第一章 专题三 模型拓展——解直角三角形模型-【教与学·学导练】2025-2026学年九年级下册数学同步课件（北师大版）

该初中数学课件聚焦直角三角形边角关系的模型拓展，系统讲解背靠背型、母子型、拥抱型三种解直角三角形模型，从已学边角关系出发，通过模型解读构建公共边等核心等量关系，结合演变示例和针对训练，形成从基础到应用的学习支架。 其亮点在于以现实问题为载体，如汽车过隧道、楼高测量等实例，培养学生用数学眼光抽象模型，通过推理等量关系发展数学思维，用符号表达解题过程强化数学语言。采用模型化教学，帮助学生掌握构造直角三角形的解题方法，学生能提升问题转化能力，教师可借助系统模型资源提高教学效率。

数学 九年级 全一册 配北师大版 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 第一章 直角三角形的边角关系 专题三　模型拓展——解直角三角形模型 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 模型一　背靠背型 【基本模型】 　　通过在三角形内作高，构造出两个直角三角形求解，其中公 共边是解题的关键. 等量关系：如图XZ1－3－1，在Rt△ACD和Rt△BCD中，CD为公共边，AD＋BD＝AB. 图XZ1－3－1 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 　　等量关系：如图XZ1－3－2①，CE＝DA，CD＝EA，CE＋BD＝AB； 　 如图XZ1－3－2②，CD＝EF，CE＝DF，AD＋CE＋BF＝ AB. 【模型演变】 图XZ1－3－2 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 1. 如图XZ1－3－3，A，B两地之间有一座山，汽车原来从A地到B地需途经C地沿折线ACB行驶，现开通隧道后，汽车可直接沿直线AB行驶.已知BC＝80 km，∠A＝45°，∠B＝30°. （1）开通隧道前，汽车从A地到B地大约要走多少千米？ 图XZ1－3－3 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 解：如答图XZ1－3－1，过点C作CD⊥AB交AB于点D，则△ACD和△BCD均为直角三角形. 在Rt△BCD中，∠B＝30°，BC＝80 km， ∴CD＝BC·sin B＝80×sin 30°＝40（km）， BD＝BC·cos B＝80×cos 30°＝40（km）. 在Rt△ACD中，∠A＝45°， ∴AC＝＝＝40（km）， AD＝＝＝40（km）. 答图XZ1－3－1 （1）AC＋BC＝40＋80≈136.4（km）. 答：开通隧道前，汽车从A地到B地大约要走136.4 km. 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 （2）AC＋BC－（AD＋BD）＝40＋80－（40＋40）≈ 27.2（km）. 答：开通隧道后，汽车从A地到B地大约可以少走27.2 km. （2）开通隧道后，汽车从A地到B地大约可以少走多少千米？ （结果精确到0.1 km；参考数据：≈1.41，≈1.73） 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 模型二　母子型 【基本模型】 　　通过在三角形外作高，构造出两个直角三角形求解，其中公 共边是解题的关键. 　　等量关系：如图XZ1－3－4，在Rt△ABC和Rt△BDC中，BC为公共边，AD＋DC＝AC. 图XZ1－3－4 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 【模型演变1】 　　等量关系：如图XZ1－3－5①，BE＋EC＝BC； 　　如图XZ1－3－5②，EC－BC＝EB； 　　如图XZ1－3－5③，AC＝FG，AF＝CG，AD＋DC＝FG，BC ＋AF＝BG. 图XZ1－3－5 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 2. 如图XZ1－3－6，一幢楼的楼顶端挂着一幅长10 m的宣传条幅 AB，某数学兴趣小组在一次活动中，准备测量该楼的高度，但被 建筑物FGHM挡住，不能直接到达楼的底部.他们在点D处测得条 幅顶端A的仰角∠CDA＝45°，向后退8 m到E处，测得条幅底端B 的仰角∠CEB＝30°（点C，D，E在同一直线上，EC⊥AC）.请 你根据以上数据，帮助该兴趣小组计算楼高AC. （结果精确到 0.01 m；参考数据：≈1.732，≈1.414） 图XZ1－3－6 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 解：设AC＝x m，则BC＝（x－10）m. 在Rt△ACD中，∠CDA＝45°， ∴CD＝＝＝x（m）. 在Rt△BCE中，∠CEB＝30°， ∴CE＝＝＝（x－10）m. ∵CE－CD＝DE，DE＝8 m， ∴x－10－x＝8. 解得x≈34.59. 答：楼高AC大约为34.59 m. 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 【模型演变2】 　　等量关系：如图XZ1－3－7①，DF＝EC，DE＝FC，BF＋ DE＝BC，AE＋DF＝AC； 　　如图XZ1－3－7②，AF＝CE，AC＝FE，BC＋AF＝BE. 等量关系： 图XZ1－3－7 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 【模型演变3】 系：等量关系：如图XZ1－3－8①，BC＝FG，BF＝CG，AC＋BF＝AG，EF＋BC＝EG； 　　如图XZ1－3－8②，BC＝FG，BF＝CG，EF＋BC＝EG，BD ＋DF＝BF，AC＋BD＋DF＝AG. 图XZ1－3－8 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 3. 如图XZ1－3－9，为积极宣传国家相关政策，某村在一山坡的 顶端的平地上竖立一块宣传牌AB. 小明为测得宣传牌的高度，他 站在山脚C处测得宣传牌的顶端A的仰角为40°，已知山坡CD的 坡度i＝1∶2，山坡CD的长度为4 m，山坡顶端D与宣传牌底端 B的水平距离为2 m，求宣传牌的高度AB. （精确到1 m；参考数 据：sin 40°≈0.64，cos 40°≈0.77，tan 40°≈0.84，≈2.24） 图XZ1－3－9 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 解：如答图XZ1－3－2，延长AB交CE于点E，过点D作DF⊥CE 交CE于点F，则FE＝DB＝2 m，DF＝BE. ∵山坡CD的坡度i＝1∶2， ∴tan∠DCF＝＝. 设DF＝x m，则CF＝2x m. 在Rt△CDF中，CD＝4 m， 由勾股定理，得CD2＝DF2＋CF2， 即（4）2＝x2＋（2x）2. 解得x1＝4，x2＝－4（不合题意，舍去）. 答图XZ1－3－2 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 ∴DF＝4 m，CF＝8 m. ∴CE＝CF＋FE＝8＋2＝10（m）. 在Rt△ACE中，∠ACE＝40°， ∴AE＝CE·tan∠ACE＝10×tan 40°≈8.4（m）. ∴AB＝AE－BE≈8.4－4≈4（m）. 答：宣传牌的高度AB约为4 m. 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 模型三　拥抱型 【基本模型】 　　分别解两个直角三角形，其中公共边是解题的关键. 等量关系：如图XZ1－3－10，在Rt△ABC和Rt△DCB中，BC为公共边. 图XZ1－3－10 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 　　等量关系：如图XZ1－3－11①，BF＋FC＋CE＝BE； 　　如图XZ1－3－11②，BC＋CE＝BE； 　　如图XZ1－3－11③，AB＝GE，AG＝BE，BC＋CE＝AG， DG＋AB＝DE. 【模型演变】 图XZ1－3－11 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 4. 如图XZ1－3－12，两幢建筑物AB和CD，AB⊥BD，CD⊥BD， AB＝15 m，CD＝20 m.AB和CD之间有一景观池，小明在点A处测 得池中喷泉处点E的俯角为42°，在点C处测得点E的俯角为 45°，点B，E，D在同一直线上.求两幢建筑物之间的距离BD. （结果精确到0.1 m；参考数据：sin 42°≈0.67，cos 42°≈0.74，tan 42°≈0.90） 图XZ1－3－12 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 解：由题意，得∠AEB＝42°，∠CED＝45°. ∵AB⊥BD，CD⊥BD， ∴△ABE和△CDE均为直角三角形. 在Rt△ABE中，AB＝15 m，∠AEB＝42°， ∴BE＝＝≈（m）. 在Rt△CDE中，∠CED＝45°，CD＝20 m， ∴ED＝＝＝20（m）. ∴BD＝BE＋ED≈＋20≈36.7（m）. 答：两幢建筑物之间的距离BD约为36.7 m. 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 谢 谢 ! 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 $$