专题01 空间向量及其运算（期中真题汇编，内蒙古专用）高二数学上学期人教A版

专题01 空间向量及其运算 5大高频考点概览 考点01 空间向量的运算 考点02 空间向量的平行和垂直 考点03 空间直角坐标系 考点04 空间向量的数量积和投影 考点05 空间向量的综合应用 地 城 考点01 空间向量的运算 1．(24-25高二上·内蒙古赤峰名校·期中)关于空间向量，，，下列运算错误的是（   ） A． B． C． D． 2．(24-25高二上·内蒙古呼和浩特和林格尔县民族中学·期中)在空间四边形中，下列表达式化简结果与相等的是（   ） A． B． C． D． 3．(24-25高二上·内蒙古乌兰浩特第一中学·期中)在四面体中，点E满足F为BE的中点，且则实数λ=（    ） A． B． C． D． 4．(24-25高二上·内蒙古鄂尔多斯西四旗·期中)如图，在四面体中，是棱上一点，且是棱的中点，则（   ）    A． B． C． D． 5．(24-25高二上·内蒙古锡林郭勒盟·期中)如图，空间四边形中，，，，点在上，，点为中点，则等于（    ） A． B． C． D． 地 城 考点02 空间向量的平行和垂直 1．(24-25高二上·内蒙古锡林郭勒盟·期中)已知三点共线，则（    ） A． B．6 C． D．2 2．(24-25高二上·内蒙古包头景泰艺术中学·期中)向量，，若，则（    ） A． B． C． D． 3．(24-25高二上·内蒙古乌兰浩特第一中学·期中)已知，，，若，则（    ） A．-2 B．2 C．-4 D．4 4．(24-25高二上·内蒙古包头第八十一中学·期中)已知向量，向量，若，则实数（    ） A．3 B． C． D．6 5．(24-25高二上·内蒙古呼和浩特和林格尔县民族中学·期中)设向量，，若，则（    ） A． B． C．1 D．2 6．(24-25高二上·内蒙古兴安盟科尔沁右翼前旗第二中学·期中)（多选题）向量，若，则（    ） A． B． C． D． 7．(24-25高二上·内蒙古赤峰名校·期中)（多选题）已知空间向量，，，则（   ） A． B． C． D．在方向上的投影向量为 地 城 考点03 空间直角坐标系 1．(24-25高二上·内蒙古科左中旗民族职专�实验高中·期中)在空间直角坐标系中，点关于x轴对称的点坐标是（   ） A． B． C． D． 2．(24-25高二上·内蒙古赤峰名校·期中)在正方体中，下列向量与平行的是（    ） A． B． C． D． 3．(24-25高二上·内蒙古科左中旗民族职专�实验高中·期中)已知直线l的方向向量为，平面α的一个法向量为，若直线平面α，则（    ） A． B． C． D．2 4．(24-25高二上·内蒙古包头第六中学·期中)（多选题）在如图所示的空间直角坐标系中，是棱长为1的正方体，给出下列结论中，正确的是（    ） A．直线的一个方向向量为 B．直线的一个方向向量为 C．平面的一个法向量为 D．平面的一个法向量为 地 城 考点04 空间向量的数量积和投影 1．(24-25高二上·内蒙古赤峰名校·期中)在正四面体中，为棱的中点，，则（    ） A． B．3 C． D．6 2．(24-25高二上·内蒙古呼和浩特和林格尔县民族中学·期中)已知，，且，则（   ） A． B． C．1 D．2 3．(24-25高二上·内蒙古呼和浩特和林格尔县民族中学·期中)已知空间向量，，满足，，，，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 4．(24-25高二上·内蒙古赤峰元宝山区第一中学·期中)已知向量是平面的一个法向量，点在平面内，则下列点不在平面内的是（    ） A． B． C． D． 5．(24-25高二上·内蒙古包头第六中学·期中)已知，，，则下列向量是平面法向量的是（    ） A． B． C． D． 6．(24-25高二上·内蒙古鄂尔多斯达拉特旗第一中学·期中)已知向量，则在方向上的投影向量的模为（    ） A． B． C． D． 7．(24-25高二上·内蒙古呼和浩特第一中学·期中)已知向量，，，当时，向量在向量上的投影的数量为（    ） A． B． C．3 D． 8．(24-25高二上·内蒙古呼和浩特第二中学·期中)在四面体中，空间的一点满足．若，，，四点共面，则 ． 9．(24-25高二上·内蒙古包头景泰艺术中学·期中)设，，若，则 ． 10．(24-25高二上·内蒙古鄂尔多斯西四旗·期中)已知平面的法向量为，平面的法向量为，若，则 . 地 城 考点05 空间向量的综合应用 1．(24-25高二上·内蒙古包头第八十一中学·期中)（多选题）下列命题中，正确的是（    ） A．两条不重合直线的方向向量分别是，，则 B．直线的方向向量，平面的法向量，则 C．直线的方向向量，平面的法向量，则直线与平面所成角的大小为 D．两个不同的平面的法向量分别是，，则 2．(24-25高二上·内蒙古呼和浩特第一中学·期中)（多选题）关于空间向量，以下说法正确的是（    ） A．若两个不同平面，的法向量分别是，，且，则 B．若直线l的方向向量为，平面的法向量为，则直线 C．若对空间中任意一点O，有，则P，A，B，C四点共面 D．两个非零向量与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则这两个向量共线 3．(24-25高二上·内蒙古赤峰元宝山区第一中学·期中)（多选题）在直三棱柱中，，是的中点，则（    ） A． B．若，则 C．在上存在一点，使得平面 D．若，则平面与平面不平行 4．(24-25高二上·内蒙古赤峰名校·期中)（多选题）在空间直角坐标系中，已知，则（    ） A．为质数 B．为直角三角形 C．与所成角的正弦值为 D．几何体的体积为 5．(24-25高二上·内蒙古赤峰名校·期中)在空间直角坐标系中，已知，，，. (1)若，求m的值； (2)若，求的值. 6．(24-25高二上·内蒙古呼和浩特和林格尔县民族中学·期中)已知空间三点，，． (1)求向量与的夹角； (2)若，求实数的值． (3)求的面积. 试卷第1页，共3页 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 空间向量及其运算 5大高频考点概览 考点01 空间向量的运算 考点02 空间向量的平行和垂直 考点03 空间直角坐标系 考点04 空间向量的数量积和投影 考点05 空间向量的综合应用 地 城 考点01 空间向量的运算 1．(24-25高二上·内蒙古赤峰名校·期中)关于空间向量，，，下列运算错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由数量积运算的交换律可得,选项A正确. 由数量积运算的分配率可得，选项B正确. 由数量积运算的数乘结合律可得，选项C正确. 表示与共线的向量，表示与共线的向量，与不一定相等，选项D错误. 故选：D. 2．(24-25高二上·内蒙古呼和浩特和林格尔县民族中学·期中)在空间四边形中，下列表达式化简结果与相等的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】在空间四边形中， 对于A，，A错误； 对于B，，B错误； 对于C，，C正确； 对于D，，D错误. 故选：C 3．(24-25高二上·内蒙古乌兰浩特第一中学·期中)在四面体中，点E满足F为BE的中点，且则实数λ=（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由F为BE 的中点，得 又 所以，由 得 即所以 故选：D    4．(24-25高二上·内蒙古鄂尔多斯西四旗·期中)如图，在四面体中，是棱上一点，且是棱的中点，则（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意，得 ． 故选：D． 5．(24-25高二上·内蒙古锡林郭勒盟·期中)如图，空间四边形中，，，，点在上，，点为中点，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，为中点，，，， 所以 . 故选：B 地 城 考点02 空间向量的平行和垂直 1．(24-25高二上·内蒙古锡林郭勒盟·期中)已知三点共线，则（    ） A． B．6 C． D．2 【答案】B 【详解】由题可得，即，解得． 故选：B 2．(24-25高二上·内蒙古包头景泰艺术中学·期中)向量，，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，， 所以可设，又，， 所以，，， 所以，，. 故选：C. 3．(24-25高二上·内蒙古乌兰浩特第一中学·期中)已知，，，若，则（    ） A．-2 B．2 C．-4 D．4 【答案】A 【详解】由题意，， 因为，所以， 解得，， 所以. 故选：A. 4．(24-25高二上·内蒙古包头第八十一中学·期中)已知向量，向量，若，则实数（    ） A．3 B． C． D．6 【答案】C 【详解】由可得，解得. 故选：C. 5．(24-25高二上·内蒙古呼和浩特和林格尔县民族中学·期中)设向量，，若，则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】D 【详解】由，得 ∵，， ∴，解得 故选：D 6．(24-25高二上·内蒙古兴安盟科尔沁右翼前旗第二中学·期中)（多选题）向量，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【详解】因为，所以，由题意可得， 所以，则． 故选：BC 7．(24-25高二上·内蒙古赤峰名校·期中)（多选题）已知空间向量，，，则（   ） A． B． C． D．在方向上的投影向量为 【答案】AC 【详解】，A正确； ，，，B错误； 由得，C正确； 在方向上的投影向量为，D错误. 故选：AC. 地 城 考点03 空间直角坐标系 1．(24-25高二上·内蒙古科左中旗民族职专�实验高中·期中)在空间直角坐标系中，点关于x轴对称的点坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】在空间直角坐标系中，点关于轴对称的点坐标为. 故选：C. 2．(24-25高二上·内蒙古赤峰名校·期中)在正方体中，下列向量与平行的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】如图，在正方体中， . 故选：A. 3．(24-25高二上·内蒙古科左中旗民族职专�实验高中·期中)已知直线l的方向向量为，平面α的一个法向量为，若直线平面α，则（    ） A． B． C． D．2 【答案】D 【详解】由直线平面，可得， 所以，得. 故选：D. 4．(24-25高二上·内蒙古包头第六中学·期中)（多选题）在如图所示的空间直角坐标系中，是棱长为1的正方体，给出下列结论中，正确的是（    ） A．直线的一个方向向量为 B．直线的一个方向向量为 C．平面的一个法向量为 D．平面的一个法向量为 【答案】AC 【详解】由题意，,,,,, ∵，∴向量为直线的一个方向向量，故正确,不正确； 设平面的法向量为， 则, 由，得， 令得，则正确; 设平面的法向量为，则， 由，得， 令得，则不正确. 故选：. 地 城 考点04 空间向量的数量积和投影 1．(24-25高二上·内蒙古赤峰名校·期中)在正四面体中，为棱的中点，，则（    ） A． B．3 C． D．6 【答案】B 【详解】    因为为棱的中点，所以， 所以. 故选：B. 2．(24-25高二上·内蒙古呼和浩特和林格尔县民族中学·期中)已知，，且，则（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】C 【详解】，解得. 故选：C 3．(24-25高二上·内蒙古呼和浩特和林格尔县民族中学·期中)已知空间向量，，满足，，，，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设与的夹角为，由，得， 两边同时平方得， 所以1，解得， 又，所以. 故选：D 4．(24-25高二上·内蒙古赤峰元宝山区第一中学·期中)已知向量是平面的一个法向量，点在平面内，则下列点不在平面内的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】记选项中的四个点依次为A，B，C，D， 则，，，，又， ，故与垂直， 即A点在平面内，故A错误； ，故与垂直， 即B点在平面内，故B错误； ，故与不垂直， 即C点不在平面内，故C正确； ，故与垂直， 即D点在平面内，故D错误. 故选：C. 5．(24-25高二上·内蒙古包头第六中学·期中)已知，，，则下列向量是平面法向量的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设平面的一个法向量为， ∵， ∴，则， 对比各选项，可知ABD不符合，C符合． 故选：C． 6．(24-25高二上·内蒙古鄂尔多斯达拉特旗第一中学·期中)已知向量，则在方向上的投影向量的模为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由，得， ， 所以在方向上的投影向量的模为. 故选：B 7．(24-25高二上·内蒙古呼和浩特第一中学·期中)已知向量，，，当时，向量在向量上的投影的数量为（    ） A． B． C．3 D． 【答案】B 【详解】向量，，， 所以，解得，所以，， 所以向量在向量上的投影的数量为. 故选：B. 8．(24-25高二上·内蒙古呼和浩特第二中学·期中)在四面体中，空间的一点满足．若，，，四点共面，则 ． 【答案】3 【详解】由题意知，， 根据四点共面的充要条件可得，解得． 故答案为： 9．(24-25高二上·内蒙古包头景泰艺术中学·期中)设，，若，则 ． 【答案】9 【详解】由，得， 解得 ，，， ． 故答案为：9 10．(24-25高二上·内蒙古鄂尔多斯西四旗·期中)已知平面的法向量为，平面的法向量为，若，则 . 【答案】/ 【详解】因为，所以，则存在实数，使， 即，解得，所以 故答案为： 地 城 考点05 空间向量的综合应用 1．(24-25高二上·内蒙古包头第八十一中学·期中)（多选题）下列命题中，正确的是（    ） A．两条不重合直线的方向向量分别是，，则 B．直线的方向向量，平面的法向量，则 C．直线的方向向量，平面的法向量，则直线与平面所成角的大小为 D．两个不同的平面的法向量分别是，，则 【答案】AD 【详解】对于A，由，可得， 又是两条不重合直线，故，即A正确； 对于B，因，可得，即或，故B错误； 对于C，设直线与平面所成角为，则， 因，故有，故C错误； 对于D，由，可得， 则，故，即D正确. 故选：AD. 2．(24-25高二上·内蒙古呼和浩特第一中学·期中)（多选题）关于空间向量，以下说法正确的是（    ） A．若两个不同平面，的法向量分别是，，且，则 B．若直线l的方向向量为，平面的法向量为，则直线 C．若对空间中任意一点O，有，则P，A，B，C四点共面 D．两个非零向量与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则这两个向量共线 【答案】ACD 【详解】对于A，，所以，A正确； 对于B， ，所以，则直线或者，,B错误; 对于C，对空间中任意一点O，有，满足，则P，A，B，C四点共面，可知C正确； 对于D，两个非零向量与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则这两个向量共线，所以D正确. 故选：ACD. 3．(24-25高二上·内蒙古赤峰元宝山区第一中学·期中)（多选题）在直三棱柱中，，是的中点，则（    ） A． B．若，则 C．在上存在一点，使得平面 D．若，则平面与平面不平行 【答案】CD 【详解】以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，，，所以，所以，A错误； 若，则，所以，B错误； 当为中点时，平面平面， 所以平面，C正确； 若，，则， 所以． 设平面的法向量， 平面的法向量， 则，即， 令，则，又， 则，即，令，则， 所以与不平行，D正确． 故选：CD 4．(24-25高二上·内蒙古赤峰名校·期中)（多选题）在空间直角坐标系中，已知，则（    ） A．为质数 B．为直角三角形 C．与所成角的正弦值为 D．几何体的体积为 【答案】BCD 【详解】对于选项A：因为， 所以不是质数，A错误； 对于选项B：因为，则， 所以为直角三角形，B正确； 对于选项C：因为， 所以与所成角的正弦值为，C正确； 对于选项D：根据已知6个点的空间直角坐标可得几何体为三棱台， 且与该三棱台的底面垂直，， 所以几何体的体积为，D正确. 故选：BCD. 5．(24-25高二上·内蒙古赤峰名校·期中)在空间直角坐标系中，已知，，，. (1)若，求m的值； (2)若，求的值. 【详解】（1），， 因为，所以， 即，解得. （2），， 因为，所以， 解得，则. 6．(24-25高二上·内蒙古呼和浩特和林格尔县民族中学·期中)已知空间三点，，． (1)求向量与的夹角； (2)若，求实数的值． (3)求的面积. 【详解】（1）由已知得：，， ， 所以，向量与的夹角为60°． （2），， ∵ ， ∴， ∴，解得或， ∴实数k的值为3或． （3）由（1）得，， 故的面积为. 试卷第1页，共3页 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$