空间中的翻折问题专项训练-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

空间中的翻折问题 方法提炼 翻折问题的两个解题策略 (1) 确定翻折前后变与不变的关系 画好翻折前后的平面图形与立体图形,分清翻折前后图形的位置和数量关系的变与不变。一般地,位于“折痕”同侧的点、线、面之间的位置关系和数量关系不变,而位于“折痕”两侧的点、线、面之间的位置关系和数量关系会发生变化，对于不变的关系应在平面图形中处理,而对于变化的关系则要在立体图形中解决。 (2) 确定翻折后关键点的位置 所谓的关键点,是指翻折过程中运动变化的点因为这些点的位置移动,会带动与其相关的其他的点、线、面的关系变化,以及其他点、线、面之间位置关系与数量关系的变化。只有分析清楚关键点的准确位置,才能以此为参照点,确定其他点、线、面的位置,进而进行有关的证明与计算。 【例1.】 菱形的边长为4，，E为AB的中点（如图1），将沿直线DE翻折至处（如图2），连接，，若四棱锥的体积为，点F为的中点，则F到直线BC的距离为（   ）    A． B． C． D． 【例2.】 如图，将菱形纸片沿对角线折成直二面角，分别为的中点，是的中点，，则折后平面与平面夹角的余弦值为（    ）    A． B． C． D． 【例3.】 如图，在正方形中，点分别是线段上的动点，且与交于G，在与之间滑动，但与和均不重合．在任一确定位置，将四边形沿直线折起，使平面平面，则下列选项中错误的是（    ） A．的角度不会发生变化 B．与所成的角先变小后变大 C．与平面所成的角变小 D．二面角先变大后变小 【例4.】 如图，在矩形中，，，为的中点，现将沿直线翻折成，为线段的中点． (1)求证：平面； (2)当时，求直线与直线所成的角． 【例5.】 如图①菱形，．沿着将折起到，使得，如图②所示． (1)求异面直线与所成的角的余弦值； (2)求异面直线与之间的距离． 【例6.】 如图1，在直角梯形中，，，，，，点在上，且.将沿折起，使得平面平面，如图2. (1)求四棱锥的体积； (2)若点在图2中线段上，且，证明：平面. (3)求直线与平面所成角的正弦值. 【例7.】 如图，在△中，，，为的中点，过点作交于点，将沿翻折至 ，得到四棱锥，为棱上一动点（不包含端点）. (1)若为棱的中点，证明：平面 ； (2)若，直线EF与平面BCDE所成角的正弦值为. （ⅰ）求 ； （ⅱ）求点到平面的距离. 【例8.】 如图1，在五边形中，四边形为正方形，，，如图2，将沿折起，使得A至处，且．    (1)证明：平面； (2)求二面角的余弦值． 【例9.】 如图，已知四边形是直角梯形，，，，分别为，的中点，，，，将四边形沿折起，使得点，分别到达点，的位置，. (1)求线段的长； (2)求二面角的余弦值. 【例10.】 如图1，是底边为2的等腰三角形，且，为等腰直角三角形，，将沿翻折到的位置，且点不在平面内（如图2），点为线段的中点． (1)证明：； (2)当平面平面时，求直线与平面所成角的余弦值； (3)若直线与所成角的余弦值为时，设平面与平面的夹角为，求的值． 【例11.】 在平面四边形中，，，，将沿翻折至，其中为动点． (1)若二面角为直二面角，求三棱锥的体积． (2)记三棱锥外接球半径为； ①求的最小值； ②当最小时，求异面直线AB，CP所成角． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$ 空间中的翻折问题 方法提炼 翻折问题的两个解题策略 (1) 确定翻折前后变与不变的关系 画好翻折前后的平面图形与立体图形,分清翻折前后图形的位置和数量关系的变与不变。一般地,位于“折痕”同侧的点、线、面之间的位置关系和数量关系不变,而位于“折痕”两侧的点、线、面之间的位置关系和数量关系会发生变化，对于不变的关系应在平面图形中处理,而对于变化的关系则要在立体图形中解决。 (2) 确定翻折后关键点的位置 所谓的关键点,是指翻折过程中运动变化的点因为这些点的位置移动,会带动与其相关的其他的点、线、面的关系变化,以及其他点、线、面之间位置关系与数量关系的变化。只有分析清楚关键点的准确位置,才能以此为参照点,确定其他点、线、面的位置,进而进行有关的证明与计算。 【例1.】 菱形的边长为4，，E为AB的中点（如图1），将沿直线DE翻折至处（如图2），连接，，若四棱锥的体积为，点F为的中点，则F到直线BC的距离为（   ）    A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】点到直线距离的向量求法 【分析】由已知可证得 平面，平面，所以以为原点，所在的直线分别为轴，建立空间直角坐标系，利用空间向量求解即可. 【详解】连接，因为四边形为菱形，且，所以为等边三角形， 因为 E为AB的中点，所以，所以， 因为，平面，所以 平面， 因为菱形的边长为4，所以， 所以直角梯形的面积为， 设四棱锥的高为，则，得， 所以，所以平面， 所以以为原点，所在的直线分别为轴，建立空间直角坐标系，则 ， 所以， 所以 所以， 所以F到直线BC的距离为， 故选：A    【例2.】 如图，将菱形纸片沿对角线折成直二面角，分别为的中点，是的中点，，则折后平面与平面夹角的余弦值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】面面角的向量求法 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角公式进行求解即可. 【详解】因为菱形纸片沿对角线折成直二面角， 所以平面平面， 因为是菱形，是的中点， 所以，， 而平面平面，平面， 所以平面，而平面， 所以， 以为原点，所在的直线分别为轴、轴、轴， 为两个单位长度，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，． 设平面的法向量为， 则得取，则， 得平面的一个法向量为， 易得平面的一个法向量为， 所以平面与平面夹角的余弦值为． 故选：A    【例3.】 如图，在正方形中，点分别是线段上的动点，且与交于G，在与之间滑动，但与和均不重合．在任一确定位置，将四边形沿直线折起，使平面平面，则下列选项中错误的是（    ） A．的角度不会发生变化 B．与所成的角先变小后变大 C．与平面所成的角变小 D．二面角先变大后变小 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】异面直线夹角的向量求法、面面角的向量求法、线面角的向量求法 【解析】以为原点，，，所在的直线为轴，建立空间直角坐标系，设正方形的边长为，，利用空间向量的数量积可判断A，B；求出平面的一个法向量，设与平面所成的角为，利用向量的数量积可求线面角，进而判断C；求出平面的法向量以及平面的法向量，利用空间向量数量积即可求解. 【详解】以为原点，，，所在的直线为轴， 建立空间直角坐标系， 设正方形的边长为，， ，，，，， 对于A，，， ， 故的角度不会发生变化，所以A正确； 对于B，设与所成的角为， ，， ， 对称轴为，且，所以先减小后增加， 所以先增加再减小，即与所成的角先变小后变大，故B正确； 对于C，平面的一个法向量为， 设与平面所成的角为， ， ，则单调递减，单调递减， 所以与平面所成的角变小，故C正确； 对于D，设平面的法向量为， 则，即， 令，，， 不妨设， 设平面的一个法向量为， 则，， 令，，即， ， 对称轴为，在先减小后增大， 所以在先减小后增大， 二面角为钝角， 先增大后减小， 故二面角先减小后增大，故D错误. 故选：D 【例4.】 如图，在矩形中，，，为的中点，现将沿直线翻折成，为线段的中点． (1)求证：平面； (2)当时，求直线与直线所成的角． 【答案】(1)证明见解析 (2)60° 【难度】0.65 【知识点】空间位置关系的向量证明、异面直线夹角的向量求法 【分析】（1）通过用，表示，从而，，共面，且直线平面,故有得平面. （2）先由，得，再由，得，进而由夹角公式解得. 【详解】（1）证明： 因为 从而，，共面，且直线平面. 所以平面． （2）由， . 得，则——①. 同理由 ，再将①式代入得 ，得. 又，. 所以，即直线与直线所成的角为60°． 【例5.】 如图①菱形，．沿着将折起到，使得，如图②所示． (1)求异面直线与所成的角的余弦值； (2)求异面直线与之间的距离． 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】异面直线夹角的向量求法、异面直线距离的向量求法 【分析】（1）根据折叠前后的几何性质，建立空间直角坐标系，利用空间向量的坐标运算得异面直线与所成的角的余弦值； （2）根据空间向量求直线与公垂线的方向向量，再结合空间向量坐标运算即可得异面直线与之间的距离． 【详解】（1）图①菱形，，由余弦定理得，所以， 所以，即，又，所以， 在图②中，，即，又平面 所以平面，即平面， 又平面，所以，如图，以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系， 则， 所以，故， 则异面直线与所成的角的余弦值为； （2）由（1）得，设是异面直线与公垂线的方向向量， 所以，令，则 所以异面直线与之间的距离为. 【例6.】 如图1，在直角梯形中，，，，，，点在上，且.将沿折起，使得平面平面，如图2. (1)求四棱锥的体积； (2)若点在图2中线段上，且，证明：平面. (3)求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【难度】0.65 【知识点】锥体体积的有关计算、面面平行证明线面平行、面面垂直证线面垂直、线面角的向量求法 【分析】（1）过点作，垂足为点，.取的中点，连接.由面面垂直的性质证得平面，并根据题设中的条件结合平面图形的性质求得于，即可求得四棱锥的体积； （2）过点作∥交于点，连接.利用比例相等证得线线平行，进而证得平面平面，即可证得平面； （3）取的中点，连接.以为原点，，，的方向分别为，，轴的正方向，建立空间直角坐标系，设直线与平面所成的角为，求得、平面的法向量，根据公式计算即可得解. 【详解】（1）如图，过点作，垂足为点，取的中点，连接. 由，可知. 又因为平面平面，平面平面，平面，所以平面. 由，，得， . 在直角梯形中，因为，， 所以，， . 所以四棱锥的体积为. （2）过点作∥交于点，连接. 因为平面，平面，所以平面. 因为，所以四边形是平行四边形，则，所以， 所以，同理可证平面. 因为，所以平面平面. 又因为平面，所以平面. （3）取的中点，连接. 在中，由，，，可得. 因为，所以. 以为原点，，，的方向分别为，，轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，， 由点和的坐标可求得，， 所以，，. 设平面的法向量为， 则取，得. 设直线与平面所成的角为，则， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 【例7.】 如图，在△中，，，为的中点，过点作交于点，将沿翻折至 ，得到四棱锥，为棱上一动点（不包含端点）. (1)若为棱的中点，证明：平面 ； (2)若，直线EF与平面BCDE所成角的正弦值为. （ⅰ）求 ； （ⅱ）求点到平面的距离. 【答案】(1)证明见解析 (2)（ⅰ）；（ⅱ） 【难度】0.65 【知识点】证明线面平行、点到平面距离的向量求法、由线面角的大小求值 【分析】）取的中点，连接，，则，通过证明平面平面，由面面平行的性质定理即可求证； （2）（ⅰ）证明平面，以为原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设，利用向量法求直线与平面所成角的正弦值求，即可求解； （ⅱ）求平面的法向量为，利用空间向量法求距离即可. 【详解】（1）因为，， 所以， 连接，因为为的中点，所以是等边三角形． 取的中点，连接，，则， 则，． 因为平面，平面，平面，平面， 所以平面，平面， 又，，平面， 所以平面平面， 又平面， 所以平面． （2）（ⅰ）因为，， 所以， 所以， 因为，所以， 又，，平面， 所以平面， 以为原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 所以，，，， 则， 设， 则，． 因为平面， 所以平面的一个法向量为， 设直线与平面所成的角为， 所以， 整理得，解得舍，所以． （ⅱ）由（ⅰ）知，，． 设平面的法向量为， 则，即， 令，得，， 则， 所以点到平面的距离为． 【例8.】 如图1，在五边形中，四边形为正方形，，，如图2，将沿折起，使得A至处，且．    (1)证明：平面； (2)求二面角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【难度】0.65 【知识点】证明线面垂直、面面角的向量求法 【分析】（1）由已知易得，即可证明线面垂直； （2）建立空间直角坐标系，用坐标公式法求解即可． 【详解】（1）由题意得，，， 因为，则， 又，面，所以面， 又面，则， 又，，平面，平面， 所以平面． （2）取的中点，可知， 由，且可得， 所以四边形是平行四边形，所以，则平面， 设，以点为坐标原点，所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系，如图，    则， ， 设平面的一个法向量为， 则，即，取，则， 设平面的一个法向量为， 则，即，取，则， 所以， 由图可知，二面角为锐角， 所以面角的余弦值为 ． 【例9.】 如图，已知四边形是直角梯形，，，，分别为，的中点，，，，将四边形沿折起，使得点，分别到达点，的位置，. (1)求线段的长； (2)求二面角的余弦值. 【答案】(1)； (2). 【难度】0.65 【知识点】面面角的向量求法、空间位置关系的向量证明 【分析】（1）先证明出面.取的中点,过作，连接.以为原点，分别以为轴正方向建立空间直角坐标系.利用向量法求出线段的长； （2）利用向量法求二面角的余弦值. 【详解】（1）因为四边形是直角梯形，，，，分别为，的中点， 所以. 所以翻折后 因为面面， 所以面. 取的中点,过作，则面. 连接. 因为，，所以为等边三角形，所以. 如图示：过作交于. 在直角三角形中，, 由,解得：，所以. . 以为原点，分别以为轴正方向建立空间直角坐标系. 则 所以 所以 （2）显然为面的一个法向量. 设为面的一个法向量,则. 不妨设，则. 设二面角的平面角为，由图示，为锐角， 所以. 即二面角的余弦值为. 【例10.】 如图1，是底边为2的等腰三角形，且，为等腰直角三角形，，将沿翻折到的位置，且点不在平面内（如图2），点为线段的中点． (1)证明：； (2)当平面平面时，求直线与平面所成角的余弦值； (3)若直线与所成角的余弦值为时，设平面与平面的夹角为，求的值． 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3). 【难度】0.65 【知识点】线面垂直证明线线垂直、已知线线角求其他量、线面角的向量求法、面面角的向量求法 【分析】（1）取中点为，连接，，易得，，再由线面垂直的判定和性质，即可证； （2）根据已知构建合适的空间直角坐标系，求出直线与平面的方向向量和法向量，最后应用向量法求夹角余弦值； （3）构建合适的空间直角坐标系，设，则，应用异面直线夹角的向量求法及已知列方程求得，即可得. 【详解】（1）取中点为，连接，， ，， ，， 又，、平面， 平面，又平面， ． （2）平面平面，平面平面，，平面， 平面，易知，，两两互相垂直， 以为原点，以为基底，建立空间直角坐标系， ，，，，， ，，， 设平面的法向量为，则， 取，得， ， 设直线与平面所成角为，则，又， 直线与平面所成角的余弦值为. （3）以为原点，以为轴，为轴，垂直于平面所在直线为轴，建立空间直角坐标系， 为等腰三角形，， ，则，，， 设，则，则，， 故， 或（舍），又， ． 【例11.】 在平面四边形中，，，，将沿翻折至，其中为动点． (1)若二面角为直二面角，求三棱锥的体积． (2)记三棱锥外接球半径为； ①求的最小值； ②当最小时，求异面直线AB，CP所成角． 【答案】(1) (2)① 2；② 【难度】0.65 【知识点】锥体体积的有关计算、多面体与球体内切外接问题、异面直线夹角的向量求法 【分析】（1）首先求得，然后结合棱锥体积公式即可求解； （2）①建立适当的空间直角坐标系，设二面角大小为，，则，根据题意列出方程组，求得，故只需求出，的范围即可；②求得AB，CP的方向向量，结合向量夹角的余弦公式即可求解. 【详解】（1）在平面四边形ABCD中，作，，交AC延长线于E，由题意知：， 因为，，所以， 即三角形是直角三角形， 因为平面平面，平面平面，， 所以平面， 故：； （2）以为原点，，分别为轴和轴正方向建立如图所示空间直角坐标系， 则，， （ⅰ）设二面角大小为，， 因为，，所以，， 所以，， 所以， 故可设，． 设外接球球心坐标，半径为， 则两式相减，化简得：， 所以：， 上式中，令，， 则， 令，令，所以， 所以， 令， 因为，所以由对勾函数性质可知，的最小值是， 而 ， 即的取值范围是， 所以的取值范围是，的取值范围是， 的取值范围是，的取值范围是， 的取值范围是， 所以， 因为，等号成立当且仅当，即， 又因为，所以，即， 解得，， 所以， （ⅱ）因为，由（i）可知此时，， 因为，所以，，， 所以， 因为异面直线所成角的范围为， 故所求异面直线所成角为． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$