期末综合训练-【教与学·学导练】2025-2026学年九年级下册数学同步课件（北师大版）

数学 九年级 全一册 配北师大版 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 期末综合训练 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 一、选择题（本大题10小题，每小题3分，共30分） 1. 反比例函数y＝的图象一定经过（　B　） A. 第一、二象限 B. 第一、三象限 C. 第二、三象限 D. 第二、四象限 B 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 2. 如图XM－1，一个几何体恰好能通过两个小孔，这个几何体可 能是（　A　） 3. 关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0，若满足a-b+c=0，则方程必 有一个根是（　A　） A. 圆锥 B. 三棱锥 C. 四棱柱 D. 三棱柱 图XM－1 A A. x=1 B. x=0 C. x=-1 D. x=2 C 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 4. 如图XM－2是由边长为1的小正方形组成的网格图，点A，B， C都在小正方形的顶点处，则∠BAC的余弦值是（　D　） A. B. 2 C. D. D 图XM－2 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 5. 如图XM－3，四边形ABCD内接于☉O，AB＝CD，连接OA， OC. 若∠BAD＝80°，则∠AOC的度数为（　B　） A. 100° B. 160° C. 120° D. 135° B 图XM－3 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 6. 如图XM－4，四边形ABCD是正方形，点E是正方形内的一 点，且△ADE为等边三角形，EF⊥AB于点F，若AD＝4，则EF的 长是（　C　） A. 1 B. 1.5 C. 2 D. 2.5 C 图XM－4 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 7. 若反比例函数y＝（k≠0）的图象经过点A（－3，－1），则 下列说法正确的是（　B　） A. k＝－3 B. 函数图象经过点（1，3） C. 当x＞0时，y随x的增大而增大 D. 当x＜－3时，y＜－1 B 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 8. 根据下表可知，方程x2＋3x－1＝0的一个解的范围为 （　C　） x … 0.28 0.29 0.30 0.31 0.32 … y＝x2＋3x－1 … －0.081 6 －0.045 9 －0.01 0.026 1 0.026 4 … A. 0.28＜x＜0.29 B. 0.29＜x＜0.30 C. 0.30＜x＜0.31 D. 0.31＜x＜0.32 C 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 9. 当旅客在线上购买高铁票时，在票源充足的情况下，系统会按 照乘客的意愿分配座位（如图XM－5，一排中的座位编号为A， B，C，D，F）.在票源紧张时，系统会随机分配座位，春节期 间，一对夫妇打算购买从合肥到北京的车票，若两人分配到同一 排，且系统分配的概率一样，则分配给这对夫妇C，F座位的概率 是（　B　） 图XM－5 B A. B. C. D. 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 10. 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图XM－6所示，则一次函数y＝（c＋3a）x－的图象可能是（　B　） 图XM－6 B 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 二、填空题（本大题5小题，每小题3分，共15分） 11. 如果x∶y＝1∶3，那么＝  ​　 . 12. 一元二次方程x2－7x＝0的较大根为 ⁠. 13. 如图XM－7，点B在y轴的正半轴上，点C在反比例函数y＝ （x＜0）的图象上，菱形OABC的面积为4，则k的值为 ⁠. ​ x＝7 －2 图XM－7 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 14. 如图XM－8，AB＝4，分别以点A，B为圆心，AB的长为半径 作弧，两弧交于点C，若∠DAB＝∠EBA＝90°，则图中阴影部分 的面积为 ⁠. π－4 图XM－8 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 15. 如图XM－9，两面平行墙之间的距离为19.1 m，两边留出等 宽的行车道，中间划出停车位，每个停车位是长5.4 m，宽2.2 m 的矩形，矩形的边与行车道边缘成45°角，则行车道宽约 为 m.（参考数据：≈1.4） 5 图XM－9 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 三、解答题（一）（本大题3小题，每小题7分，共21分） 16. 解方程：x2－9＝4（x－3）. 解：移项，得x2－9－4（x－3）＝0. 因式分解，得（x－3）（x＋3－4）＝0. ∴x－3＝0或x－1＝0. 解得x1＝3，x2＝1. 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 17. 如图XM－10，在矩形ABCD中，AB＝12，BC＝18. （1）尺规作图：BC，AD边上分别找出点E，F，使得四边形 AECF为菱形；（保留作图痕迹，不写作法） 解：（1）如答图XM－1. 图XM－10 答图XM－1 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 （2）在（1）的条件下，求菱形AECF的边长. 解：（2）设AE＝EC＝x. ∵AB＝12，BC＝18，∴BE＝18－x. ∴在Rt△ABE中，AB2＋BE2＝AE2， 即122＋（18－x）2＝x2. 解得x＝13. ∴菱形AECF的边长为13. 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 18. 某网店销售一种智能文具.已知该智能文具平均每天可售出20 个，每个盈利40元.为了扩大销售、增加盈利，该网店准备适当降 价，经过一段时间测算，发现每个智能文具的售价每降低1元，平 均每天可多售出2个.该智能文具平均每天的销售利润最大为多 少？此时应降价多少元？ 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 解：设每个智能文具的售价降低x元，则平均每天售出（20＋ 2x）个，每个智能文具利润为（40－x）元，该智能文具平均每 天的销售利润为y元. 由题意，得y＝（20＋2x）（40－x）＝－2（x－15）2＋1 250. ∵－2＜0， ∴当x＝15时，y有最大值，最大值为1 250. 答：该智能文具平均每天的销售利润最大为1 250元，此时应降价 15元. 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 四、解答题（二）（本大题3小题，每小题9分，共27分） 19. 2024年4月25日20时59分，搭载神舟十八号载人飞船的长征二 号F遥十八运载火箭在酒泉卫星发射中心成功发射，叶光富、李 聪、李广苏3名航天员顺利进入太空.如图XM－11是某同学绘制的 模拟火箭发射装置示意图，一枚运载火箭从地面L处发射，当火箭 到达点A时，从位于地面R处的雷达站测得AR的距离是5 km，仰角 为39°，1.5 s后火箭到达点B，此时测得仰角为45°. （1）求地面雷达站R到发射处L的水平距离； 　图XM－11 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 解：（1）在Rt△ARL中，AR＝5 km，∠ARL＝39°， ∴RL＝AR·cos 39°≈5×0.78＝3.9（km）. 答：地面雷达站到发射处的水平距离约为3.9 km. 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 （2）这枚火箭从A处到B处的平均速度是多少？（结果精确到 0.1；参考数据：sin 39°≈0.63，cos 39°≈0.78，tan 39°≈ 0.81） 解：（2）在Rt△ARL中，AR＝5 km，∠ARL＝39°， ∴AL＝AR·sin 39°≈5×0.63＝3.15（km）. 在Rt△BRL中，∠BRL＝45°， ∴BL＝RL＝3.90 km， ∴AB＝BL－AL＝3.9－3.15＝0.75（km）. ∴0.75÷1.5＝0.5（km/s）. 答：这枚火箭从A处到B处的平均速度是0.5 km/s. 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 20. 如图XM－12，抛物线y＝ax2＋bx－3（a≠0）与x轴交于点A （－1，0），B（3，0），与y轴交于点C. （1）求抛物线的表达式； 解：（1）把A（－1，0），B（3，0）代入抛物线y＝ ax2＋bx－3， 得解得 ∴抛物线的表达式为y＝x2－2x－3. 图XM－12 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 （2）在对称轴上找一点Q，使△ACQ的周长最小，求点Q的坐标. 解：（2）∵抛物线的表达式为y＝x2－2x－3 ＝（x－1）2－4，与y轴交于点C， ∴抛物线的对称轴为直线x＝1， 点C的坐标为（0，－3）. 如答图XM－2，作点C关于直线x＝1的对称点E， 连接AC，CQ，AE，则点E的坐标为（2，－3）. 答图XM－2 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 由轴对称的性质可知CQ＝EQ， ∴△ACQ的周长为AC＋AQ＋CQ，要使△ACQ的周长最小，则AQ＋CQ的值最小，即AQ＋QE的值最小. ∴当A，Q，E三点共线时，AQ＋QE的值最小. 设直线AE的表达式为y＝k1x＋b1. 把A（－1，0），E（2，－3）代入， 得解得 ∴直线AE的表达式为y＝－x－1. 当x＝1时，y＝－x－1＝－1－1＝－2. ∴点Q的坐标为（1，－2）. 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 21. （综合与实践）【数学理解】德国数学家米勒曾提出最大视 角问题，对该问题的一般描述是：如图XM－13①，已知点A，B 是∠MON的OM边上的两个定点，C是ON边上的一个动点，当且 仅当△ABC的外接圆与ON边相切于点C时，∠ACB最大. 人们称这 一命题为米勒定理. 图XM－13 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 （1）【问题提出】如图XM－13②，在足球比赛场上，甲、乙两 名队员互相配合向对方球门MN进攻，当甲带球冲到点A时，乙已 跟随冲到点B，仅从射门角度大小考虑，甲是自己射门好，还是 迅速将球回传给乙，让乙射门好？假设球员对球门的视角越大， 足球越容易被踢进. 结合所学知识，比较∠MBN与∠MAN的大小 关系：∠MBN ∠MAN（填“＞”“＜”或“＝”）； 图XM－13 ＞ 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 （2）【问题解决】如图XM－13③，已知点A，B的坐标分别是 （0，1），（0，3），C是x轴正半轴上的一动点，当△ABC的外 接圆☉D与x轴相切于点C时，∠ACB最大. 当∠ACB最大时，求点 C的坐标. 图XM－13 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 解：（2）如答图XM－3，连接DC，DA，过点D作DE⊥AB于点E， ∴AE＝BE＝AB，∠DEO＝90°. ∵☉D与x轴相切， ∴DC⊥x轴. ∴∠DEO＝∠DCO＝∠COE＝90°. ∴四边形EOCD是矩形. ∴OE＝CD，ED＝OC. ∵点A，B的坐标分别是（0，1），（0，3）， 答图XM－3 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 ∴AB＝2，OA＝1. ∴AE＝BE＝1. ∴AD＝CD＝OE＝2. 在Rt△AED中，ED＝＝. ∴OC＝ED＝. ∴点C的坐标为（，0）. 答图XM－3 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 五、解答题（三）（本大题2小题，第22题13分，第23题14分，共 27分） 22. （综合运用）如图XM－14，在平面直角坐标系中，一次函数 y＝kx＋b与反比例函数y＝－的图象交于点A（－1，m），B （n，－3），一次函数y＝kx＋b的图象与y轴交于点C. （1）求一次函数的表达式； 图XM－14 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 解：（1）将点A（－1，m），B（n，－3）代入y＝－， 得m＝6，n＝2. ∴A（－1，6），B（2，－3）. 将点A（－1，6），B（2，－3）代入y＝kx＋b， 得解得 ∴一次函数的表达式为y＝－3x＋3. 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 （3）根据函数的图象，直接写出不等式kx＋b≥－的解集； 解：（3）观察图象可知，不等式kx＋b≥－的 解集为x≤－1或0＜x≤2. （2）对于反比例函数y＝－，当y≤－2时，x的取值范围是 ⁠ ⁠； 0＜ x≤3 图XM－14 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 解：（4）如答图XM－4，连接OA，OB. 在y＝－3x＋3中，令x＝0，得y＝3. ∴C（0，3）. 又∵A（－1，6），B（2，－3）， ∴S△AOB＝S△AOC＋S△BOC＝×3×1＋×3×2＝. 设P（p，0）. ∵S△BOP＝S△AOB＝，∴×3＝. 解得p＝±3. ∴点P的坐标为（3，0）或（－3，0）. （4）P是x轴上的一点，S△BOP＝S△AOB，求点P的坐标. 答图XM－4 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 23. （综合探究）【问题背景】如图XM－15①，在矩形ABCD 中，AB＝5，BC＝4，E为边BC上一点，沿直线DE将矩形折叠， 使点C落在AB边上的C'处. 【问题解决】 （1）AC'的长为 ⁠； （2）如图XM－15②，展开后，将△DC'E沿线段AB向右平移，使 点C'的对应点与点B重合，得到△D'BE'，D'E'与BC交于点F，求线 段EF的长； 图XM－15 3 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 解：（2）由（1）知AC'＝3， ∴BC'＝AB－AC'＝2. 由折叠的性质，得C'E＝CE. 设BE＝x，则C'E＝CE＝4－x. 在Rt△BEC'中，由勾股定理，得BE2＋BC'2＝C'E2， 即x2＋22＝（4－x）2. 解得x＝. ∴BE＝，CE＝4－＝. 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 如答图XM－5，连接EE'. 由平移的性质，得EE'＝BC'＝2，EE'∥AB∥CD， D'E'∥DE. ∴△FEE'∽△FCD'∽△ECD. ∴＝＝＝. ∴EF＝EE'＝1. 答图XM－5 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 【拓展探究】 （3）如图XM－15③，在△DC'E沿射线AB向右平移的过程中，设 点C'的对应点为C″，则当△D'C″E'在线段BC上截得的线段PQ的长 度为1时，求出此时平移的距离. 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 解：（3）①如答图XM－6，当点C″在点B的左侧时，连接EE'. 由平移的性质，得EE'＝C'C″，EE'∥AB， C″E'∥C'E. ∴△QEE'∽△QBC″∽△EBC'. ∴＝＝＝. ∵∠CPD'＝∠EPE'＝∠CED＝∠C'ED＝ ∠D'E'Q，∴QE'＝PQ＝1. ∴EE'＝QE'＝； 　答图XM－6 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 ②如答图XM－7，当点C″在点B的右侧时，连接EE'. 由平移的性质，得EE'＝DD'，DE∥D'E'，DC'∥D'C″. ∴△CD'P∽△CDE， △CD'Q∽△AC'D. ∴＝＝＝，＝＝. ∴CD'＝2CP，CD'＝CQ. ∴2CP＝CQ，即CP＝CQ. ∴PQ＝CQ. 又∵PQ＝1，∴CQ＝.∴CP＝.∴CD'＝. ∴DD'＝5－CD'＝. 综上所述，平移的距离为或. 　答图XM－7 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 谢 谢 ! 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 $$