第3章 一次方程（组）（复习讲义）数学湘教版2024七年级上册

第二章 代数式（复习讲义） 1.理解方程、一元一次方程、二元一次方程(组)的有关概念. 2.掌握等式的基本性质,会利用等式的基本性质把方程化成x=a的形式. 3.熟练地解一元一次方程、二元一次方程组,并解决实际问题. 4.一元一次方程、二元一次方程组的解法及应用.（重点） 5.寻找实际问题中的等量关系.（难点） 1、等式的性质 （1）等式的概念：用符号“=”来表示相等关系的式子叫做等式. （2）等式的性质： 　　等式的性质1：等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等.即： 　　如果，那么 (c为一个数或一个式子) . 　　等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等.即： 如果，那么；如果，那么. 备注： 1）根据等式的两条性质，对等式进行变形，等式两边必须同时进行完全相同的变形； 2） 等式性质1中，强调的是整式，如果在等式两边同加的不是整式，那么变形后的等式不一定成立，如x＝0中，两边加上得x＋，这个等式不成立; 3) 等式的性质2中等式两边都除以同一个数时，这个除数不能为零． 2、方程及一元一次方程有关概念 （1）方程概念：含有未知数的等式叫做方程. 备注：判断式子是否为方程，两点缺一不可：①是等式；②是含有未知数． （2）方程的解：使方程左右两边的值相等的未知数的值，叫做方程的解. 备注：判断一个数（或一组数）是否是某方程的解，只需看两点：①.它（或它们）是方程中未知数的值； ②将它（或它们）分别代入方程的左边和右边，若左边等于右边，则它们是方程的解，否则不是． （3）一元一次方程概念：只含有一个未知数（元），并且未知数的次数都是1，这样的方程叫做一元一次方程. 备注：1）“元”是指未知数，“次”是指未知数的次数，一元一次方程满足条件： ①首先是一个方程;②其次是必须只含有一个未知数;③未知数的指数是1;④分母中不含有未知数． 2）一元一次方程的标准形式是：ax+b=0(其中a≠0，a,b是已知数) . 3）一元一次方程的最简形式是： ax＝b（其中a≠0，a,b是已知数）. 3、二元一次方程（组）的概念及解 （1）二元一次方程的概念：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程． 备注：二元一次方程满足的三个条件： 1）在方程中“元”是指未知数，“二元”就是指方程中有且只有两个未知数. 2）“未知数的次数为1”是指含有未知数的项（单项式）的次数是1. 3）二元一次方程的左边和右边都必须是整式. （2）二元一次方程的解：一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的一组解． 备注：1)二元一次方程的解都是一对数值，不是一个数值，用大括号联立起来，如： 2)一般情况下，二元一次方程有无数个解，即有无数多对数适合这个二元一次方程． （3）二元一次方程组的概念 把具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组. 备注：组成方程组的两个方程不必同时含有两个未知数，例如 也是二元一次方程组. （4）二元一次方程组的解 一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解. 备注：1）二元一次方程组的解是一组数对，它必须同时满足方程组中的每一个方程，一般写成的形式． 2)一般地，二元一次方程组的解只有一个，但也有特殊情况，如方程组无解，而方程组的解有无数个． 4、二元一次方程组的解法 （1）消元法 消元的基本方法：把二元一次方程组转化为一元一次方程. （2）代入消元法 通过“代入”消去一个未知数，将方程组转化为一元一次方程，这种解法叫做代入消元法，简称代入法． （3）加减消元法 两个二元一次方程中同一未知数的系数相反或相等时，将两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程，这种方法叫做加减消元法，简称加减法． 5、二（三）元一次方程组 （1）二元一次方程的概念：含有两个未知数，并且含未知数的项的次数都是1的方程，叫作二元一次方程. （2）二元一次方程组的概念：只含有两个未知数，并且含未知数的项的次数都是1的方程组. （3）二元一次方程组的解：使二元一次方程组中每个方程左右两边的值相等，叫作这个方程组的一个解. （4）三元一次方程组的概念：含有三个未知数，并且含未知数的项的次数都是1的方程组叫作三元一次方程组. 6、方程组的解法 （1）带入消元法 （2）加减消元法 消元法解三元一次方程组：通过消元，把一个较复杂的三元一次方程组转化为简单易解的阶梯形的方程组，从而通过回代得出其解，整个求解过程称为用消元法解三元一次方程组. 7、一次方程与方程组解实际应用题 列方程 (组) 的应用题的一般步骤： 审：审清题意，分清题中的已知量、未知量． 设：设未知数. 列：根据题意寻找等量关系列方程． 解：解方程（组）． 验：检验方程的解是否符合题意． 答：写出答案 (包括单位)． [注意] 审题是基础，找等量关系是关键. 题型一 等式的基本性质应用 【例1】若，，则（　　） A．3 B．8 C．13 D．无法确定 【答案】C 【分析】本题主要考查了等式的性质，根据等式的性质得到，再由得到，则． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 【变式1-1】下列运用等式的性质对等式进行的变形中，不正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．，且，则 【答案】B 【分析】本题考查等式的性质．等式两边同时加上（或减去）同一个整式，或者等式两边同时乘或除以同一个不为0的整式，或是等式左右两边同时乘方，等式仍然成立．熟记相关结论是解题关键． 【详解】解：若，因为等式两边同时加上（或减去）同一个整式，等式仍然成立， ∴，故A正确，不符合题意； 若，当时，不一定成立，故B错误，符合题意； 若，因为等式两边同时乘或除以同一个不为0的整式，等式仍然成立， ∴，故C正确，不符合题意； 若，且，因为等式两边同时乘或除以同一个不为0的整式，等式仍然成立， ∴，故D正确，不符合题意； 故选：B 题型二 方程及其解 【例2】下列式子中，方程的个数是（    ） ①；②；③；④；⑤； A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】本题考查方程的定义，掌握含有未知数的等式叫做方程是解题的关键． 根据方程的定义求解即可． 【详解】解：①中不含有未知数，不是方程； ②不是等式，不是方程； ③、④符合方程的定义； ⑤是代数式，不是等式，不是方程； 综上，方程有2个． 故本题选：A． 【变式2-1】在；；；；中，方程有（   ）个． A．2 B．3 C．4 【答案】A 【分析】本题考查了方程的定义，熟知方程的定义是解题的关键． 含有未知数的等式叫做方程，由此判断即可． 【详解】解：方程有：，，共2个， 故选：A． 【变式2-2】若关于的一元一次方程的解为，则关于的一元一次方程的解为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，先将方程可变形为，根据关于的一元一次方程的解为，得出关于的一元一次方程的解满足，求出y的值，即可得出答案． 【详解】解：方程可变形为， 因为关于的一元一次方程的解为， 所以关于的一元一次方程的解满足， 解得：， 所以关于的方程的解为． 故选：C． 【变式2-3】若是关于的一元一次方程的解，则的值为（   ） A．5 B．4 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元一次方程的解，解一元一次方程．解题的关键在于正确的计算． 将代入中，计算求解即可． 【详解】解：将代入中得 解得 故选D． 【变式2-4】是关于的一元一次方程的解，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解，代数式求值，熟练掌握一元一次方程的解的意义是解题关键． 将代入方程，变形，得，将其代入，即可求解． 【详解】解：是关于的一元一次方程的解， 将代入，得：， ， ． 故选：A． 题型三 一元一次方程 【例3】下列一元一次方程的变形中，不正确的是（   ） A．由，移项得： B．由，去括号得： C．由，去分母得： D．由，系数化为1得： 【答案】C 【分析】此题考查了解一元一次方程，以及等式的性质，熟练掌握等式的性质是解本题的关键． 各方程变形得到结果，即可作出判断． 【详解】解：A、由，移项得：，不符合题意； B、由，去括号得：，不符合题意； C、由，去分母得：，符合题意； D、由，系数化为1得：，不符合题意． 故选：C． 【变式3-1】用代入法解方程组时，由①用表示，再代入到②中，所得到的一元一次方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了解二元一次方程组，利用代入消元法解方程组即可． 【详解】解：， 由①，得， 把③代入②，得． 故选：A． 【变式3-2】若关于x的一元一次方程的解是，则k的值是（    ） A．27 B．1 C． D．0 【答案】B 【分析】本题考查一元一次方程的解及解一元一次方程，关键在于熟练掌握解方程的方法．将代入方程解出k值即可． 【详解】解：将代入方程得：， ∴， 整理得：， 解得：． 故选：B． 【变式3-3】若关于x的一元一次方程的解为，则关于y的一元一次方程的解为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了 一元一次方程的解．设，再根据题目中关于x的一元一次方程的解确定出y的值即可． 【详解】解：方程可变形为， 设，则关于y的方程化为：， ∵关于x的一元一次方程的解为， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式3-4】二元一次方程组用代入消元法消去未知数x，得到关于y的一元一次方程可以是 ． 【答案】 【分析】本题考查二元一次方程组的解法，由方程①得，再代入方程②可得答案． 【详解】解： 由①得③， 把③代入②，得， 故答案为：． 【变式3-5】老师在黑板上出了一道解方程的题，小明马上举手，要求到黑板上做，他是这样做的： ……………… …① …………………… …② …………………… …③ ………………………………… ④ ………………………………… ⑤ (1)老师说：小明解一元一次方程的一般步骤都知道却没有掌握好，因此解题时有一步出现了错误，请你指出他错在 （填编号），错误的原因是 ； (2)请细心地解下面的方程： 【答案】(1)①，1没有乘以12； (2) 【分析】本题考查了一元一次方程的解法，注意去分母时，方程两端同乘各分母的最小公倍数，不要漏乘没有分母的项，同时要把分子（如果是一个多项式）作为一个整体加上括号． （1）小明解方程的第①步中去分母时“1”没有乘以12； （2）解带分母的方程，要先去分母、再去括号、最后移项合并同类项，化系数为1，从而得到方程的解． 【详解】（1）解：小明解方程的第①步中去分母时1没有乘以12，所以错在①， 故答案为：①，1没有乘以12； （2）解：           去分母得， 去括号得， 移项得 合并同类项得， 系数化为1得． 题型四 一元一次方程的解及其应用 四 【例4】下列解一元一次方程的步骤中，正确的是（    ） A．由移项，得 B．由去括号，得 C．由，去分母，得3 D．由系数化为1，得 【答案】B 【分析】本题考查解一元一次方程的步骤，需逐一验证各选项是否符合运算法则，即可作答． 【详解】解：A、方程移项时，正确步骤应为将移到右边变为，即，故该选项不符合题意； B、方程去括号时，需分别与和相乘，结果为，步骤正确，故该选项符合题意； C、方程去分母时，应两边同乘2，得，但选项C结果为，漏乘右边，故该选项不符合题意； D、方程系数化为1时，应两边同乘，得，但选项D结果为，计算错误，故该选项不符合题意； 故选：B 【变式4-1】若是关于x的一元一次方程的解，则m的值为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次方程的解，将代入原方程，可得出，解之即可得出m的值． 【详解】解：将代入原方程得：， 解得：． 故选：C． 【变式4-2】解下列一元一次方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的一般步骤及注意事项是解题的关键． （1）去括号，移项，合并同类项即可求解． （2）去分母，去括号，移项，合并同类项， 系数化为1，即可求解． 【详解】（1）解： 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得； （2）解： 去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1得：． 【变式4-3】解下列一元一次方程 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）移项，合并同类项，最后把未知数的系数化成1，进行解答即可． （2）先去分母，去括号，移项，合并同类项，最后把未知数的系数化成1，进行解答即可 本题主要考查了解一元一次方程，解题关键是熟练掌握解一元一次方程的一般步骤． 【详解】（1）解：， ， ， ； （2）， 方程两边同时乘4得：， ， ， ， ， ． 【变式4-4】对于有理数a，b，定义了一种新运算“△”为：． 例如：，． (1)计算： ①； ②； (2)若是关于x的一元一次方程，且方程的解为，求m的值 【答案】(1)①；②； (2) 【分析】本题考查了新定义运算，有理数的混合运算，解一元一次方程； （1）①②根据题中定义代入即可得出； （2）根据，讨论3和的两种大小关系，进行计算 【详解】（1）根据题意：①∵， ∴， 故答案为：． ②∵， ∴． 故答案为：． （2）当时，， 因为方程的解为， 则， 得，符合题意 当时，方程为 因为方程的解为， 得，不合题意，舍去 所以． 【变式4-5】列一元一次方程解应用题： 某家具加工车间准备组装一批双人桌椅，即张桌子配把椅子，为提前完成任务，在原有名工人的基础上，新调入若干名工人，使得调整后车间的总人数是调入工人人数的倍少人． (1)求调入多少名工人； (2)在（1）的条件下，若每名工人每天可以组装张桌子或把椅子，为使每天组装的桌椅刚好配套，应该安排组装桌子和椅子的工人各多少名？ 【答案】(1)名工人 (2)应该安排组装桌子和椅子的工人分别为人和人． 【分析】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是读懂题意，找到等量关系列方程． （1）设调入名工人，根据“调整后车间的总人数是调入工人人数的倍少人”进行列式，得，可解得答案； （2）设名工人生产桌子，由“张桌子配把椅子”进行列式，可得，即可解得答案． 【详解】（1）解：设调入名工人， 根据题意得：， 解得：， 答：调入名工人； （2）解：由（1）知，调入名工人后，车间有工人（人）， 设名工人生产桌子，则名工人生产椅子， ∵每天组装的桌椅刚好配套， ∴， 解得：， ∴， 答：应该安排组装桌子和椅子的工人分别为人和人． 【变式4-6】2024年3月3日是第11个“世界野生动植物日”，某中学组织毕业班的同学参加“全民爱鸟行动”的志愿者活动，志愿者们制作了印有爱鸟护鸟图案的A，B两款精美的钥匙扣进行售卖．已知每个A款钥匙扣的售价比每个B款钥匙扣的售价便宜7元．若某外地游客购买5个A款钥匙扣和5个B款钥匙扣共付款85元，求A，B款钥匙扣每个的价格．（列一元一次方程解） 【答案】A款钥匙扣每个的价格为5元，B款钥匙扣每个的价格为12元 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，审清题意、正确列出方程成为解题的关键． 设A款钥匙扣每个的价格为x元，则B款钥匙扣每个的价格为元，然后根据等量关系“购买5个A款钥匙扣和3个B款钥匙扣共付款85元”列方程求解即可． 【详解】解：设A款钥匙扣每个的价格为x元，则B款钥匙扣每个的价格为元， 由题意得：， 解得：， ∴． 答：A款钥匙扣每个的价格为5元，B款钥匙扣每个的价格为12元． 【变式4-7】列一元一次方程解下列应用题： (1)某公司有80个工人，生产甲、乙两种零件，每人每天平均能生产甲种零件24个或乙种零件12个．已知每2个甲种零件和3个乙种零件配成一套，问应分配多少人生产甲种零件，多少人生产乙种零件，才能使每天生产的这两种零件刚好配套？ (2)甲乙零件配套后的某产品由A商家销售，A商家将产品定价为每套900元，为了参与市场竞争，A商家按定价的9折再让利40元销售，此时仍可获利，则此产品每套进价是多少元？ 【答案】(1)：应分配20人生产甲种零件，60人生产乙种零件，才能使每天生产的这两种零件刚好配套 (2)此产品每套进价是700元 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用； （1）应分配x人生产甲种零件，则分配人生产乙种零件，根据每人每天平均能生产甲种零件24个或乙种零件12个．已知每2个甲种零件和3个乙种零件配成一套列出方程求解即可； （2）设此产品每套进价是m元，根据利润打折后的售价进价列出方程求解即可． 【详解】（1）解：应分配x人生产甲种零件，则分配人生产乙种零件， 由题意得，， 解得， ∴， 答：应分配20人生产甲种零件，60人生产乙种零件，才能使每天生产的这两种零件刚好配套； （2）解：设此产品每套进价是m元， 由题意得，， 解得， 答：此产品每套进价是700元． 题型五 二元一次方程组的解及其应用 四 【例5】我们在解二元一次方程组时，可将代入中，消去x从而求解，这种解法体现的数学思想是（    ） A．分类讨论 B．转化 C．数形结合 D．公理化 【答案】B 【分析】本题考查了解二元一次方程组，理解消元法（加减消元法和代入消元法）解二元一次方程组的方法是解题关键． 通过代入消元法消去未知数x，将二元一次方程转化为一元一次方程． 【详解】解：在解二元一次方程组时，将代入，即， 从而将二元一次方程组转化为一元一次方程求解， 这种解法体现的数学思想是：转化思想． 故选：B． 【变式5-1】用代入消元法解二元一次方程组，下列变形错误的是（   ） A．由①，得 B．由②，得 C．由①，得 D．由②，得 【答案】B 【分析】此题考查了解二元一次方程组，熟练掌握运算法则是解本题的关键．利用代入消元法变形即可得到结果． 【详解】解：用代入消元法解二元一次方程组时， 由①，得或； 由②，得或； 则错误的是B 选项， 故选：B． 【变式5-2】《九章算术》中有这样一个题，其大意是：今有醇酒(优质酒)1斗，价值50钱；行酒(劣质酒)1斗，价值10钱；现有30钱，买得2斗酒．问醇酒、行酒各能买多少？设醇酒买了x斗，行酒买了y斗，则可列二元一次方程组为（ ） A．     B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是理解题意，找准等量关系． 设醇酒为x斗，行酒为y斗，根据“醇酒（优质酒）1斗，价值50钱；行酒（劣质酒）1斗，价值10钱；现有30钱，买得2斗酒”，列出二元一次方程组即可． 【详解】解：设醇酒买了x斗，行酒买了y斗， 依题意得：， 故选：A． 【变式5-3】解二元一次方程组： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了代入消元法，加减消元法解二元一次方程组．熟练掌握代入消元法，加减消元法解二元一次方程组是解题的关键． （1）利用代入消元法解方程组即可， （2）先去分母，去括号整理，然后利用加减消元法解二元一次方程组即可． 【详解】（1）解： 把①代入②得：， 解得：， 把代入①得：， ∴方程组的解为：． （2）解： 方程①去括号，整理得：③， 方程②去分母，整理得：④， ④×2③得：， 解得：， 把代入③得：， 解得：， ∴方程组的解为． 【变式5-4】阅读与思考 对于未知数是的二元一次方程组，如果方程组的解满足，我们就说方程组的解与具有“邻好关系”． (1)方程组的解与是否具有“邻好关系”呢？说明你的理由． (2)若方程组的解与具有“邻好关系”，求的值． 【答案】(1)具有“邻好关系”，理由见解析 (2)或 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解法，熟练掌握二元一次方程组的解法是解题的关键． （1）利用加减消元法求得方程组的解，再利用具有“邻好关系”的定义判定即可； （2）利用加减消元法求得方程组的解，再利用具有“邻好关系”的定义列出关于m的方程，解方程即可得出结论． 【详解】（1）解：具有“邻好关系”，理由如下： ， 由得，， 解得：， 将代入①得，， 解得：， ∴原方程组的解为：， 满足，故具有“邻好关系”； （2）解： 解方程组得：， ∵方程组的解与具有“邻好关系”， ∴， 解得：或． 【变式5-5】下面是小欣解二元一次方程组的过程，请认真阅读并解答下列问题． 解方程组： 解：，得，③第一步 ________，得，第二步 ，第三步 将代入②，得，第四步 ∴原方程组的解是，第五步 (1)上述解题过程中，第二步通过________的变形得到了；你发现步骤_______开始出错； (2)请你用与小欣不同的方法解此方程组． 【答案】(1)；三 (2)，过程见解析 【分析】本题考查二元一次方程组的解法，涉及加减消元法、代入消元法，熟练掌握消元法解二元一次方程组的步骤是解决问题的关键． （1）由二元一次方程组的解法步骤，逐项检查题中各个步骤即可得到答案； （2）题中解二元一次方程组的方法是加减消元法，另一种解法是采用代入消元法解二元一次方程组，先由②得③，将③代入①得，求出，再将值代入③即可得到方程组的解． 【详解】（1）解：， 得； ，故步骤三开始出错； 故答案为：；三； （2）解：由②得③， 将③代入①得， 解得， 把代入③得， ∴原方程组的解为． 【变式5-6】列二元一次方程组解决下面问题：为落实教育部门安排的学生社会实践活动，学校决定借此机会培养学生的“财商”，某校八年级利用课后延时服务时间进行物品义卖，某班用100元批发了笔记本和中性笔共80个参加义卖，笔记本和中性笔的批发价与零售价如表所示： 品名 笔记本 中性笔 批发价（元/个） 零售价（元/个） 该班当天卖完这些笔记本和中性笔的利润为多少元？ 【答案】该班当天卖完这些笔记本和中性笔的利润为元 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设笔记本和中性笔的数量分别为个和个，根据题意列出方程组，解方程组，即可求解． 【详解】解：设笔记本和中性笔的数量分别为个和个，根据题意得， ， 解得：， ∴利润为：（元）， 答：该班当天卖完这些笔记本和中性笔的利润为元． 【变式5-7】列二元一次方程组解决下面的问题． 某快递公司为了提高工作效率，计划购买A，B两种型号的机器人来搬运货物，已知每台A型机器人比每台B型机器人每天多搬运20吨，并且3台A型机器人和2台B型机器人每天共搬运货物560吨．求每台A型机器人和每台B型机器人每天分别搬运货物多少吨？ 【答案】每台A型机器人每天搬运货物吨，每台B型机器人每天搬运货物吨 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找出正确的数量关系是解题的关键．根据题意列出方程组，最后求解即可． 【详解】解：设每台A型机器人每天搬运货物x吨，每台B型机器人每天搬运货物y吨， 则， 解得， 答：每台A型机器人每天搬运货物吨，每台B型机器人每天搬运货物吨． 题型六 含参数的二元一次方程组的解的应用 加法运算五四 【例6】若是关于、的方程的一个解，则的值是（   ） A．4 B． C．8 D． 【答案】A 【分析】 本题考查的是二元一次方程的解，把代入，再解关于的方程即可． 【详解】 解：是关于、的方程的一个解， ， 解得：， 故选：A． 【变式6-1】已知是关于，的方程的一组解，则 ． 【答案】 【分析】 本题考查了二元一次方程的解以及代数式的求值．根据二元一次方程的解的定义得到，再整体代入求解即可． 【详解】 解：∵是关于的方程的一个解， ∴， ∴． 故答案为：． 【变式6-2】已知是二元一次方程的一组解，则式子的值是 ． 【答案】 【分析】 本题考查了二元一次方程的解及代数式的求值．熟练掌握二元一次方程解的定义，整体代入求代数式的求值，是解决问题的关键 先把方程的解代入二元一次方程，得到关于a、b的方程，变形后整体代入求值． 【详解】 解：∵是二元一次方程的一组解， ∴， ∴． 故答案为：． 【变式6-3】如果表中给出的每一对，的值都是二元一次方程的解，则表中的值为（    ） 0 1 2 5 3 1 A． B． C．0 D．7 【答案】 【分析】 本题考查了二元一次方程的解，能熟记方程的解的定义（使方程左右两边相等的未知数的值，叫方程的解）是解此题的关键． 将代入中求出，再把代入求出，再将代入方程即可求出m． 【详解】 解：把代入，得， ∴， 则， 把代入，得， ∴， ∴二元一次方程为：， 把代入，得， ∴， ∴． 故选：A． 题型七 三元一次方程组 六五四 【例7】解三元一次方程组：， 具体过程如下： (1)②－①，得b＝2， (2)①×2＋③，得4a－2b＝7， (3)所以， (4)把b＝2代入4a－2b＝7，得4a－2×2＝7(以下求解过程略)． 其中开始出现错误的一步是(　　) A．(1) B．(2) C．(3) D．(4) 【答案】B 【分析】根据所给提示进行计算验证即可. 【详解】解：第（2）步①×2＋③，得4a-b=7, 所以第（2）错误, 故选B. 【变式7-1】三元一次方程组消去一个未知数后，所得二元一次方程组是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三元一次方程组以及加减消元法，运用加减消元法消去c即可得到答案，熟练掌握加减消元法是解题的关键． 【详解】解：， ②﹣①，得，即④ ②×3+③，得，即⑤ 由④⑤可知，A选项正确， 故选：A． 【变式7-2】已知三元一次方程组，则方程组的解为 ． 【答案】 【分析】由求出，求出，求出，求出． 【详解】解：， 得：， 等式两边同时除以2得：， 得：， 得：， 得：， 原方程的解为：， 故答案为：． 【变式7-3】把三元一次方程组化为关于x、y的二元一次方程组 ． 【答案】 【分析】利用加减消元法消掉未知数化成关于x、y的二元一次方程组． 【详解】解：， ①②得：， ②③得：， 方程组为：， 故答案为：． 【变式7-4】解下列三元一次方程组： （1）；（2）． 【答案】（1）；（2）． 【分析】（1）把①代入②消去y，和③组成关于x、z二元一次方程组求解； （2）①−3×②消去y组成关于x、z二元一次方程组求解． 【详解】解：（1）， 把①代入②得11x＋2z＝23④， ③、④组成方程组得， 解得，代入①得y＝−3， 所以原方程组的解为； （4） ①−3×②得4x＋6z＝9④， ④、③组成方程组得， 解得，代入①得y＝， 所以原方程组的解为． 【变式7-5】下面所示为教材中三元一次方程组的解题过程，请根据教材提供的做法和有关信息解决问题． 例1  解方程组： 解  由方程②，得．……步骤一④ 将④分别代入方程①和③，得 ……步骤二 整理，得 解这个二元一次方程组，得 代入④，得． 所以原方程组的解是 (1)其中的步骤二通过______法消去未知数，将三元一次方程组转化成了______． (2)仿照以上思路解方程组，消去字母后得到的二元一次方程组为______． 【答案】(1)代入消元（代入） ， 二元一次方程组 (2)① 或 或等，答案不唯一 【分析】（1）根据解三元一次方程组的解法进行分析即可； （2）利用加减消元法进行求解即可． 【详解】（1）解方程组： 由方程②，得 将④分别代入方程①和③，得 整理，得 故答案为：代入消元（代入）     二元一次方程组 （2）解方程组： 由方程②+①，得3x+3y=9 由方程①+③，得4x+6y=14 由方程③-②得x+3y=5 由x+y=3 （3x+3y=9）， 2x+3y=7（4x+6y=14） ， x+3y=5中  任意两个组合得到均可 故答案为： 或 或等，答案不唯一 基础巩固通关测 1．下列方程，属于二元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了二元一次方程的定义，熟练掌握二元一次方程的定义是解题的关键． 根据二元一次方程的定义：只有两个未知数，所含未知数的项的次数均为1的整式方程是二元一次方程，据此逐项判断即可． 【详解】解：A、是二元一次方程，符合题意； B、只有1个未知数，不是二元一次方程，不符合题意； C、，未知数y的次数为2，不是二元一次方程，不符合题意； D、的未知数y在分母上，不是二元一次方程，不符合题意． 故选：A． 2．运用等式性质进行的变形，正确的是（    ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 【答案】D 【分析】本题主要考查了等式的性质，熟知等式的性质是解题的关键：等式两边同时加上或减去一个数或式子等式仍然成立；等式两边同时乘以一个数或式子等式仍然成立，等式两边同时除以一个不为0的数或式子等式仍然成立． 利用等式的性质逐项判断即可． 【详解】解：A、如果，那么或，原写法错误，不符合题意； B、如果，那么，原写法错误，不符合题意； C、如果，当时，那么，原写法错误，不符合题意； D、如果，那么，原写法正确，符合题意， 故选：D． 3．某校组织师生春游，如果单独租用45座的客车若干辆，刚好坐满；如果单独租用60座的客车，可少租一辆，且余30个空座位，设全校师生共有人，则所列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查一元一次方程的应用，审清题意、找准等量关系是解题的关键． 设全校师生共有x人，根据题意列出方程即可． 【详解】解：设全校师生共有x人， 由题意得：． 故选：C． 4．将9个不同的整数填入方格中，使得每行、每列、每条对角线上的三个数之和都相等，则a和b的值分别是（    ） 12 7 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用；根据每行、每列、每条对角线上的三个数之和都相等，列出二元一次方程组并求解即可． 【详解】解：由题意得：， 整理得：， 解得：， 即； 故选：C． 5．如果是方程的解，则 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查了二元一次方程的解、解一元一次方程等知识点，掌握二元一次方程的解是满足方程的未知数值是解答的关键． 将代入得到关于b的一元一次方程求解即可． 【详解】解：将代入中， 得：， 解得：． 故答案为：2． 6．若二元一次方程组的解为则的值为 ． 【答案】1 【分析】本题考查解二元一次方程组，求代数式的值，利用加减消元法求出方程组的解，进而即可求解． 【详解】解： 得，， 解得， 将代入得，， 解得， 该方程组的解为， ∴，， ， 故答案为：1． 7．解下列方程（组）： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解一元一次方程和解二元一次方程组，熟练掌握解一元一次方程和解二元一次方程组的步骤是解题的关键． （1）利用解一元一次方程的步骤求解即可； （2）利用加减消元法解二元一次方程组即可． 【详解】（1）解：， 去分母，得， 去括号，得， 移项，合并，得， 系数化为1，得； （2）解：， ，得， 化简，得， 解得：， 将代入①，得， 解得：， ∴方程组的解为． 8．学校买来4个篮球和6个排球，共付228元，已知每个篮球比每个排球贵12元，两种球的单价各是多少元？ 【答案】篮球30元，排球18元 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，先设篮球的单价为元，则排球的单价为元，根据买来4个篮球和6个排球，共付228元，进行列式，再解得，即可作答． 【详解】设篮球的单价为元，则排球的单价为元， 依题意，， 解得， ∴（元）， ∴篮球的单价为30元，排球的单价为18元． 9．某商品按定价出售，每个可获得利润50元，如果按定价的出售10件，与按定价每个减价30元出售12件所获得的利润一样多，这种商品每件定价多少元？ 【答案】104元 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，根据等量关系列出方程，是解题的关键．设这种商品每件定价x元，则成本价为元，根据按定价的出售10件，与按定价每个减价30元出售12件所获得的利润一样多，列出方程，解方程即可． 【详解】解：设这种商品每件定价x元，则成本价为元，根据题意得： ， 解得：， 答：这种商品每件定价104元． 能力提升进阶练 1．把方程中的分子、分母化为整数，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了解一元一次方程． 将方程中左边第一项分子分母同时扩大10倍，第二项分子分母同时扩大100倍，使其小数化为整数得到结果，即可作出判断． 【详解】解：方程整理得：． 故选：C． 2．定义符号“*”表示的运算法则为，若，则x为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了解一元一次方程，利用新定义由得出关于x的方程，解方程即可． 【详解】解：根据题中的新定义得：， 移项，合并同类项得：， 解得：， 故选：C． 3．我国古代《算法统宗》里有这样一首诗“我问开店李三公，众客都来到店中．一房七客多七客，一房九客一房空．”诗中后面两句的意思是：如果每一间客房住7人，那么有7人无房可住；如果每一间客房住9人，那么就空出一间客房．设有客房x间，客人y人，则可列方程组为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查根据实际问题列方程组，根据如果每一间客房住7人，那么有7人无房可住；如果每一间客房住9人，那么就空出一间客房，列出方程组即可． 【详解】解：设有客房x间，客人y人，由题意，得：； 故选D． 4．《周髀算经》记载用“表”（标杆）测日影．若表高增加3尺，影长减少2尺，则表高与影长之和为18尺；若表高减少2尺，影长增加1尺，则表高与影长之差为4尺．求原表高和影长各多少尺？设原表高x尺，影长y尺，则可列方程组是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用，根据题意合理列出方程是解题的关键． 根据题意列出方程组即可． 【详解】解：设原表高x尺，影长y尺， 根据题意得：， 故选：A 5．有大小两种货车，2辆大货车与3辆小货车一次可以运货15.5吨；5辆大货车与6辆小货车一次可以运货35吨．设一辆大货车一次可以运货吨，一辆小货车一次可以运货吨，根据题意所列方程组正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组．设一辆大货车一次可以运货x吨，一辆小货车一次可以运货y吨，2辆大货车与3辆小货车一次可以运货15.5吨，5辆大货车与6辆小货车一次可以运货35吨列出关于x，y的二元一次方程组即可． 【详解】解：设一辆大货车一次可以运货x吨，一辆小货车一次可以运货y吨， 由题意得 故选：A． 6．是方程的解，那么 ； 【答案】/ 【分析】本题考查了一元一次方程的解、解一元一次方程，熟练掌握一元一次方程的解法是解题关键． 将代入方程可得一个关于的一元一次方程，解方程即可得出答案． 【详解】解：∵是方程的解， ∴， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得， 故答案为：． 7．制作一张桌子要一个桌面和3条桌腿，1立方米木材可制作20个桌面，或者制作360条桌腿，现有7立方米木材，应用多少立方米木材生产桌面，才能使生产出的桌面与桌腿配套？若设用x立方米木材制作桌面，则可列为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用（配套问题），涉及“1个桌面配3条桌腿”的数量配套关系；解题的关键是根据木材总量确定制作桌腿的木材量，再依据“桌腿总数桌面总数”的配套关系列方程． 设用x立方米木材做桌面，则用立方米木材做桌腿；分别计算出桌面总数个）和桌腿总数条）；根据“1个桌面配3条桌腿”，即桌腿数是桌面数的3倍，列出方程． 【详解】解：设用x立方米木材制作桌面 则用立方米木材制作桌腿 桌面总数：个立方米做个桌面） 桌腿总数：条立方米做条桌腿） ∵1个桌面需配3条桌腿，即桌腿数桌面数 ∴列方程： 故答案为： 8．解下列方程(组)： (1)－＝－3； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元一次方程与解二元一次方程组，掌握解法是解题的关键； （1）按照含有分母的一元一次方程解法进行即可； （2）利用加减消元法，，消去未知数y，即可求解． 【详解】（1）解：； 解：去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． （2）解：， 解：，得, 解得， 把代入②，得，解得， ∴原方程组的解为． 9．枫枫和叶叶要合作制作一个汽车模型，如果两个人一起制作，15小时可以完成．在制作过程中，叶叶有事离开了1小时，结果他们6小时完成了这个模型的，求叶叶单独完成这项工作需要多少小时？ 【答案】40 【分析】设总工作量看成“1”，计算合作的工作效率，结合合作时间，合作工作量，计算枫枫的工作效率，再计算叶叶的工作效率，解答即可． 本题考查了一元一次方程工程问题，熟练掌握解工程问题的基本思路是解题的关键． 【详解】解：设总工作量看成“1”， 根据题意，得两个人一起制作，15小时可以完成， 故两人工作效率之和为， 两人合作5小时，工作量为， 枫枫单独1小时的工作量为：， 故枫枫的工作效率为：， 故叶叶的工作效率为：， 设叶叶单独完成这项工作需要x小时, 根据题意，得， 解得（小时）． 故叶叶单独完成这项工作需要40小时． 10．在数学综合实践活动课上，小亮同学借助于两根小木棒，研究数学问题：如图，他把两根木棒放在数轴上，木棒的端点，，，在数轴上对应的数分别为，，，，已知，，． (1)求和的值； (2)小亮把木棒，同时沿轴正方向移动，，的速度分别为个单位/和个单位/，设平移时间为， 若在平移过程中原点恰好是木棒的中点，求的值； 在平移过程中，当木棒，重叠部分的长为个单位长度时，求的值． 【答案】(1)，； (2)①若在平移过程中原点恰好是木棒的中点，求的值为；②当木棒，重叠部分的长为个单位长度时，的值为或． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，数轴上两点之间的距离，根据题意建立等量关系是解题的关键． （1）根据非负数的性质求解即可； （2）①先求出平移前木棒的中点，再根据原点恰好是木棒的中点，可得，进一步求解即可；设经过秒，木棒、重叠部分的长为个单位长度，分情况讨论，分别列一元一次方程求解即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴，， ∴， （2）解：木棒的端点，在数轴上对应的数分别为，， ∴， 记木棒的中点为，则， ∴， ∵木棒沿轴正方向移动，速度为个单位/， ∴， ∴， 答：若在平移过程中原点恰好是木棒的中点，求的值为． 设经过秒，木棒，重叠部分的长为个单位长度， 当的右端和的左端重叠时， 根据题意可得，， 解得，， 当的左端和的右端重叠时， 根据题意可得，， 解得，， 答：当木棒，重叠部分的长为个单位长度时，的值为或． 4 / 38 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二章 代数式（复习讲义） 1.理解方程、一元一次方程、二元一次方程(组)的有关概念. 2.掌握等式的基本性质,会利用等式的基本性质把方程化成x=a的形式. 3.熟练地解一元一次方程、二元一次方程组,并解决实际问题. 4.一元一次方程、二元一次方程组的解法及应用.（重点） 5.寻找实际问题中的等量关系.（难点） 1、等式的性质 （1）等式的概念：用符号“=”来表示相等关系的式子叫做等式. （2）等式的性质： 　　等式的性质1：等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等.即： 　　如果，那么 (c为一个数或一个式子) . 　　等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等.即： 如果，那么；如果，那么. 备注： 1）根据等式的两条性质，对等式进行变形，等式两边必须同时进行完全相同的变形； 2） 等式性质1中，强调的是整式，如果在等式两边同加的不是整式，那么变形后的等式不一定成立，如x＝0中，两边加上得x＋，这个等式不成立; 3) 等式的性质2中等式两边都除以同一个数时，这个除数不能为零． 2、方程及一元一次方程有关概念 （1）方程概念：含有未知数的等式叫做方程. 备注：判断式子是否为方程，两点缺一不可：①是等式；②是含有未知数． （2）方程的解：使方程左右两边的值相等的未知数的值，叫做方程的解. 备注：判断一个数（或一组数）是否是某方程的解，只需看两点：①.它（或它们）是方程中未知数的值； ②将它（或它们）分别代入方程的左边和右边，若左边等于右边，则它们是方程的解，否则不是． （3）一元一次方程概念：只含有一个未知数（元），并且未知数的次数都是1，这样的方程叫做一元一次方程. 备注：1）“元”是指未知数，“次”是指未知数的次数，一元一次方程满足条件： ①首先是一个方程;②其次是必须只含有一个未知数;③未知数的指数是1;④分母中不含有未知数． 2）一元一次方程的标准形式是：ax+b=0(其中a≠0，a,b是已知数) . 3）一元一次方程的最简形式是： ax＝b（其中a≠0，a,b是已知数）. 3、二元一次方程（组）的概念及解 （1）二元一次方程的概念：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程． 备注：二元一次方程满足的三个条件： 1）在方程中“元”是指未知数，“二元”就是指方程中有且只有两个未知数. 2）“未知数的次数为1”是指含有未知数的项（单项式）的次数是1. 3）二元一次方程的左边和右边都必须是整式. （2）二元一次方程的解：一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的一组解． 备注：1)二元一次方程的解都是一对数值，不是一个数值，用大括号联立起来，如： 2)一般情况下，二元一次方程有无数个解，即有无数多对数适合这个二元一次方程． （3）二元一次方程组的概念 把具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组. 备注：组成方程组的两个方程不必同时含有两个未知数，例如 也是二元一次方程组. （4）二元一次方程组的解 一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解. 备注：1）二元一次方程组的解是一组数对，它必须同时满足方程组中的每一个方程，一般写成的形式． 2)一般地，二元一次方程组的解只有一个，但也有特殊情况，如方程组无解，而方程组的解有无数个． 4、二元一次方程组的解法 （1）消元法 消元的基本方法：把二元一次方程组转化为一元一次方程. （2）代入消元法 通过“代入”消去一个未知数，将方程组转化为一元一次方程，这种解法叫做代入消元法，简称代入法． （3）加减消元法 两个二元一次方程中同一未知数的系数相反或相等时，将两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程，这种方法叫做加减消元法，简称加减法． 5、二（三）元一次方程组 （1）二元一次方程的概念：含有两个未知数，并且含未知数的项的次数都是1的方程，叫作二元一次方程. （2）二元一次方程组的概念：只含有两个未知数，并且含未知数的项的次数都是1的方程组. （3）二元一次方程组的解：使二元一次方程组中每个方程左右两边的值相等，叫作这个方程组的一个解. （4）三元一次方程组的概念：含有三个未知数，并且含未知数的项的次数都是1的方程组叫作三元一次方程组. 6、方程组的解法 （1）带入消元法 （2）加减消元法 消元法解三元一次方程组：通过消元，把一个较复杂的三元一次方程组转化为简单易解的阶梯形的方程组，从而通过回代得出其解，整个求解过程称为用消元法解三元一次方程组. 7、一次方程与方程组解实际应用题 列方程 (组) 的应用题的一般步骤： 审：审清题意，分清题中的已知量、未知量． 设：设未知数. 列：根据题意寻找等量关系列方程． 解：解方程（组）． 验：检验方程的解是否符合题意． 答：写出答案 (包括单位)． [注意] 审题是基础，找等量关系是关键. 题型一 等式的基本性质应用 【例1】若，，则（　　） A．3 B．8 C．13 D．无法确定 【变式1-1】下列运用等式的性质对等式进行的变形中，不正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．，且，则 题型二 方程及其解 【例2】下列式子中，方程的个数是（    ） ①；②；③；④；⑤； A．2 B．3 C．4 D．5 【变式2-1】在；；；；中，方程有（   ）个． A．2 B．3 C．4 【变式2-2】若关于的一元一次方程的解为，则关于的一元一次方程的解为（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】若是关于的一元一次方程的解，则的值为（   ） A．5 B．4 C． D． 【变式2-4】是关于的一元一次方程的解，则的值为（   ） A． B． C． D． 题型三 一元一次方程 【例3】下列一元一次方程的变形中，不正确的是（   ） A．由，移项得： B．由，去括号得： C．由，去分母得： D．由，系数化为1得： 【变式3-1】用代入法解方程组时，由①用表示，再代入到②中，所得到的一元一次方程是（   ） A． B． C． D． 【变式3-2】若关于x的一元一次方程的解是，则k的值是（    ） A．27 B．1 C． D．0 【变式3-3】若关于x的一元一次方程的解为，则关于y的一元一次方程的解为 ． 【变式3-4】二元一次方程组用代入消元法消去未知数x，得到关于y的一元一次方程可以是 ． 【变式3-5】老师在黑板上出了一道解方程的题，小明马上举手，要求到黑板上做，他是这样做的： ……………… …① …………………… …② …………………… …③ ………………………………… ④ ………………………………… ⑤ (1)老师说：小明解一元一次方程的一般步骤都知道却没有掌握好，因此解题时有一步出现了错误，请你指出他错在 （填编号），错误的原因是 ； (2)请细心地解下面的方程： 题型四 一元一次方程的解及其应用 四 【例4】下列解一元一次方程的步骤中，正确的是（    ） A．由移项，得 B．由去括号，得 C．由，去分母，得3 D．由系数化为1，得 【变式4-1】若是关于x的一元一次方程的解，则m的值为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【变式4-2】解下列一元一次方程： (1)； (2)． 【变式4-3】解下列一元一次方程 (1) (2) 【变式4-4】对于有理数a，b，定义了一种新运算“△”为：． 例如：，． (1)计算： ①； ②； (2)若是关于x的一元一次方程，且方程的解为，求m的值 【变式4-5】列一元一次方程解应用题： 某家具加工车间准备组装一批双人桌椅，即张桌子配把椅子，为提前完成任务，在原有名工人的基础上，新调入若干名工人，使得调整后车间的总人数是调入工人人数的倍少人． (1)求调入多少名工人； (2)在（1）的条件下，若每名工人每天可以组装张桌子或把椅子，为使每天组装的桌椅刚好配套，应该安排组装桌子和椅子的工人各多少名？ 【变式4-6】2024年3月3日是第11个“世界野生动植物日”，某中学组织毕业班的同学参加“全民爱鸟行动”的志愿者活动，志愿者们制作了印有爱鸟护鸟图案的A，B两款精美的钥匙扣进行售卖．已知每个A款钥匙扣的售价比每个B款钥匙扣的售价便宜7元．若某外地游客购买5个A款钥匙扣和5个B款钥匙扣共付款85元，求A，B款钥匙扣每个的价格．（列一元一次方程解） 【变式4-7】列一元一次方程解下列应用题： (1)某公司有80个工人，生产甲、乙两种零件，每人每天平均能生产甲种零件24个或乙种零件12个．已知每2个甲种零件和3个乙种零件配成一套，问应分配多少人生产甲种零件，多少人生产乙种零件，才能使每天生产的这两种零件刚好配套？ (2)甲乙零件配套后的某产品由A商家销售，A商家将产品定价为每套900元，为了参与市场竞争，A商家按定价的9折再让利40元销售，此时仍可获利，则此产品每套进价是多少元？ 题型五 二元一次方程组的解及其应用 四 【例5】我们在解二元一次方程组时，可将代入中，消去x从而求解，这种解法体现的数学思想是（    ） A．分类讨论 B．转化 C．数形结合 D．公理化 【变式5-1】用代入消元法解二元一次方程组，下列变形错误的是（   ） A．由①，得 B．由②，得 C．由①，得 D．由②，得 【变式5-2】《九章算术》中有这样一个题，其大意是：今有醇酒(优质酒)1斗，价值50钱；行酒(劣质酒)1斗，价值10钱；现有30钱，买得2斗酒．问醇酒、行酒各能买多少？设醇酒买了x斗，行酒买了y斗，则可列二元一次方程组为（ ） A．     B． C． D． 【变式5-3】解二元一次方程组： (1)； (2)． 【变式5-4】阅读与思考 对于未知数是的二元一次方程组，如果方程组的解满足，我们就说方程组的解与具有“邻好关系”． (1)方程组的解与是否具有“邻好关系”呢？说明你的理由． (2)若方程组的解与具有“邻好关系”，求的值． 【变式5-5】下面是小欣解二元一次方程组的过程，请认真阅读并解答下列问题． 解方程组： 解：，得，③第一步 ________，得，第二步 ，第三步 将代入②，得，第四步 ∴原方程组的解是，第五步 (1)上述解题过程中，第二步通过________的变形得到了；你发现步骤_______开始出错； (2)请你用与小欣不同的方法解此方程组． 【变式5-6】列二元一次方程组解决下面问题：为落实教育部门安排的学生社会实践活动，学校决定借此机会培养学生的“财商”，某校八年级利用课后延时服务时间进行物品义卖，某班用100元批发了笔记本和中性笔共80个参加义卖，笔记本和中性笔的批发价与零售价如表所示： 品名 笔记本 中性笔 批发价（元/个） 零售价（元/个） 该班当天卖完这些笔记本和中性笔的利润为多少元？ 【变式5-7】列二元一次方程组解决下面的问题． 某快递公司为了提高工作效率，计划购买A，B两种型号的机器人来搬运货物，已知每台A型机器人比每台B型机器人每天多搬运20吨，并且3台A型机器人和2台B型机器人每天共搬运货物560吨．求每台A型机器人和每台B型机器人每天分别搬运货物多少吨？ 题型六 含参数的二元一次方程组的解的应用 加法运算五四 【例6】若是关于、的方程的一个解，则的值是（   ） A．4 B． C．8 D． 【变式6-1】已知是关于，的方程的一组解，则 ． 【变式6-2】已知是二元一次方程的一组解，则式子的值是 ． 【变式6-3】如果表中给出的每一对，的值都是二元一次方程的解，则表中的值为（    ） 0 1 2 5 3 1 A． B． C．0 D．7 题型七 三元一次方程组 六五四 【例7】解三元一次方程组：， 具体过程如下： (1)②－①，得b＝2， (2)①×2＋③，得4a－2b＝7， (3)所以， (4)把b＝2代入4a－2b＝7，得4a－2×2＝7(以下求解过程略)． 其中开始出现错误的一步是(　　) A．(1) B．(2) C．(3) D．(4) 【变式7-1】三元一次方程组消去一个未知数后，所得二元一次方程组是（    ） A． B． C． D． 【变式7-2】已知三元一次方程组，则方程组的解为 ． 【变式7-3】把三元一次方程组化为关于x、y的二元一次方程组 ． 【变式7-4】解下列三元一次方程组： （1）；（2）． 【变式7-5】下面所示为教材中三元一次方程组的解题过程，请根据教材提供的做法和有关信息解决问题． 例1  解方程组： 解  由方程②，得．……步骤一④ 将④分别代入方程①和③，得 ……步骤二 整理，得 解这个二元一次方程组，得 代入④，得． 所以原方程组的解是 (1)其中的步骤二通过______法消去未知数，将三元一次方程组转化成了______． (2)仿照以上思路解方程组，消去字母后得到的二元一次方程组为______． 基础巩固通关测 1．下列方程，属于二元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 2．运用等式性质进行的变形，正确的是（    ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 3．某校组织师生春游，如果单独租用45座的客车若干辆，刚好坐满；如果单独租用60座的客车，可少租一辆，且余30个空座位，设全校师生共有人，则所列方程为（    ） A． B． C． D． 4．将9个不同的整数填入方格中，使得每行、每列、每条对角线上的三个数之和都相等，则a和b的值分别是（    ） 12 7 A． B． C． D． 5．如果是方程的解，则 ． 6．若二元一次方程组的解为则的值为 ． 7．解下列方程（组）： (1)； (2) 8．学校买来4个篮球和6个排球，共付228元，已知每个篮球比每个排球贵12元，两种球的单价各是多少元？ 9．某商品按定价出售，每个可获得利润50元，如果按定价的出售10件，与按定价每个减价30元出售12件所获得的利润一样多，这种商品每件定价多少元？ 能力提升进阶练 1．把方程中的分子、分母化为整数，正确的是（    ） A． B． C． D． 2．定义符号“*”表示的运算法则为，若，则x为（    ） A． B． C． D． 3．我国古代《算法统宗》里有这样一首诗“我问开店李三公，众客都来到店中．一房七客多七客，一房九客一房空．”诗中后面两句的意思是：如果每一间客房住7人，那么有7人无房可住；如果每一间客房住9人，那么就空出一间客房．设有客房x间，客人y人，则可列方程组为（   ） A． B． C． D． 4．《周髀算经》记载用“表”（标杆）测日影．若表高增加3尺，影长减少2尺，则表高与影长之和为18尺；若表高减少2尺，影长增加1尺，则表高与影长之差为4尺．求原表高和影长各多少尺？设原表高x尺，影长y尺，则可列方程组是（   ） A． B． C． D． 5．有大小两种货车，2辆大货车与3辆小货车一次可以运货15.5吨；5辆大货车与6辆小货车一次可以运货35吨．设一辆大货车一次可以运货吨，一辆小货车一次可以运货吨，根据题意所列方程组正确的是（    ） A． B． C． D． 6．是方程的解，那么 ； 7．制作一张桌子要一个桌面和3条桌腿，1立方米木材可制作20个桌面，或者制作360条桌腿，现有7立方米木材，应用多少立方米木材生产桌面，才能使生产出的桌面与桌腿配套？若设用x立方米木材制作桌面，则可列为 ． 8．解下列方程(组)： (1)－＝－3； (2) 9．枫枫和叶叶要合作制作一个汽车模型，如果两个人一起制作，15小时可以完成．在制作过程中，叶叶有事离开了1小时，结果他们6小时完成了这个模型的，求叶叶单独完成这项工作需要多少小时？ 10．在数学综合实践活动课上，小亮同学借助于两根小木棒，研究数学问题：如图，他把两根木棒放在数轴上，木棒的端点，，，在数轴上对应的数分别为，，，，已知，，． (1)求和的值； (2)小亮把木棒，同时沿轴正方向移动，，的速度分别为个单位/和个单位/，设平移时间为， 若在平移过程中原点恰好是木棒的中点，求的值； 在平移过程中，当木棒，重叠部分的长为个单位长度时，求的值． 14 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $$