第十四章 全等三角形 章节（10知识点回顾+26题型巩固）（讲义）满分全攻略备课系列-2025-2026学年人教版（2024）数学八年级上册

第十四章 全等三角形 章节（10知识点回顾+26题型巩固） 目录 知识梳理 1.全等形 2.全等三角形 3.全等三角形的性质 4．全等三角形的判定 5.用尺规作一个角等于已知角 6.作一个角的平分线 7.角的平分线的性质 8.证明几何命题的一般步骤 9.角的平分线的判定 10.三角形的角平分线的性质 题型巩固 一、图形的全等 二、全等三角形的概念 三、全等三角形的性质 四、用SAS证明三角形全等 五、用SAS间接证明三角形全等 六、全等的性质和SAS综合 七、用ASA（AAS）证明三角形全等 八、全等的性质和ASA（AAS）综合 九、用SSS证明三角形全等 十、用SSS间接证明三角形全等 十一、全等的性质和SSS综合 十二、用HL证全等 十三、全等的性质和HL综合 十四、添加条件使三角形全等 十五、灵活选用判定方法证全等 十六、倍长中线模型 十七、旋转模型 十八、垂线模型 十九、全等三角形综合问题 二十、尺规作一个角等于已知角 二十一、过直线外一点作已知直线的平行线 二十二、尺规作图——作三角形 二十三、作角平分线(尺规作图) 二十四、角平分线的性质定理 二十五、角平分线的判定定理 二十六、角平分线性质的实际应用 知识梳理 知识点1.全等形 1. 定义：能够完全重合的两个图形叫作全等形. 全等形的特征：“两相同”与“两无关”. (1)“两相同”：①形状相同；②大小相同. (2)“两无关”：①与位置无关；②与方向无关. 2. 全等变换的常见方式：平移、翻折、旋转. 知识点2.全等三角形 1. 全等三角形的有关概念和表示方法 相关概念 示例 定义 能够完全重合的两个三角形叫作全等三角形 △ABC与△DEF全等 相关概念 示例 对应元素 对应顶点：重合的顶点叫作对应顶点 点A与点D， 点B与点E，点C与点F 对应边：重合的边叫作对应边 AB与DE，BC与EF，AC与DF 对应角：重合的角叫作对应角 ∠A与∠D， ∠B与∠E，∠C与∠F 相关概念 示例 表示方法 全等用符号“≌”表示，读作“全等于” △ABC≌△DEF 2. 三种常见的全等类形 (1)平移型 (2)翻折型 (3)旋转型 知识点3.全等三角形的性质 1. 性质：全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等. 图形语言：如图14.1 -4所示. 2. 拓展：全等三角形的对应元素相等. 全等三角形中的对应元素包括对应边、对应角、对应边上的中线、对应边上的高、对应角的平分线、周长、面积等. 知识点4．全等三角形的判定 （1）判定定理1：SAS﹣﹣两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等． （2）判定定理2：ASA﹣﹣两角及其夹边分别对应相等的两个三角形全等． （3）判定定理3：AAS﹣﹣两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等． （4）判定定理4：SSS﹣﹣三条边分别对应相等的两个三角形全等． （5）判定定理5：HL﹣﹣斜边与直角边对应相等的两个直角三角形全等． 方法指引：全等三角形的5种判定方法中，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边． 知识点5.用尺规作一个角等于已知角 用尺规作一个角等于已知角 已知∠ AOB(如图14.2 - 10 ①)，求作∠A′O′B ′，使∠A′O′B′＝∠AOB ，并证明. 作法：(1)以点O 为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA，OB 于点C，D； (2)作一条射线O′A′，以点O′为圆心，OC为半径作弧，交O′A′于点C′； (3)以点C′为圆心，CD为半径画弧，与上一步作的弧相交于点D′； (4)过点D′作射线O′B′，则∠A′O′B′即为所求作的角(如图14.2-10 ②). 证明：连接CD，C′D′. 由作法(1)(2)可知OC=OD=O′C′； 由作法(3)可知CD=C′D′，O′C′=O′D′， ∴ OD=O′D′.∴△ OCD ≌△ O′C′D′(SSS). ∴∠AOB=∠A′O′B′. 知识点6.作一个角的平分线 已知：∠ AOB. 求作：∠ AOB 的平分线. 作法：(1)以点O 为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB 于点N. (2)分别以点M，N 为圆心，大于MN 的长为半径画弧，两弧在∠ AOB 的内部相交于点C. (3)画射线OC. 射线OC 即为∠AOB的平分线(如图14.3 -1). 2.“画射线OC”不能叙述为“连接OC”，因为角平分线是射线而不是线段. 3.用尺规作一个角的平分线，实质上是运用“SSS”构造全等三角形，根据全等三角形的对应角相等，找出平分一个角的射线. 知识点7.角的平分线的性质 1. 性质定理：角的平分线上的点到角的两边的距离相等 . 角的平分线的性质的两个必要条件 (1)点在角平分线上； (2)这个点到角两边的距离即点到角两边的垂线段的长度. 两者缺一不可. 2. 几何语言：如图14.3 -3， 只要符合基本模型，直接得出结论，不需要证全等 ∵ OP 平分∠ AOB，PE ⊥ OA 于点E，PF ⊥ OB 于点F，∴ PE=PF. 知识点8.证明几何命题的一般步骤 1. 证明一个几何命题的一般步骤已知：命题中的题设部分； 求证：命题中的结论部分 (1)明确命题中的已知和求证； (2)根据题意，画出图形，并用数学符号表示已知和求证； (3) 经过分析，找出由已知推出要证的结论的途径，写出证明过程. 2. 推理证明中常见的分析方法 (1) 综合法：从已知条件入手，根据已学过的定义、定理、全等的判定方法等，逐步推出要证的结论. (2) 分析法：从要证明的结论出发，根据已学过的定义、定理、全等的判定方法等，寻找使结论成立所需的条件，这样一步步逆推，一直追溯到结论成立的条件与已知条件吻合. (3)“两头凑”的方法：分别从已知条件和结论入手，当从已知条件推导出的结论与从结论倒推出所需的条件相吻合时，问题可得证. 知识点9.角的平分线的判定 1. 判定定理：角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上. 2. 几何语言：如图14.3 -10， ∵ 点P 为∠ AOB 内一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E，且PD=PE， ∴点P 在∠ AOB 的平分线OC 上. 应用角的平分线的判定所具备的条件 (1)位置关系：点在角的内部； (2)数量关系：该点到角两边的距离相等. 定理的作用：判断点是否在角平分线上. 3. 角的平分线的判定定理与性质定理的关系 (1)如图14.3 -10，都与距离有关，即条件PD ⊥ OA， PE ⊥ OB 都具备； (2)点在角的平分线上 (角的内部的)点到 角两边的距离相等.如图14.3 -10 ， 知识点10.三角形的角平分线的性质(拓展点) 1. 性质定理：三角形的三条角平分线交于一点，并且这一点到三条边的距离相等. 这一点叫三角形的内心 . 2. 几何语言：如图14.3 -14，在△ ABC 中，AD，BM，CN 分别是∠ BAC，∠ ABC，∠ ACB 的平分线，AD，BM，CN 交于一点O，且点O 到三边BC，AB，AC 的距离相等，即OE=OG=OF. 题型巩固 题型一、图形的全等 1．佳佳想在图中再加一个正方形方格，使整个图形被直线分成的两部分全等，这个方格可放的位置为（   ） A．① B．②或③ C．② D．③或④ 【答案】B 【知识点】图形的全等 【分析】通过分别将正方形方格放在不同位置，依据全等图形的定义（能够完全重合的两个图形全等 ），判断直线分割后两部分是否全等．本题主要考查全等图形的定义，熟练掌握全等图形能够完全重合的性质是解题的关键． 【详解】解：方格放在①位置，此时观察图形，直线分割后，两部分的正方形分布和数量无法完全重合． 放在②位置后，直线将图形分割，两侧的正方形数量、排列可完全重合． 放在③位置，直线分割后的两侧图形，正方形的组成和布局可完全重合． 放在④位置，直线分割后，两侧图形的正方形数量与排列无法重合． 综上，方格可放的位置为②或③， 故选： ． 2．（22-23八年级上·全国·课后作业）先观察猜想结论，再动手验证． (1)如图．圆和圆哪个大？ (2)如图，两条线是否为直线？ 【答案】(1)一样大； (2)是直线； 【知识点】图形的全等 【分析】先观察猜想得出结论，然后动手验证即可． 【详解】（1）观察猜想得出的结论：圆比圆大， 验证：用重叠法比较，圆和圆一样大； （2）观察猜想得出的结论：不是两条直线， 验证：用支持比较，是两条直线； 【点睛】此题目主要考查了同学们能观察图形的形状和大小，培养识图能力． 题型二、全等三角形的概念 3．（23-24八年级上·广西南宁·期中）如图，，和，和是对应边，则的对应角是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】全等三角形的概念 【分析】本题主要考查全等三角形的概念，根据已知条件，和，和是对应边，点与点对应点，点与点是对应点，由此即可得到的对应角，理解其概念是解题的关键． 【详解】∵， ∴∠的对应角是， 故选：． 4．（2023八年级上·全国·专题练习）如图所示，已知，指出它们的对应边和对应角．    【答案】见解析 【知识点】全等三角形的概念 【分析】根据全等三角形的概念，正确的确定对应边和对应角即可． 【详解】解：∵， ∴的对应边是，的对应边是，的对应边是， 的对应角是，的对应角是，的对应角是． 【点睛】本题考查全等三角形的概念．熟练掌握全等三角形对应边和对应角的概念，是解题的关键． 题型三、全等三角形的性质 5．（2025八年级上·全国·课后作业）如图，已知，E是线段上一点，交于点F．下列与的度数相等的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】全等三角形的性质 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．由可得，，由对顶角相等可知则有，由此可得，再根据即可求解． 【详解】解：， ，， ， ， ， ， ． 故选：B． 6．（23-24八年级上·宁夏银川·阶段练习）如图，，点B和点D，点C和点E是对应顶点，那么的对应边为 ，的对应角为 ． 【答案】 / / 【知识点】全等三角形的性质 【分析】本题考查了全等三角形的对应边与对应角．解题的关键是牢记“全等三角形的对应边相等，对应角相等”即可．解题时要找对对应边，对应角即可． 【详解】解：，点B和点D，点C和点E是对应顶点，那么的对应边为，的对应角为． 故答案为：，． 题型四、用SAS证明三角形全等 7．（24-25八年级上·全国·期末）如图，，，由此可得下列哪组三角形全等（　　 ） A． B． C． D．没有三角形全等 【答案】A 【知识点】用SAS证明三角形全等（SAS） 【分析】本题考查全等三角形的判定，根据推出即可． 【详解】解：∵，，， ∴， 故选：A． 8．（24-25八年级上·江苏南京·期末）已知：如图，， ，．求证：． 【答案】见解析 【知识点】用SAS证明三角形全等（SAS） 【分析】根据，求出，根据全等三角形的判定定理可推出，进而得出． 本题主要考查了全等三角形的判定和性质，做题的关键是找出证三角形全等的条件． 【详解】证明：∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴． ∴． 题型五、用SAS间接证明三角形全等 9．（24-25八年级上·山东聊城·阶段练习）如图，在的方格中，每个小方格的边长均为1，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】用SAS间接证明三角形全等（SAS） 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．根据全等三角形的判定和性质定理即可得到结论． 【详解】解：如图， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵ ∴， 故选：B． 10．（24-25八年级上·全国·期末）已知：如图，点A、F、C、D在同一直线上，点B和点E分别在直线的两侧，且，，．求证：． 【答案】见解析 【知识点】用SAS间接证明三角形全等（SAS） 【分析】本题考查全等三角形的判定，求出，根据得到两三角形全等即可． 【详解】证明：∵， ∴，即， 在和中 ， ∴． 题型六、全等的性质和SAS综合 11．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，在中，，则的长为 ． 【答案】3 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】本题考查三角形全等的判定和性质，掌握相关知识是解决问题的关键．根据已知条件可证明，则得，则可求． 【详解】解：在中， ， ， ， ， ． 故答案为：3． 12．（2025八年级上·全国·课后作业）如图，在和中，，，点C，D，E三点在同一直线上，连接交于点G． (1)试说明：； (2)猜想有何特殊位置关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】本题考查了全等三角形的判定、性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． （1）根据，可得， 再根据，便可证得结论； （2）根据（1）的结论，利用全等三角形的性质得，结合与内角和，即可得． 【详解】（1）解：， ． 即． 在和中， ， ． （2）解：，理由如下： ， ． ，，， ． ． 题型七、用ASA（AAS）证明三角形全等 13．（24-25八年级上·广东韶关·阶段练习）如图，小明不慎将一块三角形玻璃打碎为三块，他是否可以只带其中的一块碎片到商店去，就能配一块与原来一样的三角形模具吗？ 如果可以，带哪块去合适？（　　） A．1 B．2 C．3 D．任意一块 【答案】A 【知识点】用ASA（AAS）证明三角形全等（ASA或者AAS） 【分析】本题考查了全等三角形的应用，根据全等三角形的判定方法结合图形即可得出答案，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法． 【详解】解：由图形可知，号有完整的两角与夹边，根据“角边角”可以作出与原三角形全等的三角形；号没有完整的边或角，号只有一个完整的角，根据全等三角形的判定方法，号和号都不可以作出与原三角形全等的三角形， 故选：． 14．（24-25八年级上·贵州遵义·阶段练习）如图，是上一点，交于点，，请添加一个条件 ，通过证明两个三角形全等，使得．（只添一种情况即可）． 【答案】或 【知识点】添加条件使三角形全等（全等三角形的判定综合） 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，解答本题的关键是明确题意，利用全等三角形的判定解答．根据题目中的条件和全等三角形的判定，可以写出添加的条件，注意本题答案不唯一． 【详解】解：∵， ∴，， ∴添加条件，可以使得， 添加条件，也可以使得， ∴； 故答案为：或． 15．（25-26八年级上·全国·课前预习）如图，点E在上，点C在上，，．求证：． 【答案】见解析 【知识点】用ASA（AAS）证明三角形全等（ASA或者AAS） 【分析】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 由即可得出． 【详解】证明：在和中， ． 题型八、全等的性质和ASA（AAS）综合 16．（2025八年级上·全国·课后作业）如图，平分，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质．证明，即可求解． 【详解】解：∵平分， ∴， 在和中， ∵，，， ∴， ∴． 故选：B 17．（24-25八年级上·河南驻马店·期末）如图，，，，给出下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论是（   ） A．①②③ B．②③ C．①③ D．①②③④ 【答案】A 【知识点】全等三角形综合问题 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，找出图形中的全等三角形是解题关键．证明出，可判断①②结论；证明，可判断③结论；证明，可判断④结论． 【详解】解：，，， ， ，，，②结论正确； ， ，即，①结论正确； ，，， ，③结论正确； ， ， ， 又，， ， ，， 但无法证明，④结论错误； 故选：A． 18．（24-25八年级上·全国·期末）如图，四边形中，对角线、交于点，，点是上一点，且，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)3 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，全等三角形的判定和性质是解题的关键． （1）证明，可得出结论； （2）根据全等三角形的性质求解． 【详解】（1）证明：， ， 即：， 在和中， ， ∴， ； （2）解：， ， ，， ． 题型九、用SSS证明三角形全等 19．如图是的正方形网格，以点为两个顶点作位置不同的格点三角形，使所作的格点三角形与全等，这样的格点三角形最多可以画出（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．6个 【答案】C 【知识点】用SSS证明三角形全等（SSS） 【分析】本题考查三角形全等的判定方法，观察图形可知：与是对应边，B点的对应点在上方两个，在下方两个共有个满足要求的点，也就有四个全等三角形． 【详解】解：根据题意，运用可得与全等的三角形有个，线段的上方有两个点，下方也有两个点． 故选：C． 20．（24-25八年级上·湖北十堰·期末）三个顶点分别在小正方形的顶点（格点）上的三角形叫格点三角形．除格点外，在网格中可画出与全等的格点三角形共有 个． 【答案】3 【知识点】用SSS证明三角形全等（SSS） 【分析】利用判定两三角形全等，认真观察图形可得答案．本题考查作图应用与设计作图、全等三角形的判定，注意观察图形，掌握全等三角形的判定方法是解决本题的关键． 【详解】解：如图，    图中与全等的格点三角形是，共3个， 故答案为：3． 题型十、用SSS间接证明三角形全等 21．（2025八年级上·全国·课后作业）如图，已知点A，B，C，D在同一条直线上，，，．求证：． 证明：∵（________）， ∴________________（________）， 即________________． 在和中，， ∴（________）． 【答案】已知；；；等式的性质；；；；； 【知识点】用SSS间接证明三角形全等（SSS） 【分析】首先根据可得，再加上条件，可利用定理证明． 本题主要考查了三角形全等的判定方法，得出是解题的关键． 【详解】证明：∵（已知）， ∴（等式的性质）， 即． 在和中，， ∴（）． 故答案为：已知；；；等式的性质；；；；； 题型十一、全等的性质和SSS综合 22．（2025八年级上·全国·课后作业）如图，在中，两点在上，且有．若，，则的度数为 ． 【答案】/110度 【知识点】全等的性质和SSS综合（SSS） 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，根据“边边边”证明，根据对应角相等可得，即可求解． 【详解】解：，， ， ， ， ， 故答案为：． 23．（2025八年级上·全国·课后作业）如图，已知．求证：． 【答案】证明见解析 【知识点】全等的性质和SSS综合（SSS） 【分析】此题考查了三角形全等的判定和性质．根据三边对应相等的三角形全等证明，再全等三角形对应角相等可得，进而证明结论． 【详解】证明：在和中， ， ， 即． 题型十二、用HL证全等（HL） 24．（23-24八年级上·四川广安·阶段练习）如图，，，，要根据“”证明，则还需要添加一个条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】用HL证全等（HL） 【分析】本题考查了用“”证明三角形全等，掌握相关知识是解决问题的关键．由已知条件可知，两三角形是直角三角形，且有一条直角边相等，若用“”证明全等，需再有斜边对应相等，据此可解答． 【详解】解：如图，，，， 要根据“”证明， 需再有斜边对应相等， 即． 故选：D． 25．（24-25八年级·黑龙江大庆·期末）如图，若要用“”证明，则需要添加的一个条件是 ． 【答案】（或者） 【知识点】用HL证全等（HL） 【分析】本题考查了全等三角形的判定定理，根据直角三角形全等的判定定理“”：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，即可得解，熟练掌握全等三角形的判定定理是解此题的关键． 【详解】解：由题意可得：， 故若要用“”证明，则需要添加的一个条件是（或者）， 故答案为：（或者）． 题型十三、全等的性质和HL综合 26．如图，，，点A、D、B、C分别在直线与上，点E在上，，，，则 ． 【答案】7 【知识点】全等的性质和HL综合（HL） 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，由平行线的性质可得，再证明，得出，即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 27．（2025八年级上·全国·课后作业）如下图，在中，，于点D，．若，，求EC的长． 【答案】 【知识点】全等的性质和HL综合（HL） 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质. 通过连接，利用直角三角形全等的判定定理证明两个直角三角形全等，从而得到对应边相等，进而求出 的长度. 【详解】解：如图，连接． ，． 在和中， ， ， ． ， ． 题型十四、添加条件使三角形全等 28．（24-25八年级上·河南周口·期中）如图，已知，则添加下列一个条件不一定能使的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】添加条件使三角形全等（全等三角形的判定综合） 【分析】本题考查全等三角形的判定，已知，，满足一边一角相等，根据全等三角形判定定理逐项判断即可． 【详解】解：和中，，， A．添加，依据不能判定，符合题意； B．添加，依据能判定，不合题意； C．添加，依据能判定，不合题意； D．添加，依据能判定，不合题意； 故选A． 题型十五、灵活选用判定方法证全等 29．（24-25八年级上·湖南长沙·阶段练习）下列条件中，不能判断两个直角三角形全等的是（   ） A．两条直角边对应相等 B．一条直角边和一条斜边对应相等 C．有一角和一边对应相等 D．有一锐角和一直角边对应相等 【答案】C 【知识点】灵活选用判定方法证全等（全等三角形的判定综合） 【分析】本题考查了全等三角形的判定，根据直角三角形全等的判定方法，、、、、逐一分析各选项即可，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 【详解】解：、两条直角边对应相等，符合（两边及其夹角相等），能判定全等，不符合题意； 、一条直角边和斜边对应相等，符合（斜边和一条直角边对应相等），能判定全等，不符合题意； 、有一角和一边对应相等，未明确角的类型（锐角或直角）及边的对应关系，若角为锐角，边可能为邻边或对边，无法唯一确定全等，符合题意； 、一锐角和一直角边对应相等，可结合直角构成或（如锐角及其对边或邻边对应相等），能判定全等，不符合题意； 故选：． 30．（2025八年级上·全国·课后作业）如图，给出下列四组条件： ①；②；③；④．其中能使的条件是 ． 【答案】①②③ 【知识点】灵活选用判定方法证全等（全等三角形的判定综合） 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定．根据全等三角形的判定定理，逐项判断，即可求解． 【详解】解：①∵， ∴，符合题意； ②∵ ∴，符合题意； ③， ∴，符合题意； ④，满足边边角，无法证得． 故答案为：①②③ 题型十六、倍长中线模型 31．（2025八年级上·全国·单元测试）某数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题：如图①，在中，，，D是的中点，求边上的中线的取值范围． 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到点E，使，请补充完整证明“”的推理过程． （1）求证：． 证明：如图①，延长到点E，使． 在和中， （________）； （2）由（1）的结论，根据与之间的关系，探究得出的取值范围是________； 【感悟】解题时，条件中若出现“中点”“中线”等字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中． 【问题解决】 （3）如图②，在中，是的中线，，且，求的长． 【答案】（1）已知，对顶角相等，，；（2）；（3）6 【知识点】倍长中线模型(全等三角形的辅助线问题)、全等三角形综合问题 【分析】本题是三角形的综合题和倍长中线问题，主要考查的是全等三角形的判定和性质、三角形的三边关系等知识，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． （1）延长到点，使，由“”可证； （2）由全等三角形的性质可得，由三角形的三边关系可求解； （3））延长交的延长线于F，由“”可证，则，，证明，得，根据，即可得的长． 【详解】解：（1）证明：延长到点，使， 在和中， ， ； 故答案为：已作，对顶角相等，，； （2）由（1），得，且，， ． 在中，． 又 ． 故答案为：． （3）如图，延长交的延长线于点． ， ． 在和中， ， ． 又且， ， ， ． 故的长是6． 题型十七、旋转模型 32．（1）【特例探究】 如图1，在四边形中，，，，，猜想并写出线段，，之间的数量关系，证明你的猜想； （2）【迁移推广】 如图2，在四边形中，，，．请写出线段，，之间的数量关系，并证明； （3）【拓展应用】 如图3，在海上军事演习时，舰艇甲在指挥中心（处）北偏东20°的处．舰艇乙在指挥中心南偏西50°的处，并且两舰艇在指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正西方向以80海里/时的速度前进，同时舰艇乙沿北偏西60°的方向以90海里/时的速度前进，半小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达，处，且指挥中心观测两舰艇视线之间的夹角为75°．请直接写出此时两舰艇之间的距离． 【答案】（1）EF=BE+DF，理由见解析；（2）EF=BE+DF，理由见解析；（3）85海里 【知识点】旋转模型(全等三角形的辅助线问题) 【分析】（1）延长CD至点G，使DG=BE，连接AG，可证得△ABE≌△ADG，可得到AE=AG，∠BAE=∠DAG，再由，，可证得△AEF≌△AGF， 从而得到EF=FG，即可求解； （2）延长CD至点H，使DH=BE，连接AH，可证得△ABE≌△ADH，可得到AE=AH，∠BAE=∠DAH，再由，可证得△AEF≌△AHF，从而得到EF=FH，即可求解； （3）连接CD，延长AC、BD交于点M，根据题意可得∠AOB=2∠COD，∠OAM+∠OBM=70°+110°=180°，再由（2）【迁移推广】得：CD=AC+BD，即可求解． 【详解】解：（1）EF=BE+DF，理由如下： 如图，延长CD至点G，使DG=BE，连接AG， ∵， ∴∠ADG=∠ABC=90°， ∵AB=AD， ∴△ABE≌△ADG， ∴AE=AG，∠BAE=∠DAG， ∵，， ∴∠BAE+∠DAF=50°， ∴∠FAG=∠EAF=50°， ∵AF=AF， ∴△AEF≌△AGF， ∴EF=FG， ∵FG=DG+DF， ∴EF=DG+DF=BE+DF； （2）EF=BE+DF，理由如下： 如图，延长CD至点H，使DH=BE，连接AH， ∵，∠ADC+∠ADH=180°， ∴∠ADH=∠ABC， ∵AB=AD， ∴△ABE≌△ADH， ∴AE=AH，∠BAE=∠DAH， ∵ ∴∠EAF=∠BAE+∠DAF=∠DAF+∠DAH， ∴∠EAF=∠HAF， ∵AF=AF， ∴△AEF≌△AHF， ∴EF=FH， ∵FH=DH+DF， ∴EF=DH+DF=BE+DF； （3）如图，连接CD，延长AC、BD交于点M， 根据题意得： ∠AOB=20°+90°+40°=150°，∠OBD=60°+50°=110°，∠COD=75°，∠OAM=90°-20°=70°，OA=OB， ∴∠AOB=2∠COD，∠OAM+∠OBM=70°+110°=180°， ∵OA=OB， ∴由（2）【迁移推广】得：CD=AC+BD， ∵AC=80×0.5=40，BD=90×0.5=45， ∴CD=40+45=85海里． 即此时两舰艇之间的距离85海里． 【点睛】此题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质、勾股定理的运用、等腰直角三角形的性质，题目的综合性较强，难度较大，解题的关键是正确的作出辅助线构造全等三角形，解答时，注意类比思想的应用． 题型十八、垂线模型 33．【材料阅读】小芳在学习完全等三角形后，她尝试用三种不同方式摆放一副三角板．如图：在中，，；在中，，，并提出了相应的问题． 【发现】如图1，将两个三角板互不重叠地摆放在一起，当顶点摆放在线段上时，过点作，垂足为，过点作，垂足为． (1)图1中，，，求的长．请补充小芳的过程． ， ， ∵，， ，， ， ， …… （补充小芳的过程） (2)【类比】如图2，将两个三角板叠放在一起，当顶点在线段上且顶点在线段上时，过点作，垂足为，猜想，，之间的数量关系，并说明理由． (3)【拓展】如图3，将两个三角板叠放在一起，当顶点在线段上且顶点在线段上时，若，，连接，请直接写出的面积． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 (3)21 【知识点】垂线模型(全等三角形的辅助线问题) 【分析】本题综合考查了全等三角形的判定与性质，熟记相关定理内容进行几何推理是解题关键． （1）根据两个三角形全等的判定定理得到，利用两个三角形全等的性质，得到，，即可得到； （2）根据两个三角形全等的判定定理，得到，利用两个三角形全等的性质，得到，，由图中，即可得到三者的数量关系； （3）延长，过点作于，如图所示，由两个三角形全等的判定定理得到，从而，，则可求得，延长，过点作于，如图所示，由平行线间的平行线段相等可得，代入面积公式得，即可得到答案． 【详解】（1）解：， ， ∵，， ，， ， ， ∵，，， ∴； ， ∵，， ∴； （2）解：结论：．理由如下： ， ， ， ， ， ， ， ∵， ， ， ， ； （3）解：延长，过点作于，如图所示： ，， ， ，， ∴， ，， ， 延长，过点作于，如图所示： ， ， ， ， 由平行线间的平行线段相等可得， ． 故答案为：21． 题型十九、全等三角形综合问题 34．（2025八年级上·全国·单元测试）如图，中，分别是边上的点，． (1)若，求证：； (2)把（1）中的条件和结论反过来，即若，则，这个命题是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)成立，见解析 【知识点】全等三角形综合问题 【分析】本题是三角形综合题，考查了角的和差，全等三角形的判定与性质，三角形的外角与不相邻两个内角的关系，重点掌握全等三角形的判定与性质，难点作辅助线构建全等三角形． （1）证明即可； （2）过点、分别作于点M，于点N，证明，得到，再结合条件可以证明，进而得到即可求解． 【详解】（1）解：如图1所示： 由三角形的外角定理可知：， 且，， ， 在和中，， ； （2）解：成立，理由如下： 过点、分别作于点M，于点N，如图2所示： ，， ， 又， 在和中， ． ， 又， ， ， 又，． ． 即若，则此命题成立． 题型二十、尺规作一个角等于已知角 35．如图， 点C在的边上， 用尺规作出了， 作图痕迹中， 弧是（    ） A．以点C为圆心，为半径的弧 B．以点C为圆心，为半径的弧 C．以点E为圆心，为半径的弧 D．以点E为圆心，为半径的弧 【答案】D 【知识点】尺规作一个角等于已知角 【分析】本题主要考查作图尺规作图，解题的关键是熟练掌握作一个角等于已知角的尺规作图步骤．根据作一个角等于已知角的步骤即可得． 【详解】解：作图痕迹中，弧是以点E为圆心，为半径的弧． 故选：D． 36．（2025八年级上·全国·单元测试）如图，已知． (1)用直尺和圆规作一个角，使（不写作法，保留作图痕迹）； (2)请说明为什么这样作图能得到？ 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】尺规作一个角等于已知角 【分析】本题考查作图-基本作图，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． （1）利用尺规作即可． （2）根据证明三角形全等即可解决问题． 【详解】（1）如图，′即为所求． （2）由作图可知，， ∴， ∴． 题型二十一、过直线外一点作已知直线的平行线 37．如图，已知直线，小明用直尺和圆规作出了的平行线，在作图痕迹中，弧是（   ） A．以为圆心，为半径的弧 B．以为圆心，为半径的弧 C．以为圆心，为半径的弧 D．以为圆心，为半径的弧 【答案】B 【知识点】过直线外一点作已知直线的平行线 【分析】本题考查作图−基本作图，平行线的判定等知识，根据平行线的判定，作一个角等于已知角的方法即可判断，解题的关键是熟练掌握基本知识， 【详解】在作图痕迹中，弧是以为圆心，为半径的弧． 故选：B． 38．（2025八年级上·全国·随堂练习）如图，用直尺和圆规作一条直线，使这条直线过的顶点A，并且与边平行． 【答案】见解析 【知识点】过直线外一点作已知直线的平行线 【分析】利用“内错角相等，两直线平行”这一判定定理，通过作一个角等于已知角，构造出与 平行且过点 的直线． 本题主要考查了平行线的判定（内错角相等，两直线平行）以及尺规作图作一个角等于已知角，熟练掌握平行线判定定理和尺规作等角的方法是解题的关键． 【详解】解：如图，直线即为所求， 以为顶点，作 ，则直线即为所求， ∵， 直线 （内错角相等，两直线平行）． 题型二十二、尺规作图——作三角形 39．（2025八年级上·全国·课前预习）如图，已知线段a，c和，求作：，使，，，填空： （1）如图②，作 ； （2）如图③，在射线上截取 ，在射线上截取 ； （3）如图④，连接，即所求作的三角形． 【答案】 a c 【知识点】尺规作图——作三角形 【分析】本题考查的是尺规作图--按要求作一个三角形，根据作一个角等于已知角和作一条线段等于已知线段的要求完成填空即可． 【详解】解：（1）如图②，作； （2）如图③，在射线上截取，在射线上截取； （3）如图④，连接，即所求作的三角形． 故答案为：；a；c． 40．（2025八年级上·全国·课后作业）已知直角三角形的一条直角边和斜边，求作此直角三角形． （要求：写出已知，求作，结论，并用直尺和圆规作图，保留作图痕迹，不写作法及证明） 【答案】见解析 【知识点】尺规作图——作三角形 【分析】本题主要考查了尺规作图—作直角三角形．过点C作直线，再在截取，然后以点A为圆心，n长为半径画弧交射线于点B，即可． 【详解】解：如图，即为所求． 题型二十三、作角平分线(尺规作图) 41．如图，已知，，，用尺规作的平分线，下列四种作法中，正确的有（   ） A．1种 B．2种 C．3种 D．4种 【答案】D 【知识点】作角平分线(尺规作图) 【分析】本题主要考查了尺规作图、角平分线的性质．根据等腰直角三角形的特殊性可知斜边中垂线，斜边上的高，做一个的角都是角的平分线，即可解题； 【详解】解：①根据图像可知是的平分线，正确； ②根据图像可知是 的垂直平分线， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴是的平分线，正确； ③根据图像可知是的高， ∵是等腰直角三角形 ∴是的平分线，正确； ④根据图像可知是做一个 等于另一个角， ∵， ∴ ∴是的平分线，正确； 故选：D. 42．（2025八年级上·全国·课前预习）用尺规作图：作出已知角的平分线． 已知：如图，，求作：射线，使．（要求：保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析 【知识点】作角平分线(尺规作图) 【分析】本题考查了作一个角的平分线，先以点为圆心，任意长度为半径画弧，分别交于点，再分别以点为圆心，大于的长度为半径画弧，交于点，即射线，使． 【详解】解：如图，射线即为所求． 题型二十四、角平分线的性质定理 43．（24-25八年级上·河南新乡·阶段练习）如图，在中，，平分，若，，则点D到的距离是（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【知识点】角平分线的性质定理 【分析】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．先利用计算出的长，然后根据角平分线的性质求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵是角平分线， ∴点D到的距离等于，即点D到的距离为4． 故选：B． 44．（24-25八年级上·全国·期末）如图，已知在中，是边上的高线，平分，交于点E．若，，则的面积为 ． 【答案】15 【知识点】角平分线的性质定理 【分析】本题考查了角平分线的性质定理，作于，由角平分线的性质定理可得，再由三角形面积公式计算即可得解． 【详解】解：如图：作于， ∵平分，，， ∴， ∴， 故答案为：15． 题型二十五、角平分线的判定定理 45．（2025八年级上·全国·随堂练习）如图，，则 ． 【答案】/30度 【知识点】角平分线的判定定理 【分析】本题主要考查了角平分线的判定定理．根据角平分线的判定定理解答即可． 【详解】解：∵， ∴． 故答案为： 46．（24-25八年级上·四川自贡·期末）如图，在中，点在的延长线上，点在的延长线上，已知点到、、的距离恰好相等，则点的位置：①在的平分线上；②在的平分线上；③在的平分线上；④恰是、、三条角平分线的交点，上述结论中，正确的个数是（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】A 【知识点】角平分线的判定定理 【分析】本题主要考查了角平分线的判定定理：到角的两边距离相等的点在角的平分线上．做题时，可分别处理，逐个验证． 利用角平分线的判定定理分析．由已知点P到、、的距离恰好相等进行思考，首先到两边距离相等，得出结论，然后另外两边再得结论，如此这样，答案可得． 【详解】解：∵点P到、的距离相等， ∴点P在的平分线上， 故①正确； ∵点P到、的距离相等， ∴点P在的平分线上， 故②正确； ∵点P到、的距离相等， ∴点P在的平分线上，故③正确； ∵点P到、、的距离都相等， ∴恰好是、、三条平分线的交点，故④正确； 综上可得①②③④都正确． 故选：A． 题型二十六、角平分线性质的实际应用 47．在三角形中，到三边距离相等的点是（   ） A．三条中线的交点 B．三条角平分线的交点 C．三条高线的交点 D．内部任意一点 【答案】B 【知识点】角平分线性质的实际应用 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，熟记角平分线的性质是解题的关键． 根据角平分线上的点到角的两边距离相等即可解答． 【详解】解：在三角形中，到三边距离相等的点是三条角平分线的交点． 故选：B． 48．太和中学校园内有一块直角三角形(RtABC)空地，如图所示，园艺师傅以角平分线AD为界，在其两侧分别种上了不同的花草，在ABD区域内种植了月季花，在△ACD区域内种植了牡丹花，并量得两直角边AB＝10m，AC＝6m，分别求月季花与牡丹花两种花草的种植面积． 【答案】， 【知识点】角平分线性质的实际应用 【分析】过点分别作，是垂足，根据角平分线的性质可得，进而根据求得，进而根据三角形面积公式求解可． 【详解】解：过点分别作，是垂足． 由，得，， 是的平分线， ． 【点睛】本题考查了角平分线的性质，理解角平分线的性质是解题的关键. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第十四章 全等三角形 章节（10知识点回顾+26题型巩固） 目录 知识梳理 1.全等形 2.全等三角形 3.全等三角形的性质 4．全等三角形的判定 5.用尺规作一个角等于已知角 6.作一个角的平分线 7.角的平分线的性质 8.证明几何命题的一般步骤 9.角的平分线的判定 10.三角形的角平分线的性质 题型巩固 一、图形的全等 二、全等三角形的概念 三、全等三角形的性质 四、用SAS证明三角形全等 五、用SAS间接证明三角形全等 六、全等的性质和SAS综合 七、用ASA（AAS）证明三角形全等 八、全等的性质和ASA（AAS）综合 九、用SSS证明三角形全等 十、用SSS间接证明三角形全等 十一、全等的性质和SSS综合 十二、用HL证全等 十三、全等的性质和HL综合 十四、添加条件使三角形全等 十五、灵活选用判定方法证全等 十六、倍长中线模型 十七、旋转模型 十八、垂线模型 十九、全等三角形综合问题 二十、尺规作一个角等于已知角 二十一、过直线外一点作已知直线的平行线 二十二、尺规作图——作三角形 二十三、作角平分线(尺规作图) 二十四、角平分线的性质定理 二十五、角平分线的判定定理 二十六、角平分线性质的实际应用 知识梳理 知识点1.全等形 1. 定义：能够完全重合的两个图形叫作全等形. 全等形的特征：“两相同”与“两无关”. (1)“两相同”：①形状相同；②大小相同. (2)“两无关”：①与位置无关；②与方向无关. 2. 全等变换的常见方式：平移、翻折、旋转. 知识点2.全等三角形 1. 全等三角形的有关概念和表示方法 相关概念 示例 定义 能够完全重合的两个三角形叫作全等三角形 △ABC与△DEF全等 相关概念 示例 对应元素 对应顶点：重合的顶点叫作对应顶点 点A与点D， 点B与点E，点C与点F 对应边：重合的边叫作对应边 AB与DE，BC与EF，AC与DF 对应角：重合的角叫作对应角 ∠A与∠D， ∠B与∠E，∠C与∠F 相关概念 示例 表示方法 全等用符号“≌”表示，读作“全等于” △ABC≌△DEF 2. 三种常见的全等类形 (1)平移型 (2)翻折型 (3)旋转型 知识点3.全等三角形的性质 1. 性质：全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等. 图形语言：如图14.1 -4所示. 2. 拓展：全等三角形的对应元素相等. 全等三角形中的对应元素包括对应边、对应角、对应边上的中线、对应边上的高、对应角的平分线、周长、面积等. 知识点4．全等三角形的判定 （1）判定定理1：SAS﹣﹣两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等． （2）判定定理2：ASA﹣﹣两角及其夹边分别对应相等的两个三角形全等． （3）判定定理3：AAS﹣﹣两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等． （4）判定定理4：SSS﹣﹣三条边分别对应相等的两个三角形全等． （5）判定定理5：HL﹣﹣斜边与直角边对应相等的两个直角三角形全等． 方法指引：全等三角形的5种判定方法中，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边． 知识点5.用尺规作一个角等于已知角 用尺规作一个角等于已知角 已知∠ AOB(如图14.2 - 10 ①)，求作∠A′O′B ′，使∠A′O′B′＝∠AOB ，并证明. 作法：(1)以点O 为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA，OB 于点C，D； (2)作一条射线O′A′，以点O′为圆心，OC为半径作弧，交O′A′于点C′； (3)以点C′为圆心，CD为半径画弧，与上一步作的弧相交于点D′； (4)过点D′作射线O′B′，则∠A′O′B′即为所求作的角(如图14.2-10 ②). 证明：连接CD，C′D′. 由作法(1)(2)可知OC=OD=O′C′； 由作法(3)可知CD=C′D′，O′C′=O′D′， ∴ OD=O′D′.∴△ OCD ≌△ O′C′D′(SSS). ∴∠AOB=∠A′O′B′. 知识点6.作一个角的平分线 已知：∠ AOB. 求作：∠ AOB 的平分线. 作法：(1)以点O 为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB 于点N. (2)分别以点M，N 为圆心，大于MN 的长为半径画弧，两弧在∠ AOB 的内部相交于点C. (3)画射线OC. 射线OC 即为∠AOB的平分线(如图14.3 -1). 2.“画射线OC”不能叙述为“连接OC”，因为角平分线是射线而不是线段. 3.用尺规作一个角的平分线，实质上是运用“SSS”构造全等三角形，根据全等三角形的对应角相等，找出平分一个角的射线. 知识点7.角的平分线的性质 1. 性质定理：角的平分线上的点到角的两边的距离相等 . 角的平分线的性质的两个必要条件 (1)点在角平分线上； (2)这个点到角两边的距离即点到角两边的垂线段的长度. 两者缺一不可. 2. 几何语言：如图14.3 -3， 只要符合基本模型，直接得出结论，不需要证全等 ∵ OP 平分∠ AOB，PE ⊥ OA 于点E，PF ⊥ OB 于点F，∴ PE=PF. 知识点8.证明几何命题的一般步骤 1. 证明一个几何命题的一般步骤已知：命题中的题设部分； 求证：命题中的结论部分 (1)明确命题中的已知和求证； (2)根据题意，画出图形，并用数学符号表示已知和求证； (3) 经过分析，找出由已知推出要证的结论的途径，写出证明过程. 2. 推理证明中常见的分析方法 (1) 综合法：从已知条件入手，根据已学过的定义、定理、全等的判定方法等，逐步推出要证的结论. (2) 分析法：从要证明的结论出发，根据已学过的定义、定理、全等的判定方法等，寻找使结论成立所需的条件，这样一步步逆推，一直追溯到结论成立的条件与已知条件吻合. (3)“两头凑”的方法：分别从已知条件和结论入手，当从已知条件推导出的结论与从结论倒推出所需的条件相吻合时，问题可得证. 知识点9.角的平分线的判定 1. 判定定理：角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上. 2. 几何语言：如图14.3 -10， ∵ 点P 为∠ AOB 内一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E，且PD=PE， ∴点P 在∠ AOB 的平分线OC 上. 应用角的平分线的判定所具备的条件 (1)位置关系：点在角的内部； (2)数量关系：该点到角两边的距离相等. 定理的作用：判断点是否在角平分线上. 3. 角的平分线的判定定理与性质定理的关系 (1)如图14.3 -10，都与距离有关，即条件PD ⊥ OA， PE ⊥ OB 都具备； (2)点在角的平分线上 (角的内部的)点到 角两边的距离相等.如图14.3 -10 ， 知识点10.三角形的角平分线的性质(拓展点) 1. 性质定理：三角形的三条角平分线交于一点，并且这一点到三条边的距离相等. 这一点叫三角形的内心 . 2. 几何语言：如图14.3 -14，在△ ABC 中，AD，BM，CN 分别是∠ BAC，∠ ABC，∠ ACB 的平分线，AD，BM，CN 交于一点O，且点O 到三边BC，AB，AC 的距离相等，即OE=OG=OF. 题型巩固 题型一、图形的全等 1．佳佳想在图中再加一个正方形方格，使整个图形被直线分成的两部分全等，这个方格可放的位置为（   ） A．① B．②或③ C．② D．③或④ 2．（22-23八年级上·全国·课后作业）先观察猜想结论，再动手验证． (1)如图．圆和圆哪个大？ (2)如图，两条线是否为直线？ 题型二、全等三角形的概念 3．（23-24八年级上·广西南宁·期中）如图，，和，和是对应边，则的对应角是（    ） A． B． C． D． 4．（2023八年级上·全国·专题练习）如图所示，已知，指出它们的对应边和对应角．    题型三、全等三角形的性质 5．（2025八年级上·全国·课后作业）如图，已知，E是线段上一点，交于点F．下列与的度数相等的是（   ） A． B． C． D． 6．（23-24八年级上·宁夏银川·阶段练习）如图，，点B和点D，点C和点E是对应顶点，那么的对应边为 ，的对应角为 ． 题型四、用SAS证明三角形全等 7．（24-25八年级上·全国·期末）如图，，，由此可得下列哪组三角形全等（　　 ） A． B． C． D．没有三角形全等 8．（24-25八年级上·江苏南京·期末）已知：如图，， ，．求证：． 题型五、用SAS间接证明三角形全等 9．（24-25八年级上·山东聊城·阶段练习）如图，在的方格中，每个小方格的边长均为1，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 10．（24-25八年级上·全国·期末）已知：如图，点A、F、C、D在同一直线上，点B和点E分别在直线的两侧，且，，．求证：． 题型六、全等的性质和SAS综合 11．（2025八年级上·全国·课后作业）如图，在中，，则的长为 ． 12．（2025八年级上·全国·课后作业）如图，在和中，，，点C，D，E三点在同一直线上，连接交于点G． (1)试说明：； (2)猜想有何特殊位置关系，并说明理由． 题型七、用ASA（AAS）证明三角形全等 13．（24-25八年级上·广东韶关·阶段练习）如图，小明不慎将一块三角形玻璃打碎为三块，他是否可以只带其中的一块碎片到商店去，就能配一块与原来一样的三角形模具吗？ 如果可以，带哪块去合适？（　　） A．1 B．2 C．3 D．任意一块 14．（24-25八年级上·贵州遵义·阶段练习）如图，是上一点，交于点，，请添加一个条件 ，通过证明两个三角形全等，使得．（只添一种情况即可）． 15．（25-26八年级上·全国·课前预习）如图，点E在上，点C在上，，．求证：． 题型八、全等的性质和ASA（AAS）综合 16．（2025八年级上·全国·课后作业）如图，平分，则（   ） A． B． C． D． 17．（24-25八年级上·河南驻马店·期末）如图，，，，给出下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论是（   ） A．①②③ B．②③ C．①③ D．①②③④ 18．（24-25八年级上·全国·期末）如图，四边形中，对角线、交于点，，点是上一点，且，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 题型九、用SSS证明三角形全等 19．如图是的正方形网格，以点为两个顶点作位置不同的格点三角形，使所作的格点三角形与全等，这样的格点三角形最多可以画出（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．6个 20．（24-25八年级上·湖北十堰·期末）三个顶点分别在小正方形的顶点（格点）上的三角形叫格点三角形．除格点外，在网格中可画出与全等的格点三角形共有 个． 题型十、用SSS间接证明三角形全等 21．（2025八年级上·全国·课后作业）如图，已知点A，B，C，D在同一条直线上，，，．求证：． 证明：∵（________）， ∴________________（________）， 即________________． 在和中，， ∴（________）． 题型十一、全等的性质和SSS综合 22．（2025八年级上·全国·课后作业）如图，在中，两点在上，且有．若，，则的度数为 ． 23．（2025八年级上·全国·课后作业）如图，已知．求证：． 题型十二、用HL证全等（HL） 24．（23-24八年级上·四川广安·阶段练习）如图，，，，要根据“”证明，则还需要添加一个条件是（   ） A． B． C． D． 25．（24-25八年级·黑龙江大庆·期末）如图，若要用“”证明，则需要添加的一个条件是 ． 题型十三、全等的性质和HL综合 26．如图，，，点A、D、B、C分别在直线与上，点E在上，，，，则 ． 27．（2025八年级上·全国·课后作业）如下图，在中，，于点D，．若，，求EC的长． 题型十四、添加条件使三角形全等 28．（24-25八年级上·河南周口·期中）如图，已知，则添加下列一个条件不一定能使的是（   ） A． B． C． D． 题型十五、灵活选用判定方法证全等 29．（24-25八年级上·湖南长沙·阶段练习）下列条件中，不能判断两个直角三角形全等的是（   ） A．两条直角边对应相等 B．一条直角边和一条斜边对应相等 C．有一角和一边对应相等 D．有一锐角和一直角边对应相等 30．（2025八年级上·全国·课后作业）如图，给出下列四组条件： ①；②；③；④．其中能使的条件是 ． 题型十六、倍长中线模型 31．（2025八年级上·全国·单元测试）某数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题：如图①，在中，，，D是的中点，求边上的中线的取值范围． 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到点E，使，请补充完整证明“”的推理过程． （1）求证：． 证明：如图①，延长到点E，使． 在和中， （________）； （2）由（1）的结论，根据与之间的关系，探究得出的取值范围是________； 【感悟】解题时，条件中若出现“中点”“中线”等字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中． 【问题解决】 （3）如图②，在中，是的中线，，且，求的长． 题型十七、旋转模型 32．（1）【特例探究】 如图1，在四边形中，，，，，猜想并写出线段，，之间的数量关系，证明你的猜想； （2）【迁移推广】 如图2，在四边形中，，，．请写出线段，，之间的数量关系，并证明； （3）【拓展应用】 如图3，在海上军事演习时，舰艇甲在指挥中心（处）北偏东20°的处．舰艇乙在指挥中心南偏西50°的处，并且两舰艇在指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正西方向以80海里/时的速度前进，同时舰艇乙沿北偏西60°的方向以90海里/时的速度前进，半小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达，处，且指挥中心观测两舰艇视线之间的夹角为75°．请直接写出此时两舰艇之间的距离． 题型十八、垂线模型 33．【材料阅读】小芳在学习完全等三角形后，她尝试用三种不同方式摆放一副三角板．如图：在中，，；在中，，，并提出了相应的问题． 【发现】如图1，将两个三角板互不重叠地摆放在一起，当顶点摆放在线段上时，过点作，垂足为，过点作，垂足为． (1)图1中，，，求的长．请补充小芳的过程． ， ， ∵，， ，， ， ， …… （补充小芳的过程） (2)【类比】如图2，将两个三角板叠放在一起，当顶点在线段上且顶点在线段上时，过点作，垂足为，猜想，，之间的数量关系，并说明理由． (3)【拓展】如图3，将两个三角板叠放在一起，当顶点在线段上且顶点在线段上时，若，，连接，请直接写出的面积． 题型十九、全等三角形综合问题 34．（2025八年级上·全国·单元测试）如图，中，分别是边上的点，． (1)若，求证：； (2)把（1）中的条件和结论反过来，即若，则，这个命题是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由． 题型二十、尺规作一个角等于已知角 35．如图， 点C在的边上， 用尺规作出了， 作图痕迹中， 弧是（    ） A．以点C为圆心，为半径的弧 B．以点C为圆心，为半径的弧 C．以点E为圆心，为半径的弧 D．以点E为圆心，为半径的弧 36．（2025八年级上·全国·单元测试）如图，已知． (1)用直尺和圆规作一个角，使（不写作法，保留作图痕迹）； (2)请说明为什么这样作图能得到？ 题型二十一、过直线外一点作已知直线的平行线 37．如图，已知直线，小明用直尺和圆规作出了的平行线，在作图痕迹中，弧是（   ） A．以为圆心，为半径的弧 B．以为圆心，为半径的弧 C．以为圆心，为半径的弧 D．以为圆心，为半径的弧 38．（2025八年级上·全国·随堂练习）如图，用直尺和圆规作一条直线，使这条直线过的顶点A，并且与边平行． 题型二十二、尺规作图——作三角形 39．（2025八年级上·全国·课前预习）如图，已知线段a，c和，求作：，使，，，填空： （1）如图②，作 ； （2）如图③，在射线上截取 ，在射线上截取 ； （3）如图④，连接，即所求作的三角形． 40．（2025八年级上·全国·课后作业）已知直角三角形的一条直角边和斜边，求作此直角三角形． （要求：写出已知，求作，结论，并用直尺和圆规作图，保留作图痕迹，不写作法及证明） 题型二十三、作角平分线(尺规作图) 41．如图，已知，，，用尺规作的平分线，下列四种作法中，正确的有（   ） A．1种 B．2种 C．3种 D．4种 42．（2025八年级上·全国·课前预习）用尺规作图：作出已知角的平分线． 已知：如图，，求作：射线，使．（要求：保留作图痕迹，不写作法） 题型二十四、角平分线的性质定理 43．（24-25八年级上·河南新乡·阶段练习）如图，在中，，平分，若，，则点D到的距离是（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 44．（24-25八年级上·全国·期末）如图，已知在中，是边上的高线，平分，交于点E．若，，则的面积为 ． 题型二十五、角平分线的判定定理 45．（2025八年级上·全国·随堂练习）如图，，则 ． 46．（24-25八年级上·四川自贡·期末）如图，在中，点在的延长线上，点在的延长线上，已知点到、、的距离恰好相等，则点的位置：①在的平分线上；②在的平分线上；③在的平分线上；④恰是、、三条角平分线的交点，上述结论中，正确的个数是（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 题型二十六、角平分线性质的实际应用 47．在三角形中，到三边距离相等的点是（   ） A．三条中线的交点 B．三条角平分线的交点 C．三条高线的交点 D．内部任意一点 48．太和中学校园内有一块直角三角形(RtABC)空地，如图所示，园艺师傅以角平分线AD为界，在其两侧分别种上了不同的花草，在ABD区域内种植了月季花，在△ACD区域内种植了牡丹花，并量得两直角边AB＝10m，AC＝6m，分别求月季花与牡丹花两种花草的种植面积． 学科网（北京）股份有限公司 $$