第一章 专题四 课标新动向-【教与学·学导练】2025-2026学年九年级下册数学同步课件（北师大版）

数学 九年级 全一册 配北师大版 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 第一章 直角三角形的边角关系 专题四　课标新动向 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 教材母题 1. （课本P20读一读改编）“三角学”一词源于希腊文的“三角 形”与“测量”，原意是“三角形的测量”.后来，人们把利用三 角函数研究三角形和其他图形的数量关系，进而研究三角函数的 性质及其应用的数学学科称为三角学.如图XZ1－4－1，物华大厦 离小伟家60 m，小伟从自家的窗中眺望大厦， 并测得大厦顶部的仰角是45°，而大厦底部的 俯角是37°，求该大厦的高度.（结果精确到 0.1 m；参考数据：sin 37°≈0.602， cos 37°≈0.799，tan 37°≈0.754） 图XZ1－4－1 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 解：如答图XZ1－4－1，过点A作AE⊥CD于点E. ∵AB⊥BC，DC⊥BC，∴四边形ABCE是矩形. ∵BC＝60 m，∴AE＝BC＝60 m. 在Rt△AEC中，EC＝AE·tan∠EAC＝60×tan 37°≈45.2（m）. 在Rt△ADE中，∠DAE＝45°， ∴DE＝AE＝60 m. ∴DC＝DE＋EC≈60＋45.2＝105.2（m）. 答：该大厦的高度约为105.2 m. 答图XZ1－4－1 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 2. （母题变式）清代《修武县志》有胜果寺的记载，“康熙五十 二年三月十七日，塔顶现青白二气如云，越二日乃止”，此文中 的塔即为“胜果寺塔”，是修武作为“千年古县”的标志性古建 筑.为了测量塔的高度，采用了如下方式进行测量.如图XZ1－4－ 2，王先生站在A处，眼睛E距离地面的高度为1.85 m，测得塔顶C 的仰角为45°，他儿子站在距离王先生10 m的D处，眼睛F距离地 面的高度为1.5 m，测得塔顶C的仰角为60°， 已知A，D，塔底B在同一水平面上，请求出塔 高BC. （结果精确到1 m；参考数据： ＝1.732） 图XZ1－4－2 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 解：如答图XZ1－4－2，过点E作EG⊥BC于点G，过点F作FH⊥BC于点H. 设BC＝x m，则CG＝（x－1.85）m，CH＝（x－1.5）m. 在Rt△CHF中，FH＝＝ m， 在Rt△CGE中，EG＝＝（x－1.85）m. ∵EG－FH＝10， ∴（x－1.85）－＝10. 答图XZ1－4－2 解得x≈26. 答：塔高BC大约为26 m. 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 跨学科融合 3. （跨学科与化学融合）（2024·呼和浩特）实验是培养学生创新能力的重要途径.如图XZ1－4－3①是小亮同学安装的化学实验装置，安装要求为试管口略向下倾斜，铁夹应固定在距试管口的三分之一处.现将实验装置图抽象成示意图（如图XZ1－4－3②），已知试管AB＝24 cm，BE＝AB，试管倾斜角∠ABG为12°. （1）求试管口B与铁杆DE的 水平距离BG的长度； 图XZ1－4－3 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 解：（1）∵AB＝24 cm，BE＝AB， ∴BE＝×24＝8（cm）. 在Rt△BEG中，cos 12°＝， ∴BG＝8cos 12° cm. 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 （2）实验时，导气管紧靠水槽壁MN，延长BM交CN的延长线于 点F，且MN⊥CF于点N（点C，D，N，F在一条直线上），经测 得：DE＝28 cm，MN＝8 cm，∠ABM＝147°，求线段DN的长 度.（结果用含非特殊角的三角函数表示） 　 解：（2）在Rt△BEG中，sin 12°＝， ∴EG＝8sin 12° cm. 如答图XZ1－4－3，延长GB，NM交于点H. ∴四边形DNHG是矩形. ∴NH＝DG＝DE－EG＝（28－8sin 12°）cm. 答图XZ1－4－3 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 ∴HM＝NH－MN＝（20－8sin 12°）cm. ∵∠ABG＝12°，∠ABM＝147°， ∴∠FBG＝∠ABM－∠ABG＝135°. ∴∠MBH＝180°－∠FBG＝45°. ∴BH＝HM＝（20－8sin 12°）cm. ∴DN＝GH＝BG＋BH＝（8cos 12°＋20－8sin 12°）cm. 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 4. （跨学科与物理融合）（2024·安徽）科技社团选择学校游泳 池进行一次光的折射实验，如图XZ1－4－4，光线自点B处发出， 经水面点E折射到池底点A处.已知BE与水平线的夹角α＝36.9°， 点B到水面的距离BC＝1.20 m，点A处水深为1.20 m，到池壁的水 平距离AD＝2.50 m.点B，C，D在同一条直线上，所有点都在同 一平面内.记入射角为β，折射角为γ，求的值.（结果精确到 0.1；参考数据：sin 36.9°≈0.60， cos 36.9°≈0.80，tan 36.9°≈0.75） 图XZ1－4－4 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 解：如答图XZ1－4－4，过点E作EH⊥AD于点H. 由题意，得∠CEB＝α＝36.9°，EH＝1.20 m， ∴CE＝≈＝1.60（m）， AH＝AD－CE≈2.50－1.60＝0.90（m）. ∴AE＝＝＝1.50（m）. ∴sin γ＝＝＝0.60. ∵sin β＝sin∠CBE＝＝cos∠CEB＝ cos α≈0.80， ∴≈≈1.3. 答图XZ1－4－4 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 数学文化 5. （2024·成都）中国古代运用“土圭之法”判别四季.夏至时日 影最短，冬至时日影最长，春分和秋分时日影长度等于夏至和冬 至日影长度的平均数.某地学生运用此法进行实践探索，如图XZ1 －4－5，在示意图中，产生日影的杆子AB垂直于地面，AB长8尺. 在夏至时，杆子AB在太阳光线AC照射下产生的日影为BC；在冬 至时，杆子AB在太阳光线AD照射下产生的日影为BD. 已知∠ACB ＝73.4°，∠ADB＝26.6°，求春分和秋分时日影长度.（结果精 确到0.1尺；参考数据：sin 26.6°≈0.45，cos 26.6°≈0.89， tan 26.6°≈0.50，sin 73.4°≈0.96，cos 73.4°≈0.29，tan 73.4°≈3.35） 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 图XZ1－4－5 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 解：在Rt△ABC中，AB＝8尺，∠ACB＝73.4°， ∴tan 73.4°＝. ∴BC≈≈2.4（尺）. 在Rt△ABD中，AB＝8尺，∠ADB＝26.6°， ∴tan 26.6°＝. ∴BD≈＝16.0（尺）. ∴CD＝BD－BC＝16.0－2.4＝13.6（尺）. 观察图象可知，春分和秋分时日影顶端为CD的中点， ∴BC＋CD＝2.4＋＝9.2（尺）. ∴春分和秋分时日影长度为9.2尺. 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 谢 谢 ! 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 $$