精品解析：四川省巴中市南江县实验中学2024-2025学年上学期九年级10月月考数学试题

2024年秋学期10月大专题训练 九年级（上）数学 考试时间：120分钟 满分：150分 一、选择题（本题共计12小题，每题4分，共计48分） 1. 下列方程中，关于的一元二次方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】一元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0；（3）是整式方程；（4）含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案． 【详解】解：A、，化简后为，不是关于x的一元二次方程，故此选项不合题意； B、，当时，不是关于x的一元二次方程，故此选项不合题意； C、含有2个未知数，不是关于x的一元二次方程，故此选项不合题意； D、是关于x的一元二次方程，故此选项符合题意． 故选：D． 【点睛】此题主要考查了一元二次方程的定义，解题的关键是判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”． 2. 下列各组种的四条线段成比例的是（　　） A. 3cm、5cm、6cm、9cm B. 3cm、5cm、8cm、9cm C. 3cm、9cm、10cm、30cm D. 3cm、6cm、7cm、9cm 【答案】C 【解析】 【分析】根据比例线段的定义和比例的性质，利用每组数中最大和最小数的积与另两个数之积是否相等进行判断． 【详解】解：A．，所以四条线段不成比例，故A选项不符合题意； B．，所以四条线段不成比例，故B选项不符合题意； C．，所以四条线段成比例，故C选项符合题意； D．，所以四条线段不成比例，故D选项不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查成比例线段的概念，关键是理解比例线段的定义，两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则四条线段叫成比例线段． 3. 下列表格的对应值判断方程 (,a,b,c为常数）的一个解x的取值范围是（ ） x A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用，，而，，则可判断方程 (,a,b,c为常数）的一个解的范围是． 【详解】解：，， ，， 时，存在某个x的值，使得， 即方程 (,a,b,c为常数）的一个解的范围是． 故选：C． 【点睛】本题考查了估算一元二次方程的近似解，熟练掌握方法是解题的关键． 4. 如图，若添加一个条件后，仍不能判定与相似的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定：①如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；②如果两个三角形的两条对应边的比相等，且夹角相等，那么这两个三角形相似；③如果两个三角形的两个对应角相等，那么这两个三角形相似． 根据已知及相似三角形的判定方法对各个选项进行分析，从而得到最后答案． 【详解】解：， ， A，B，D都可判定；选项C中，不是夹这两个角的边，所以不相似， 故选：C． 5. 如图，小正方形边长均为1，则下列图形中三角形(阴影部分)与△ABC相似的是 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据网格的特点求出三角形的三边，再根据相似三角形的判定定理即可求解． 【详解】已知给出的三角形的各边AB、CB、AC分别为、2、、 只有选项B的各边为1、、与它的各边对应成比例． 故选B． 【点睛】此题主要考查相似三角形的判定，解题的关键是熟知相似三角形的判定定理． 6. 如图，直线，它们依次交直线m、n于点A、B、C和D、E、F，已知，，，那么等于（ ） A. 8 B. 7 C. 6 D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】由题意根据平行线分线段成比例定理得出比例式，再代入求解即可． 【详解】∵， ∴，即 ∴解得， ∴． 故选：D． 【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理，能正确根据平行线分线段成比例定理得出比例式是解答此题的关键． 7. 已知线段cm，线段cm，则线段、的比例中项是（ ） A. cm B. cm C. cm D. cm 【答案】A 【解析】 【分析】根据比例中项的定义，列出比例式即可求解． 【详解】解：设线段c是a、b的比例中项， ∵线段a=2cm，b=6cm， ∴c2=ab=2×6=12， ∴c=2，c=-2（舍去）． 故选：A． 【点睛】本题考查了比例线段；解决问题的关键是理解比例中项的概念，这里需要注意线段长不能是负数． 8. 参加足球友谊赛的每两支球队之间都要进行一场比赛，共比赛了21场，设参加比赛的球队有x支，根据题意，下面列出的方程正确的是（　　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设有x个队参赛，根据参加一次足球联赛的每两队之间都进行一场比赛，共要比赛21场，可列出方程． 【详解】解：设有x个队参赛，则 故选B 【点睛】本题考查的是一元二次方程的应用，找准等量关系列一元二次方程是解题的关键． 9. 在研究相似问题时，甲、乙同学的观点如下： 甲：将边长为3、4、5的三角形按图1的方式向外扩张，得到新三角形，它们的对应边间距为1，则新三角形与原三角形相似． 乙：将邻边为3和5的矩形按图2的方式向外扩张，得到新的矩形，它们的对应边间距均为1，则新矩形与原矩形不相似． 对于两人的观点，下列说法正确的是（　　） A. 两人都对 B. 两人都不对 C. 甲对，乙不对 D. 甲不对，乙对 【答案】A 【解析】 【分析】根据边数相同的两个多边形，如果对应角相等，且对应边成比例，那么这两个多边形相似，即可判断． 【详解】解：如图：甲：根据题意得：，，， ，， ， ∴甲说法正确； 乙：∵根据题意得：，，则，， ，， ， ∴新矩形与原矩形不相似． ∴乙说法正确． 故选：A． 【点睛】此题考查了相似三角形的判定以及相似多边形的判定，熟练掌握和运用相似形的判定方法是解决本题的关键． 10. 已知，并且，则函数图像一定经过（ ） A. 第一、二、三象限 B. 第二、三象限 C. 第二、三、四象限 D. 第一、四象限 【答案】B 【解析】 【分析】当时，将的每一部分都加上1，可得，要使等式成立，分子相等，分母也要相等．则，可求出p得值，当时，可得 再根据一次函数的图像的性质即可作答． 【详解】解∵， ∴ ∴， ①当a+b+c不等于0时，， ∴3=p+1解得： 则， 直线经过一、二、三象限（如图）． ②当a+b+c=0时，p+1=0，解得p=-1， 则y=-x-1， 直线y=-x-1经过二、三、四象限（如图）， 综上：的图像一定经过二、三象限； 故选B． 【点睛】本题主要考查了等式的性质以及一次函数的图像和性质，熟练地掌握等式的性质以及一次函数的图像和性质是解题的关键．一次函数y=kx+b(k≠0)，当k>0时，图像经过一三象限，当k<0时，图像经过二四象限；当b>0时，图像与有y轴交于正半轴，当b<0时，图像与y轴交于负半轴． 11. 如图，M是三条角平分线的交点，过M作，分别交于D，E两点，设，关于x的方程（） A. 一定有两个相等实根 B. 一定有两个不相等实根 C. 有两个实根，但无法确定是否相等 D. 无实根 【答案】A 【解析】 【分析】M是三条角平分线的交点，过M作，则得出，即可得出△DBM∽△MBC，再求出△BMC∽△MEC，△DBM∽△EMC，即可得出：，即可求解． 【详解】解：∵AM平分∠BAC，DE⊥AM， ∴∠ADM=∠AEM，， ∴， ∵M是三条角平分线的交点 ∴， ∴， ∴， ∴， ∵M是△ABC的内角平分线的交点， ∴∠1=∠2， ∴△DBM∽△MBC， 同理可得出：△BMC∽△MEC， △DBM∽△EMC， ∴， 即：， 即． 故选：A． 【点睛】此题主要考查了相似三角形的判定与性质，根据已知得出是解题关键． 12. 如图，在正方形中，的顶点，分别在，边上，高与正方形的边长相等，连接分别交，于点，，下列说法： ①； ②连接，，则为直角三角形； ③； ④若，，则的长为．其中正确结论的个数是( ) A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】根据正方形的性质及定理求得，，从而求得，，然后求得，从而得到，由此判断①； 将绕点顺时针旋转至位置，连接，，，由旋转的性质根据结合定理求得，得到，结合正方形和旋转的性质求得，从而可得，然后根据定理求得，，从而得到，，从而求得，由此判断②； 由垂直可得 ，然后结合①中已证，可得，由此得到 ，然后根据定理求得三角形形式，由此判断③； 旋转到，由旋转性质和定理可得得，，设，在中，根据勾股定理列方程求，从而求得正方形的边长，设，结合②中的结论列方程求的值，从而判断④． 【详解】解：如图中， 四边形是正方形， ，， ， ， 在和中， ， ， ， 同理可证， ， ， ， ，故①正确； 如图②，将绕点顺时针旋转至位置，连接，， 由旋转知：，， 四边形是正方形， ， ， ， ， ，又， ， ， 四边形是正方形， ． 由旋转知：，， ， ， ． 又，， ， ， 同理可证： ， 即为直角三角形，故②正确； ， ， 又， 由①可知：， ， ， 又， ，故③正确； 如图中， 旋转到，， ，， 同理②中可证：， ，设， ，， 四边形是正方形， ， ， 在中，根据勾股定理得， 或舍， ， ， 正方形的边长为； 由正方形的边长为， ， 由①可知， ，， 由②得， 设， ，， ， ， 解得， ，故④正确 故选：A． 【点睛】本题主要考查正方形的性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题关键是学会用旋转法添加辅助线，构造全等三角形解决问题． 二、填空题（本题共计6小题，每题3分，共计18分） 13. 关于的方程是一元二次方程，则的值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义可知的指数为2，二次项系数不等于0，列式求解即可得出答案． 【详解】解：∵是一元二次方程， ∴，， 由，得， 由，得， 故的值为． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查一元二次方程的定义以及解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的定义：只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程是一元二次方程，注意考虑二次项系数不为0． 14. 已知，那么________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质对式子进行灵活变形是解题关键． 根据比例的性质得出：，再代入到原式计算即可． 【详解】由，得 ， 则． 故答案为：． 15. 点是的黄金分割点，，则线段的长为__________． 【答案】或 【解析】 【分析】把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，他们的比值（）叫做黄金比． 【详解】解：由题意知：AC= （AC>BC） 或AC=4-（）=（AC<BC） 故答案为：或． 【点睛】考查了黄金分割点的概念．一个点把一条线段分成两段，其中较长线段是较短线段与整个线段的比例中项，那么就说这条线段被这点黄金分割，这个点叫这条线段的黄金分割点，并且较长线段是整个线段的倍． 16. 数学兴趣小组想测量一棵树的高度，在阳光下，一名同学测得一根长为1米的竹竿的影长为米．同时另一名同学测量一棵树的高度时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分影子落在教学楼的墙壁上（如图），其影长为米，落在地面上的影长为米，则树高为 　　　米． 【答案】4.2 【解析】 【分析】在同一时刻物高和影长成正比，即在同一时刻的两个物体，影子，经过物体顶部的太阳光线三者构成的两个直角三角形相似．本题中：经过树在教学楼上的影子的顶端作树的垂线和经过树顶的太阳光线以及树所成三角形，与竹竿，影子光线形成的三角形相似，这样就可求出垂足到树的顶端的高度，再加上墙上的影高就是树高． 【详解】设从墙上的影子的顶端到树的顶端的垂直高度是x米． 则有， 解得x=3． ∴树高是3+1.2=4.2（米）， 故答案为4.2． 【点睛】本题实际是一个直角梯形的问题，可以通过作垂线分解成直角三角形与矩形的问题． 17. 如图，在中，，，动点P从点A开始沿边运动，速度为，动点Q从点B开始沿边运动，速度为，当点P与点B重合时，停止运动．如果P，Q两点同时运动，设运动时间为t秒，当__________秒时，由P、B、Q三点连成的三角形与相似． 【答案】2秒或秒 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似．利用时间表示相应线段长和利用相似比列方程是解决此题的关键．分两种情况，利用相似三角形的判定建立方程求解即可； 【详解】解：设经过t秒时，以与相似，厘米， ， ∴当时，，即； 解得：， 当时，，即； 解得：， 即经过2秒或秒时，与相似， 故答案为：2秒或秒． 18. 如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，CA=CB=2，CD⊥AB于D，点P是线段CD上的一个动点，以点P为直角顶点向下作等腰直角△PBE， 连接DE ，则DE的最小值为__________ 【答案】1 【解析】 【分析】连接AE，先证明∠BAE的度数为定值，即∠BAE=∠BCP=45°，再根据垂线段最短，当DE⊥AE时，DE最小，此时三角形ADE是等腰直角三角形，解直角三角形可得. 【详解】连接AE ∵△ABC和△EBP均为等腰直角三角形 ∴△ABC∽△EBP，且∠ABC=∠EBP=45° ∴ ，且∠CBP=∠ABE ∴△CBP∽△ABE ∴∠BCP =∠BAE ∵CA=CB，∠ACB=90°，CD⊥AB ∴∠BCP=45° ∴∠BAE=∠BCP=45° 即∠BAE的度数为定值， 当DE⊥AE时，DE最小，此时三角形ADE是等腰直角三角形， 因为，三角形ABC是等腰直角三角形，CA=CB=2，CD⊥AB 所以，AD= 所以，设AE=DE=x,则由AE2+DE2=AD2得，2x2=2, 解得x=1 所以，DE=1. 故答案为1 【点睛】此题比较综合，要熟练掌握等腰直角三角形的性质和相似三角形判定，抓住垂线段最短是关键. 三、解答题（本题共计8小题，共计84分） 19. 解下列方程 （1） （2） （3） 【答案】（1），； （2）， （3）， 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握解一元二次方程的方法． （1）根据因式分解法可以解答此方程； （2）根据公式法可以解答此方程； （3）先变形，然后根据因式分解法可以解答此方程． 【小问1详解】 解： ， ，； 【小问2详解】 解：， ，，， ， ， ，； 【小问3详解】 解：， ， ， 或， ，． 20. 先化简，再计算：，其中满足． 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则．先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再由及分式的隐含条件得，代入计算可得． 【详解】解：原式= = =， ∵， ∴， 则，， ∵原式中． ∴， 则原式= ． 21. 如图，在平行四边形中，过点A作，垂足为E，连接，F为线段上一点，且． （1）求证：； （2）若，求的长． 【答案】（1） 证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）6 【解析】 【分析】（1）利用平行四边形的性质可得，从而得，然后根据两角相等的两个三角形相似证明即可解答； （2）利用相似三角形的性质可求出，然后在中，利用勾股定理进行计算即可解答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴的长为6． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质，以及勾股定理等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 22. 已知关于x的方程：x2﹣（6+m）x+9+3m＝0． （1）求证：无论m为何值，方程都有实数根． （2）若该方程的两个实数根恰为斜边为5的直角三角形的两直角边长，求m的值． 【答案】 （1）证明：对于关于x的方程x2-（6+m）x+9+3m=0， ∵，，， ∴=（6+m）2-4（9+3m）=m2≥0， ∴无论m为何值方程都有两个实数根； （2）m的值是1． 【解析】 【分析】（1）求出根的判别式，再根据非负数的性质即可证明； （2）根据一元二次方程根与系数的关系即可求得方程两根的和与两根的积，两根的平方和可以用两根的和与两根的积表示，即可得到一个关于m的方程，求得m的值． 【详解】（1）略 （2）解：∵直角三角形的两直角边AB、AC的长是该方程的两个实数根， ∴AB+AC=m+6，AB•AC=9+3m， ∵△ABC是直角三角形， ∴AB2+AC2=BC2， ∴（AB+AC）2-2AB•AC=BC2， 即（m+6）2-2×（9+3m）=52， 解得：m=-7或m=1， 又∵AB•AC=9+3m，m为正数， ∴m的值是1． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，一元二次方程的根与系数的关系，根的判别式以及运用公式法解一元二次方程，考查的知识点较多，但难度不大． 23. 某服装厂生产一批服装，2019年该类服装的出厂价是200元/件，2020年，2021年连续两年改进技术，降低成本，2021年该类服装的出厂价调整为162元/件． （1）这两年此类服装的出厂价下降的百分比相同，求平均下降率． （2）2021年某商场从该服装厂以出厂价购进若干件此类服装，以200元/件销售时，平均每天可销售20件．为了减少库存，商场决定降价销售．经调查发现，单价每降低5元，每天可多售出10件，如果每天盈利1150元，单价应降低多少元? 【答案】（1）平均下降率为10%；（2）单价应降低15元． 【解析】 【分析】（1）设平均下降率为x，然后根据题意可直接列方程求解； （2）设单价应降低y元，根据题意可得每天的销售量为(20+2y)件，然后根据题意可列方程求解． 【详解】解：（1）设平均下降率为x，由题意可得： 200(1−x)2=162， 解得：x1=0.1，x2=1.9（不符合题意，舍去）， ∴x=0.1=10%， 答：平均下降率为10%． （2）设单价应降低y元，根据题意可得： (200−162−y)(20+y)=1150， 解得：y1=13，y2=15， 根据题意，为了减少库存，单价每降低5元，每天可多售出10件，所以应该降低15元， 答：单价应降低15元． 【点睛】本题主要考查一元二次方程的实际应用，熟练掌握一元二次方程的实际应用是解题的关键． 24. 学完了《图形的相似》这一章后，某中学数学实践小组决定利用所学知识去测量一古建筑的高度（如图1）．如图2，在地面上取两点，分别竖立两根高为的标杆和，两标杆间隔为，并且古建筑，标杆和在同一竖直平面内，从标杆后退到处，从处观察点，三点成一线；从标杆后退到处，从处观察点，三点也成一线．请根据以上测量数据，帮助实践小组求出该古建筑的高度． 【答案】该古建筑的高度为米 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，由题意可得：，，，从而得到，进而得到，，由相似三角形的性质可得，，由得出，求出的长，即可得解，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解此题的关键． 【详解】解：由题意可得：，，， ， ，， ，， ， ， ， 解得：， ， ， 该古建筑的高度为米． 25. 如图，在中，，于点，是中点，延长线交延长线于点．求证： （1）； （2） 【答案】（1） 证明：，， ，， ， ，是中点， ， ， ， ， ， ， 又， ， ， ； （2） 证明：由（1）知，， ， ，， ， 又， ， ， ． 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． （1）由，，可得，再由是中点，可得，进而推出，即证； （2）由（1）得到，因为，，可得，即证，可得，即证得结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 26. 如图1，在矩形ABCD中，AB=2，BC=5，BP=1，∠MPN=90°，将∠MPN绕点P从PB处开始顺时针方向旋转，PM交边AB于点E，PN交边AD于点F，当PE旋转至PA处时，∠MPN的旋转随即停止. （1）如图2，在旋转中发现当PM经过点A时，PN也经过点D，求证：△ABP ∽△PCD （2）如图3，在旋转过程中，的值是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由 （3）设AE，连结EF，则在旋转过程中，当为何值时，△BPE与△PEF相似. 【答案】 （1）证明：∵四边形ABCD是矩形 ∴∠B=∠C=90° ∴∠BAP+∠BPA=90° ∵∠MPN=90° ∴∠CPD+∠BPA=90° ∴∠BAP=∠CPD ∴△ABP ∽△PCD （2）的值是定值，该定值为 ； （3）当或时，△BPE与△PEF相似 【解析】 【分析】（1）因为在矩形中，所以只要再证明∠BAP=∠CPD即可；（2）证明边比为定值，考虑相似三角形，过点F作FG⊥BC于G，创造△PGF并证明其与△EBP 相似；（3）使△BPE ∽△PFE，那么，算出m值，反证相似. 【详解】（1）略 （2）过点F作FG⊥BC于G ∴∠FGP=90° ∴∠FGP=∠B，∠PFG+∠FPG=90° 易知四边形ABGF是矩形， ∴FG=AB=2 ∵∠MPN=90° ∴∠EPB+∠FPG=90° ∴∠EPB=∠FPG ∴△EBP ∽△PGF ∴ ∴的值是定值，该定值为 （3）∵AE ∴BE ①当时， ∵∠B=∠EPF=90° ∴△BPE ∽△PFE ∴ ∴ ∴ ②当时， ∵∠B=∠EPF=90° ∴△BPE ∽△PEF ∴ ∴ ∴ 综上，当或时，△BPE与△PEF相似. 【点睛】本题考查了相似三角形的判定定理：平行于三角形一边的直线和其他两边相交；两边对应成比例且夹角相等；三边对应成比例；两角对应相等以及性质定理：对应角相等，对应边成比例. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年秋学期10月大专题训练 九年级（上）数学 考试时间：120分钟 满分：150分 一、选择题（本题共计12小题，每题4分，共计48分） 1. 下列方程中，关于的一元二次方程是（ ） A. B. C. D. 2. 下列各组种的四条线段成比例的是（　　） A. 3cm、5cm、6cm、9cm B. 3cm、5cm、8cm、9cm C. 3cm、9cm、10cm、30cm D. 3cm、6cm、7cm、9cm 3. 下列表格的对应值判断方程 (,a,b,c为常数）的一个解x的取值范围是（ ） x A. B. C. D. 4. 如图，若添加一个条件后，仍不能判定与相似的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，小正方形边长均为1，则下列图形中三角形(阴影部分)与△ABC相似的是 A. B. C. D. 6. 如图，直线，它们依次交直线m、n于点A、B、C和D、E、F，已知，，，那么等于（ ） A. 8 B. 7 C. 6 D. 5 7. 已知线段cm，线段cm，则线段、的比例中项是（ ） A. cm B. cm C. cm D. cm 8. 参加足球友谊赛的每两支球队之间都要进行一场比赛，共比赛了21场，设参加比赛的球队有x支，根据题意，下面列出的方程正确的是（　　　） A. B. C. D. 9. 在研究相似问题时，甲、乙同学的观点如下： 甲：将边长为3、4、5的三角形按图1的方式向外扩张，得到新三角形，它们的对应边间距为1，则新三角形与原三角形相似． 乙：将邻边为3和5的矩形按图2的方式向外扩张，得到新的矩形，它们的对应边间距均为1，则新矩形与原矩形不相似． 对于两人的观点，下列说法正确的是（　　） A. 两人都对 B. 两人都不对 C. 甲对，乙不对 D. 甲不对，乙对 10. 已知，并且，则函数图像一定经过（ ） A. 第一、二、三象限 B. 第二、三象限 C. 第二、三、四象限 D. 第一、四象限 11. 如图，M是三条角平分线的交点，过M作，分别交于D，E两点，设，关于x的方程（） A. 一定有两个相等实根 B. 一定有两个不相等实根 C. 有两个实根，但无法确定是否相等 D. 无实根 12. 如图，在正方形中，的顶点，分别在，边上，高与正方形的边长相等，连接分别交，于点，，下列说法： ①； ②连接，，则为直角三角形； ③； ④若，，则的长为．其中正确结论的个数是( ) A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 二、填空题（本题共计6小题，每题3分，共计18分） 13. 关于的方程是一元二次方程，则的值为__________． 14. 已知，那么________． 15. 点是的黄金分割点，，则线段的长为__________． 16. 数学兴趣小组想测量一棵树的高度，在阳光下，一名同学测得一根长为1米的竹竿的影长为米．同时另一名同学测量一棵树的高度时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分影子落在教学楼的墙壁上（如图），其影长为米，落在地面上的影长为米，则树高为 　　　米． 17. 如图，在中，，，动点P从点A开始沿边运动，速度为，动点Q从点B开始沿边运动，速度为，当点P与点B重合时，停止运动．如果P，Q两点同时运动，设运动时间为t秒，当__________秒时，由P、B、Q三点连成的三角形与相似． 18. 如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，CA=CB=2，CD⊥AB于D，点P是线段CD上的一个动点，以点P为直角顶点向下作等腰直角△PBE， 连接DE ，则DE的最小值为__________ 三、解答题（本题共计8小题，共计84分） 19. 解下列方程 （1） （2） （3） 20. 先化简，再计算：，其中满足． 21. 如图，在平行四边形中，过点A作，垂足为E，连接，F为线段上一点，且． （1）求证：； （2）若，求的长． 22. 已知关于x的方程：x2﹣（6+m）x+9+3m＝0． （1）求证：无论m为何值，方程都有实数根． （2）若该方程的两个实数根恰为斜边为5的直角三角形的两直角边长，求m的值． 23. 某服装厂生产一批服装，2019年该类服装的出厂价是200元/件，2020年，2021年连续两年改进技术，降低成本，2021年该类服装的出厂价调整为162元/件． （1）这两年此类服装的出厂价下降的百分比相同，求平均下降率． （2）2021年某商场从该服装厂以出厂价购进若干件此类服装，以200元/件销售时，平均每天可销售20件．为了减少库存，商场决定降价销售．经调查发现，单价每降低5元，每天可多售出10件，如果每天盈利1150元，单价应降低多少元? 24. 学完了《图形的相似》这一章后，某中学数学实践小组决定利用所学知识去测量一古建筑的高度（如图1）．如图2，在地面上取两点，分别竖立两根高为的标杆和，两标杆间隔为，并且古建筑，标杆和在同一竖直平面内，从标杆后退到处，从处观察点，三点成一线；从标杆后退到处，从处观察点，三点也成一线．请根据以上测量数据，帮助实践小组求出该古建筑的高度． 25. 如图，在中，，于点，是中点，延长线交延长线于点．求证： （1）； （2） 26. 如图1，在矩形ABCD中，AB=2，BC=5，BP=1，∠MPN=90°，将∠MPN绕点P从PB处开始顺时针方向旋转，PM交边AB于点E，PN交边AD于点F，当PE旋转至PA处时，∠MPN的旋转随即停止. （1）如图2，在旋转中发现当PM经过点A时，PN也经过点D，求证：△ABP ∽△PCD （2）如图3，在旋转过程中，的值是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由 （3）设AE，连结EF，则在旋转过程中，当为何值时，△BPE与△PEF相似. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $