第一章 直角三角形的边角关系 过关训练-【教与学·学导练】2025-2026学年九年级下册数学同步课件（北师大版）

数学 九年级 全一册 配北师大版 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 第一章过关训练 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 一、选择题（本大题10小题，每小题3分，共30分） 1. 如图X1－1，在一个直角三角尺ABC中，∠B＝30°，则cos A 的值为（　A　） A. B. 1 C. D. 图X1－1 A 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 2. 已知∠α为锐角，且sin α＝，则∠α＝（　C　） A. 30° B. 45° C. 60° D. 90° 3. 如图X1－2，在4×4的正方形方格图形中，小正方形的顶点称 为格点，△ABC的顶点都在格点上，则∠BAC的正弦值是（　A　） A. B. C. D. 5 C A 图X1－2 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 4. 在△ABC中，若sin A＝，tan C＝，则△ABC是（　B　） A. 等腰三角形 B. 等边三角形 C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形 5. 在△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，若cos∠A＝，则BC的长为 （　B　） A. 8 B. 12 C. 13 D. 18 B B 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 6. 如图X1－3，王英同学从点A沿北偏西60°方向走100 m到点 B，再从点B向正南方向走200 m到点C，此时王英同学距离点A （　D　） A. 50 m B. 100 m C. 150 m D. 100 m D 图X1－3 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 7. 为贯彻落实“绿水青山就是金山银山”的发展理念，某市大力 开展植树造林活动.如图X1－4，在坡度i＝1∶的山坡AB上植 树，要求相邻两树间的水平距离AC为2 m，则斜坡上相邻两树 间的坡面距离AB为（　C　） A. m B. 2 m C. 4 m D. 4 m 图X1－4 C 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 8. 如图X1－5，某地夏季中午，当太阳移至房顶上方偏南时，光 线与地面成80°角，房屋朝南的窗子高AB＝1.8 m，要在窗子外 面上方安装水平挡光板AC，使午间光线不能直接射入室内，那么 挡光板的宽度AC为（　D　） A. 1.8tan 80° m B. 1.8cos 80° m C. m D. m D 图X1－5 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 9. 一张小凳子的结构如图X1－6所示，AB∥CD，∠1＝∠2＝α， AD＝50 cm，则小凳子的高度MN为（　C　） A. 50cos α cm B. cm C. 50sin α cm D. cm C 图X1－6 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 10. 如图X1－7，CD是平面镜，光线从点A出发经CD上点E反射照 到点B，若入射角为α，AC⊥CD，BD⊥CD，且AC＝3，BD＝6， CD＝12，则tan α的值为（　B　） A. B. C. D. B 图X1－7 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 二、填空题（本大题5小题，每小题3分，共15分） 11. 在△ABC中，若∠C＝90°，sin A＝，则tan A＝ 　​　. 12. 如图X1－8所示的网格是正方形网格，点A，B，P是网格线交 点，则tan∠PAB＋tan∠PBA＝ ⁠. ​ ​ 图X1－8 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 13. 若等腰三角形两边的长分别是8 cm和10 cm，则这个等腰三角 形底角的余弦值是 ⁠. 14. 如图X1－9，在△ABC中，tan B＝，BC＝6，过点A作BC边上 的高，垂足为点D，且满足BD∶CD＝2∶1，则△ABC的面积 为 ⁠. 或 8 图X1－9 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 15. 为了学生的安全，某校决定把一段如图X1－10所示的步梯路 段进行改造.已知四边形ABCD为矩形，DE＝10 m，其坡度为i1＝ 1∶，将步梯DE改造为斜坡AF，其坡度为i2＝1∶4，则斜坡AF 的长度是 m.（结果精确到0.01 m；参考数据： ≈1.732，≈4.123） 20.62 图X1－10 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 三、解答题（一）（本大题3小题，每小题7分，共21分） 16. 计算：sin 30°＋tan 60°－2cos 45°. 解：原式＝＋×－2× ＝＋3－ ＝－. 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 17. 如图X1－11，在△ABC中，∠C＝90°，cos A＝，AC＝ 3.求BC的长. 图X1－11 解：在△ABC中，∠C＝90°，∴AB＝＝＝6. ∴BC＝＝＝3. 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 18. 如图X1－12，小明家在A处，门前有一个池塘.隔着池塘有一 条公路l，AB是A到l的小路.现新修一条路AC到公路l.小明测量出 ∠ACD＝30°，∠ABD＝45°，BC＝50 m.请你帮小明计算他家 到公路l的距离AD的长度. 　图X1－12 解：设AD＝x m.∵∠ABD＝45°，∠ADB＝90°， ∴△ABD是等腰直角三角形.∴BD＝AD＝x m. ∴CD＝BD＋BC＝（x＋50）m. 在Rt△ACD中，∠ACD＝30°，tan∠ACD＝＝， ∴＝.解得x＝25＋25. 经检验，x＝25＋25是原方程的解，且符合题意. 答：小明他家到公路l的距离AD的长度为（25＋25）m. 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 四、解答题（二）（本大题3小题，每小题9分，共27分） 19. 如图X1－13，某广场一灯柱AB被一钢缆CD固定，CD与地面 成40°夹角，且CB＝5 m. （1）求钢缆CD的长度； 解：（1）在Rt△BCD中，CB＝5 m，∠BCD＝40°， ∴CD＝≈≈6.5（m）. 　　　　　　　　 答：钢缆CD的长度约为6.5 m. 图X1－13 答图X1－1　 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 （2）若AD＝2 m，灯的顶端E距离A处1.6 m，∠EAB＝120°，则 灯的顶端E距离地面多少米？（精确到0.1 m；参考数据：tan 40°≈0.84，sin 40°≈0.64，cos 40°≈0.77） 解：（2）在Rt△BCD中，BC＝5 m，∠BCD＝40°， ∴BD＝BC·tan∠BCD＝5×tan 40°≈4.2（m）. 如答图X1－1，过点E作AB的垂线，垂足为F. 在Rt△AFE中，AE＝1.6 m， ∠EAF＝180°－∠EAB＝180°－120°＝60°， ∴AF＝AE·cos∠EAF＝AE＝0.8（m）. ∴FB＝AF＋AD＋BD＝0.8＋2＋4.2＝7（m）. 答：灯的顶端E距离地面约7 m. 答图X1－1　 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 20. 木栏头灯塔是矗立在海南岛文晶市的一座航标灯塔（如图X1 －14①），被称为“亚洲第一灯塔”，如图X1－14②，虎威岛A 位于木栏头灯塔O的南偏西50°方向上，一艘轮船在B处测得灯塔 O位于它的北偏西45°方向上，轮船沿着正北方向航行3 km后， 到达位于灯塔O正东方向上的C处，该船继续向北航行至直线AO 上的点D处. （1）填空：∠BOC＝ ，∠D＝ ⁠； 45° 50° 图X1－14 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 （2）求点D到灯塔O的距离（结果精确到0.1 km；参考数据：sin 50°≈0.77，cos 50°≈0.64，tan 50°≈1.19，≈1.73）. 解：（2）由题意，得BC＝3 km， 在Rt△BOC中，∠CBO＝45°， ∴OC＝BC＝3 km. 在Rt△DOC中，∠D＝50°， ∴OD＝＝≈3.9（km）. 答：点D到灯塔O的距离约为3.9 km. 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 21. 如图X1－15，已知E，F是▱ABCD对角线AC上两点，AE＝ CF. （1）求证：△ABE≌△CDF； （1）证明：∵四边形ABCD为平行四边形， ∴AB＝CD，AB∥CD. ∴∠BAE＝∠DCF. 在△ABE和△CDF中， ∴△ABE≌△CDF（SAS）. 图X1－15 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 （2）若CH⊥AB交AB的延长线于点H，＝3，BC＝， tan∠CAB＝，求▱ABCD的面积. （2）解：∵＝3，∴CH＝3BH. ∵CH⊥AB，∴∠H＝90°. 在Rt△BCH中，BC2＝BH2＋CH2. ∵BC＝，∴（）2＝BH2＋（3BH）2. 解得BH＝1. ∴CH＝3. 在Rt△ACH中，tan∠CAB＝＝， ∴AH＝4. ∴AB＝AH－BH＝4－1＝3. ∴S▱ABCD＝AB·CH＝3×3＝9. 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 五、解答题（三）（本大题2小题，第22题13分，第23题14分，共 27分） 22. （综合与实践）某初中兴趣小组在实践课上计划用所学到的 知识测量学校附近一楼房的高度，由于到楼房底部的水平距离不 易测量，他们通过实地观察、分析，制订了可行的方案，并进行 了实地测量.已知楼房AB前有一斜坡CD，它的坡度i＝1∶.他 们先在坡面D处测量楼房顶部A的仰角∠ADM，接着沿坡面向下走 到坡脚C处，然后向楼房的方向继续行走至E处，再次测量楼房顶 部A的仰角∠AEB，并测量了C，E之间的距离，最后测量了坡面 C，D之间的距离.为了减少测量误差，小组在测量仰角以及距离 时，都分别测量了两次并取它们的平均值作为测量结果（测角仪 高度忽略不计），如下表： 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 项目 测量学校附近楼房的高度 测量示意图 图X1－16 说明：如图X1－16，测点D，E与点 C，B都在同一水平面上 测量数据 测量项目 第一次 第二次 平均值 仰角∠AEB的度数 60.1° 59.9° 60° 仰角∠ADM的度数 30.2° 29.8° 30° C，E之间的距离 5.1 m 4.9 m 5 m C，D之间的距离 9.8 m 10.2 m … … … 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 任务： （1）两次测量C，D之间的距离的平均值是 m； （2）请你帮助该小组根据上表中的测量数据，求出学校附近楼房 AB的高（结果精确到0.1 m；参考数据：≈1.73， ≈1.41）. 解：（2）如答图X1－2，过点D作DF⊥BC， 垂足为F，延长DM交AB于点N. 10 答图X1－2 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 由题意，得DN⊥AB，DF＝BN，DN＝BF. ∵斜坡CD的坡度i＝1∶，∴＝＝. 在Rt△DCF中，tan∠DCF＝＝，∴∠DCF＝30°. ∵DC＝10 m，∴DF＝CD·sin∠DCF＝5（m）， CF＝＝5（m）. ∴BN＝DF＝5 m. 设BE＝x m. ∵CE＝5 m，∴DN＝BF＝CF＋CE＋BE＝（x＋5＋5）m. 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 在Rt△ADN中，∠ADN＝30°， ∴AN＝DN·tan 30°＝（x＋5＋5）m. 在Rt△ABE中，∠AEB＝60°， ∴AB＝BE·tan 60°＝x m. ∵AN＋BN＝AB，∴（x＋5＋5）＋5＝x. 解得x＝5＋2.5. ∴AB＝x＝×（5＋2.5）≈19.3（m）. 答：学校附近楼房AB的高约为19.3 m. 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 23. （综合运用）请阅读下面材料，并根据提供的解题思路求解 问题. 如图X1－17①，在边长为1的正方形网格中，连接格点D，N和 E，C，DN和EC相交于点P，求cos∠CPN的值. 【解题思路】 要求一个锐角的三角函数值，我们往往需要找出（或构造出）一 个直角三角形.观察发现问题中∠CPN不在直角三角形中，我们可 以利用网格画平行线等方法解决此类问题，比如连接格点M，N， 可发现MN∥EC，则∠DNM＝∠CPN，连接DM，那么∠CPN就变 换到Rt△DMN中，进而求出答案. 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 【解决问题】 （1）根据上述方法归纳，求图X1－17①中cos∠CPN的值； 图X1－17 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 解：（1）∵点M，N，D都在格点上， ∴DN＝＝，MN＝＝，DM＝＝ 2. ∵DM2＋MN2＝8＋2＝10，DN2＝10， ∴DM2＋MN2＝DN2.∴△DMN是直角三角形. ∵∠CEN＝∠ENM＝45°，∴MN∥EC. ∴∠DNM＝∠CPN. 在Rt△DMN中，cos∠CPN＝cos∠DNM＝＝＝. 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 （2）如图X1－17②，在边长为1的正方形网格中，AN与CM相交 于点P，求sin∠CPN的值. 图X1－17 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 解：（2）如答图X1－3，取格点G，连接AG，NG. ∵点N，G，A都在格点上， ∴AG＝GN＝＝，AN＝＝. ∵AG2＋GN2＝5＋5＝10，AN2＝10， ∴AG2＋GN2＝AN2. ∴△AGN是直角三角形. ∵∠GAK＝∠CMK， ∴AG∥CM. ∴∠CPN＝∠GAN. 在Rt△AGN中，sin∠CPN＝sin∠GAN＝ ＝ ＝. 答图X1－3 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 谢 谢 ! 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 $$