图 2．如图，P为∠AOB内一点，分别作出点P关于OA，OB的对称点P1，P2，连接P1P2，分别交OA，OB于点M，N.若△PMN的周长为15，则P1P2的长度为(　　) A．5 B．7.5 C．30 D．15 3．下图是由8个边长相同的正六边形组成的图形，其中有3个黑色的正六边形，5个白色的正六边形，请在5个白色的正六边形中，选择2个涂黑，使黑色部分的图形恰好是轴对称图形，画出三种不同的涂法． 4．如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的顶点坐标分别为点A(－1，6)，B(－1，0)，C(－4，4). (1)请画出△ABC关于y轴对称的图形△A′B′C′； (2)若CD是△ABC的边AB上的中线，E是CD的中点，F是AE的中点，连接BE，FB，则△EFB的面积为__________． 考点2　线段的垂直平分线的性质与判定 5．如图，在△ABC中，EG，FH分别垂直平分边AB，AC，分别交BC于点E，F.若AB＝4，AC＝6，△AEF的周长为9，则△ABC的周长为(　　) A．13 B．15 C．19 D．20 第5题图 　　　　第6题图 6．如图，在△ABC中，∠A＝56°，PD，PE分别垂直平分AB，BC，分别交AB，BC于点D，E，连接BP，CP，则∠BPC的度数为__________． 7．如图，AB＝CD，线段AC的垂直平分线与线段BD的垂直平分线相交于点E，连接BE，DE.若∠CDE＝65°，则∠ABE的度数为__________． 8．如图，AD为△ABC的角平分线，AD的垂直平分线交AB于点E，交BC的延长线于点F，交AC于点O，连接AF. (1)求证：∠1＝∠B； (2)连接OD，求证：OD∥AB. 考点3　等腰三角形 9．若一个等腰三角形的两内角的度数之比为1∶4，则这个等腰三角形的顶角的度数为__________． 10．如图，在△ABC中，∠ABC的平分线与∠ACB的平分线相交于点O，过点O作EF∥BC，分别交AB，AC于点E，F.若△ABC的周长比△AEF的周长多12 cm，点O到AB的距离为4 cm，则△OBC的面积为__________cm2. 第10题图 　　　　第11题图 11．如图，在△ABC中，AB＝AC，D是其内部一点，连接AD，BD，CD.若BD＝BA，∠CAD＝∠CBD，则∠BCD的度数为__________． 12．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝30°，点P在BC边上运动(不与点B，C重合)，连接AP，作∠APQ＝∠B，PQ交AB于点Q. (1)当PQ∥CA时，判断△APB的形状，并说明理由； (2)在点P的运动过程中，当△APQ是等腰三角形时，求出∠BQP的度数． 　　　 备用图 考点4　等边三角形 13．如图，已知射线OM，以点O为圆心，任意长为半径画弧，与射线OM交于点A，再以点A为圆心，AO长为半径画弧，两弧交于点B，画射线OB，过点B作BD⊥OA，垂足为D，则∠OBD的度数为(　　) A．90° B．60° C．45° D．30° 14．如图，△ABC和△CDE都是等边三角形，且B，C，D三点在同一条直线上，AC与BE相交于点M，AD分别与CE，BE交于点N，F. (1)求证：△BCE≌△ACD； (2)连接FC，求证：FC平分∠BFD. 15．如图，△ABC是边长为12 cm的等边三角形，动点M，N同时从A，B两点出发，分别沿AB，BC方向匀速移动． (1)若点M的运动速度是2 cm/s，点N的运动速度是4 cm/s，当点N到达点C时，M，N两点都停止运动．设运动时间为t s，当t＝2时，判断△BMN的形状，并说明理由． (2)若点M，N的运动速度都是2 cm/s，当点M到达点B时，M，N两点都停止运动．设运动时间为t s，则当t为何值时，△BMN是直角三角形？ 考点5　最短路径 16．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，以AC为底边向△ABC的外部作等腰三角形ACD，∠ADC的平分线分别交AB，AC于点E，F.若BC＝5，∠CAB＝30°，P是射线DE上的一个动点，则△PBC周长的最小值为(　　) A．15 B．17 C．18 D．20 第16题图 　　　 　第17题图 17．如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，∠BAD＝140°，E，F分别为BC，CD上的动点，连接AE，AF，EF.当△AEF的周长最小时，∠EAF的度数为(　　) A．60° B．90° C．100° D．120° 综合提升 18．如图，在△ABC中，AB＝AE，AD⊥BC于点D，EF垂直平分AC，分别交BC，AC于点E，F.若△ABC的周长为16，AC＝6，则DC的长为(　　) A．5 B．8 C．9 D．10 第18题图 　　　　第20题图 　　　　第21题图 19．在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线与直线AC所成的锐角为50°，则∠B的度数为(　　) A．70° B．20°或70° C．40°或70° D．40°或20° 20．如图，在△ABC中，已知O是边AB，AC的垂直平分线的交点，E是∠ABC，∠ACB的平分线的交点．若∠O＋∠E＝180°，则∠A＝__________°. 21．如图，已知∠AOB＝120°，D是∠AOB的平分线上的一个定点，点E，F分别在射线OA，OB上运动(不与点O重合)，且∠EDF＝60°，则下列结论正确的是__________．(填序号) ①△DEF是等边三角形；②四边形DEOF的面积是一个定值；③当DE⊥OA时，△DEF的周长最小． 22．【问题发现】(1)如图①，△ACB和△DCE都是等边三角形，点A，D，E在同一条直线上，连接BE. ①∠AEB的度数为__________； ②线段AD，BE之间的数量关系为__________． 【拓展探究】(2)如图②，△ACB和△DCE都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，点A，D，E在同一条直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE.求∠AEB的度数；判断AE，BE，CM之间的数量关系，并说明理由． 图① 图② 23．【阅读】规定：如果一个三角形的三个内角分别与另一个三角形的三个内角对应相等，那么称这两个三角形互为等角三角形．从三角形(非等腰三角形)的一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原来的三角形互为等角三角形，那么我们把这条线段叫作这个三角形的等角分割线． (1)【理解】如图①，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，请写出图中两对等角三角形：____________________； (2)【尝试】如图②，在△ABC中，CD平分∠ACB，∠A＝60°，∠B＝40°.求证：CD为△ABC的等角分割线； (3)【应用】在△ABC中，∠A＝54°，CD是△ABC的等角分割线，请直接写出∠B的度数． 图①　　　　　　图② 第十五章　轴对称 1．A　2.D 3．解：画出三种不同的涂法如答图1所示．（答案不唯一） 答图1 4．解：（1）如答图2，△A′B′C′即为所求．（2）. 答图2 5．C　6.112°　7.65° 8．证明：（1）∵AD为△ABC的角平分线，∴∠BAD＝∠CAD. ∵EF是AD的垂直平分线，∴AF＝DF.∴∠ADF＝∠DAF. 又∠ADF＝∠BAD＋∠B，∠DAF＝∠CAD＋∠1， ∴∠1＝∠B. （2）如答图3. 答图3 ∵EF是AD的垂直平分线，∴OA＝OD.∴∠OAD＝∠ODA. ∵∠DAF＝∠ADF， ∴∠DAF－∠OAD＝∠ADF－∠ODA，即∠1＝∠ODF. 由（1）可知，∠1＝∠B.∴∠ODF＝∠B.∴OD∥AB. 9．20°或120°　10.24　11.30° 12．解：（1）△APB是直角三角形．理由如下： ∵AB＝AC，∠B＝30°，∠APQ＝∠B， ∴∠C＝∠B＝∠APQ＝30°. ∵PQ∥CA，∴∠BPQ＝∠C＝30°. ∴∠APB＝∠BPQ＋∠APQ＝30°＋30°＝60°. ∴∠BAP＝180°－∠B－∠APB＝180°－30°－60°＝90°. ∴△APB是直角三角形． （2）当△APQ是等腰三角形时，分以下三种情况： ①若AQ＝QP，则∠QAP＝∠APQ＝30°. ∴∠BQP＝∠QAP＋∠APQ＝30°＋30°＝60°. ②若AP＝PQ，则∠AQP＝∠PAQ＝×（180°－∠APQ）＝×（180°－30°）＝75°. ∴∠BQP＝180°－∠AQP＝180°－75°＝105°. ③若AQ＝AP，则∠AQP＝∠APQ＝30°. ∵点P不与点B，C重合，∴此种情况不存在． 综上所述，∠BQP的度数为60°或105°. 13．D 14．证明：（1）∵△ABC和△CDE都是等边三角形， ∴∠ACB＝∠DCE＝60°，BC＝AC，CE＝CD. ∴∠ACB＋∠ACE＝∠DCE＋∠ACE，即∠BCE＝∠ACD. 在△BCE和△ACD中， ∴△BCE≌△ACD（SAS）. （2）如答图4，过点C作CG⊥BE于点G，CH⊥AD于点H. 答图4 由（1），得△BCE≌△ACD. ∴BE＝AD，S△BCE＝S△ACD.∴BE·CG＝AD·CH. ∴CG＝CH.∴FC平分∠BFD. 15．解：（1）△BMN是等边三角形．理由如下： 当t＝2时，AM＝4 cm，BN＝8 cm. ∵△ABC是边长为12 cm的等边三角形， ∴AB＝12 cm，∠B＝60°.∴BM＝AB－AM＝12－4＝8（cm）. ∴BM＝BN.∴△BMN是等边三角形． （2）在△BMN中，BM＝（12－2t） cm，BN＝2t cm，0≤t≤6. ①当∠BNM＝90°时，∠B＝60°.∴∠BMN＝30°. ∴BN＝BM.∴2t＝（12－2t）.解得t＝2. ②当∠BMN＝90°时，∠B＝60°.∴∠BNM＝30°. ∴BM＝BN.∴12－2t＝×2t.解得t＝4. 综上所述，当t＝2或t＝4时，△BMN是直角三角形． 16．A　17.C　18.A　19.B　20.36　21.①②③ 22．解：（1）①60°；②AD＝BE. （2）∠AEB＝90°，AE＝BE＋2CM.理由如下： ∵△ACB和△DCE都是等腰直角三角形， ∴CA＝CB，CD＝CE，∠CDE＝∠CED＝45°. ∵CM是DE边上的高，∴∠DCM＝∠ECM＝45°. ∴CM＝DM＝EM＝DE. ∵∠ACD＋∠DCB＝∠BCE＋∠DCB＝90°， ∴∠ACD＝∠BCE. 在△ACD和△BCE中， ∴△ACD≌△BCE（SAS）. ∴AD＝BE，∠CDA＝∠CEB＝180°－∠CDE＝135°. ∴∠AEB＝∠CEB－CED＝135°－45°＝90°. ∴AE＝AD＋DE＝BE＋2CM. 23．（1）解：△ABC和△ACD，△ABC和△CBD.（或△ACD和△CBD） （2）证明：∵∠A＝60°，∠B＝40°， ∴∠ACB＝180°－∠A－∠B＝80°. ∵CD平分∠ACB，∴∠ACD＝∠BCD＝∠ACB＝40°. ∴∠CDA＝∠B＋∠BCD＝80°. ∴∠ACD＝∠B，∠CDA＝∠ACB，∠A＝∠A. ∴△ACD和△ABC互为等角三角形． ∵∠B＝∠DCB＝40°，∴BD＝CD.∴△BCD为等腰三角形． ∴CD为△ABC的等角分割线． （3）解：∠ABC的度数为18°或9°或42°或24°. 【提示】①如答图5，当△ACD是等腰三角形，DA＝DC时，∠ACD＝∠A＝54°. 答图5　 由题意，得△BCD与△BAC互为等角三角形． ∴∠ACB＝∠BDC＝54°＋54°＝108°. ∴∠B＝180°－∠A－∠ACB＝180°－54°－108°＝18°. ②如答图6，当△ACD是等腰三角形，AD＝AC时，∠ACD＝∠ADC＝＝（180°－54°）＝63°. 答图6　 由题意，得△BCD与△BAC互为等角三角形． ∴∠BCD＝∠A＝54°. ∴∠ACB＝∠ACD＋∠BCD＝63°＋54°＝117°. ∴∠B＝180°－∠A－∠ACB＝180°－54°－117°＝9°. ③当△ACD是等腰三角形，CD＝CA时，∠A＝∠CDA＝54°. 由题意，得△BCD与△ABC互为等角三角形． ∴∠BDC＝∠ACB＝180°－∠CDA＝126°. 此时△ABC不存在，故此种情况不存在． ④如答图7，当△BCD是等腰三角形，DC＝DB时，∠BCD＝∠B.由题意，得△ACD与△ABC互为等角三角形． 答图7　 ∴∠ACD＝∠B＝∠BCD＝（180°－∠A）＝42°. ⑤如答图8，当△BCD是等腰三角形，BD＝BC时，∠BDC＝∠BCD. 答图8　 设∠BDC＝∠BCD＝x，则∠B＝180°－2x. ∴∠ACB＝180°－∠A－∠B＝2x－54°. 由题意，得△ACD与△ABC互为等角三角形． ∴∠ACD＝∠B＝180°－2x. ∵∠ACB＝∠ACD＋∠BCD， ∴2x－54°＝180°－2x＋x.解得x＝78°. ∴∠B＝180°－2x＝24°. ⑥当△BCD是等腰三角形，CD＝CB时，∠B＝∠BDC. 故此种情况不存在． 综上，∠B的度数为18°或9°或42°或24°. 学科网（北京）股份有限公司 $$