第一章 专题五 中考新动向-【教与学·学导练】2025-2026学年九年级下册数学同步课件（北师大版）

该初中数学课件聚焦直角三角形边角关系的应用，通过近三年广东中考真题及新能源汽车充电站、风力发电机等实际情境导入，衔接锐角三角函数、矩形性质等基础，搭建从简单计算到综合问题的学习支架。 其亮点在于以生活（落地灯）、社会（自行车低碳出行）、科技（机器人手臂）情境为载体，通过多方案探究（如75°正弦值两种求法）培养运算能力与推理意识，体现用数学眼光观察、思维思考、语言表达现实世界。学生能增强应用意识，教师可依托中考真题与创新题型提升教学实效。

数学 九年级 全一册 配北师大版 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 第一章 直角三角形的边角关系 专题五　中考新动向 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 1. （2024·广东）中国新能源汽车为全球应对气候变化和绿色低 碳转型作出了巨大贡献.为满足新能源汽车的充电需求，某小区增 设了充电站，如图XZ1－5－1是矩形PQMN充电站的平面示意 图，矩形ABCD是其中一个停车位.经测量，∠ABQ＝60°，AB＝ 5.4 m，CE＝1.6 m，GH⊥CD，GH是另一个车位的宽，所有车 位的长宽相同，按图示并列划定. 根据以上信息回答下列问题： （1）求PQ的长； 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 （2）该充电站有20个停车位，求PN的长. （结果精确到0.1 m；参考数据：≈1.73） 【考点】解直角三角形的应用；矩形的性质. 【核心能力考查】运算能力；应用意识. 图XZ1－5－1 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 【答案】解：（1）∵四边形PQMN是矩形，∴∠Q＝∠P＝90°. 在Rt△ABQ中，∠ABQ＝60°，AB＝5.4 m， ∴AQ＝AB·sin∠ABQ＝ m，∠QAB＝30°. ∵四边形ABCD是矩形， ∴AD＝BC，∠BAD＝∠BCD＝∠ABC＝∠BCE＝90°. ∴∠CBE＝30°. ∴BC＝＝ m. ∴AD＝BC＝ m. 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 ∵∠PAD＝180°－30°－90°＝60°， ∴AP＝AD·cos∠PAD＝ m. ∴PQ＝AP＋AQ＝≈6.1（m）. （2）在Rt△BCE中，BE＝＝3.2 m， 在Rt△ABQ中，QB＝AB·cos∠ABQ＝2.7 m. ∵该充电站有20个停车位， ∴QM＝QB＋20BE＝66.7 m. ∵四边形PQMN是矩形， ∴PN＝QM＝66.7 m. 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 2. （2023·广东）2023年5月30日，神舟十六号载人飞船发射取得 圆满成功，3名航天员顺利进驻中国空间站.如图XZ1－5－2中的 照片展示了中国空间站上机械臂的一种工作状态.当两臂AC＝BC ＝10 m，两臂夹角∠ACB＝100°时，求A，B两点间的距离.（结 果精确到0.1 m；参考数据：sin 50°≈0.766，cos 50°≈0.643， tan 50°≈1.192） 图XZ1－5－2 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 【答案】解：如图XZ1－5－3，连接AB，取AB中点D，连接CD. ∵AC＝BC，∴△ABC为等腰三角形. 又∵D为AB中点， ∴CD⊥AB，CD平分∠ACB，AD＝BD＝AB. ∴∠ACD＝∠BCD＝∠ACB＝50°. 【考点】解直角三角形的应用. 【核心能力】运算能力；应用意识. 图XZ1－5－3 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 在Rt△ACD中，sin∠ACD＝，即sin 50°＝. ∴AD＝10×sin 50°≈7.66（m）. ∴AB＝2AD≈2×7.66＝15.32≈15.3（m）. 答：A，B两点间的距离大约是15.3 m. 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 风电项目对于调整能源结构和转变经济发展方式具有重要意义， 在我们的身边也经常能见到“风电”的身影，这些耸立在高山、 草原上的“大风车”构成了一道道亮丽的风景线.某电力部门在一 处坡角为30°的坡地新安装了一架风力发电机，如图XZ1－5－4 ①.某校实践活动小组对该坡地上的这架风力发电机的塔杆高度进 行了测量，图XZ1－5－4②为测量示意图.已知斜坡CD长16 m， 在地面点A处测得风力发电机塔杆顶端点P的仰角为45°，利用无 人机在点A的正上方53 m的点B处测得点P的俯角为18°. 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 图XZ1－5－4 （1）填空：∠APB＝ °； 63 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 （2）求点D到地面AC的距离； 解：（2）如答图XZ1－5－1，延长PD交AC于点F. 由题意，得PF⊥AF， 在Rt△CDF中，∠DCF＝30°，CD＝16 m， ∴DF＝CD＝8 m. ∴点D到地面AC的距离为8 m. 答图XZ1－5－1 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 （3）求该风力发电机塔杆PD的高度（结果精确到1 m；参考数 据：sin 18°≈0.309，cos 18°≈0.951，tan 18°≈0.325）. 图XZ1－5－4 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 解：（3）由题意，得AB＝53 m，AE＝PF. 如答图XZ1－5－1，过点P作PE⊥AB于点E. 设PE＝x m. 在Rt△AEP中，∠APE＝45°， ∴AE＝PE·tan 45°＝x m. 在Rt△BEP中，∠BPE＝18°， ∴BE＝PE·tan 18°≈0.325x m. ∵AE＋BE＝AB，∴x＋0.325x＝53.解得x＝40. ∴AE＝PF＝40 m. ∵DF＝8 m，∴PD＝PF－DF＝40－8＝32（m）. ∴该风力发电机塔杆PD的高度约为32 m. 答图XZ1－5－1 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 1. 某种落地灯如图XZ1－5－5①所示，图XZ1－5－5②是其侧面 示意图（假设落地灯底座为线段GH，其高度忽略不计，灯罩和灯 泡假设为点D），AB为立杆，其高为95 cm；BC为支杆，它可以 绕点B旋转，其中BC长为32 cm；DE为悬杆，滑动悬杆可调节CD 的长度，它也可以绕点C旋转.使用过程中发现：当灯泡与地面的 距离不低于101 cm且不高于105 cm时，落地灯光线最佳.现测得 CD为30 cm，支杆BC与悬杆DE之间的夹角∠BCD＝105°，支杆 BC与立杆AB之间所成的∠ABC＝135°，请通过计算说明此时落 地灯光线是否为最佳？（参考数据：≈1.41，≈1.73） 生活情境 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 图XZ1－5－5 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 解：如答图XZ1－5－2，分别过点D作DM⊥GH于点M，DI∥GH 交CB于点I，BN⊥DM于点N，CK⊥BN于点K，交DI于点J. 由题意，得∠CKB＝∠CJI＝∠CJD＝90°， ∵∠ABC＝135°， ∴∠CBK＝∠CIJ＝135°－90°＝45°. ∵∠BCD＝105°， ∴∠CDI＝180°－105°－45°＝30°. ∵BC＝32 cm，CD＝30 cm， ∴CJ＝CD·sin∠CDI＝30×0.5＝15（cm）. CK＝BC·sin∠CBK＝32×≈22.56（cm）. 答图XZ1－5－2 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 ∴JK＝CK－CJ＝22.56－15＝7.56（cm）. ∴DM＝DN＋MN＝JK＋AB＝7.56＋95＝102.56（cm）. ∵101＜102.56＜105， ∴此时落地灯光线为最佳. 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 社会情境 2. 我国力争2030年前实现碳达峰，2060年前实现碳中和（碳达峰与碳中和简称“双碳”），“双碳”战略倡导绿色、环保、低碳的生活方式.自行车是低碳出行的常见代步工具，图XZ1－5－6①是一辆自行车的实物图，图XZ1－5－6②是这辆自行车的部分结构的几何示意图，其中车架档AB＝45 cm，AC＝38 cm，∠BAC＝65°，车架档AC⊥CD，∠CAD＝60°，车架档AC∥DE，前轴轴心E，中轴轴心A，后轴轴心B在同一直线上，求前、后轴轴心的距离.（结果精确到1 cm；参考数据：≈1.73，sin 65°≈0.91，cos 65°≈0.42，tan 65°≈2.14） 图XZ1－5－6 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 解：如答图XZ1－5－3，连接AE，过点A作AH⊥DE于点H. ∵AC⊥CD，∴∠ACD＝90°. 在Rt△ACD中，tan∠CAD＝， ∴CD＝38×tan 60°＝38（cm）. ∵AC∥DE，∴DE⊥CD. ∴AH∥CD. ∴四边形ACDH为平行四边形. ∵∠ACD＝90°， ∴四边形ACDH为矩形. 答图XZ1－5－3 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 ∴AH＝CD＝38 cm. ∵点B，A，E共线，AC∥DE， ∴∠AED＝∠BAC＝65°. 在Rt△AEH中，sin∠AEH＝， ∴AE＝≈≈72.2（cm）. ∴BE＝AB＋AE≈45＋72.2≈117（cm）. 答：前、后轴轴心的距离约为117 cm. 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 科技情境 3. 2024年1月17日，天舟七号货运飞船携带着支持航天员3人280 天的生活物资、平台设备、推进剂和科学载荷，成功发射.如图 XZ1－5－7是工作中的某型号手臂机器人示意图，OA是垂直于工 作台的移动基座，AB，BC分别为机器人的大、小臂，其中小臂 BC为2 m，大臂AB为3 m，移动基座AO＝3.02 m，AB与水平方向 的夹角为30°，BC与水平方向的夹角为53°， 求点C到工作台EF的距离.（结果精确到0.1 m； 参考数据：sin 53°≈0.8，cos 53°≈0.6， tan 53°≈1.33） 图XZ1－5－7 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 解：如答图XZ1－5－4，过点C作CM⊥BG，垂足为M，过点B作 BN⊥AH，垂足为N. 在Rt△CBM中，∠CBM＝53°，BC＝2 m， ∴CM＝BC·sin 53°≈2×0.8＝1.6（m）. 在Rt△ABN中，∠BAN＝30°，AB＝3 m， ∴BN＝AB·sin 30°＝3×＝1.5（m）. ∵AO＝3.02 m， ∴CM＋BN＋AO≈1.6＋1.5＋3.02≈6.1（m）. 答：点C到工作台EF的距离约为6.1 m. 答图XZ1－5－4 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 综合与实践 4. （2024·济南）城市轨道交通发展迅猛，为市民出行带来极大 方便.某校“综合实践”小组想测得轻轨高架站的相关距离，数据 勘测组通过勘测得到了如下记录表： 活动 内容 测量轻轨高架站的相关距离 测量 工具 测倾器，红外测距仪等 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 过程 资料 轻轨高架站示意图 图XZ1－5－8 相关数据及说明：图XZ1－5－8中点A，B，C，D，E，F在同一平面内，房顶AB，吊顶CF和地面DE所在的直线都平行，点F在与地面垂直的中轴线AE上，∠BCD＝98°，∠CDE＝97°，AE＝8.5 m，CD＝6.7 m 成果 梳理 … 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 请根据记录表提供的信息回答下列问题： （1）求点C到地面DE的距离； 解：（1）如答图XZ1－5－5，过点C作CN⊥ED，交ED的延长线于点N. ∵∠CDE＝97°， ∴∠CDN＝180°－97°＝83°. 在Rt△CDN中，sin∠CDN＝sin 83°＝， CD＝6.7 m， ∴CN＝CD·sin 83°≈6.7×0.993≈6.65（m）. 答：点C到地面DE的距离约为6.65 m. 答图XZ1－5－5 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 （2）求顶部线段BC的长. （结果精确到0.01 m；参考数据：sin 15°≈0.259，cos 15°≈ 0.966，tan 15°≈0.268，sin 83°≈0.993，cos 83°≈0.122， tan 83°≈8.144） 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 解：（2）如答图XZ1－5－5，过点B作BP⊥CF，垂足为P. ∵CF∥DE，∴∠FCD＝∠CDN＝83°. ∵∠BCD＝98°，∴∠BCP＝∠BCD－∠FCD＝15°. ∵平行线间的距离处处相等，∴EF＝CN＝6.65 m. ∵AE＝8.5 m， ∴BP＝AF＝AE－EF＝8.5－6.65＝1.85（m）. 在Rt△BCP中，sin∠BCP＝sin 15°＝， ∴BC＝≈≈7.14（m）. 答：顶部线段BC的长约为7.14 m. 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 综合探究 5. 【问题】老师上完《锐角三角函数》一课后，提出了一个问 题，让同学们尝试去探究75°的正弦值.小明和小华经过思考与讨 论，作了如下探索： 【方案一】小明构造了图XZ1－5－9①，在△ABC中，AC＝2， ∠B＝30°，∠C＝45°. 第一步：延长BA，过点C作CD⊥BA，垂足为D，求出DC的长； 第二步：在Rt△ADC中，计算sin 75°. 【方案二】小华构造了图XZ1－5－9②，边长为a的正方形ABCD 的顶点A在直线EF上，且∠DAF＝30°. 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 第一步：连接AC，过点C作CG⊥EF，垂足为G，用含a的代数式 表示AC和CG的长； 第二步：在Rt△AGC中，计算sin 75°. 请分别按照小明和小华的思路，完成解答过程. 图XZ1－5－9 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 解：【方案一】如答图XZ1－5－6，过点A作AQ⊥BC于点Q. ∵∠ACQ＝45°，AC＝2， ∴AQ＝CQ＝AC·sin∠ACQ＝. ∵∠B＝30°，∴BQ＝＝. ∴BC＝BQ＋QC＝＋. ∴DC＝BC＝. ∵∠DAC＝∠B＋∠ACB＝75°， ∴sin 75°＝＝. 答图XZ1－5－6 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 答图XZ1－5－7 　 【方案二】如答图XZ1－5－7，延长CB交FE于点H. ∵正方形ABCD的边长为a，∴AC＝a. ∵∠DAF＝30°，∴∠BAH＝60°.∴∠H＝30°. ∴AH＝2AB＝2a.∴BH＝＝a. ∴CH＝BH＋BC＝a＋a＝（＋1）a. ∴CG＝CH＝. ∵∠CAD＝45°，∴∠GAC＝∠CAD＋∠DAF＝75°. ∴sin 75°＝＝＝. 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 综合运用 6. （2024·广元）小明从科普读物中了解到，光从真空射入介质 发生折射时，入射角α的正弦值与折射角β的正弦值的比值叫 做介质的“绝对折射率”，简称“折射率”.它表示光在介质中传 播时，介质对光作用的一种特征. （1）若光从真空射入某介质，入射角为α，折射角为β，且cos α ＝，β＝30°，求该介质的折射率； 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 解：（1）如答图XZ1－5－8，在Rt△ABC中，∠C＝90°， ∠A＝α， ∵cos α＝＝，∴设b＝x，则c＝4x. 由勾股定理，得a＝＝＝3x. ∴sin α＝＝＝. 又∵β＝30°， ∴sin β＝sin 30°＝. ∴＝＝. 答图XZ1－5－8 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 （2）现有一块与（1）中折射率相同的长方体介质，如图XZ1－5 －10①，点A，B，C，D分别是长方体棱的中点，若光线经真空 从矩形A1D1D2A2对角线交点O处射入，其折射光线恰好从点C处射 出，如图XZ1－5－10②，α＝60°，CD＝10 cm，求截面ABCD的 面积. 图XZ1－5－10 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 解：（2）由题意，得α＝60°，折射率为， ∴＝＝. ∴sin β＝. ∵四边形ABCD是矩形，点O是AD的中点， ∴AD＝2OD，∠D＝90°. 又∵∠OCD＝β， ∴sin∠OCD＝sin β＝. 在Rt△ODC中，设OD＝y，OC＝3y. 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 由勾股定理，得CD＝＝＝ y. ∴tan β＝＝＝. ∴OD＝10×＝5. ∴AD＝2OD＝10. ∴截面ABCD的面积为AD·CD＝10×10＝100（cm2）. 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 谢 谢 ! 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 $$