第12章 函数与一次函数 章节（18知识点回顾+45题型巩固）（讲义）-2025-2026学年八年级数学上册满分全攻略备考系列（沪科版2024）

第12章 函数与一次函数 章节（18知识点回顾+45题型巩固） 目录 知识梳理 1.常量与变量 2.函数 3.函数关系的表示方法 4.函数自变量的取值范围与函数值 5.函数的图象及画法 6.一次函数的定义 7.正比例函数的图象 8.正比例函数的性质 9.一次函数的图象 10.一次函数的性质 11.用待定系数法确定一次函数表达式 12.建立一次函数模型解实际应用题 13.一次函数与一元一次方程 14.一次函数与一元一次不等式的关系 15.一次函数与二元一次方程的关系 16.一次函数与二元一次方程组的关系 17.二元一次方程组解的情况与对应的两条直线的位置关系之间的联系 18.利用一次函数解决方案选择问题 题型巩固 一、用表格表示变量间的关系 二、用关系式表示变量间的关系 三、用图象表示变量间的关系 四、函数的概念 五、函数解析式 六、求自变量的取值范围 七、求自变量的值或函数值 八、函数图象识别 九、从函数的图象获取信息 十、用描点法画函数图象 十一、动点问题的函数图象 十二、函数的三种表示方法 十三、识别一次函数 十四、根据一次函数的定义求参数 十五、求一次函数自变量或函数值 十六、列一次函数解析式并求值 十七、正比例函数的定义 十八、正比例函数的图象 十九、正比例函数的性质 二十、判断一次函数的图象 二十一、根据一次函数解析式判断其经过的象限 二十二、已知函数经过的象限求参数范围 二十三、一次函数图象与坐标轴的交点问题 二十四、画一次函数图象 二十五、一次函数图象平移问题 二十六、判断一次函数的增减性 二十七、根据一次函数增减性求参数 二十八、根据一次函数的增减性判断自变量的变化情况 二十九、比较一次函数值的大小 三十、一次函数的规律探究问题 三十一、求一次函数解析式 三十二、分配方案问题(一次函数的实际应用) 三十三、最大利润问题(一次函数的实际应用) 三十四、行程问题(一次函数的实际应用) 三十五、梯度计价问题 三十六、其他问题(一次函数的实际应用) 三十七、已知直线与坐标轴交点求方程的解 三十八、由一元一次方程的解判断直线与x轴的交点 三十九、利用图象法解一元一次方程 四十、由直线与坐标轴的交点求不等式的解集 四十一、根据两条直线的交点求不等式的解集 四十二、两直线的交点与二元一次方程组的解 四十三、图象法解二元一次方程组 四十四、求直线围成的图形面积 四十五、一次函数与几何综合 知识梳理 知识点1.常量与变量 1. 定义 在一个变化过程中，我们称数值发生变化的量为变量，数值始终不变的量为常量 . 说明：(1)“常量” 是指在整个变化过程中保持不变的量；但“常量”不等于“常数”，它可以是数值不变的字母 . 如在匀速运动中的速度 v就是一个常量 . (2)变量与常量是相对的，前提是“在一个变化过程中”，一个量在某一变化过程中是常量，而在另一个变化过程中，它可能是变量 . 如在 s＝vt中，当s一定时，v，t为变量，s为常量；当t一定时，s，v为变量，t为常量 . 2. 判断一个量是常量还是变量的方法 看这个量在某一变化过程中的值是否发生改变(或者说是否会取不同的数值)，若在变化过程中此量的数值不变，则此量是常量，若此量可以取不同的数值，则此量是变量 . 知识点2.函数 1. 函数的定义 一般地，设在一个变化过程中有两个变量x，y，如果对于x在它允许取值范围内的每一个值，y都有唯一确定的值与它对应，那么就说y是x的函数，其中x是自变量. 说明：(1) 变量x的变化是主动的，称之为自变量，而变量y是随x的变化而变化的，是被动的，称之为因变量(即自变量的函数)； (2)函数是一个变量相对于另一个变量而言的，如对于两个变量x与y，y是x的函数，不能说成y是函数. 2. 判断一个关系是否是函数关系的方法 一看是否在一个变化过程中； 二看是否存在两个变量； 三者缺一不可. 三看对于自变量每取一个确定的值，因变量是否都有唯一确定的值与其对应. 知识点3.函数关系的表示方法 1. 函数关系的表示方法 (1)列表法：通过列出自变量的值与对应函数值的表格来表示函数关系的方法叫作列表法. (2)解析法：用数学式子表示函数关系的方法叫作解析法. (3)图象法：用图象来表示两个变量间的函数关系的方法叫作图象法. 2. 函数关系的三种表示方法的对比 表示方法 优点 缺点 列表法 一目了然，由表格中已有自变量的每一个值，可直接查出函数的对应值 列出的对应值是有限的，而且在表格中也不容易看出自变量与函数值之间的对应关系 解析法 能准确地反映整个变化过程中自变量与函数的对应关系 从函数表达式很难直观看出函数的变化规律，而且有些函数不能用解析法表示出来 图象法 直观、形象地反映出函数关系变化的趋势和某些性质 由自变量的值常常难以找到对应的函数的准确值 知识点4.函数自变量的取值范围与函数值 1. 自变量的取值范围 使函数有意义的自变量取值的全体实数叫作自变量的取值范围. 2. 确定自变量取值范围的方法 观察函数 寻找自变量 构造不等 确定解集 表达式 满足的条件 式（组 常见函数自变量取值范围的确定 类型 取值范围 整式型 全体实数 分式型 使分母不为0的实数 偶次根式型 使根号下的式子的值大于或等于0的实数 零次幂、负整数次数幂 使幂的底数不为0的实数 综合型 使各部分都有意义的实数 3. 函数值 如果在自变量取值范围内给定一个数值，函数对应的值为b，那么b叫做当自变量的值为时的函数值. 4. 求函数值及自变量值的方法 (1)当已知函数关系式时，求函数值实质就是利用代入法求代数式的值； (2)当自变量的值确定时，函数值是唯一确定的；当函数值确定时，求相应的自变量的值，就是解方程，对应的自变量的值可以不止一个，如y＝x2－1中，当y＝0 时，x＝±1. 知识点5.函数的图象及画法 1. 函数的图象 一般地，对于一个函数，如果把自变量x与函数y的每对对应值分别作为点的横坐标与纵坐标，在坐标平面内描出相应的点，这些点所组成的图形，就是这个函数的图象． 2. 函数图象的画法步骤 (1)列表：列表给出自变量和函数的一些对应值. (2) 描点：以表中各组对应值为坐标, 在坐标平面内描出相应的点. (3)连线：按照自变量由小到大的顺序, 把所描各点用平滑曲线依次连接起来. 注意：(1)描出的点越多，所得的图象越准确； (2)在画图象时, 应考虑自变量的取值范围. 知识点6.一次函数的定义 1. 一次函数 一般地，形如 y＝kx＋b(k，b为常数，且k ≠ 0)的函数叫作一次函数. 特别解读 判断函数是否为一次函数的方法： 先看函数表达式是否是整式的形式，再将函数表达式进行恒等变形，然后看它是否符合一次函数表达式 y＝kx＋b的结构特征： (1)k≠ 0；(2)是关于自变量x 的一次式；(3)常数项b可以为任意实数. 2. 正比例函数 形如 y＝kx(k为常数，且k ≠ 0)的函数叫作正比例函数. 特别提醒： (1)正比例函数 y＝kx(k为常数，且k ≠ 0)是一次函数 y＝kx＋b(k，b为常数，且k ≠ 0)中b＝0的特例，即正比例函数都是一次函数，但一次函数不一定是正比例函数. (2)若已知 y与x成正比例，则可设函数表达式为 y＝ kx(k为常数，且k ≠ 0)；若已知 y是x的一次函数，则可设函数表达式为  y＝kx＋b(k，b是常数，k ≠ 0). 知识点7.正比例函数的图象 1. 正比例函数的图象 一般地，正比例函数 y＝kx(k是常数，且k ≠ 0)的图象是一条经过原点的直线，通常我们把正比例函数  y＝kx( k 为常数，且 k ≠ 0)的图象叫作直线  y＝kx. 注意：有些正比例函数图象因其自变量取值范围的限制，并不一定都是一条直线，可能是一条射线或一条线段或一些点. 2. 正比例函数图象的画法 因为两点确定一条直线，所以画正比例函数的图象只要先描出两点，再过这两点画直线即可 .一般地，过原点和点(1，k)的直线，即为正比例函数 y＝kx(k 为常数，且 k ≠ 0)的图象. 知识点8.正比例函数的性质 正比例函数 y＝kx(k ≠ 0)的性质如下表 k的符号 k>0 k<0 图象 图象形状 过原点，从左向右是上升的直线(↗) 过原点，从左向右是下降的直线(↘) 经过的象限 第一、三象限 第二、四象限 增减性 y随x的增大而增大 y随x的增大而减小 |k| 越大， y 随 x 的增大而增大（或减小）的速度越快 知识点9.一次函数的图象 1. 一次函数的图象 一般地，一次函数y＝kx＋b(k，b是常数，且k ≠ 0)的图象与直线  y＝kx平行或重合，因此，我们把一次函数 y＝kx＋b(k，b是常数，且k ≠ 0)的图象叫作直线 y＝kx＋b. 2. 一次函数图象的画法 由于两点确定一条直线，所以一般选取直线y＝kx＋b与两坐标轴的交点，即(0，b)与(－，0)画直线. 3. 截距 直线y＝kx＋b与y轴相交于点(0，b)，b叫作直线 y＝kx＋b在y轴上的截距，简称截距，如图12.2-4 所示. 截距不是距离，不一定是非负数，也可以是负数. 4. 一次函数的图象与正比例函数的图象的关系 一次函数y＝kx＋b(k ≠ 0)的图象可以由直线y＝kx(k ≠ 0)沿y轴向上(b>0)或向下(b<0)平移|b|个单位而得到. 知识点10.一次函数的性质 一次函数y＝kx＋b(k，b是常数，且k ≠ 0)的性质和k，b的符号的关系 一次函数 y＝kx＋b(k ≠ 0) k，b的 符号 k>0 k<0 b>0 b<0 b＝0 b>0 b<0 b＝0 图象 增减性 y随x的增大而增大 y随x的增大而减小 |k| 越大， y 随 x 的增大而增大(或减小)的速度越快 图象与y轴交点的位置 正半轴 负半轴 原点 正半轴 负半轴 原点 知识点11.用待定系数法确定一次函数表达式 1. 待定系数法 先设所求的一次函数表达式为 y=kx+b( k，b 是待确定的系数)，再根据已知条件列出关于 k， b 的方程组，求得 k， b 的值 . 这种确定表达式中系数的方法，叫作待定系数法 . 2. 用待定系数法求一次函数表达式的一般步骤 (1)设：设出含有待定系数的函数表达式； (2)代：把已知条件中的自变量与函数的对应值代入函数表达式，列出关于待定系数的方程(组)； (3)解：解方程(组)，求出待定的系数； (4)回代：将求得的待定系数的值代回所设的表达式. 上面的步骤可表示如下： 知识点12.建立一次函数模型解实际应用题 1. 分段函数 自变量在不同取值范围内表示函数关系的表达式有不同的形式，这样的函数称为分段函数. 2. 利用一次函数解决实际问题，关键是找到题目中的两个变量之间的数量关系，把实际问题抽象、升华为一次函数模型，即建模，再利用一次函数的相关性质解决实际问题，常见类型如下： (1)题目中已知一次函数的表达式，可直接运用一次函数的性质求解； (2)题目中没有给出一次函数的表达式，而是通过语言、表格或图象给出一次函数的情境，这时需要先根据题目给出的信息求出一次函数的表达式，再利用一次函数的性质解决实际问题. 知识点13.一次函数与一元一次方程 1.一次函数与一元一次方程的关系 2. 利用一次函数图象解一元一次方程的步骤 (1)转化：将一元一次方程转化为y=kx+b( k， b 为 常 数，且k ≠ 0)的形式； (2)画图象：画出一次函数y=kx+b的图象； (3)找交点：找出一次函数图象与x轴的交点，交点的横坐标即为一元一次方程的解. 知识点14.一次函数与一元一次不等式的关系 1. 一次函数与一元一次不等式的关系 数：一次函数y＝kx＋b(k， b 为常数，且 k ≠ 0)中，函数值y> 0时自变量x的取值范围是不等式kx＋b> 0的解集；函数值y< 0时自变量x的取值范围是不等式kx＋b< 0的解集. 形：一次函数y＝kx＋b(k， b 为常数，且 k ≠ 0)的图象中，位于x轴上方的部分对应的自变量x的取值范围是不等式kx＋b> 0的解集；位于x轴下方的部分对应的自变量x的取值范围是不等式kx＋b< 0的解集. 2. 拓展 直线＝x＋(≠0)与直线＝＋(≠0)的交点的横坐标即为方程＋＝＋的解；不等式＋>＋(或＋< ＋)的解集就是直线＝＋(≠0)在直线＝＋(≠0)上(或下)方部分对应的x的取值范围. 知识点15.一次函数与二元一次方程的关系 一次函数与二元一次方程的关系 知识点16.一次函数与二元一次方程组的关系 1. 一次函数与二元一次方程组的对应关系 二元一次方程组对应两个一次函数对应两条直线； 二元一次方程组的解即为 两个一次函数值相等时的自变量值及函数值即为 两条直线的交点坐标. 2. 用图象法求二元一次方程组的解的一般步骤 (1)变函数：把方程组化为一次函数＝＋与＝＋； (2)画图象：建立平面直角坐标系，画出两个一次函数的图象； (3)找交点：由图象确定两直线交点的坐标； (4)写结论：依据点的坐标写出方程组的解. 3. 两直线交点个数与二元一次方程组解的个数的关系 两条直线有交点(相交)⇔方程组只有一组解； 两条直线无交点(平行)⇔ 方程组无解； 两条直线是同一直线(重合)⇔方程组有无数组解. 知识点17.二元一次方程组解的情况与对应的两条直线的位置关系之间的联系 二元一次方程组的解与两直线：与：位置关系的联系(其中6 个常数均不为零)： 从“数”看 从“形”看 方程组有唯一解 与相交 方程组无解 与平行 方程组有无数个解 与重合 知识点18.利用一次函数解决方案选择问题 利用一次函数求解最优性问题 解决此类问题首先要求出两个函数表达式，然后在同一平面直角坐标系中画出两个函数的图象，当取相同的自变量时，下方的图象对应的函数的函数值小，上方的图象对应的函数的函数值大，交点处的函数值相等 . 也可以用两个函数表达式相减，得到一个新的一次函数，根据新的一次函数图象与 x 轴的交点坐标比较不同自变量的取值范围下函数值的大小关系 . 题型巩固 题型一、用表格表示变量间的关系 1．（24-25八年级上·安徽·期中）“距离地面越高，温度越低”，下表反映了距离地面高度与温度之间的变化关系： 距离地面高度千米 温度 (1)上表反映的变化关系中，_________是自变量，_________是因变量； (2)如果用表示距离地面的高度，用表示温度，那么用表示的关系式是_________． 题型二、用关系式表示变量间的关系 2．（24-25八年级上·安徽阜阳·阶段练习）徽园，是一座采用皇家园林、徽派建筑、现代简约等多种风格设计、展示安徽各地文化，将观光与文化融为一体的大型综合性观光公园．周末我校八年级三位老师带领x名学生到徽园参观研学，已知成人票每张20元，学生票每张10元，设门票的总费用为y元，则y与x之间的关系式为 ． 题型三、用图象表示变量间的关系 3．（24-25八年级上·安徽淮北·阶段练习）为响应国家号召“低碳生活，绿色出行”李老师骑单车上班，当他骑了一段时间，想起要去家访生病的小明，于是又折回到刚经过的小明家，到小明家家访完后继续去学校，以下是他本次所用的时间与离家距离的关系示意图，根据图中提供的信息回答下列问题： (1)图中自变量是__________，因变量是__________； (2)李老师家到小明家的路程是__________米．李老师在小明家家访用了__________分钟； (3)请计算李老师家访完后到学校的骑车速度． 题型四、函数的概念 4．（24-25八年级上·安徽安庆·期中）下列图象中，表示是的函数的是（　　） A． B． C． D． 题型五、函数解析式 5．（24-25八年级上·安徽淮北·阶段练习）为了响应新中考体育考试要求，某中学八年级（1）班用200元购买了某品牌篮球y个，该品牌篮球的单价是x元/个，其y与x的函数关系式为（    ） A． B． C． D． 题型六、求自变量的取值范围 6．（23-24八年级上·安徽安庆·阶段练习）函数的自变量的取值范围是 题型七、求自变量的值或函数值 7．（23-24八年级上·安徽六安·期末）如图所示是关于变量x，y的程序计算，若开始输入的x值为6，则最后输出因变量y的值为 ． 题型八、函数图象识别 8．下列图象中，y不是x的函数的是（    ） A．   B．   C．   D．   题型九、从函数的图象获取信息 9．（24-25八年级上·安徽合肥·期末）某物理学习小组探究甲、乙、丙、丁四种物质的密度，将测量结果数据绘制成如图所示的图象，则四种物质中密度最大的是 ． 题型十、用描点法画函数图象 10．（22-23八年级上·安徽六安·期中）作出函数的图象． 题型十一、动点问题的函数图象 11．（24-25八年级上·安徽合肥·期中）如图，在长方形中，，，，动点从点出发，沿的路线匀速移动，到达点停止．设点的运动路程为，则三角形的面积与之间的关系用图象表示为（   ） A． B． C． D． 题型十二、函数的三种表示方法 12．为了更好放松心情，上周六，小红妈妈开车带着小红一家到外郊游，出发前汽车油箱内有一定量的油．行驶过程中油箱中剩余油量（升）与行驶时间（小时）的关系如下表，请根据表格回答下列问题： 时间/小时 0 1 2 3 4 5 邮箱剩余油量/升 50 45 40 35 30 25 （1）汽车行驶前油箱里有_____________升汽油，汽车每小时耗油____________升； （2）请写出与的关系式； （3）当汽车行驶24小时时，油箱中还剩余多少升油？ 题型十三、识别一次函数 13．（24-25八年级上·安徽池州·期末）在下列函数解析式中，①；②；③；④；⑤，y一定是x的一次函数的有（   ）个． A．5 B．4 C．3 D．2 题型十四、根据一次函数的定义求参数 14．（24-25八年级上·安徽淮北·阶段练习）【新考向】已知y是x的函数；若函数图象上存在一点，满足，则称点M为函数图象上的“姐妹点”．例如：直线上存在的“姐妹点”．直线上的“姐妹点”的坐标是（    ） A． B． C． D． 题型十五、求一次函数自变量或函数值 15．（24-25八年级上·安徽亳州·阶段练习）一次函数的图象恒过一点，则该点的坐标为 ． 题型十六、列一次函数解析式并求值 16．已知y﹣1与x成正比例，当x＝3时，y＝2．则当x＝﹣1时，y的值是（　　） A．﹣1 B．0 C． D． 题型十七、正比例函数的定义 17．（24-25八年级上·安徽淮北·阶段练习）下列函数（1）；（2）；（3）；（4）中，是正比例函数的有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 题型十八、正比例函数的图象 18．（22-23八年级上·安徽阜阳·期中）已知正比例函数，则下列各点在该函数图象上的是（    ） A． B． C． D． 题型十九、正比例函数的性质 19．（23-24八年级上·安徽合肥·阶段练习）已知正比例函数的图象上两点、，当时，有，那么的取值范围是（   ） A． B． C． D． 题型二十、判断一次函数的图象 20．（24-25八年级上·安徽合肥·期中）在平面直角坐标系中，已知函数（），则下列图象可能是该函数的是（   ） A． B． C． D． 题型二十一、根据一次函数解析式判断其经过的象限 21．（24-25八年级上·安徽六安·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象不可能经过点E，F，G，H中的点是（ ） A．点E B．点F C．点G D．点H 题型二十二、已知函数经过的象限求参数范围 22．（24-25八年级上·安徽六安·期末）一次函数与，它们在同一坐标系中的大致图象可能是（　　） A． B． C． D． 题型二十三、一次函数图象与坐标轴的交点问题 23．（24-25八年级上·安徽合肥·期末）直线与x轴交点的横坐标是 ，与y轴交点的纵坐标是 ． 题型二十四、画一次函数图象 24．在同一直角坐标系中画出下列函数的图象，并指出每小题中三个函数的图象有什么关系． （1）y=x-1、y=x、y=x+1； （2）y=-x-2、y=-x、y=-x+2． 题型二十五、一次函数图象平移问题 25．（24-25八年级上·安徽亳州·阶段练习）把直线向右平移1个单位长度后，其直线的函数解析式为（   ） A． B． C． D． 题型二十六、判断一次函数的增减性 26．（24-25八年级上·安徽六安·阶段练习）已知一次函数，经过点和点且，，当，则（   ） A． B． C． D． 题型二十七、根据一次函数增减性求参数 27．（24-25八年级上·安徽宿州·期末）若是一次函数图象上不同的两点，且，则a 的取值范围为  （     ） A． B． C． D． 题型二十八、根据一次函数的增减性判断自变量的变化情况 28．（23-24八年级上·安徽蚌埠·期末）在一次函数 的图像上任取不同两点，，则 的正负情况是（    ） A． B． C． D． 题型二十九、比较一次函数值的大小 29．（24-25八年级上·安徽合肥·期末）一次函数的图象过点，，则和的大小关系是（   ）． A． B． C． D．无法确定 题型三十、一次函数的规律探究问题 30．如图，直线与y轴相交于点，过点作x轴的平行线交直线于点，过点作y轴的平行线交直线于点，再过点作x轴的平行线交直线于点，过点作y轴的平行线交直线于点，…，依此类推，得到直线上的点，，，…，与直线上的点，，，…，则A8B9的长为（　　） A．64 B．128 C．256 D．512 题型三十一、求一次函数解析式 31．（24-25八年级上·安徽安庆·期末）已知，试判断A，B，C三点是否在同一直线上，并说明理由． 题型三十二、分配方案问题(一次函数的实际应用) 32．快递公司为提高快递分拣的速度，决定购买机器人来代替人工分拣，两种型号的机器人的工作效率和价格如下表： 型号 甲 乙 每台每分钟分拣快递件数（件） 20 15 每台价格（万元） 5 3 该公司计划购买这两种型号的机器人共10台，并且使这10台机器人每分钟分拣快递件数总和不少于170件． （1）设购买甲种型号的机器人x台，购买这10台机器人所花的总费用为y元，求y与x之间的关系式； （2）购买几台甲种型号的机器人，能使购买这10台机器人所花总费用最少，最少费用是多少． 题型三十三、最大利润问题(一次函数的实际应用) 33．某电脑经销商，今年二，三月份型和型电脑的销售情况，如下表所示： 型（台） 型（台） 利润（元） 二月份 15 20 4500 三月份 20 10 3500 （1）直接写出每台型电脑和型电脑的销售利润分别为____________； （2）该商店计划一次购进两种型号的电脑共100台，其中型电脑的进货量不超过型电脑的2倍．设购进型电脑台，这100台电脑的销售总利润为元． ①求与的关系式； ②该商店购进型、型各多少台，才能使销售利润最大？ （3）实际进货时，厂家对型电脑出厂价下调元，且限定商店最多购进型电脑60台．若商店保持两种电脑的售价不变，请你以上信息及（2）中的条件，设计出使这100台电脑销售总利润最大的进货方案． 题型三十四、行程问题(一次函数的实际应用) 34．如图，甲、乙两人分别从同一公路上的A、B两地同时出发骑车前往C地，两人行驶的路程与甲行驶的时间之间的关系如图所示，请根据图象所提供的信息解答下列问题： (1)求甲在的时间段内的函数关系式； (2)在的时间段内，当为何值时甲、乙两人相距5千米． 题型三十五、梯度计价问题 35．某市出租车收费标准如下：3千米以内（含）收费10元，超过3千米的部分每千米加收2元． (1)写出收费y（元）与行驶路程x（千米）（）之间的函数关系式； (2)若某人乘坐出租车付费22元，求其行驶的路程； (3)在坐标系中画出收费y（元）与行驶路程x（千米）的函数的图象（要求标出关键点）． 题型三十六、其他问题(一次函数的实际应用) 36．（25-26八年级上·全国·课后作业）某生物兴趣小组观察一种植物种子发芽后的生长情况，得到该植物高度y（单位：cm）与观察时间x（单位：天）的函数关系如图所示．已知，轴，则第6天该植物的高度为 cm． 题型三十七、已知直线与坐标轴交点求方程的解 37．（25-26八年级上·全国·课前预习）已知一次函数的图象如图所示． (1)关于x的方程的解是________； (2)关于x的方程的解是________； (3)关于x的方程的解是________． 题型三十八、由一元一次方程的解判断直线与x轴的交点 38．已知方程的解是，则函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 题型三十九、利用图象法解一元一次方程 39．已知一次函数的图象如图所示，则方程的解为（   ） A． B． C． D． 题型四十、由直线与坐标轴的交点求不等式的解集 40．如图，函数与的图象相交于点，则关于x的不等式的解集是 ． 题型四十一、根据两条直线的交点求不等式的解集 41．如图，函数和的图象相交于点，则不等式的解集为 ． 题型四十二、两直线的交点与二元一次方程组的解 42．（24-25八年级上·安徽池州·期末）如图，直线与直线交于点，则方程组的解是（   ）    A． B． C． D． 题型四十三、图象法解二元一次方程组 43．（24-25八年级上·安徽宿州·期末）在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图，则方程组的解为（    ） A． B． C． D． 题型四十四、求直线围成的图形面积 44．点在第一象限，且，点A的坐标为，若的面积为16，则点P的坐标为（    ） A． B． C． D． 题型四十五、一次函数与几何综合 45．已知平面直角坐标系中有两点，，点与点关于轴对称，经过点的直线与轴交于点，与直线交于点，且点在第三象限． （1）求直线的解析式； （2）若直线与轴的夹角为45°时，求的面积． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第12章 函数与一次函数 章节（18知识点回顾+45题型巩固） 目录 知识梳理 1.常量与变量 2.函数 3.函数关系的表示方法 4.函数自变量的取值范围与函数值 5.函数的图象及画法 6.一次函数的定义 7.正比例函数的图象 8.正比例函数的性质 9.一次函数的图象 10.一次函数的性质 11.用待定系数法确定一次函数表达式 12.建立一次函数模型解实际应用题 13.一次函数与一元一次方程 14.一次函数与一元一次不等式的关系 15.一次函数与二元一次方程的关系 16.一次函数与二元一次方程组的关系 17.二元一次方程组解的情况与对应的两条直线的位置关系之间的联系 18.利用一次函数解决方案选择问题 题型巩固 一、用表格表示变量间的关系 二、用关系式表示变量间的关系 三、用图象表示变量间的关系 四、函数的概念 五、函数解析式 六、求自变量的取值范围 七、求自变量的值或函数值 八、函数图象识别 九、从函数的图象获取信息 十、用描点法画函数图象 十一、动点问题的函数图象 十二、函数的三种表示方法 十三、识别一次函数 十四、根据一次函数的定义求参数 十五、求一次函数自变量或函数值 十六、列一次函数解析式并求值 十七、正比例函数的定义 十八、正比例函数的图象 十九、正比例函数的性质 二十、判断一次函数的图象 二十一、根据一次函数解析式判断其经过的象限 二十二、已知函数经过的象限求参数范围 二十三、一次函数图象与坐标轴的交点问题 二十四、画一次函数图象 二十五、一次函数图象平移问题 二十六、判断一次函数的增减性 二十七、根据一次函数增减性求参数 二十八、根据一次函数的增减性判断自变量的变化情况 二十九、比较一次函数值的大小 三十、一次函数的规律探究问题 三十一、求一次函数解析式 三十二、分配方案问题(一次函数的实际应用) 三十三、最大利润问题(一次函数的实际应用) 三十四、行程问题(一次函数的实际应用) 三十五、梯度计价问题 三十六、其他问题(一次函数的实际应用) 三十七、已知直线与坐标轴交点求方程的解 三十八、由一元一次方程的解判断直线与x轴的交点 三十九、利用图象法解一元一次方程 四十、由直线与坐标轴的交点求不等式的解集 四十一、根据两条直线的交点求不等式的解集 四十二、两直线的交点与二元一次方程组的解 四十三、图象法解二元一次方程组 四十四、求直线围成的图形面积 四十五、一次函数与几何综合 知识梳理 知识点1.常量与变量 1. 定义 在一个变化过程中，我们称数值发生变化的量为变量，数值始终不变的量为常量 . 说明：(1)“常量” 是指在整个变化过程中保持不变的量；但“常量”不等于“常数”，它可以是数值不变的字母 . 如在匀速运动中的速度 v就是一个常量 . (2)变量与常量是相对的，前提是“在一个变化过程中”，一个量在某一变化过程中是常量，而在另一个变化过程中，它可能是变量 . 如在 s＝vt中，当s一定时，v，t为变量，s为常量；当t一定时，s，v为变量，t为常量 . 2. 判断一个量是常量还是变量的方法 看这个量在某一变化过程中的值是否发生改变(或者说是否会取不同的数值)，若在变化过程中此量的数值不变，则此量是常量，若此量可以取不同的数值，则此量是变量 . 知识点2.函数 1. 函数的定义 一般地，设在一个变化过程中有两个变量x，y，如果对于x在它允许取值范围内的每一个值，y都有唯一确定的值与它对应，那么就说y是x的函数，其中x是自变量. 说明：(1) 变量x的变化是主动的，称之为自变量，而变量y是随x的变化而变化的，是被动的，称之为因变量(即自变量的函数)； (2)函数是一个变量相对于另一个变量而言的，如对于两个变量x与y，y是x的函数，不能说成y是函数. 2. 判断一个关系是否是函数关系的方法 一看是否在一个变化过程中； 二看是否存在两个变量； 三者缺一不可. 三看对于自变量每取一个确定的值，因变量是否都有唯一确定的值与其对应. 知识点3.函数关系的表示方法 1. 函数关系的表示方法 (1)列表法：通过列出自变量的值与对应函数值的表格来表示函数关系的方法叫作列表法. (2)解析法：用数学式子表示函数关系的方法叫作解析法. (3)图象法：用图象来表示两个变量间的函数关系的方法叫作图象法. 2. 函数关系的三种表示方法的对比 表示方法 优点 缺点 列表法 一目了然，由表格中已有自变量的每一个值，可直接查出函数的对应值 列出的对应值是有限的，而且在表格中也不容易看出自变量与函数值之间的对应关系 解析法 能准确地反映整个变化过程中自变量与函数的对应关系 从函数表达式很难直观看出函数的变化规律，而且有些函数不能用解析法表示出来 图象法 直观、形象地反映出函数关系变化的趋势和某些性质 由自变量的值常常难以找到对应的函数的准确值 知识点4.函数自变量的取值范围与函数值 1. 自变量的取值范围 使函数有意义的自变量取值的全体实数叫作自变量的取值范围. 2. 确定自变量取值范围的方法 观察函数 寻找自变量 构造不等 确定解集 表达式 满足的条件 式（组 常见函数自变量取值范围的确定 类型 取值范围 整式型 全体实数 分式型 使分母不为0的实数 偶次根式型 使根号下的式子的值大于或等于0的实数 零次幂、负整数次数幂 使幂的底数不为0的实数 综合型 使各部分都有意义的实数 3. 函数值 如果在自变量取值范围内给定一个数值，函数对应的值为b，那么b叫做当自变量的值为时的函数值. 4. 求函数值及自变量值的方法 (1)当已知函数关系式时，求函数值实质就是利用代入法求代数式的值； (2)当自变量的值确定时，函数值是唯一确定的；当函数值确定时，求相应的自变量的值，就是解方程，对应的自变量的值可以不止一个，如y＝x2－1中，当y＝0 时，x＝±1. 知识点5.函数的图象及画法 1. 函数的图象 一般地，对于一个函数，如果把自变量x与函数y的每对对应值分别作为点的横坐标与纵坐标，在坐标平面内描出相应的点，这些点所组成的图形，就是这个函数的图象． 2. 函数图象的画法步骤 (1)列表：列表给出自变量和函数的一些对应值. (2) 描点：以表中各组对应值为坐标, 在坐标平面内描出相应的点. (3)连线：按照自变量由小到大的顺序, 把所描各点用平滑曲线依次连接起来. 注意：(1)描出的点越多，所得的图象越准确； (2)在画图象时, 应考虑自变量的取值范围. 知识点6.一次函数的定义 1. 一次函数 一般地，形如 y＝kx＋b(k，b为常数，且k ≠ 0)的函数叫作一次函数. 特别解读 判断函数是否为一次函数的方法： 先看函数表达式是否是整式的形式，再将函数表达式进行恒等变形，然后看它是否符合一次函数表达式 y＝kx＋b的结构特征： (1)k≠ 0；(2)是关于自变量x 的一次式；(3)常数项b可以为任意实数. 2. 正比例函数 形如 y＝kx(k为常数，且k ≠ 0)的函数叫作正比例函数. 特别提醒： (1)正比例函数 y＝kx(k为常数，且k ≠ 0)是一次函数 y＝kx＋b(k，b为常数，且k ≠ 0)中b＝0的特例，即正比例函数都是一次函数，但一次函数不一定是正比例函数. (2)若已知 y与x成正比例，则可设函数表达式为 y＝ kx(k为常数，且k ≠ 0)；若已知 y是x的一次函数，则可设函数表达式为  y＝kx＋b(k，b是常数，k ≠ 0). 知识点7.正比例函数的图象 1. 正比例函数的图象 一般地，正比例函数 y＝kx(k是常数，且k ≠ 0)的图象是一条经过原点的直线，通常我们把正比例函数  y＝kx( k 为常数，且 k ≠ 0)的图象叫作直线  y＝kx. 注意：有些正比例函数图象因其自变量取值范围的限制，并不一定都是一条直线，可能是一条射线或一条线段或一些点. 2. 正比例函数图象的画法 因为两点确定一条直线，所以画正比例函数的图象只要先描出两点，再过这两点画直线即可 .一般地，过原点和点(1，k)的直线，即为正比例函数 y＝kx(k 为常数，且 k ≠ 0)的图象. 知识点8.正比例函数的性质 正比例函数 y＝kx(k ≠ 0)的性质如下表 k的符号 k>0 k<0 图象 图象形状 过原点，从左向右是上升的直线(↗) 过原点，从左向右是下降的直线(↘) 经过的象限 第一、三象限 第二、四象限 增减性 y随x的增大而增大 y随x的增大而减小 |k| 越大， y 随 x 的增大而增大（或减小）的速度越快 知识点9.一次函数的图象 1. 一次函数的图象 一般地，一次函数y＝kx＋b(k，b是常数，且k ≠ 0)的图象与直线  y＝kx平行或重合，因此，我们把一次函数 y＝kx＋b(k，b是常数，且k ≠ 0)的图象叫作直线 y＝kx＋b. 2. 一次函数图象的画法 由于两点确定一条直线，所以一般选取直线y＝kx＋b与两坐标轴的交点，即(0，b)与(－，0)画直线. 3. 截距 直线y＝kx＋b与y轴相交于点(0，b)，b叫作直线 y＝kx＋b在y轴上的截距，简称截距，如图12.2-4 所示. 截距不是距离，不一定是非负数，也可以是负数. 4. 一次函数的图象与正比例函数的图象的关系 一次函数y＝kx＋b(k ≠ 0)的图象可以由直线y＝kx(k ≠ 0)沿y轴向上(b>0)或向下(b<0)平移|b|个单位而得到. 知识点10.一次函数的性质 一次函数y＝kx＋b(k，b是常数，且k ≠ 0)的性质和k，b的符号的关系 一次函数 y＝kx＋b(k ≠ 0) k，b的 符号 k>0 k<0 b>0 b<0 b＝0 b>0 b<0 b＝0 图象 增减性 y随x的增大而增大 y随x的增大而减小 |k| 越大， y 随 x 的增大而增大(或减小)的速度越快 图象与y轴交点的位置 正半轴 负半轴 原点 正半轴 负半轴 原点 知识点11.用待定系数法确定一次函数表达式 1. 待定系数法 先设所求的一次函数表达式为 y=kx+b( k，b 是待确定的系数)，再根据已知条件列出关于 k， b 的方程组，求得 k， b 的值 . 这种确定表达式中系数的方法，叫作待定系数法 . 2. 用待定系数法求一次函数表达式的一般步骤 (1)设：设出含有待定系数的函数表达式； (2)代：把已知条件中的自变量与函数的对应值代入函数表达式，列出关于待定系数的方程(组)； (3)解：解方程(组)，求出待定的系数； (4)回代：将求得的待定系数的值代回所设的表达式. 上面的步骤可表示如下： 知识点12.建立一次函数模型解实际应用题 1. 分段函数 自变量在不同取值范围内表示函数关系的表达式有不同的形式，这样的函数称为分段函数. 2. 利用一次函数解决实际问题，关键是找到题目中的两个变量之间的数量关系，把实际问题抽象、升华为一次函数模型，即建模，再利用一次函数的相关性质解决实际问题，常见类型如下： (1)题目中已知一次函数的表达式，可直接运用一次函数的性质求解； (2)题目中没有给出一次函数的表达式，而是通过语言、表格或图象给出一次函数的情境，这时需要先根据题目给出的信息求出一次函数的表达式，再利用一次函数的性质解决实际问题. 知识点13.一次函数与一元一次方程 1.一次函数与一元一次方程的关系 2. 利用一次函数图象解一元一次方程的步骤 (1)转化：将一元一次方程转化为y=kx+b( k， b 为 常 数，且k ≠ 0)的形式； (2)画图象：画出一次函数y=kx+b的图象； (3)找交点：找出一次函数图象与x轴的交点，交点的横坐标即为一元一次方程的解. 知识点14.一次函数与一元一次不等式的关系 1. 一次函数与一元一次不等式的关系 数：一次函数y＝kx＋b(k， b 为常数，且 k ≠ 0)中，函数值y> 0时自变量x的取值范围是不等式kx＋b> 0的解集；函数值y< 0时自变量x的取值范围是不等式kx＋b< 0的解集. 形：一次函数y＝kx＋b(k， b 为常数，且 k ≠ 0)的图象中，位于x轴上方的部分对应的自变量x的取值范围是不等式kx＋b> 0的解集；位于x轴下方的部分对应的自变量x的取值范围是不等式kx＋b< 0的解集. 2. 拓展 直线＝x＋(≠0)与直线＝＋(≠0)的交点的横坐标即为方程＋＝＋的解；不等式＋>＋(或＋< ＋)的解集就是直线＝＋(≠0)在直线＝＋(≠0)上(或下)方部分对应的x的取值范围. 知识点15.一次函数与二元一次方程的关系 一次函数与二元一次方程的关系 知识点16.一次函数与二元一次方程组的关系 1. 一次函数与二元一次方程组的对应关系 二元一次方程组对应两个一次函数对应两条直线； 二元一次方程组的解即为 两个一次函数值相等时的自变量值及函数值即为 两条直线的交点坐标. 2. 用图象法求二元一次方程组的解的一般步骤 (1)变函数：把方程组化为一次函数＝＋与＝＋； (2)画图象：建立平面直角坐标系，画出两个一次函数的图象； (3)找交点：由图象确定两直线交点的坐标； (4)写结论：依据点的坐标写出方程组的解. 3. 两直线交点个数与二元一次方程组解的个数的关系 两条直线有交点(相交)⇔方程组只有一组解； 两条直线无交点(平行)⇔ 方程组无解； 两条直线是同一直线(重合)⇔方程组有无数组解. 知识点17.二元一次方程组解的情况与对应的两条直线的位置关系之间的联系 二元一次方程组的解与两直线：与：位置关系的联系(其中6 个常数均不为零)： 从“数”看 从“形”看 方程组有唯一解 与相交 方程组无解 与平行 方程组有无数个解 与重合 知识点18.利用一次函数解决方案选择问题 利用一次函数求解最优性问题 解决此类问题首先要求出两个函数表达式，然后在同一平面直角坐标系中画出两个函数的图象，当取相同的自变量时，下方的图象对应的函数的函数值小，上方的图象对应的函数的函数值大，交点处的函数值相等 . 也可以用两个函数表达式相减，得到一个新的一次函数，根据新的一次函数图象与 x 轴的交点坐标比较不同自变量的取值范围下函数值的大小关系 . 题型巩固 题型一、用表格表示变量间的关系 1．（24-25八年级上·安徽·期中）“距离地面越高，温度越低”，下表反映了距离地面高度与温度之间的变化关系： 距离地面高度千米 温度 (1)上表反映的变化关系中，_________是自变量，_________是因变量； (2)如果用表示距离地面的高度，用表示温度，那么用表示的关系式是_________． 【答案】(1)距离地面的高度，温度 (2) 【知识点】函数解析式、用表格表示变量间的关系 【分析】此题考查了列函数关系式、自变量、因变量等知识． （1）根据题意可得温度随着距离地面的高度变化，即可得到自变量和因变量； （2）由表格可知距离地面的高度每升高1千米，气温下降，据此即可得到表示的关系式． 【详解】（1）上表反映的变化关系中，温度随着距离地面的高度变化， ∴距离地面的高度是自变量，温度是因变量； 故答案为：距离地面的高度，温度 （2）解：根据表格可知，每升高1千米，气温下降， ∴用表示的关系式是； 即． 故答案为： 题型二、用关系式表示变量间的关系 2．（24-25八年级上·安徽阜阳·阶段练习）徽园，是一座采用皇家园林、徽派建筑、现代简约等多种风格设计、展示安徽各地文化，将观光与文化融为一体的大型综合性观光公园．周末我校八年级三位老师带领x名学生到徽园参观研学，已知成人票每张20元，学生票每张10元，设门票的总费用为y元，则y与x之间的关系式为 ． 【答案】 【知识点】用关系式表示变量间的关系 【分析】本题考查了函数关系式．根据学生人数乘以学生票价，可得学生的总票价，根据师生的总票价，可得函数关系式． 【详解】解：根据题意可得：． 故答案是：． 题型三、用图象表示变量间的关系 3．（24-25八年级上·安徽淮北·阶段练习）为响应国家号召“低碳生活，绿色出行”李老师骑单车上班，当他骑了一段时间，想起要去家访生病的小明，于是又折回到刚经过的小明家，到小明家家访完后继续去学校，以下是他本次所用的时间与离家距离的关系示意图，根据图中提供的信息回答下列问题： (1)图中自变量是__________，因变量是__________； (2)李老师家到小明家的路程是__________米．李老师在小明家家访用了__________分钟； (3)请计算李老师家访完后到学校的骑车速度． 【答案】(1)离开家的时间，离家的距离 (2)900；4 (3)李老师家访完后到学校的骑车速度为150米/分 【知识点】从函数的图象获取信息、用图象表示变量间的关系 【分析】本题主要考查了从函数图象获取信息，对于一个函数，如果把自变量与函数的每一对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形就是这个函数的图象． （1）根据函数图象可知纵坐标是离家距离，横坐标是时间，从而得出自变量是离家的时间，因变量是离家的距离； （2）根据函数图象进行回答即可； （3）观察图象计算李老师家访完后到学校的骑车路程除以所用的时间即可． 【详解】（1）解：根据图象，纵坐标为离家的距离，横坐标为离家的时间，故图中自变量是离开家的时间，因变量是离家的距离， 故答案为：离开家的时间，离家的距离； （2）解：由图象可知：李老师家到小明家的路程是900米， 李老师在小明家停留了（分钟）， 故答案为：900；4； （3）解：由图象可知：李老师家访完后到学校的骑车速度为（米/分）． 题型四、函数的概念 4．（24-25八年级上·安徽安庆·期中）下列图象中，表示是的函数的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】函数的概念 【分析】本题考查了函数的概念，掌握函数的定义是解题的关键． 根据函数的定义：有两个变量x、y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值和它对应，那么y就是x的函数，据此判断即可． 【详解】解：A、给定x的一个值，y有两个值和它对应，故y不是x的函数，该选项不合题意； B、y是x的函数，该选项符合题意； C、给定x的一个值，y有两个值和它对应，故y不是x的函数，该选项不合题意； D、给定x的一个值，y有两个值和它对应，故y不是x的函数，该选项不合题意． 故选：B． 题型五、函数解析式 5．（24-25八年级上·安徽淮北·阶段练习）为了响应新中考体育考试要求，某中学八年级（1）班用200元购买了某品牌篮球y个，该品牌篮球的单价是x元/个，其y与x的函数关系式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】函数解析式 【分析】本题考查函数的常量与变量、列函数关系式，根据题目中的数量关系与自变量、因变量的定义即可求解． 【详解】解：函数关系式为，在这个问题中，变量是，． 故选：B． 题型六、求自变量的取值范围 6．（23-24八年级上·安徽安庆·阶段练习）函数的自变量的取值范围是 【答案】 【知识点】求自变量的取值范围 【分析】本题主要考查求函数自变量的取值范围，根据算术平方根的被开方数是非负数、分母不为零列出不等式组，解不等式组得到答案． 【详解】解：由题意得：且， 解得： 故答案为：. 题型七、求自变量的值或函数值 7．（23-24八年级上·安徽六安·期末）如图所示是关于变量x，y的程序计算，若开始输入的x值为6，则最后输出因变量y的值为 ． 【答案】42 【知识点】求自变量的值或函数值 【分析】本题考查了函数值，已知自变量的值求函数值是本题的本质，看懂题意是关键． 把代入，如果结果大于15就输出，如果结果不大于15，就再算一次． 【详解】解：当时， ， ∴输出因变量． 故答案为：42． 题型八、函数图象识别 8．下列图象中，y不是x的函数的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】B 【知识点】函数图象识别 【分析】本题考查函数的定义，根据“在某变化过程中，有两个变量x、y，并且对于x在某个范围内的每一个确定的值，按照对应法则，y都有唯一确定的值和它对应，则y是x的函数，x是自变量”判断即可． 【详解】解：由图可知B中的y的值不具有唯一性，所以不是函数图象． 故选：B． 题型九、从函数的图象获取信息 9．（24-25八年级上·安徽合肥·期末）某物理学习小组探究甲、乙、丙、丁四种物质的密度，将测量结果数据绘制成如图所示的图象，则四种物质中密度最大的是 ． 【答案】甲 【知识点】从函数的图象获取信息 【分析】本题考查了从函数的图象获取信息以及密度等于质量除以体积，据此逐个计算，即可作答． 【详解】解：由图象得， ∵， ∴四种物质中密度最大的是甲， 故答案为：甲． 题型十、用描点法画函数图象 10．（22-23八年级上·安徽六安·期中）作出函数的图象． 【答案】见解析 【知识点】用描点法画函数图象 【分析】根据一次函数的图象是直线，只需确定直线上两个特殊点即可． 【详解】解：当时，； 当时，， 即函数的图象经过点，，， 其图象如图： 【点睛】本题考查一次函数的图象的作法，解题的关键是一次函数的图象是直线，确定两点即可画出直线． 题型十一、动点问题的函数图象 11．（24-25八年级上·安徽合肥·期中）如图，在长方形中，，，，动点从点出发，沿的路线匀速移动，到达点停止．设点的运动路程为，则三角形的面积与之间的关系用图象表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】动点问题的函数图象 【分析】本题考查动点问题的函数图象．根据点的运动路径，当点分别在上、上、上表示出的面积随的变化情况即可判断． 【详解】解：由题知，因为四边形是矩形，且，，． 当点在上运动，即时， 的面积随的增加而增加， 当时，， 当时，； 当点在上运动，即时， 的面积随的增加而减少， 当时，点与点重合，； 当点在上运动，即时， 的面积随的增加而增加， 当时，． 对照四个选项，不难发现C选项符合题意． 故选：C． 题型十二、函数的三种表示方法 12．为了更好放松心情，上周六，小红妈妈开车带着小红一家到外郊游，出发前汽车油箱内有一定量的油．行驶过程中油箱中剩余油量（升）与行驶时间（小时）的关系如下表，请根据表格回答下列问题： 时间/小时 0 1 2 3 4 5 邮箱剩余油量/升 50 45 40 35 30 25 （1）汽车行驶前油箱里有_____________升汽油，汽车每小时耗油____________升； （2）请写出与的关系式； （3）当汽车行驶24小时时，油箱中还剩余多少升油？ 【答案】（1）50，5；（2）y=50-5t；（3）0升 【知识点】函数的三种表示方法 【分析】（1）读表并找规律可得到； （2）将找出的规律用包含t、y的式子表示出来； （3）汽车行驶10小时候就没有油了，在10时至24时之间，汽车一直处于没油状态． 【详解】（1）0时，汽车有油50升，故行驶前油箱有50升汽油 发现，每行驶1小时，油箱中的油少5升，故汽车每小时耗油5升； （2）汽车每小时耗油5升，则t小时耗油5t升 则：y=50-5t （3）当t=10时，y=0 即当汽车行驶10小时后，油箱中的油刚好耗完 ∴在10时至24时之间，油箱中剩余油量为0． 【点睛】本题考查用表格表示函数关系，注意，在实际应用中，还需要考虑字母在实际生活中的意义． 题型十三、识别一次函数 13．（24-25八年级上·安徽池州·期末）在下列函数解析式中，①；②；③；④；⑤，y一定是x的一次函数的有（   ）个． A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】C 【知识点】识别一次函数 【分析】根据一次函数的定义，对各个函数进行分析，即可求解， 本题主要考查了一次函数的定义，解题的关键是：一次函数的定义一般形如（，是常数，），其中是自变量，是因变量‌。． 【详解】解：①当时，不是一次函数， ②，是一次函数， ③，是一次函数， ④，是一次函数， ⑤，不是一次函数， 综上所述，②③④是一次函数，共3个， 故选：C． 题型十四、根据一次函数的定义求参数 14．（24-25八年级上·安徽淮北·阶段练习）【新考向】已知y是x的函数；若函数图象上存在一点，满足，则称点M为函数图象上的“姐妹点”．例如：直线上存在的“姐妹点”．直线上的“姐妹点”的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】根据一次函数的定义求参数 【分析】本题是一次函数综合题，属于新定义类题目，需要理解新定义，将姐妹点代入解析式即可求解； 【详解】解：设梦幻点 ∵ ∴， 点是直线上的“姐妹点”， ， ， 点； 故答案为：D． 题型十五、求一次函数自变量或函数值 15．（24-25八年级上·安徽亳州·阶段练习）一次函数的图象恒过一点，则该点的坐标为 ． 【答案】 【知识点】求一次函数自变量或函数值 【分析】本题考查了一次函数的性质，将函数解析式整理得出，令，求出的值，代入求出的值，即可求解． 【详解】解：∵， 当，即时， 此时， 即一次函数的图象恒过点． 故答案为：． 题型十六、列一次函数解析式并求值 16．已知y﹣1与x成正比例，当x＝3时，y＝2．则当x＝﹣1时，y的值是（　　） A．﹣1 B．0 C． D． 【答案】D 【知识点】列一次函数解析式并求值 【分析】设，把x＝3，y＝2代入求出k的值，把x＝﹣1代入函数解析式即可得到相应的y的值. 【详解】由题意设， 则由x＝3时，y＝2，得到：2﹣1＝3k， 解得：， 则该函数解析式为：， 把x＝﹣1代入得：， 故选：D． 【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，再根据给定x的值求y的值，这是基础题型，务必要掌握. 题型十七、正比例函数的定义 17．（24-25八年级上·安徽淮北·阶段练习）下列函数（1）；（2）；（3）；（4）中，是正比例函数的有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】C 【知识点】正比例函数的定义 【分析】本题考查了正比例函数的定义，正比例函数的一般形式是，此题可以根据正比例的定义进行解答． 【详解】解：（1）是正比例函数，故正确； （2）是一次函数，故错误； （3）是正比例函数，故正确； （4）的次数为二，不是一次函数，故错误； 故选：C． 题型十八、正比例函数的图象 18．（22-23八年级上·安徽阜阳·期中）已知正比例函数，则下列各点在该函数图象上的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】正比例函数的图象 【分析】本题主要考查正比例函数的图象与性质，熟练掌握正比例函数的图象与性质是解题的关键；因此此题可把各个选项分别代入正比例函数解析式进行排除选项即可． 【详解】解：A、当时，则有，所以点不在正比例函数的图象上； B、当时，则有，所以点不在正比例函数的图象上； C、当时，则有，所以点不在正比例函数的图象上； D、当时，则有，所以点不在正比例函数的图象上； 故选D． 题型十九、正比例函数的性质 19．（23-24八年级上·安徽合肥·阶段练习）已知正比例函数的图象上两点、，当时，有，那么的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】正比例函数的性质 【分析】本题考查的是正比例函数的性质，根据正比例函数的性质即可求出当时，时，列出不等式，进而求出的取值范围，解答此题要熟知正比例函数；当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小． 【详解】解：正比例函数的图象上两点，，当时，有， ， ， 故选：D． 题型二十、判断一次函数的图象 20．（24-25八年级上·安徽合肥·期中）在平面直角坐标系中，已知函数（），则下列图象可能是该函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】判断一次函数的图象 【分析】本题考查了一次函数的图象和图象上点的坐标特征，根据可判断函数的增减性以及与y轴的交点，从而可得正确选项． 【详解】解：∵， ∴函数y随x的增大而增大，， ∴函数y与y轴交于负半轴， 当时，， 观察各选项，只有选项B符合题意， 故选：B． 题型二十一、根据一次函数解析式判断其经过的象限 21．（24-25八年级上·安徽六安·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象不可能经过点E，F，G，H中的点是（ ） A．点E B．点F C．点G D．点H 【答案】B 【知识点】根据一次函数解析式判断其经过的象限 【分析】由解析式可知一次函数函数的图象经过第一、三，四象限，即可判断． 本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，熟知一次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：一次函数中，，， 一次函数的图象经过第一、三，四象限， 点F在第二象限， 一次函数的图象不可能经过点 故选： 题型二十二、已知函数经过的象限求参数范围 22．（24-25八年级上·安徽六安·期末）一次函数与，它们在同一坐标系中的大致图象可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】已知函数经过的象限求参数范围 【分析】本题考查了一次函数的图形，熟知一次函数中：，随增大而增大；，随增大而减小；，函数图像与轴交于正半轴；，函数图像与轴交于负半轴；是解本题的关键．对选项中的分别对应的的值进行分析可得答案． 【详解】解：A、： ； ： ； 故此选项不符合题意； B、：；： ； 故此选项符合题意； C、：；： ； 故此选项不符合题意； D、：；： ； 故此选项不符合题意； 故选：B． 题型二十三、一次函数图象与坐标轴的交点问题 23．（24-25八年级上·安徽合肥·期末）直线与x轴交点的横坐标是 ，与y轴交点的纵坐标是 ． 【答案】 3 6 【知识点】一次函数图象与坐标轴的交点问题 【分析】本题考查了一次函数的图象与坐标轴的交点，熟练掌握一次函数的图象与坐标轴的交点坐标的求法是解题的关键．令，得到，令，则，即可求得答案． 【详解】解：令，则 解得 直线与x轴交点的横坐标是3， 令，则 与y轴交点的纵坐标是6． 故答案为：3；6． 题型二十四、画一次函数图象 24．在同一直角坐标系中画出下列函数的图象，并指出每小题中三个函数的图象有什么关系． （1）y=x-1、y=x、y=x+1； （2）y=-x-2、y=-x、y=-x+2． 【答案】（1）图见解析，三条直线互相平行；（2）图见解析，三条直线互相平行 【知识点】画一次函数图象 【分析】利用“两点确定一条直线”画出图象，根据图象找到它们之间的关系； 【详解】（1）如图所示 （2）如图所示： 根据图像这三条直线互相平行；根据图像这三条直线互相平行； 【点睛】本题考查了一次函数的图象，使用两点法画一次函数的图象，不一定就选择上面的两点，而要根据具体情况，所选取的点的横纵坐标尽量取整数，以便于描点准确． 题型二十五、一次函数图象平移问题 25．（24-25八年级上·安徽亳州·阶段练习）把直线向右平移1个单位长度后，其直线的函数解析式为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】一次函数图象平移问题 【分析】本题考查一次函数水平平移的规律，需根据“左加右减”的原则对自变量x进行变换． 【详解】解：把直线向右平移1个单位长度后，其直线的函数解析式为， 故选：B． 题型二十六、判断一次函数的增减性 26．（24-25八年级上·安徽六安·阶段练习）已知一次函数，经过点和点且，，当，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】判断一次函数的增减性、比较一次函数值的大小 【分析】本题考查了一次函数图象的性质的运用，根据一次函数中，的符号决定图象的位置进行判定即可求解． 【详解】解：一次函数中，， ∴函数图象经过第一、二、四象限，随的增大而减小，且时，， ∵， ∴， 故选： B． 题型二十七、根据一次函数增减性求参数 27．（24-25八年级上·安徽宿州·期末）若是一次函数图象上不同的两点，且，则a 的取值范围为  （     ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】根据一次函数增减性求参数 【分析】本题考查了一次函数的性质，熟练掌握“当时，随的增大而减小”是解题的关键． 根据可得出与异号，进而得出，解之即可得出结论． 【详解】解：， 与异号， ∴当时，，当时，， ∴y随增大而减小， ∵， ∴，解得：． 故选：D． 题型二十八、根据一次函数的增减性判断自变量的变化情况 28．（23-24八年级上·安徽蚌埠·期末）在一次函数 的图像上任取不同两点，，则 的正负情况是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】根据一次函数的增减性判断自变量的变化情况 【分析】本题考查了一次函数的图像与性质，解题的关键是掌握一次函数的图像与性质．根据一次函数的图像与性质即可求解． 【详解】解：， 随的增大而减小， 当时，， ， 故选：A． 题型二十九、比较一次函数值的大小 29．（24-25八年级上·安徽合肥·期末）一次函数的图象过点，，则和的大小关系是（   ）． A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【知识点】比较一次函数值的大小 【分析】本题考查一次函数图象上点的坐标特征，根据一次函数，可知随的增大而减小，然后根据一次函数的图象过点，，即可得到和的大小关系． 【详解】解：∵一次函数， ∴随的增大而减小， ∵一次函数的图象过点，，， ∴， 故选：A． 题型三十、一次函数的规律探究问题 30．如图，直线与y轴相交于点，过点作x轴的平行线交直线于点，过点作y轴的平行线交直线于点，再过点作x轴的平行线交直线于点，过点作y轴的平行线交直线于点，…，依此类推，得到直线上的点，，，…，与直线上的点，，，…，则A8B9的长为（　　） A．64 B．128 C．256 D．512 【答案】D 【知识点】一次函数的规律探究问题 【分析】此题考查了一次函数规律探索问题，涉及的知识有：一次函数的性质，以及坐标与图形性质，对于直线，令求出y的值，确定出纵坐标，即为的纵坐标，代入直线中求出的横坐标，即可求出的长，由与的横坐标相等得出的横坐标，代入求出纵坐标，即为的纵坐标，代入直线中求出B2的横坐标，即可求出的长，同理求出，，…，归纳总结即可得到的长．弄清题中的规律是解本题的关键． 【详解】解：对于直线，令，求出， ， 轴， 的纵坐标为2， 将代入中得：， ， ， 轴， 的横坐标为2， 将代入直线中得：， ， 与的纵坐标为4， 将代入中得：， ， ， 同理，…，， 则的长为． 故选：D． 题型三十一、求一次函数解析式 31．（24-25八年级上·安徽安庆·期末）已知，试判断A，B，C三点是否在同一直线上，并说明理由． 【答案】A，B，C三点在同一直线上，理由见解析 【知识点】求一次函数解析式 【分析】本题考查求一次函数的解析式，一次函数图象上的点，求出直线的解析式，把点代入解析式，进行判断即可． 【详解】解：A，B，C三点在同一直线上，理由如下： ∵， 设直线的解析式为， ∴，解得：， ∴， ∴当时，； 故点在直线上，即：A，B，C三点在同一直线上． 题型三十二、分配方案问题(一次函数的实际应用) 32．快递公司为提高快递分拣的速度，决定购买机器人来代替人工分拣，两种型号的机器人的工作效率和价格如下表： 型号 甲 乙 每台每分钟分拣快递件数（件） 20 15 每台价格（万元） 5 3 该公司计划购买这两种型号的机器人共10台，并且使这10台机器人每分钟分拣快递件数总和不少于170件． （1）设购买甲种型号的机器人x台，购买这10台机器人所花的总费用为y元，求y与x之间的关系式； （2）购买几台甲种型号的机器人，能使购买这10台机器人所花总费用最少，最少费用是多少． 【答案】（1）y＝2x+30；（2）购买3台甲种型号的机器人，能使购买这10台机器人所花总费用最少，最少费用为38万元． 【知识点】分配方案问题(一次函数的实际应用) 【分析】（1）根据总费用＝甲种型号机器人的费用+乙种机器人的费用，求出y与x的关系式即可； （2）根据这10台机器人每分钟分拣快递件数总和不少于170件，列出不等式，求得x的取值范围，再利用（1）中函数，求出y的最小值即可． 【详解】解：（1）y与x之间的函数关系式为： y＝5x+3（10﹣x）＝2x+30； （2）由题意可得：20x+15×（10﹣x）≥170， ∴x≥4 ∵2＞0， ∴y随x的增大而增大， ∴当x＝4时，y取得最小值， ∴y最小＝2×4+30＝38， ∴购买3台甲种型号的机器人，能使购买这10台机器人所花总费用最少，最少费用为38万元． 【点睛】本题考查了一次函数的性质、一次函数的应用和一元一次不等式的运用，分析出题目中的数量关系式解题的关键． 题型三十三、最大利润问题(一次函数的实际应用) 33．某电脑经销商，今年二，三月份型和型电脑的销售情况，如下表所示： 型（台） 型（台） 利润（元） 二月份 15 20 4500 三月份 20 10 3500 （1）直接写出每台型电脑和型电脑的销售利润分别为____________； （2）该商店计划一次购进两种型号的电脑共100台，其中型电脑的进货量不超过型电脑的2倍．设购进型电脑台，这100台电脑的销售总利润为元． ①求与的关系式； ②该商店购进型、型各多少台，才能使销售利润最大？ （3）实际进货时，厂家对型电脑出厂价下调元，且限定商店最多购进型电脑60台．若商店保持两种电脑的售价不变，请你以上信息及（2）中的条件，设计出使这100台电脑销售总利润最大的进货方案． 【答案】（1）100元，150元；（2）①y=-50x+15000；②购进34台A型电脑和66台B型电脑的销售利润最大；（3）①当0＜m＜50时，购进34台A型电脑和66台B型电脑的销售利润最大；②m=50时，购进A型电脑数量满足34≤x≤60的整数时，均获得最大利润；③当50＜m＜80时，购进60台A型电脑和40台B型电脑的销售利润最大． 【知识点】最大利润问题(一次函数的实际应用) 【分析】（1）设每台A型电脑销售利润为a元，每台B型电脑的销售利润为b元；根据题意列出方程组求解， （2）①据题意得，y=-50x+15000， ②利用不等式求出x的范围，又因为y=-50x+15000是减函数，所以x取34，y取最大值， （3）据题意得，y=（100+m）x+150（100-x），即y=（m-50）x+15000，分三种情况讨论，①当0＜m＜50时，y随x的增大而减小，②m=50时，m-50=0，y=15000，③当50＜m＜80时，m-50＞0，y随x的增大而增大，分别进行求解． 【详解】解：（1）设每台A型电脑销售利润为a元，每台B型电脑的销售利润为b元； 根据题意得, 解得 故答案是： 100元，150元． （2）①据题意得，y=100x+150（100-x）， 即与的关系式为y=-50x+15000， ②据题意得，100-x≤2x， 解得x≥， ∵y=-50x+15000，-50＜0， ∴y随x的增大而减小， ∵x为正整数， ∴当x=34时，y取最大值，则100-x=66， 即商店购进34台A型电脑和66台B型电脑的销售利润最大． （3）据题意得，y=（100+m）x+150（100-x）， 即y=（m-50）x+15000，≤x≤60，且x为整数， 分三种情况讨论： ①当0＜m＜50时，y随x的增大而减小， ∴当x=34时，y取最大值， 即商店购进34台A型电脑和66台B型电脑的销售利润最大． ②m=50时，m-50=0，y=15000， ∵≤x≤60，且x为整数， ∴34≤x≤60，且x为整数， 即商店购进A型电脑数量满足34≤x≤60的整数时，均获得最大利润； ③当50＜m＜80时，m-50＞0，y随x的增大而增大， ∴当x=60时，y取得最大值． 即商店购进60台A型电脑和40台B型电脑的销售利润最大． 【点睛】本题主要考查了一次函数的应用，二元一次方程组及一元一次不等式的应用，解题的关键是根据一次函数的增减性质进行判断． 题型三十四、行程问题(一次函数的实际应用) 34．如图，甲、乙两人分别从同一公路上的A、B两地同时出发骑车前往C地，两人行驶的路程与甲行驶的时间之间的关系如图所示，请根据图象所提供的信息解答下列问题： (1)求甲在的时间段内的函数关系式； (2)在的时间段内，当为何值时甲、乙两人相距5千米． 【答案】(1) (2)当为3小时或5小时时甲、乙两人相距5千米 【知识点】行程问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题考查一次函数的应用，利用数形结合的思想和分类讨论的思想是解答本题的关键． （1）根据函数图象中的数据，可以计算出甲在的时间段内y与x之间的函数关系式； （2）根据题意，可知存在两种情况甲、乙两人相距5千米，然后分别计算出即可． 【详解】（1）解：设甲在时，y与x之间的函数关系式是， ∵点在该函数图象上， ， 解得， 即甲在时，y与x之间的函数关系式是； （2）解：设乙在时，y与x之间的函数关系式是， ∵点在函数图象上， ∴， 解得． 即乙在时，y与x之间的函数关系式是， 相遇之前两人相距，则， 解得． 相遇之后且甲到达C地之前相距，则， 解得． 答：当为3小时或5小时时甲、乙两人相距5千米． 题型三十五、梯度计价问题 35．某市出租车收费标准如下：3千米以内（含）收费10元，超过3千米的部分每千米加收2元． (1)写出收费y（元）与行驶路程x（千米）（）之间的函数关系式； (2)若某人乘坐出租车付费22元，求其行驶的路程； (3)在坐标系中画出收费y（元）与行驶路程x（千米）的函数的图象（要求标出关键点）． 【答案】(1) (2)行驶的路程为 (3)见解析 【知识点】梯度计价问题 【分析】本题主要考查一次函数的应用，画函数图象； （1）根据分段函数的计算方法列函数关系式即可； （2）把代入，求出x值即可； （3）根据函数的解析式画函数图象即可． 【详解】（1）解：当时，， 当时，， 综上； （2）解：∵， ∴， 解得； ∴行驶的路程为； （3）解：函数图象为： 题型三十六、其他问题(一次函数的实际应用) 36．（25-26八年级上·全国·课后作业）某生物兴趣小组观察一种植物种子发芽后的生长情况，得到该植物高度y（单位：cm）与观察时间x（单位：天）的函数关系如图所示．已知，轴，则第6天该植物的高度为 cm． 【答案】10 【知识点】其他问题(一次函数的实际应用) 【分析】该题主要考查了一次函数的应用．求出植物的高度（厘米）与观察时间（天）的函数解析式，再求出时，对应的的值即可； 【详解】解：根据题意设线段的函数解析式为， 将代入得， ， ∴线段的函数解析式为， ∵，轴， ∴， 设的解析式为， 把代入得，， 解得， ∴的解析式为， 当时，， ∴第天该植物的高度为厘米． 故答案为：． 题型三十七、已知直线与坐标轴交点求方程的解 37．（25-26八年级上·全国·课前预习）已知一次函数的图象如图所示． (1)关于x的方程的解是________； (2)关于x的方程的解是________； (3)关于x的方程的解是________． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】已知直线与坐标轴交点求方程的解 【分析】此题主要考查了一次函数与方程，关键是正确利用数形结合的方法从图象中找到正确答案． （1）一次函数的图象与轴交点横坐标的值即为方程的解； （2）根据一次函数图象可得一次函数的图象经过点，进而得到方程的解； （3）根据一次函数图象可得一次函数的图象经过点，进而得到方程的解． 【详解】（1）解： 一次函数的图象与轴相交于点， 关于的方程的解是． 故答案为：； （2）解：根据图象可得，一次函数的图象经过点， 因此关于的方程的解， 故答案为：； （3）解：根据图象可得，一次函数的图象经过点， 因此关于的方程的解， 故答案为：． 题型三十八、由一元一次方程的解判断直线与x轴的交点 38．已知方程的解是，则函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】由一元一次方程的解判断直线与x轴的交点 【分析】本题考查了一次函数与一元一次方程：已知一次函数的函数值求对应的自变量的值的问题就是一元一次方程的问题． 由于方程的解是，即时，，所以直线经过点，然后对各选项进行判断． 【详解】解：方程的解是， 经过点． 故选：C． 题型三十九、利用图象法解一元一次方程 39．已知一次函数的图象如图所示，则方程的解为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】利用图象法解一元一次方程 【分析】本题考查了一次函数与一元一次方程的关系，根据图象可得，一次函数的图象经过点， 即当时，自变量的值就是对应的一元一次方程的解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：根据图象可得，一次函数的图象经过点， ∴方程的解是， 故选：． 题型四十、由直线与坐标轴的交点求不等式的解集 40．如图，函数与的图象相交于点，则关于x的不等式的解集是 ． 【答案】 【知识点】由直线与坐标轴的交点求不等式的解集 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式，求出A点坐标是解题的关键． 首先利用函数过点，求出A点坐标，再以交点为分界，结合图象写出不等式的解集即可． 【详解】解：函数过点， ， 解得：， ， 不等式的解集为 故答案为：． 题型四十一、根据两条直线的交点求不等式的解集 41．如图，函数和的图象相交于点，则不等式的解集为 ． 【答案】 【知识点】根据两条直线的交点求不等式的解集 【分析】先求出点的横坐标，再根据函数图象的位置关系求解不等式的解集．本题主要考查了一次函数与一元一次不等式的关系，熟练掌握函数图象的位置关系与不等式解集的对应关系是解题的关键． 【详解】解：∵点在上， ∴， 解得． 不等式可变形为，从函数图象上看，就是的图象在图象下方时的取值范围． 已知两函数图象相交于点，观察图象可知，当时，的图象在图象下方． ∴不等式的解集为． 故答案为：． 题型四十二、两直线的交点与二元一次方程组的解 42．（24-25八年级上·安徽池州·期末）如图，直线与直线交于点，则方程组的解是（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】两直线的交点与二元一次方程组的解 【分析】本题主要考查一次函数函数与二元一次方程组的关系，函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解． 根据一次函数与二元一次方程组的关系可得方程组的解是，对比方程组，可得第二方程组中与第一个方程组中对应，第二方程组中与第一个方程组中对应，故，由此解答即可． 【详解】∵直线与直线交于点， ∴方程组的解是． ∴在方程组中，， 解得 故选D． 题型四十三、图象法解二元一次方程组 43．（24-25八年级上·安徽宿州·期末）在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图，则方程组的解为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】图象法解二元一次方程组 【分析】本题考查了图象法求二元一次方程组的解，数形结合是解题的关键； 根据方程组变形可得，根据两个一次函数图象交点，即可求出方程组的解． 【详解】方程组的解即为方程组的解， 一次函数与的图象交于点， 方程组的解为， 即方程组的解为， 故选：C． 题型四十四、求直线围成的图形面积 44．点在第一象限，且，点A的坐标为，若的面积为16，则点P的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求直线围成的图形面积 【分析】根据题意画出图形，根据三角形的面积公式即可得出关于的函数关系式，把代入函数关系即可得出的值，进而得出的值． 【详解】解：已知和， ． ， ， ， 当时，， 解得． ， ， 即； 故选：C． 【点睛】本题考查的是一次函数的性质，熟知一次函数的图象与系数的关系是解答此题的关键． 题型四十五、一次函数与几何综合 45．已知平面直角坐标系中有两点，，点与点关于轴对称，经过点的直线与轴交于点，与直线交于点，且点在第三象限． （1）求直线的解析式； （2）若直线与轴的夹角为45°时，求的面积． 【答案】（1）；（2）6 【知识点】两直线的交点与二元一次方程组的解、一次函数与几何综合 【分析】（1）根据点A(-1，0)，B（0，2）的坐标，利用待定系数法即可求出直线的解析式的解析式； （2）先求出点C的坐标，由直线与轴的夹角为45°得OD=OC=1，即得点D的坐标，再利用待定系数法求出直线的解析式，并与直线AB的解析式联立二元一次方程组，求解后得两条直线的交点E的坐标，进而计算出△BCE的面积． 【详解】解：（1）设直线的解析式的解析式为，将A(-1，0)，B（0，2）代入得： ， 解得． ∴直线的解析式为． （2）∵点C与点A(-1，0)关于轴对称， ∴C（1，0）． ∵直线与轴的夹角为45°，且E点在第三象限， ∴∠ODC=45°． ∴OD=OC=1． ∴D（0，-1）． 设直线的解析式为，将C（1，0），D（0，-1）代入得： ， 解得． ∴直线的解析式为． ∵直线与直线交于点， ∴， 解得， ∴E（-3，-4）． S△BCE= S△ABC +S△ACE=AC•OB+AC•|yE|=×2×2+×2×4=6． 【点睛】本题考查了一次函数的应用，掌握利用待定系数法求一次函数解析式及通过解二元一次方程组求两条直线的交点坐标是解答此题的关键. 学科网（北京）股份有限公司 $$