第一章 专题二 本章重难点-【教与学·学导练】2025-2026学年九年级下册数学同步课件（北师大版）

数学 九年级 全一册 配北师大版 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 第一章 直角三角形的边角关系 专题二　本章重难点 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 　　　　　　　　　　　　　　　　　 一、特殊角的锐角三角函数计算 【例1】（2024·湖南）计算：＋＋cos 60°－. 解：原式＝3＋1＋－2 ＝. 　　　　　　　　　　　　　　　　　 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 【对接中考】 1. （2024·北京）计算：（π－5）0＋－2sin 30°＋. 解：原式＝1＋2－2×＋ ＝3. 　　　　　　　　　　　　　　　　　 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 二、锐角三角函数及其应用 【例2】（2023·益阳）如图XZ1－2－1，在平面直角坐标系xOy 中，有三点A（0，1），B（4，1），C（5，6），则sin∠BAC＝ （　C　） 图XZ1－2－1 C A. B. C. D. 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 【例3】（2022·陕西）如图XZ1－2－2，AD是△ABC的高.若BD＝ 2CD＝6，tan C＝2，则边AB的长为（　D　） 图XZ1－2－2 A. 3 B. 3 C. 3 D. 6 D 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 【对接中考】 2. （2023·陕西）如图XZ1－2－3，在6×7的网格中，每个小正方 形的边长均为1.若点A，B，C都在格点上，则sin B的值为 （　A　） 图XZ1－2－3 A A. B. C. D. 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 3. （2022·乐山）如图XZ1－2－4，在Rt△ABC中，∠C＝90°， BC＝，点D是AC上一点，连接BD. 若tan A＝，tan∠ABD＝ ，则CD的长为（　C　） 图XZ1－2－4 C A. 2 B. 3 C. D. 2 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 　　　　　　　　　　　　　　　　　 【例4】（2024·武汉）黄鹤楼是武汉市著名的旅游景点，享有 “天下江山第一楼”的美誉.在一次综合实践活动中，某数学小组 用无人机测量黄鹤楼AB的高度.具体过程如下：如图XZ1－2－5， 将无人机垂直上升至距水平地面102 m的C处，测得黄鹤楼顶端A 的俯角为45°，底端B的俯角为63°，则测得黄鹤楼的高度约 是 m.（参考数据：tan 63°≈2） 51 图XZ1－2－5 　　　　　　　　　　　　　　　　　 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 4. （2024·盐城）如图XZ1－2－6，小明用无人机测量教学楼的高 度，将无人机垂直上升距地面30 m的点P处，测得教学楼底端点A 的俯角为37°，再将无人机沿教学楼方向水平飞行26.6 m至点Q 处，测得教学楼顶端点B的俯角为45°，则教学楼AB的高度约为 m.（结果精确到1 m；参考数据：sin 37°≈0.60，cos 37° ≈0.80，tan 37°≈0.75） 图XZ1－2－6 17 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 三、解直角三角形 【例5】如图XZ1－2－7，在△ABD中，AC⊥BD于点C，BC＝8， CD＝4，cos∠ABC＝，BF为AD边上的中线. 图XZ1－2－7 （1）求AC的长； 解：（1）∵AC⊥BD， cos∠ABC＝＝，BC＝8， ∴AB＝10. 在Rt△ACB中，由勾股定理，得 AC＝＝＝6. 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 （2）求tan∠FBD的值. 答图XZ1－2－1 解：（2）如答图XZ1－2－1，连接CF，过点F作 BD的垂线，垂足为E. 在Rt△ACD中，由勾股定理，得 AD＝＝＝2. ∵BF为AD边上的中线，即F为AD的中点， ∴CF＝AD＝FD＝. ∴△CFD为等腰三角形，FE⊥CD. ∴CE＝CD＝2. 在Rt△EFC中，EF＝＝＝3， ∴tan∠FBD＝＝＝. 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 【对接中考】 5. （2024·浙江）如图XZ1－2－8，在△ABC中，AD⊥BC，AE是 BC边上的中线，AB＝10，AD＝6，tan∠ACB＝1. （1）求BC的长； 解：（1）∵AD⊥BC，AB＝10，AD＝6， ∴BD＝＝＝8. ∵tan∠ACB＝＝1， ∴CD＝AD＝6. ∴BC＝BD＋CD＝8＋6＝14. 图XZ1－2－8 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 （2）求sin∠DAE的值. 解：（2）∵AE是BC边上的中线， ∴CE＝BC＝7. ∴DE＝CE－CD＝7－6＝1. ∵AD⊥BC， ∴AE＝＝＝. ∴sin∠DAE＝＝＝. 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 四、解直角三角形的应用 【例6】（2024·内蒙古）综合实践活动中，数学兴趣小组利用无 人机测量大楼的高度.如图XZ1－2－9，无人机在离地面40 m的D 处，测得操控者A的俯角为30°，测得楼BC楼顶C处的俯角为 45°，又经过人工测量得到操控者A和大楼BC之间的水平距离是 80 m，则楼BC的高度是多少米？（点A，B，C，D都在同一平面 内；参考数据：≈1.7） 图XZ1－2－9 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 解：如答图XZ1－2－2，过点D作DE⊥AB于点E，过点C作CF⊥DE于点F，则四边形BCFE是矩形. 由题意，得AB＝80 m，DE＝40 m， ∠ADE＝90°－30°＝60°，∠CDF＝90°－45°＝45°. 在Rt△ADE中，∠AED＝90°， ∵tan∠ADE＝＝tan 60°＝， ∴AE＝DE＝40 m. ∴BE＝AB－AE＝（80－40）m. 答图XZ1－2－2 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 ∵四边形BCFE是矩形， ∴CF＝BE＝（80－40）m. 在Rt△DCF中，∠DFC＝90°，∠CDF＝∠DCF＝45°， ∴DF＝CF＝（80－40）m. ∴BC＝EF＝DE－DF＝40－80＋40≈28（m）. 答：楼BC的高约是28 m. 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 【对接中考】 6. （2024·通辽）在“综合与实践”活动课上，活动小组测量一 棵杨树的高度.如图XZ1－2－10，从点C测得杨树底端点B的仰角 是30°，BC长6 m，在距离点C 4 m处的点D测得杨树顶端点A的仰 角为45°，求杨树AB的高度.（结果精确到0.1 m；AB，BC，CD 在同一平面内，点C，D在同一水平线上；参考数据：≈1.73） 图XZ1－2－10 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 解：如答图XZ1－2－5，延长AB交DC于点H，则 ∠AHD＝90°. ∵∠BCH＝30°，BC＝6 m， ∴BH＝BC＝3 m，CH＝BC·cos∠BCH＝3 m. ∵∠ADC＝45°， ∴AH＝DH＝CD＋CH＝（4＋3）m. ∴AB＝AH－BH＝4＋3－3＝1＋3≈6.2（m）. 答：杨树AB的高度约为6.2 m. 答图XZ1－2－5 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 【例7】（2024·大庆）如图XZ1－2－11，CD是一座南北走向的大 桥，一辆汽车在笔直的公路l上由北向南行驶，在A处测得桥头C在 南偏东30°方向上，继续行驶1 500 m后到达B处，测得桥头C在南 偏东60°方向上，桥头D在南偏东45°方向上，求大桥CD的长 度.（结果精确到1 m；参考数据：≈1.73） 图XZ1－2－11 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 解：（1）如答图XZ1－2－3，分别过点C和点D作AB的垂线，垂足分别为M，N. 在Rt△CBM中，tan∠CBM＝＝， ∴CM＝BM. 在Rt△ACM中，tan A＝＝， ∴＝.解得BM＝750. 答图XZ1－2－3 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 ∴CM＝750 m. ∴DN＝CM＝750 m. 在Rt△DBN中，tan∠DBN＝＝1， ∴BN＝DN＝750 m. ∴MN＝BN－BM＝（750－750）m. ∴CD＝MN＝750－750≈548（m）. 答：大桥CD的长度约为548 m. 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 7. （2024·资阳）如图XZ1－2－12，某海域有两灯塔A，B，其中灯塔B在灯塔A的南偏东30°方向，且A，B相距 n mile.一渔船在C处捕鱼，测得C处在灯塔A的北偏东30°方向、灯塔B的正北方向. （1）求B，C两处的距离； 图XZ1－2－12 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 解：（1）由题意，得∠ACB＝∠ABC＝30°， ∴AB＝AC＝ n mile. 如答图XZ1－2－6，过点A作AH⊥BC于点 H. ∴∠AHC＝∠AHB＝90°，CH＝BH. ∴CH＝BH＝AB·cos∠ABH＝×＝ 8（n mile）. ∴BC＝2CH＝16 n mile. 答：B，C两处的距离为16 n mile. 答图XZ1－2－6 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 （2）该渔船从C处沿北偏东65°方向航行一段时间后，突发故障 滞留于D处，并发出求救信号.此时，在灯塔B处的渔政船测得D处 在北偏东27°方向，便立即以18 n mile/h的速度沿BD方向航行至 D处救援，求渔政船的航行时间.（点A，B，C，D在同一水平面 内；参考数据：tan 65°≈2.1，tan 27°≈0.5） 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 解：（2）如答图XZ1－2－6，过点D作DG⊥BC于点G. 在Rt△BDG中，BG＝≈＝2DG， 在Rt△CDG中，CG＝≈. ∵BC＝BG－CG，∴16＝2DG－. 解得DG＝10.5.∴CG＝5 n mile. ∴BG＝BC＋CG＝21 n mile. ∴BD＝＝ n mile. ∴渔政船的航行时间为÷18＝（h）. 答图XZ1－2－6 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 【例8】（2024·遂宁）小明的书桌上有一个L型台灯，灯柱AB高 40 cm，他发现当灯带BC与水平线BM夹角为9°时（图XZ1－2－ 13①），灯带的直射宽DE（BC⊥BD，BC⊥CE）为35 cm，但此 时灯的直射宽度不够，当他把灯带调整到与水平线夹角为30°时 （图XZ1－2－13②），直射宽度刚好合适，求此时台灯最高点C 到桌面的距离.（结果精确到0.1 cm；参考答案：sin 9°≈0.16， cos 9°≈0.99，tan 9°≈0.16） 图XZ1－2－13 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 解：如答图XZ1－2－4，过点C作CK⊥AE'于点K，交BM于点J. 在图XZ1－2－13①中，DB⊥BC，EC⊥BC， ∴BD∥EC. ∵BM∥DE， ∴四边形BDEM是平行四边形. 答图XZ1－2－4 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 ∴BM＝DE＝35 cm. ∴BC＝BM·cos 9°≈35×0.99＝34.65（cm）. 在答图XZ1－2－4中，BM∥AE'，CK⊥AE'， ∴CJ⊥BM. ∴CJ＝BC·sin 30°≈34.65×0.5≈17.33（cm）. ∵AB⊥AE'， ∴JK＝BA＝40 cm. ∴CK＝CJ＋JK≈17.33＋40≈57.3（cm）. 答：台灯最高点C到桌面的距离约为57.3 cm. 答图XZ1－2－4 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 8. （2024·苏州）图XZ1－2－14①是某种可调节支撑架，BC为水 平固定杆，竖直固定杆AB⊥BC，活动杆AD可绕点A旋转，CD为 液压可伸缩支撑杆，已知AB＝10 cm，BC＝20 cm，AD＝50 cm. （1）如图XZ1－2－14②，当活动杆AD处于水平状态时，求可伸 缩支撑杆CD的长度（结果保留根号）； 图XZ1－2－14 　 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 解：（1）如答图XZ1－2－7，过点C作CE⊥AD，垂足为E. 由题意，得AB＝CE＝10 cm，BC＝AE＝20 cm. ∵AD＝50 cm， ∴ED＝AD－AE＝50－20＝30（cm）. 在Rt△CED中，CD＝＝＝10（cm）. ∴可伸缩支撑杆CD的长度为10 cm. 答图XZ1－2－7 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 （2）如图XZ1－2－14③，当活动杆AD绕点A由水平状态按逆时 针方向旋转角度α，且tan α＝（α为锐角），求此时可伸缩支撑杆 CD的长度（结果保留根号）. 解：（2）如答图XZ1－2－8，过点D作DF⊥BC，交BC的延长线 于点F，交AD'于点G. 由题意，得AB＝FG＝10 cm，AG＝BF，∠AGD＝90°， 在Rt△ADG中，tan α＝＝， ∴设DG＝3x cm，则AG＝4x cm. ∴AD＝＝＝5x. 答图XZ1－2－8 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 ∵AD＝50 cm， ∴5x＝50.解得x＝10. ∴DG＝30 cm，AG＝40 cm. ∴DF＝DG＋FG＝30＋10＝40（cm）. ∴BF＝AG＝40 cm. ∵BC＝20 cm， ∴CF＝BF－BC＝40－20＝20（cm）. 在Rt△CFD中，CD＝＝＝20（cm）. 答：此时可伸缩支撑杆CD的长度为20 cm. 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 谢 谢 ! 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 $$