专题03 二次根式化简求值的六大类型（专项训练）数学华东师大版九年级上册

专题03 二次根式化简求值的六大类型（原卷版） 目录 A题型建模・专项突破 题型一：利用二次根式的性质求值 题型二：利用数形结合化简二次根式 题型三：利用先化简再直接代入求值 题型四：利用整体代入法求值 题型五：利用二次根式的整数部分和小数部分求值 题型六：利用分母有理化化简二次根式 B综合攻坚・能力跃升 题型一：利用二次根式的性质求值 1．（23-24八年级下·安徽淮南·阶段练习）若实数，满足，求的值． 2．（24-25八年级下·辽宁葫芦岛·期中）如果，试求的值． 3．（23-24八年级下·安徽滁州·阶段练习）已知与互为相反数． (1)求，的值； (2)先化简，再求值：． 4．（23-24八年级下·内蒙古呼和浩特·期中）（1）已知，求代数式的值． （2）已知实数满足，求的值． 5．（24-25八年级下·贵州黔东南·阶段练习）阅读下面的解题过程，体会如何发现隐含条件并回答下面的问题． 化简：． 解：隐含条件，解得，所以， 所以原式． (1)试化简：； (2)已知a，b满足，，求的值． 6．（2024八年级下·浙江·专题练习）计算 (1)已知实数，满足，求的值． (2)若，满足，化简： 题型二：利用数形结合化简二次根式 7．（25-26八年级上·全国·周测）已知实数a，b的对应点在数轴上的位置如下图所示．化简：． 8．（24-25七年级下·山东德州·阶段练习）表示实数a，b的点在数轴上的位置如图所示，化简代数式． 9．（23-24九年级上·河南洛阳·阶段练习）根据下图，化简． 10．（24-25八年级上·四川巴中·期中）实数a，b，c在数轴上的对应点的位置如下图所示． (1)用“>”“<”或“=”填空：b_____0，_____0，_____0； (2)化简：． 11．（24-25八年级下·陕西安康·期末）阅读下面的解题过程，体会如何发现隐含条件并回答下面的问题． 化简： 解：隐含条件，解得， ， 原式 【启发应用】 （1）按照上面的解法，试化简：； 【类比迁移】 （2）实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简 12．（23-24八年级上·江苏苏州·期中）阅读下面的解题过程体会如何发现隐含条件并回答下面的问题 化简：． 解：隐含条件，解得：，． 原式． 【启发应用】 （1）按照上面的解法，试化简：； 【类比迁移】 （2）实数，在数轴上的位置如图所示，化简：； （3）已知，，为的三边长．化简：． 题型三：利用先化简再直接代入求值 13．（24-25八年级下·吉林·阶段练习）先化简，再求值：，其中，． 14．（25-26八年级上·全国·单元测试）先化简，再求值：，其中． 15．（2025·宁夏·中考真题）化简求值：，其中． 16．（2025·黑龙江大庆·三模）先化简，再求值，其中． 17．（24-25八年级下·辽宁铁岭·阶段练习）化简求值：已知，求的值． 18．（24-25八年级下·四川广安·阶段练习）（1）先化简，再求值：，其中，． （2）先化简，再求值：，其中，． 题型四：利用整体代入法求值 19．（24-25八年级下·湖南湘西·阶段练习）已知，，求下列代数式的值： (1)； (2)． 20．（23-24八年级下·河南周口·期末）已知：，． (1)求和的值； (2)求式子的值． 21．（24-25八年级下·广西玉林·阶段练习）已知， (1)求的值． (2)求的值． 22．（22-23九年级上·四川巴中·阶段练习）已知，． (1)求的值； (2)求的值． 23．（24-25九年级上·四川眉山·期中）已知，，．求： (1)和的值； (2)求的值． 24．（23-24九年级上·湖南衡阳·阶段练习）已知，求下列代数式的值． (1)； (2)． 题型五：利用二次根式的整数部分和小数部分求值 25．（24-25七年级下·河南开封·期末）阅读与思考： ，即 的整数部分为1 设的小数部分为 则 即的小数部分为． 解答下列问题： (1)的整数部分是________，小数部分是________； (2)如果的小数部分为，的整数部分为，求的值； 26．（23-24八年级上·湖南岳阳·阶段练习）已知： (1) ____________， ____________； (2)求的值； (3)若m为a整数部分，n为b小数部分，求的值． 27．阅读下面的文字，解答问题: 大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部地写出来，于是小明用来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗？事实上，小明的表示方法是有道理的，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分.由此我们得到一个真命题:如果，其中x是整数且0＜y＜1，那么x＝1，y＝.请解答: （1）如果＝a＋b，其中a是整数，且0＜b＜1，那么a＝ b＝ . （2）如果90＋＝x＋y，其中x是整数，且0＜y＜1，求x＋＋59-y的平方根. （3）如果6＋的整数部分为m，6-的小数部分为n，求m-n-的值. 28．（23-24七年级下·吉林松原·期末）阅读下列材料： ，即的整数部分为1，小数部分为． 请根据材料提示，进行解答： (1)的整数部分是____________，小数部分是____________； (2)如果的小数部分为的整数部分为n，求的值； (3)已知：，其中a是整数，且，请直接写出a，b的值． 29．（23-24七年级下·湖北恩施·期中）【阅读理解】 【材料一】是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分不可能全部写出来，但可用来表示的小数部分．因为的整数部分是1，将这个数减去整数部分，差就是小数部分．由此得到一个真命题： 如果，其中a是整数，且，那么，． 【材料二】已知x，y是有理数，并且满足等式，求x，y的值． 解：∵， ∴． ∴且，解得：，． 请解答： (1)如果，其中m是整数，且，那么______，______； (2)如果的小数部分为a，的整数部分为b，求的值； (3)已知x，y是有理数，并且满足等式，求的值． 30．（24-25八年级上·四川内江·期末）大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数．因此的小数部分我们不可能全部写出来，于是小燕用来表示的小数部分．理由是：对于正无理数，用本身减去其整数部分，差就是其小数部分．因为的整数部分为1，所以的小数部分为． 参考小燕同学的做法，解答下列问题： (1)写出的小数部分为 ； (2)已知与的小数部分分别为和，求的值； (3)如果，其中是整数，，那么 ； (4)设无理数为正整数）的整数部分为，那么的小数部分为 （用含，的式子表示）． 题型六：利用分母有理化化简二次根式 31．（24-25八年级下·江苏扬州·阶段练习）小丽在解决问题：已知，求的值． 她采用的解法为： ， ， ， ， ， ． 请根据小丽的解题方法解决下列问题： (1)________ ； ________． (2)化简：． (3)若，请按照小丽的方法求的值． 32．（24-25八年级下·云南临沧·阶段练习）阅读下列解题过程： ； ； 请回答下列问题： (1)观察上面的解题过程，化简： ； ； (2)利用上面提供的解法，请计算：． 33．（24-25八年级下·福建福州·阶段练习）阅读材料，并解决问题． 定义：将分母中的根号化去的过程叫做分母有理化．如：将分母有理化． 解：原式． 运用以上方法解决问题： (1)将分母有理化． (2)比较大小（在横线上填“>”“<”或“=”）：______． (3)计算：． 34．（24-25八年级上·四川巴中·阶段练习）阅读下列材料，然后解答问题：在进行代数式化简时，我们有时会碰上如这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简： ．； ．． 这种化简的方法叫分母有理化． (1)参照b式化简＝______； (2)化简：； (3)你能根据上面的知识化简吗？若能，请写出化简过程． 35．（23-24八年级上·山东济南·期中）科华数学之星在解决问题：已知，求的值． 他是这样分析与解决的： ， ， ，， ， ． 请你根据小明的分析过程，解决如下问题： (1) ， ． (2)化简：． (3)若，请按照小明的方法求出的值． 36．（24-25七年级下·山东济南·阶段练习）阅读材料：像；；两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如与，与，与等都是互为有理化因式． 在进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号． 例如：． 解答下列问题： (1)与_____互为有理化因式，将分母有理化得_____； (2)①比较大小：_____（填入，，或中的一种）； ②计算下列式子的值：； (3)已知正整数a，b满足，求a，b的值． 1．（2025·青海西宁·三模）先化简，再求值其中． 2．（24-25八年级下·新疆·期中）已知，， (1)求的值； (2)求的值． 3．（24-25八年级下·黑龙江齐齐哈尔·阶段练习）已知，求 的值． 4．（24-25八年级下·江西赣州·阶段练习）已知，，满足，求代数式的值． 5．（23-24八年级下·安徽滁州·阶段练习）已知与互为相反数． (1)求，的值； (2)先化简，再求值：． 6．（2025·广东广州·二模）已知． (1)化简A； (2)若点是直线上的一点，求A的值． 7．（24-25八年级下·湖北黄冈·期末）已知：． (1)求的值； (2)若，求的值． 8．（24-25八年级下·北京·期中）在解决问题“已知，求的值”时，小蓝是这样分析与解答的： ， ， ，， ， ． 请你根据小蓝的分析解答过程，解决如下问题： (1)化简：______； (2)若，求的值． 9．（24-25八年级下·山东泰安·期末）解方程： 阅读材料，解答下列问题． 材料：已知，求的值． 小明同学是这样解答的： ， 这种方法称为“构造对偶式”． 问题：已知． (1)求的值； (2)求x的值． 10．（24-25八年级下·山东聊城·阶段练习）小明在解决问题，已知，求的值，他是这样分析与解答的： ∵． ∴ ∴，即 ∴ ∴． 请你根据小明分析过程的思想方法，解决如下问题： (1)分母有理化：______， (2)计算：； (3)若，求的值． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 二次根式化简求值的六大类型（解析版） 目录 A题型建模・专项突破 题型一：利用二次根式的性质求值 题型二：利用数形结合化简二次根式 题型三：利用先化简再直接代入求值 题型四：利用整体代入法求值 题型五：利用二次根式的整数部分和小数部分求值 题型六：利用分母有理化化简二次根式 B综合攻坚・能力跃升 题型一：利用二次根式的性质求值 1．（23-24八年级下·安徽淮南·阶段练习）若实数，满足，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，代数式求值，首先根据二次根式有意义的条件求得x的值，然后求得y的值，然后把x，y的值代入即可求解． 【详解】解：由题意得，，， ， ， 当，时，． 2．（24-25八年级下·辽宁葫芦岛·期中）如果，试求的值． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的化简求值，将已知转化为，根据平方的非负性质得，，继而得到，，，再将化为，然后整体代入进行化简即可．掌握平方的非负性，完全平方公式，分式的运算法则，二次根式运算法则是解题的关键． 【详解】由得到， ∴， ∴，， 解得：，， ∴，，， ∴ ． 3．（23-24八年级下·安徽滁州·阶段练习）已知与互为相反数． (1)求，的值； (2)先化简，再求值：． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据互为相反数的两数之和为0，以及非负性进行求解即可； （2）根据二次根式的性质进行化简，再代值计算． 【详解】（1）解：∵与互为相反数， ∴， ∴，解得：， ∴； （2）解：∵ ∴ ． 【点睛】本题考查二次根式的性质，代数式求值．熟练掌握互为相反数的两数之和为0，以及绝对值和算术平方根的非负性，是解题的关键． 4．（23-24八年级下·内蒙古呼和浩特·期中）（1）已知，求代数式的值． （2）已知实数满足，求的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，二次根式的化简求值： （1）根据二次根式有意义的条件得到，则，进而得到，据此代值计算即可； （2）根据二次根式有意义的条件得到，据此化简绝对值推出，则． 【详解】解：∵式子有意义， ∴， ∴， ∴， ∴ ； （2）∵有意义， ∴， ∴ ， ∴， ∴， ∴， ∴． 5．（24-25八年级下·贵州黔东南·阶段练习）阅读下面的解题过程，体会如何发现隐含条件并回答下面的问题． 化简：． 解：隐含条件，解得，所以， 所以原式． (1)试化简：； (2)已知a，b满足，，求的值． 【答案】(1) (2)的值为或 【分析】本题考查了二次根式的性质和化简，算术平方根的非负性的知识，掌握以上知识是解答本题的关键； （1）先求得隐含条件，得到，然后根据二次根式化简知识，即可求解； （2）先根据题意得到，再根据，求得或，然后即可求解； 【详解】（1）解：隐含条件，解得，所以， ∴原式． （2）解：∵，若，则，显然不成立，故． ∴，解得． ∵， ∴或． 当时，解得：，则； 当时，解得：，则． 综上所述，的值为或． 6．（2024八年级下·浙江·专题练习）计算 (1)已知实数，满足，求的值． (2)若，满足，化简： 【答案】(1)1 (2)1 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件、偶次方的非负性及绝对值的化简，熟练掌握知识点、正确计算是解题的关键． （1）将等式左边根号外的部分配方，根据偶次方的非负性和二次根式有意义的条件，可得和的值，问题可解； （2）根据，可得的值，从而得的范围，则可将所给式子化简． 【详解】（1）解：， ， ，， ，， 解得：，， ， 的值为； （2）解：，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 题型二：利用数形结合化简二次根式 7．（25-26八年级上·全国·周测）已知实数a，b的对应点在数轴上的位置如下图所示．化简：． 【答案】 【分析】本题考查了利用数轴确定式子的符号、二次根式的性质及绝对值的意义，根据数轴确定，，的符号是解题关键． 先利用数轴得出，，的符号，再利用二次根式的性质化简得出答案即可． 【详解】解：由数轴，得， 所以， 所以 ． 8．（24-25七年级下·山东德州·阶段练习）表示实数a，b的点在数轴上的位置如图所示，化简代数式． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的性质和立方根的性质，化简绝对值，根据点在数轴上的位置判断式子的正负，熟练掌握知识点并运用数形结合的思想是解题的关键． 先确定各数的大小，然后将二次根式的式子化成绝对值形式，再利用去绝对值的法则进行化简，最后合并同类项即可． 【详解】解：通过数轴可知，， ∴ ． 9．（23-24九年级上·河南洛阳·阶段练习）根据下图，化简． 【答案】﹣b． 【分析】先利用数轴确给出数的符号，再利用二次根式的性质化为绝对值，根据数的符号化去绝对值符号，合并同类项即可． 【详解】解：由数轴可以看出：a＞0，b＜0，c＜0，a＜﹣c， ∴， =|b|-|b+c|+|a-c|+|a+c|， ＝﹣b﹣[﹣（b+c）]+（a﹣b）+[﹣（a+c）]， ＝﹣b+（b+c）+a﹣b﹣a﹣c， ＝﹣b． 【点睛】本题考查二次根式的化间问题，掌握利用数轴确定符号，利用二次根式性质化为绝对值，利用数的正负化去绝对值符号，合并同类项是解题的要点． 10．（24-25八年级上·四川巴中·期中）实数a，b，c在数轴上的对应点的位置如下图所示． (1)用“>”“<”或“=”填空：b_____0，_____0，_____0； (2)化简：． 【答案】(1)<；>；> (2) 【分析】本题考查了利用数轴判断式子的正负、二次根式的性质、绝对值的性质、立方根． （1）由数轴可得：，，，从而即可得解； （2）由（1）可得，，再根据绝对值的性质、二次根式的性质、立方根化简即可得解． 【详解】（1）解：由图可知，，， 则，， 故答案为：<；>；>； （2）解：∵，，， ∴，， ∴ ． 11．（24-25八年级下·陕西安康·期末）阅读下面的解题过程，体会如何发现隐含条件并回答下面的问题． 化简： 解：隐含条件，解得， ， 原式 【启发应用】 （1）按照上面的解法，试化简：； 【类比迁移】 （2）实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简 【答案】（1）1（2） 【分析】本题考查了二次根式的性质与化简，实数与数轴，理解题意熟练掌握二次根式的性质是解题的关键． （1）根据隐含条件得出x的取值范围，再根据二次根式的性质化简即可； （2）由数轴得，，，进一步判断出，，再根据二次根式的性质化简即可． 【详解】解：（1）隐含条件， 解得， ， ； （2）由数轴得，，， ，， ． 12．（23-24八年级上·江苏苏州·期中）阅读下面的解题过程体会如何发现隐含条件并回答下面的问题 化简：． 解：隐含条件，解得：，． 原式． 【启发应用】 （1）按照上面的解法，试化简：； 【类比迁移】 （2）实数，在数轴上的位置如图所示，化简：； （3）已知，，为的三边长．化简：． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题主要考查了化简二次根式，实数与数轴，三角形三边的关键： （1）先根据题意得到，据此化简二次根式即可； （2）先根据数轴得到，据此化简二次根式和绝对值即可； （3）根据三角形三边的关系得到，据此化简二次根式即可． 【详解】解：（1）∵有意义， ∴，即， ∴ ； （2）由题意得，，， ∴， ∴ ； （3）∵，，为的三边长， ∴， ∴ ． 题型三：利用先化简再直接代入求值 13．（24-25八年级下·吉林·阶段练习）先化简，再求值：，其中，． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，先根据完全平方公式展开，再化简，最后将字母的值代入，根据二次根式的性质化简，即可求解． 【详解】解：原式 ． 当，时，原式． 14．（25-26八年级上·全国·单元测试）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】先根据平方差公式和单项式与多项式的乘法法则计算，然后去括号合并化简，再把a的值代入计算． 本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解答本题的关键，整式的乘法的运算公式及运算法则对二次根式的运算同样适用． 【详解】解：原式 ． 当时，原式． 15．（2025·宁夏·中考真题）化简求值：，其中． 【答案】； 【分析】本题考查了分式的化简求值，解题的关键是先通过通分、因式分解等方法化简分式，再代入数值计算． 先对括号内的分式进行通分，计算减法；将除法转化为乘法，并对分子分母进行因式分解；约分后得到最简分式；最后将代入最简分式，求出结果． 【详解】 当时，原式． 16．（2025·黑龙江大庆·三模）先化简，再求值，其中． 【答案】； 【分析】本题考查了分式化简求值，分母有理化，解题关键是熟练运用分式运算法则进行求解．先根据分式的加减计算括号内的，同时将除法转化为乘法，再根据分式的性质化简，最后将字母的值代入求解． 【详解】解： ， 当时，原式． 17．（24-25八年级下·辽宁铁岭·阶段练习）化简求值：已知，求的值． 【答案】，3 【分析】本题考查的是二次根式的化简求值，根据二次根式的性质、分式的约分法则把原式化简，代入计算得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴ 当时， 原式 ． 18．（24-25八年级下·四川广安·阶段练习）（1）先化简，再求值：，其中，． （2）先化简，再求值：，其中，． 【答案】（1），；（2）， 【分析】本题主要考查了整式化简求值，分式化简求值，解题的关键是熟练掌握整式混合运算法则，分式混合运算法则． （1）先根据整式混合运算法则，进行化简，然后代入数据求值即可； （2）先根据分式混合运算法则，进行化简，然后代入数据求值即可． 【详解】（1）解： ， 当，时， 原式． （2）解： ， 当，时，原式． 题型四：利用整体代入法求值 19．（24-25八年级下·湖南湘西·阶段练习）已知，，求下列代数式的值： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的化简求值，解题的关键是熟练运用平方差公式及分式的减法等知识． （1）利用平方差公式，先求出与的值，再代入计算； （2）先对进行通分相减，再将、、的值代入计算，其中的值可通过、相乘求出． 【详解】（1）解：， ， 根据平方差公式，把代入可得： ； （2）解：， 由（1）知， ， 把代入可得： 20．（23-24八年级下·河南周口·期末）已知：，． (1)求和的值； (2)求式子的值． 【答案】(1)， (2)24 【分析】本题考查完全平方公式和平方差公式、代数式求值． （1）把，代入求值即可； （2）根据，，利用完全平方公式进行变形，再整体代入求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ； （2）解：∵，， ∴ ． 21．（24-25八年级下·广西玉林·阶段练习）已知， (1)求的值． (2)求的值． 【答案】(1) (2)11 【分析】本题考查的是二次根式的化简求值，平方差公式和完全平方公式，掌握二次根式的加减法法则、乘法法则是解题的关键． （1）根据二次根式的加法法则求出，根据二次根式的减法法则求出，根据平方差公式把原式变形，代入计算即可； （2）根据二次根式的乘法法则求出，根据完全平方公式把原式变形，代入计算，得到答案． 【详解】（1）解：，， ，， 则 ； （2），， ∴， ∴ ． 22．（22-23九年级上·四川巴中·阶段练习）已知，． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1)19 (2) 【分析】（1）先计算的值，根据题意，将代数式进行适当的变形如下， ，后整体代入求值． （2）先计算的值，根据题意，将代数式进行适当的变形如下， ，后整体代入求值． 【详解】（1）∵，， ∴， ∴． （2）∵，， ∴， ∴ ． 【点睛】本题考查了二次根式的化简求值，熟练掌握二次根式的性质，灵活进行公式变形是解题的关键． 23．（24-25九年级上·四川眉山·期中）已知，，．求： (1)和的值； (2)求的值． 【答案】(1)； (2)9 【分析】本题考查了二次根式的化简求值，完全平方公式，平方差公式．熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键． （1）先将已知和的值进行分母有理化，得到，，再分别根据二次根式的加法法则和乘法法则即可求出答案； （2）根据完全平方公式将原式变为，再代入（1）的值即可求出答案． 【详解】（1）解： ， ， ， ； （2）解：由（1）可知，，， ． 24．（23-24九年级上·湖南衡阳·阶段练习）已知，求下列代数式的值． (1)； (2)． 【答案】(1)12 (2)14 【分析】（1）原式利用完全平方公式变形，把与的值代入计算即可求出值； （2）原式通分并利用同分母分式的加法法则计算，再变形，最后把与的值代入计算即可求出值． 【详解】（1）∵，， ∴原式 ； （2）∵，， ∴， ∴原式 ． 【点睛】此题考查了二次根式的化简求值，分式的加减法，以及分母有理化，熟练掌握运算法则及公式是解本题的关键． 题型五：利用二次根式的整数部分和小数部分求值 25．（24-25七年级下·河南开封·期末）阅读与思考： ，即 的整数部分为1 设的小数部分为 则 即的小数部分为． 解答下列问题： (1)的整数部分是________，小数部分是________； (2)如果的小数部分为，的整数部分为，求的值； 【答案】(1)5， (2)0 【分析】本题考查了无理数的整数部分以及小数部分、即无理数的估算； （1）因为，得出的整数部分是，则的小数部分是，即可作答． （2）与（1）同理，求出，，再代入，即可作答． 【详解】（1）解：∵， ∴的整数部分是，小数部分是， 故答案为：5，； （2）解：∵，， ∴，， 原式． 26．（23-24八年级上·湖南岳阳·阶段练习）已知： (1) ____________， ____________； (2)求的值； (3)若m为a整数部分，n为b小数部分，求的值． 【答案】(1) (2)121 (3) 【分析】本题考查已知字母的值，化简求值．掌握二次根式的运算法则，正确的计算，是解题的关键． （1）根据二次根式的运算法则，进行计算即可； （2）将代数式转化为：，再将（1）中结果代入求值即可； （3）求出的值，再求出代数式的值即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，； 故答案为：； （2）∵，， ∴ ； （3）∵， ∴， ∴， ∴，， ∵m为a整数部分，n为b小数部分， ∴， ∴． 27．阅读下面的文字，解答问题: 大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部地写出来，于是小明用来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗？事实上，小明的表示方法是有道理的，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分.由此我们得到一个真命题:如果，其中x是整数且0＜y＜1，那么x＝1，y＝.请解答: （1）如果＝a＋b，其中a是整数，且0＜b＜1，那么a＝ b＝ . （2）如果90＋＝x＋y，其中x是整数，且0＜y＜1，求x＋＋59-y的平方根. （3）如果6＋的整数部分为m，6-的小数部分为n，求m-n-的值. 【答案】（1）；（2）；（3）5. 【分析】（1）根据算术平方根的定义得到，a是整数，且0＜b＜1，即可得到a=5，b=；（2）根据算术平方根的定义得到，x是整数，且0＜y＜1，可得x=100，y=，然后代入求值，再求平方根；（3）根据算术平方根的定义得到，∴，，从而得到m=9，n=，然后代入求值即可． 【详解】解：（1）∵，＝a＋b且a是整数，0＜b＜1 ∴a=5，b=； （2）∵，90＋＝x＋y，且x是整数，0＜y＜1 ∴x=100，y=90＋-100=-10 ∴x＋＋59-y=100++59-（-10）=169 故x＋＋59-y的平方根是； （3）∵， ∴，，且6＋的整数部分为m，6-的小数部分为n ∴m=9，n== ∴m-n-=9-（）-=5 【点睛】本题主要考查了估算无理数的大小和二次根式的加减运算及平方根的定义，正确进行估算是解答此题的关键． 28．（23-24七年级下·吉林松原·期末）阅读下列材料： ，即的整数部分为1，小数部分为． 请根据材料提示，进行解答： (1)的整数部分是____________，小数部分是____________； (2)如果的小数部分为的整数部分为n，求的值； (3)已知：，其中a是整数，且，请直接写出a，b的值． 【答案】(1)3， (2) (3) 【分析】本题主要考查了无理数的估算，实数的运算： （1）仿照题意求解即可； （2）仿照题意求出m、n的值即可得到答案； （3）先估算出，进而得到，据此求出a、b的值即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴的整数部分为3， ∴的小数部分为， 故答案为：3，； （2）解：∵， ∴， ∴的整数部分为2，的整数部分为4， ∴的小数部分为， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴， ∴， ∵，其中a是整数，且， ∴， ∴． 29．（23-24七年级下·湖北恩施·期中）【阅读理解】 【材料一】是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分不可能全部写出来，但可用来表示的小数部分．因为的整数部分是1，将这个数减去整数部分，差就是小数部分．由此得到一个真命题： 如果，其中a是整数，且，那么，． 【材料二】已知x，y是有理数，并且满足等式，求x，y的值． 解：∵， ∴． ∴且，解得：，． 请解答： (1)如果，其中m是整数，且，那么______，______； (2)如果的小数部分为a，的整数部分为b，求的值； (3)已知x，y是有理数，并且满足等式，求的值． 【答案】(1)2， (2) (3)或 【分析】本题考查了无理数的估算和实数的运算、方程组的解，利用平方根求方程的解，估计无理数是本题的关键． （1） 根据夹逼法可得，依此可求m和n； （2）根据夹逼法可得，依此可求a和b，代入可得结论； （3）因为x、y为有理数，所以也是有理数，根据材料可得方程组，解出可解答． 【详解】（1）解： ， ，其中m是整数，且， ，， 故答案为：2，； （2）∵， ∴，， ∴； （3）∵， ∴ ∴且，解得：， ∴当时， 时，． 30．（24-25八年级上·四川内江·期末）大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数．因此的小数部分我们不可能全部写出来，于是小燕用来表示的小数部分．理由是：对于正无理数，用本身减去其整数部分，差就是其小数部分．因为的整数部分为1，所以的小数部分为． 参考小燕同学的做法，解答下列问题： (1)写出的小数部分为 ； (2)已知与的小数部分分别为和，求的值； (3)如果，其中是整数，，那么 ； (4)设无理数为正整数）的整数部分为，那么的小数部分为 （用含，的式子表示）． 【答案】(1) (2)1 (3)9 (4) 【分析】本题主要考查立方根、无理数的估算及代数式的值，熟练掌握立方根、无理数的估算及代数式的值是解题的关键． （1）由题意易得，则有的整数部分为3，然后问题可求解； （2）由题意易得，则有，，然后可得，然后根据完全平方公式可进行求解； （3）由题意易得，则有的小数部分为，然后可得，进而问题可求解； （4）根据题意可直接进行求解． 【详解】（1）解：∵ ∴， ∴的整数部分为3， ∴的小数部分为； 故答案为：； （2）解：∵， ∵， ∴，， ∵与的小数部分分别为a和b， ∴， ∴； （3）解：由可知， ∵， ∴， ∴的小数部分为， ∵x是整数，， ∴， ∴， ∴ 故答案为：9； （4）解：∵无理数（m为正整数）的整数部分为n， ∴的小数部分为， ∴的小数部分即为的小数部分，为； 故答案为：． 题型六：利用分母有理化化简二次根式 31．（24-25八年级下·江苏扬州·阶段练习）小丽在解决问题：已知，求的值． 她采用的解法为： ， ， ， ， ， ． 请根据小丽的解题方法解决下列问题： (1)________ ； ________． (2)化简：． (3)若，请按照小丽的方法求的值． 【答案】(1)，； (2)； (3)． 【分析】本题考查了二次根式的化简求值，分母有理化，熟练掌握分母有理化，整体代入法求代数式的值是解题的关键． （）根据例题可得：对每个式子的分子和分母同时乘以分母的有理化因式化简即可； （）将式子中的每一个分式进行分母有理化，即可求解； （）仿照题例求解即可． 【详解】（1）解：，， 故答案为：，； （2）解： ； （3）解：， ， ， ， ， ∴． 32．（24-25八年级下·云南临沧·阶段练习）阅读下列解题过程： ； ； 请回答下列问题： (1)观察上面的解题过程，化简： ； ； (2)利用上面提供的解法，请计算：． 【答案】(1)①；② (2) 【分析】本题考查了利用平方差公式对分母进行有理化，熟悉相关运算法则是解题的关键． （1）根据题目的运算法则计算，即可得答案； （2）根据规律，化简求值即可． 【详解】（1）解：； ； （2）解： ． 33．（24-25八年级下·福建福州·阶段练习）阅读材料，并解决问题． 定义：将分母中的根号化去的过程叫做分母有理化．如：将分母有理化． 解：原式． 运用以上方法解决问题： (1)将分母有理化． (2)比较大小（在横线上填“>”“<”或“=”）：______． (3)计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了分母有理化、平方差公式的应用、二次根式乘法运算等知识点，掌握分母有理化成为解题的关键． （1）根据平方差公式先分子和分母都乘以即可解答； （2）先分母有理化，然后再比较大小即可； （3）先分母有理化，最后合并同类二次根式，最后算乘法即可． 【详解】（1）解：． （2）解：，， ∵ ∴． 故答案为：． （3）解： ． 34．（24-25八年级上·四川巴中·阶段练习）阅读下列材料，然后解答问题：在进行代数式化简时，我们有时会碰上如这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简： ．； ．． 这种化简的方法叫分母有理化． (1)参照b式化简＝______； (2)化简：； (3)你能根据上面的知识化简吗？若能，请写出化简过程． 【答案】(1) (2)9 (3) 【分析】本题考查二次根式的运算，分母有理化： （1）根据分母有理化的方法计算即可； （2）先进行分母有理化，再进行计算即可； （3）根据分母有理化的方法进行计算即可． 【详解】（1）解： 35．（23-24八年级上·山东济南·期中）科华数学之星在解决问题：已知，求的值． 他是这样分析与解决的： ， ， ，， ， ． 请你根据小明的分析过程，解决如下问题： (1) ， ． (2)化简：． (3)若，请按照小明的方法求出的值． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题考查了二次根式的化简求值，分母有理化．熟练掌握分母有理化，整体代入法求代数式的值，是解决本题的关键． （1）根据例题可得：对每个式子的分子和分母同时乘以分母的有理化因式化简即可； （2）将式子中的每一个分式进行分母有理化，问题随之得解； （3）根据小明的分析过程，得，可求出代数式的值． 【详解】（1）解：， ． 故答案为：，． （2）原式． （3）∵， ． ，． ． 原式． 36．（24-25七年级下·山东济南·阶段练习）阅读材料：像；；两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如与，与，与等都是互为有理化因式． 在进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号． 例如：． 解答下列问题： (1)与_____互为有理化因式，将分母有理化得_____； (2)①比较大小：_____（填入，，或中的一种）； ②计算下列式子的值：； (3)已知正整数a，b满足，求a，b的值． 【答案】(1)， (2)①；② (3)， 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，二次根式的性质，以及分母有理化，理解有理化因式，掌握二次根式的运算法则是解题关键． （1）根据有理化因式的额定义和分母有理化求解即可； （2）①根据有理化因式得到，，即可比较大小； ②仿照题意根据分母有理化的方法得到，再把所求式子裂项求解即可； （3）先分母有理化，再合并同类二次根式，得到，，即可求解． 【详解】（1）解：与互为有理化因式， ， 故答案为：，； （2）解：①，， ，， ， ， ， 故答案为：； ②∵ ， ． （3）解： ， ， ， ， ，， ． 1．（2025·青海西宁·三模）先化简，再求值其中． 【答案】， 【分析】本题考查分式的化简求值，分母有理化，熟练掌握分式的混合运算法则并正确求解是解答的关键．先计算括号内的分式的减法，再将除法转化为乘法，然后利用分式的乘法运算法则化简原式，最后代值求解即可． 【详解】解： ， 当时， 原式． 2．（24-25八年级下·新疆·期中）已知，， (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二次根式的混合运算，平方差公式，正确计算是解题的关键： （1）先求出，再代入求值即可； （2）先求出，再根据平方差公式计算即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∴． 3．（24-25八年级下·黑龙江齐齐哈尔·阶段练习）已知，求 的值． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的化简求值，由已知可得，，再对代数式化简后代入计算即可求解，正确化简二次根式是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴，， ∴原式 ． 4．（24-25八年级下·江西赣州·阶段练习）已知，，满足，求代数式的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值，非负数的性质，根据非负数的性质可求出a、b、c的值，再根据平方差公式和二次根式的化简方法把所求式子化简，最后代值计算即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴，，， ． 5．（23-24八年级下·安徽滁州·阶段练习）已知与互为相反数． (1)求，的值； (2)先化简，再求值：． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据互为相反数的两数之和为0，以及非负性进行求解即可； （2）根据二次根式的性质进行化简，再代值计算． 【详解】（1）解：∵与互为相反数， ∴， ∴，解得：， ∴； （2）解：∵ ∴ ． 【点睛】本题考查二次根式的性质，代数式求值．熟练掌握互为相反数的两数之和为0，以及绝对值和算术平方根的非负性，是解题的关键． 6．（2025·广东广州·二模）已知． (1)化简A； (2)若点是直线上的一点，求A的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据分式的混合运算进行化简即可； （2）根据解析式，确定，代入求A的值即可． 本题考查了分式的化简求值，整体思想求代数式的值，熟练掌握分式的化简求值是解题的关键． 【详解】（1）解：A• • ； （2）解：∵， ∴， ∴A． 7．（24-25八年级下·湖北黄冈·期末）已知：． (1)求的值； (2)若，求的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了分式的混合运算，完全平方公式的变形求值，二次根式的混合运算，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）根据分式的混合运算进行化简，然后将的值代入即可求解； （2）根据二次根式的混合运算以及完全平方公式变形，进行计算即可求解． 【详解】（1）解：依题意得：， ，， ∴，； （2）解：∵， ∴， ∴． 8．（24-25八年级下·北京·期中）在解决问题“已知，求的值”时，小蓝是这样分析与解答的： ， ， ，， ， ． 请你根据小蓝的分析解答过程，解决如下问题： (1)化简：______； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是二次根式的化简求值，平方差公式，完全平方公式，熟知二次根式混合运算的法则是解题的关键． （1）把二次根式分母有理化即可； （2）根据题中给出的例子进行计算即可． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解：， ， ， ，即， ， ． 9．（24-25八年级下·山东泰安·期末）解方程： 阅读材料，解答下列问题． 材料：已知，求的值． 小明同学是这样解答的： ， 这种方法称为“构造对偶式”． 问题：已知． (1)求的值； (2)求x的值． 【答案】(1)2 (2) 【分析】本题考查二次根式的运算，熟练掌握题干给定的方法，是解题的关键： （1）根据题干给定的方法，进行求解即可； （2）将两式相加后，利用平方法解方程即可． 【详解】（1）解： ， ， ， 的值为2； （2）由（1）得：，， ， ， ， ， 经检验，是原方程的解． 10．（24-25八年级下·山东聊城·阶段练习）小明在解决问题，已知，求的值，他是这样分析与解答的： ∵． ∴ ∴，即 ∴ ∴． 请你根据小明分析过程的思想方法，解决如下问题： (1)分母有理化：______， (2)计算：； (3)若，求的值． 【答案】(1) (2)9 (3)9 【分析】本题考查的是分母有理化，构建整体代入求解代数式的值，熟练运算方法是解题的关键. （1）分子与分母都乘以，再利用平方差公式计算即可得到答案； （2）先把每一项都分母有理化，再合并同类二次根式即可得到答案； （3）先求解，再变形可得：，再整体代入即可得到答案. 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解：∵， ∴， ∴，即． ∴， ∴． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$